24 celdas

This article may require cleanup to meet Wikipedia's quality standards. The specific problem is: Excessive explanatory footnotes, some of which include other explanatory footnotes, which include other explanatory footnotes, and so on. Linearize by trimming for brevity, inserting into main text, or spawning subarticle(s). Please help improve this article if you can. (March 2024) (Learn how and when to remove this message)

24 celdas
Diagrama de Schlegel (vértices y aristas)
Tipo	Politopo cuatripartito regular convexo
Símbolo de Schläfli	{3,4,3} r{3,3,4} = {3 1,1,1 } =${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}3\\3,4\end{array}}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}}\right\}}$
Diagrama de Coxeter	o o
Células	24 {3,4}
Caras	96 {3}
Bordes	96
Vértices	24
Figura de vértice	Cubo
Polígono de Petrie	dodecágono
Grupo Coxeter	F 4 , [3,4,3], orden 1152 B 4 , [4,3,3], orden 384 D 4 , [3 1,1,1 ], orden 192
Dual	Auto-dual
Propiedades	convexo , isogonal , isotoxal , isoédrico
Índice uniforme	22

En geometría de cuatro dimensiones , la celda de 24 es el politopo regular convexo de 4 dimensiones ^[1] (análogo de cuatro dimensiones de un sólido platónico ) con símbolo de Schläfli {3,4,3}. También se le llama C ₂₄ , o icositetracoron , ^[2] octaplex (abreviatura de "complejo octaédrico"), icosatetraedroide , ^[3] octacubo , hiperdiamante o polioctaedro , al estar construido con celdas octaédricas .

El límite de la figura de 24 celdas está compuesto por 24 celdas octaédricas , seis de las cuales se encuentran en cada vértice y tres en cada arista. Juntas tienen 96 caras triangulares, 96 aristas y 24 vértices. La figura del vértice es un cubo . La figura de 24 celdas es autodual . ^[a] La figura de 24 celdas y el teseracto son los únicos 4-politopos regulares convexos en los que la longitud de la arista es igual al radio. ^[b]

El poliedro de 24 celdas no tiene un análogo regular en tres dimensiones ni en ningún otro número de dimensiones, ni por debajo ni por encima. ^[4] Es el único de los seis politopos de 4 celdas regulares convexos que no es análogo de uno de los cinco sólidos platónicos. Sin embargo, puede verse como el análogo de un par de sólidos irregulares: el cuboctaedro y su dual, el dodecaedro rómbico . ^[5]

Las copias traducidas del modelo de 24 celdas pueden teselar el espacio de cuatro dimensiones cara a cara, formando el panal de abejas de 24 celdas . Como politopo que puede teselarse por traslación, el modelo de 24 celdas es un ejemplo de paralelepípedo , el más simple que no es también un zonotopo . ^[6]

El politopo de 24 celdas incorpora las geometrías de todos los politopos regulares convexos en las primeras cuatro dimensiones, excepto el politopo de 5 celdas, aquellos con un 5 en su símbolo de Schlöfli, ^[c] y los polígonos regulares con 7 o más lados. En otras palabras, el politopo de 24 celdas contiene todos los politopos regulares formados por triángulos y cuadrados que existen en cuatro dimensiones excepto el politopo regular de 5 celdas, pero ninguno de los politopos pentagonales. Las relaciones geométricas entre todos estos politopos regulares se pueden observar en un solo politopo de 24 celdas o en el panal de abejas de 24 celdas .

El teseracto de 24 celdas es el cuarto en la secuencia de seis politopos convexos regulares de 4 celdas (en orden de tamaño y complejidad). ^[d] Puede deconstruirse en 3 instancias superpuestas de su predecesor, el teseracto (de 8 celdas), al igual que el de 8 celdas puede deconstruirse en 2 instancias superpuestas de su predecesor, el de 16 celdas . ^[9] El procedimiento inverso para construir cada uno de estos a partir de una instancia de su predecesor conserva el radio del predecesor, pero generalmente produce un sucesor con una longitud de arista más pequeña. ^[e]

La celda de 24 tiene dos sistemas naturales de coordenadas cartesianas, que revelan una estructura distinta.

La celda 24 es la envoltura convexa de sus vértices que se puede describir como las 24 permutaciones de coordenadas de:

$${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0)\in \mathbb {R} ^{4}.}$$

Esas coordenadas ^[10] se pueden construir como, rectificando las 16 celdas con 8 permutaciones de vértices de (±2,0,0,0). La figura de vértices de un sistema de 16 celdas es el octaedro ; por lo tanto, cortar los vértices del sistema de 16 celdas en el punto medio de sus aristas incidentes produce 8 celdas octaédricas. Este proceso ^[11] también rectifica las celdas tetraédricas del sistema de 16 celdas que se convierten en 16 octaedros, dando como resultado 24 celdas octaédricas.

En este marco de referencia, la celda de 24 tiene aristas de longitud √ 2 y está inscrita en una esfera de 3 lados de radio √ 2. Sorprendentemente, la longitud de la arista es igual al radio circunscrito, como en el hexágono o el cuboctaedro . Dichos politopos son radialmente equiláteros . ^[b]

4-politopos regulares convexos de radio √ 2
Grupo de simetría	Un 4	B4​		F4​	H4​
Nombre	5 celdas Hipertetraedro de 5 puntas	16 celdas Hiper - octaedro de 8 puntas	8 celdas Hipercubo de 16 puntos	24 celdas 24 puntos	600 celdas Hipericosaedro de 120 puntos	120 celdas Hiperdodecaedro de 600 puntos
Símbolo de Schläfli	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Espejos Coxeter
Diédricos especulares	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
Gráfico
Vértices	5 tetraédricos	8 octaédrico	16 tetraédrico	24 cúbicos	120 icosaédricos	600 tetraédricos
Bordes	10 triangular	24 cuadrados	32 triangular	96 triangular	720 pentagonal	1200 triangular
Caras	10 triángulos	32 triángulos	24 cuadrados	96 triángulos	1200 triángulos	720 pentágonos
Células	5 tetraedros	16 tetraedros	8 cubos	24 octaedros	600 tetraedros	120 dodecaedros
Toros	1 5-tetraedro	2 8-tetraedro	2 4 cubos	4 6-octaedro	20 30-tetraedro	12 10-dodecaedro
Inscrito	120 en 120 celdas	675 en 120 celdas	2 de 16 celdas	3 de 8 celdas	25 24 celdas	10 600 celdas
Grandes polígonos		2 cuadrados x 3	4 rectángulos x 4	4 hexágonos x 4	12 decágonos x 6	100 hexágonos irregulares x 4
Polígonos de Petrie	1 pentágono x 2	1 octágono x 3	2 octágonos x 4	2 dodecágonos x 4	4 30-ágonos x 6	20 30-ágonos x 4
Radio largo	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
Longitud del borde	${\displaystyle {\sqrt {5}}\approx 2.236}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{\phi }}\approx 0.874}$	${\displaystyle 2-\phi \approx 0.382}$
Radio corto	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{4}}\approx 0.354}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\approx 0.707}$	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\approx 0.707}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{4}}}\approx 1.309}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{4}}}\approx 1.309}$
Área	${\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{4}}\right)\approx 21.651}$	${\displaystyle 32\left({\sqrt {3}}\right)\approx 55.425}$	${\displaystyle 48}$	${\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 83.138}$	${\displaystyle 1200\left({\tfrac {2{\sqrt {3}}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 396.95}$	${\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{4\phi ^{4}}}\right)\approx 180.73}$
Volumen	${\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {10}}}{12}}\right)\approx 6.588}$	${\displaystyle 16\left({\tfrac {2{\sqrt {2}}}{3}}\right)\approx 15.085}$	${\displaystyle 8{\sqrt {8}}\approx 22.627}$	${\displaystyle 24\left({\tfrac {4}{3}}\right)=32}$	${\displaystyle 600\left({\tfrac {4}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 47.214}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}}}\right)\approx 51.246}$
4-Contenido	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\sqrt {5}}\right)^{4}\approx 2.329}$	${\displaystyle {\tfrac {8}{3}}\approx 2.666}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 15.451}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 16.770}$

Los 24 vértices forman 18 grandes cuadrados ^[f] (3 conjuntos de 6 cuadrados centrales ortogonales ^[g] ), 3 de los cuales se intersecan en cada vértice. Al observar solo un cuadrado en cada vértice, las 24 celdas pueden verse como los vértices de 3 pares de grandes cuadrados completamente ortogonales que no se intersecan ^[i] en ningún vértice. ^[j]

La celda de 24 es autodual , tiene el mismo número de vértices (24) que celdas y el mismo número de aristas (96) que caras.

Si se toma el dual de la celda de 24 elementos anterior con una longitud de arista de √ 2 moviéndolo en sentido inverso alrededor de su esfera inscrita , se encuentra otra celda de 24 elementos que tiene una longitud de arista y un radio circunscrito de 1, y sus coordenadas revelan una estructura más compleja. En este marco de referencia, la celda de 24 elementos se encuentra con el vértice hacia arriba, y sus vértices se pueden dar de la siguiente manera:

8 vértices obtenidos permutando las coordenadas enteras :

$${\displaystyle \left(\pm 1,0,0,0\right)}$$

y 16 vértices con coordenadas semienteras de la forma:

$${\displaystyle \left(\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}\right)}$$

todos ellos 24 se encuentran a una distancia de 1 del origen.

Vistos como cuaterniones, ^[k] estos son los cuaterniones unitarios de Hurwitz .

En este sistema de coordenadas , la celda de 24 celdas tiene un radio unitario y una longitud de arista unitaria ^[b] . Nos referimos al sistema como coordenadas de radio unitario para distinguirlo de otros, como las coordenadas de radio √ 2 utilizadas anteriormente. ^[l]

4-politopos regulares convexos de radio 1
Grupo de simetría	Un 4	B4​		F4​	H4​
Nombre	5 celdas Hipertetraedro de 5 puntas	16 celdas Hiper - octaedro de 8 puntas	8 celdas Hipercubo de 16 puntos	24 celdas 24 puntos	600 celdas Hipericosaedro de 120 puntos	120 celdas Hiperdodecaedro de 600 puntos
Símbolo de Schläfli	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Espejos Coxeter
Diédricos especulares	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
Gráfico
Vértices	5 tetraédricos	8 octaédrico	16 tetraédrico	24 cúbicos	120 icosaédricos	600 tetraédricos
Bordes	10 triangular	24 cuadrados	32 triangular	96 triangular	720 pentagonal	1200 triangular
Caras	10 triángulos	32 triángulos	24 cuadrados	96 triángulos	1200 triángulos	720 pentágonos
Células	5 tetraedros	16 tetraedros	8 cubos	24 octaedros	600 tetraedros	120 dodecaedros
Toros	1 5-tetraedro	2 8-tetraedro	2 4 cubos	4 6-octaedro	20 30-tetraedro	12 10-dodecaedro
Inscrito	120 en 120 celdas	675 en 120 celdas	2 de 16 celdas	3 de 8 celdas	25 24 celdas	10 600 celdas
Grandes polígonos		2 cuadrados x 3	4 rectángulos x 4	4 hexágonos x 4	12 decágonos x 6	100 hexágonos irregulares x 4
Polígonos de Petrie	1 pentágono x 2	1 octágono x 3	2 octágonos x 4	2 dodecágonos x 4	4 30-ágonos x 6	20 30-ágonos x 4
Radio largo	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
Longitud del borde	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270}$
Radio corto	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$
Área	${\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825}$	${\displaystyle 32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569}$	${\displaystyle 1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48}$	${\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366}$
Volumen	${\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329}$	${\displaystyle 16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314}$	${\displaystyle 600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118}$
4-Contenido	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\approx 0.667}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193}$

Los 24 vértices y 96 aristas forman 16 grandes hexágonos no ortogonales, ^[o] cuatro de los cuales se intersecan ^[i] en cada vértice. ^[q] Al observar solo un hexágono en cada vértice, las 24 celdas se pueden ver como los 24 vértices de 4 grandes círculos hexagonales que no se intersecan y que son paralelos entre sí en el método de Clifford. ^[r]

Los 12 ejes y 16 hexágonos de las 24 celdas constituyen una configuración de Reye , que en el lenguaje de las configuraciones se escribe como 12 ₄ 16 ₃ para indicar que cada eje pertenece a 4 hexágonos, y cada hexágono contiene 3 ejes. ^[12]

Los 24 vértices forman 32 triángulos grandes equiláteros, de longitud de arista √ 3 en la celda de radio unitario de 24, ^[u] inscritos en los 16 grandes hexágonos. ^[v] Cada triángulo grande es un anillo que une tres cuadrados grandes completamente disjuntos ^[w] . ^[aa]

Los 24 vértices de las 24 celdas se distribuyen ^[13] en cuatro longitudes de cuerda diferentes entre sí: √ 1 , √ 2 , √ 3 y √ 4 .

Cada vértice está unido a otros 8 ^[ab] por una arista de longitud 1, que abarca 60° = ⁠π/3⁠ de arco. Los siguientes más cercanos son 6 vértices ^[ac] ubicados a 90° = ⁠π/2⁠ de distancia, a lo largo de una cuerda interior de longitud √ 2 . Otros 8 vértices se encuentran a 120° = ⁠2π​/3⁠ de distancia, a lo largo de una cuerda interior de longitud √ 3 . ^[ad] El vértice opuesto está a 180° = π de distancia a lo largo de un diámetro de longitud 2. Finalmente, como la celda de 24 es radialmente equilátera, su centro está a 1 longitud de arista de distancia de todos los vértices.

Para visualizar cómo encajan los politopos interiores del conjunto de 24 celdas (como se describe a continuación), tenga en cuenta que las cuatro longitudes de cuerda ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) son los diámetros largos de los hipercubos de dimensiones 1 a 4: el diámetro largo del cuadrado es √ 2 ; el diámetro largo del cubo es √ 3 ; y el diámetro largo del teseracto es √ 4. ^[ae] Además, el diámetro largo del octaedro es √ 2 como el cuadrado; y el diámetro largo del propio conjunto de 24 celdas es √ 4 como el teseracto. En el conjunto de 24 celdas, las √ 2 cuerdas son los bordes de los cuadrados centrales, y las √ 4 cuerdas son las diagonales de los cuadrados centrales.

Las cuerdas de los vértices de las 24 celdas están dispuestas en polígonos de círculo máximo geodésicos . ^[ag] La distancia geodésica entre dos vértices de 24 celdas a lo largo de una ruta de √ 1 aristas es siempre 1, 2 o 3, y es 3 solo para vértices opuestos. ^[ah]

Las aristas √ 1 se encuentran en 16 círculos máximos hexagonales (en planos inclinados 60 grados entre sí), 4 de los cuales se cruzan ^[q] en cada vértice. ^{[p] Las 96 aristas} √ 1 distintas dividen la superficie en 96 caras triangulares y 24 celdas octaédricas: una superficie de 24 celdas. Los 16 círculos máximos hexagonales se pueden dividir en 4 conjuntos de 4 geodésicas paralelas de Clifford que no se intersecan , de modo que solo un círculo máximo hexagonal de cada conjunto pase por cada vértice y los 4 hexágonos de cada conjunto alcancen los 24 vértices. ^[ak]

Proyecciones ortogonales de las 24 celdas

Avión Coxeter	F4​
Gráfico
Simetría diedral	[12]
Avión Coxeter	B3 / A2 ( a )	B3 / A2 ( b )
Gráfico
Simetría diedral	[6]	[6]
Avión Coxeter	B4​	B2 / A3​
Gráfico
Simetría diedral	[8]	[4]

Las cuerdas √ 2 ^{se encuentran en 18 círculos grandes cuadrados (3 conjuntos de 6 planos ortogonales [x]} ), 3 de los cuales se cruzan en cada vértice. ^[al] Las 72 cuerdas √ 2 distintas no discurren en los mismos planos que los círculos grandes hexagonales; no siguen las aristas de la celda de 24, sino que pasan por los centros de sus celdas octagonales. ^[am] Las 72 cuerdas √ 2 son los 3 ejes ortogonales de las 24 celdas octaédricas, que unen vértices que están separados por 2 aristas √ 1. Los 18 círculos grandes cuadrados se pueden dividir en 3 conjuntos de 6 geodésicas paralelas de Clifford que no se intersecan, ^[af] de modo que solo un círculo grande cuadrado de cada conjunto pasa por cada vértice, y los 6 cuadrados de cada conjunto alcanzan los 24 vértices. ^[aq]

Las cuerdas √ 3 se encuentran en 32 círculos máximos triangulares en 16 planos, 4 de los cuales se cruzan en cada vértice. ^[ad] Las 96 cuerdas √ 3 ^{distintas [u]} corren de vértice a vértice en los mismos planos que los círculos máximos hexagonales. ^[v] Son las 3 aristas de los 32 triángulos máximos inscritos en los 16 hexágonos máximos, que unen vértices que están separados por 2 aristas √ 1 en un círculo máximo. ^[t]

Las √ 4 cuerdas se presentan como 12 diámetros de vértice a vértice (3 conjuntos de 4 ejes ortogonales) y los 24 radios alrededor del 25º vértice central.

La suma de las longitudes al cuadrado ^[ar] de todas estas cuerdas distintas de la celda de 24 es 576 = 24 ² . ^[as] Estos son todos los polígonos centrales que pasan por los vértices, pero en el espacio de 4 celdas hay geodésicas en la esfera de 3 celdas que no se encuentran en ningún plano central. Hay caminos geodésicos más cortos entre dos vértices de 24 celdas que son helicoidales en lugar de simplemente circulares; corresponden a rotaciones isoclínicas diagonales en lugar de rotaciones simples. ^[at]

Las aristas √ 1 se encuentran en 48 pares paralelos, separados por √ 3. Las cuerdas √ 2 se encuentran en 36 pares paralelos, separados por √ 2. Las cuerdas √ 3 se encuentran en 48 pares paralelos, separados por √ 1. ^[au]

Los planos centrales de las 24 celdas se pueden dividir en 4 hiperplanos centrales ortogonales (3-espacios), cada uno de los cuales forma un cuboctaedro . Los grandes hexágonos están separados por 60 grados; los grandes cuadrados están separados por 90 grados o 60 grados; un gran cuadrado y un gran hexágono están separados por 90 grados y 60 grados. ^[aw] Cada conjunto de polígonos centrales similares (cuadrados o hexágonos) se puede dividir en 4 conjuntos de polígonos paralelos de Clifford que no se intersecan (de 6 cuadrados o 4 hexágonos). ^[ax] Cada conjunto de grandes círculos paralelos de Clifford es un haz de fibras paralelas que visita los 24 vértices solo una vez.

Cada círculo máximo interseca ^[i] con los otros círculos máximos a los que no es paralelo de Clifford en un diámetro de √ 4 de la celda de 24. ^[ay] Los círculos máximos que son completamente ortogonales o, de otro modo, paralelos de Clifford ^[af] no se intersecan en absoluto: pasan por conjuntos disjuntos de vértices. ^[az]

Los triángulos y los cuadrados se unen de manera única en las 24 celdas para generar, como características interiores, ^[ba] todos los politopos convexos regulares con caras triangulares y cuadradas en las primeras cuatro dimensiones (con salvedades para las 5 celdas y las 600 celdas ). ^[bb] En consecuencia, existen numerosas formas de construir o deconstruir las 24 celdas.

Los 8 vértices enteros (±1, 0, 0, 0) son los vértices de un sistema regular de 16 celdas , y los 16 vértices semienteros (± ⁠1/2⁠ , ± ⁠1/2⁠ , ± ⁠1/2⁠ , ± ⁠1/2) son los vértices de su dual, el teseracto (de 8 celdas). ^[22] El teseracto da la construcción de Gosset ^[23] de las 24 celdas, equivalente a cortar un teseracto en 8 pirámides cúbicas y luego unirlas a las facetas de un segundo teseracto. La construcción análoga en el espacio tridimensional da el dodecaedro rómbico que, sin embargo, no es regular. ^[bc] Las 16 celdas dan la construcción recíproca de las 24 celdas, la construcción de Cesaro, ^[24] equivalente a rectificar una 16 celdas (truncando sus esquinas en los bordes medios, como se describió anteriormente). La construcción análoga en el espacio tridimensional da el cuboctaedro (dual del dodecaedro rómbico) que, sin embargo, no es regular. El teseracto y el de 16 celdas son los únicos 4-politopos regulares en el de 24 celdas. ^[25]

Podemos dividir los 16 vértices semienteros en dos grupos: aquellos cuyas coordenadas contienen un número par de signos menos (−) y aquellos con un número impar. Cada uno de estos grupos de 8 vértices también define un conjunto regular de 16 celdas. Esto demuestra que los vértices del conjunto de 24 celdas se pueden agrupar en tres conjuntos disjuntos de ocho, definiendo cada conjunto un conjunto regular de 16 celdas y definiendo el complemento el teseracto dual. ^[26] Esto también demuestra que las simetrías del conjunto de 16 celdas forman un subgrupo de índice 3 del grupo de simetría del conjunto de 24 celdas. ^[z]

Podemos realizar facetas en el sistema de 24 celdas cortando ^[bd] a través de celdas interiores limitadas por cuerdas de vértices para eliminar vértices, exponiendo las facetas de los 4-politopos interiores inscritos en el sistema de 24 celdas. Se puede cortar un sistema de 24 celdas a través de cualquier hexágono plano de 6 vértices, cualquier rectángulo plano de 4 vértices o cualquier triángulo de 3 vértices. Los planos centrales del círculo máximo (arriba) son solo algunos de esos planos. Aquí expondremos algunos de los otros: los planos de las caras ^[be] de los politopos interiores. ^[bf]

Partiendo de un conjunto completo de 24 celdas, se eliminan 8 vértices ortogonales (4 pares opuestos en 4 ejes perpendiculares) y las 8 aristas que irradian desde cada una, cortando a través de 8 celdas cúbicas limitadas por √ 1 aristas para eliminar 8 pirámides cúbicas cuyos vértices son los vértices que se eliminarán. Esto elimina 4 aristas de cada círculo máximo hexagonal (conservando solo un par opuesto de aristas), por lo que no quedan círculos máximos hexagonales continuos. Ahora, 3 aristas perpendiculares se encuentran y forman la esquina de un cubo en cada uno de los 16 vértices restantes, ^[bg] y las 32 aristas restantes dividen la superficie en 24 caras cuadradas y 8 celdas cúbicas: un teseracto . Hay tres formas de hacer esto (elige un conjunto de 8 vértices ortogonales de 24), por lo que hay tres teseractos de este tipo inscritos en el conjunto de 24 celdas. ^[t] Se superponen entre sí, pero la mayoría de sus conjuntos de elementos son disjuntos: comparten cierto número de vértices, pero no la longitud de las aristas, el área de la cara o el volumen de la celda. ^[bh] Comparten 4-contenido, su núcleo común. ^[bi]

Partiendo de un teseracto completo de 24 celdas, elimine los 16 vértices de un teseracto (conservando los 8 vértices que eliminó anteriormente), cortando 16 celdas tetraédricas limitadas por cuerdas de √ 2 para eliminar 16 pirámides tetraédricas cuyos vértices son los vértices que se eliminarán. Esto elimina 12 grandes cuadrados (conservando solo un conjunto ortogonal) y todas las aristas de √ 1 , exponiendo las cuerdas de √ 2 como las nuevas aristas. Ahora los 6 grandes cuadrados restantes se cruzan perpendicularmente, 3 en cada uno de los 8 vértices restantes, ^[bj] y sus 24 aristas dividen la superficie en 32 caras triangulares y 16 celdas tetraédricas: un teseracto de 16 celdas . Hay tres formas de hacer esto (eliminar 1 de los 3 conjuntos de vértices del teseracto), por lo que hay tres de esas 16 celdas inscritas en el teseracto de 24 celdas. ^[y] Se superponen entre sí, pero todos sus conjuntos de elementos son disjuntos: ^[w] no comparten ningún número de vértices, longitud de arista, ^[bk] o área de cara, pero sí comparten el volumen de la celda. También comparten el contenido 4, su núcleo común. ^[bi]

El politopo de 24 celdas se puede construir radialmente a partir de 96 triángulos equiláteros de longitud de arista √ 1 que se encuentran en el centro del politopo, cada uno de los cuales aporta dos radios y una arista. ^[b] Forman 96 tetraedros de √ 1 (cada uno de los cuales aporta una cara de 24 celdas), todos ellos compartiendo el vértice central número 25. Estos forman 24 pirámides octaédricas (medias de 16 celdas) con sus vértices en el centro.

El triángulo de 24 celdas se puede construir a partir de 96 triángulos equiláteros con una longitud de arista de √ 2 , donde los tres vértices de cada triángulo están ubicados a 90° = ⁠π/2⁠ separados entre sí en la esfera de 3 dimensiones. Forman 48 tetraedros de 2 aristas (las celdas de las tres celdas de 16 dimensiones), centrados en los 24 radios de aristas medias de las 24 celdas. ^[bk]

Las 24 celdas se pueden construir directamente a partir de su símplex característico., la célula 5 irregular que es la región fundamental de su grupo de simetría F ₄ , por reflexión de ese ortoesquema 4 en sus propias células (que son ortoesquemas 3). ^[bl]

La celda de 24 no es sólo la celda de 24 octahédricas, es también la celda de 24 cúbicas, aunque los cubos son celdas de las tres celdas de 8, no celdas de la celda de 24, en las que no están volumétricamente disjuntas.

Las 24 celdas se pueden construir a partir de 24 cubos con su propia longitud de arista (tres celdas de 8). ^[t] Cada uno de los cubos es compartido por 2 celdas de 8, cada una de las caras cuadradas de los cubos es compartida por 4 cubos (en 2 celdas de 8), cada una de las 96 aristas es compartida por 8 caras cuadradas (en 4 cubos en 2 celdas de 8), y cada uno de los 96 vértices es compartido por 16 aristas (en 8 caras cuadradas en 4 cubos en 2 celdas de 8).

Los 24 teseractos, tres teseractos y tres teseractos de 16 celdas están profundamente entrelazados alrededor de su centro común y se intersecan en un núcleo común. ^[bi] Los teseractos y los 16 teseractos están rotados 60° isoclínicamente ^[m] entre sí. Esto significa que los vértices correspondientes de dos teseractos o dos teseractos de 16 celdas están separados por √ 3 (120°). ^[t]

Los teseractos están inscritos en el conjunto de 24 celdas ^[bm] de modo que sus vértices y aristas son elementos exteriores del conjunto de 24 celdas, pero sus caras cuadradas y celdas cúbicas se encuentran dentro del conjunto de 24 celdas (no son elementos del conjunto de 24 celdas). Los conjuntos de 16 celdas están inscritos en el conjunto de 24 celdas ^[bn] de modo que solo sus vértices son elementos exteriores del conjunto de 24 celdas: sus aristas, caras triangulares y celdas tetraédricas se encuentran dentro del conjunto de 24 celdas. Las aristas interiores ^[bo] del conjunto de 16 celdas tienen una longitud de √ 2 . ^[aa]

Las 16 celdas también están inscritas en los teseractos: sus √ 2 aristas son las diagonales de las caras del teseracto, y sus 8 vértices ocupan cada uno de los otros vértices del teseracto. Cada teseracto tiene dos celdas de 16 inscritas en él (que ocupan los vértices opuestos y las diagonales de las caras), por lo que cada celda de 16 está inscrita en dos de las tres celdas de 8. ^{[30] [z]} Esto recuerda la forma en que, en 3 dimensiones, dos tetraedros regulares opuestos pueden inscribirse en un cubo, como descubrió Kepler. ^[29] De hecho, es la analogía dimensional exacta (los semihipercubos ), y las 48 celdas tetraédricas están inscritas en las 24 celdas cúbicas de esa misma manera. ^{[31] [bk]}

El teseracto de 24 celdas encierra los tres teseractos dentro de su envoltura de facetas octaédricas, dejando espacio de 4 dimensiones en algunos lugares entre su envoltura y la envoltura de cubos de cada teseracto. Cada teseracto encierra dos de las tres celdas de 16, dejando espacio de 4 dimensiones en algunos lugares entre su envoltura y la envoltura de tetraedros de cada una de las 16 celdas. Por lo tanto, hay intersticios de 4 dimensiones ^{[bp] medibles [8} ] entre las envolturas de 24, 8 y 16 celdas. Las formas que llenan estos espacios son 4-pirámides , a las que se hizo referencia anteriormente. ^[bq]

A pesar de los intersticios de 4 dimensiones entre las envolturas de 24, 8 y 16 células, sus volúmenes tridimensionales se superponen. Las diferentes envolturas están separadas en algunos lugares y en contacto en otros (donde no hay una pirámide de 4 entre ellas). Donde están en contacto, se fusionan y comparten el volumen celular: son la misma membrana de 3 dimensiones en esos lugares, no dos capas tridimensionales separadas sino adyacentes. ^[bs] Debido a que hay un total de 7 envolturas, hay lugares donde varias envolturas se unen y fusionan volumen, y también lugares donde las envolturas se interpenetran (se cruzan de adentro hacia afuera una de otra).

Algunas características interiores se encuentran dentro del espacio tridimensional de la envoltura límite (externa) de la propia celda de 24: cada celda octaédrica está bisecada por tres cuadrados perpendiculares (uno de cada uno de los teseractos), y las diagonales de esos cuadrados (que se cruzan perpendicularmente en el centro del octaedro) son aristas de 16 celdas (una de cada 16 celdas). Cada cuadrado biseca un octaedro en dos pirámides cuadradas, y también une dos celdas cúbicas adyacentes de un teseracto como su cara común. ^[br]

Como vimos arriba, las celdas tetraédricas de 16 celdas √ 2 están inscritas en teseractos de √ 1 celdas cúbicas, compartiendo el mismo volumen. Las celdas octaédricas de 24 celdas √ 1 superponen su volumen con el de las celdas cúbicas √ 1 : están divididas por una cara cuadrada en dos pirámides cuadradas, ^[33] cuyos vértices también se encuentran en un vértice de un cubo. ^[bt] Los octaedros comparten volumen no sólo con los cubos, sino también con los tetraedros inscritos en ellos; por lo tanto, los teseractos de 24 celdas y los de 16 celdas comparten algún volumen límite. ^[bs]

Esta matriz de configuración ^[34] representa las 24 celdas. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números diagonales indican cuántos elementos de cada tipo se encuentran en las 24 celdas. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en su interior.

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}24&8&12&6\\2&96&3&3\\3&3&96&2\\6&12&8&24\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$$

Dado que la celda de 24 es autodual, su matriz es idéntica a su rotación de 180 grados.

Los 24 vectores raíz del sistema raíz D ₄ del grupo de Lie simple SO(8) forman los vértices de un sistema de 24 celdas. Los vértices se pueden ver en 3 hiperplanos , ^[av] con los 6 vértices de una celda octaédrica en cada uno de los hiperplanos externos y 12 vértices de un cuboctaedro en un hiperplano central. Estos vértices, combinados con los 8 vértices del sistema de 16 celdas , representan los 32 vectores raíz de los grupos de Lie simples B ₄ y C _{4 .}

Los 48 vértices (o estrictamente hablando sus radios vectores) de la unión de la celda de 24 y su dual forman el sistema raíz de tipo F ₄ . ^[36] Los 24 vértices de la celda original de 24 forman un sistema raíz de tipo D ₄ ; su tamaño tiene la relación √ 2 :1. Esto también es cierto para los 24 vértices de su dual. El grupo de simetría completo de la celda de 24 es el grupo de Weyl de F ₄ , que se genera por reflexiones a través de los hiperplanos ortogonales a las raíces de F ₄ . Este es un grupo resoluble de orden 1152. El grupo de simetría rotacional de la celda de 24 es de orden 576.

Cuando se interpreta como los cuaterniones , ^[k] la red de raíces F ₄ (que es el espacio integral de los vértices de las 24 celdas) está cerrada bajo multiplicación y, por lo tanto, es un anillo . Este es el anillo de cuaterniones integrales de Hurwitz . Los vértices de las 24 celdas forman el grupo de unidades (es decir, el grupo de elementos invertibles) en el anillo de cuaterniones de Hurwitz (este grupo también se conoce como el grupo tetraédrico binario ). Los vértices de las 24 celdas son precisamente los 24 cuaterniones de Hurwitz con norma al cuadrado 1, y los vértices de las 24 celdas duales son aquellos con norma al cuadrado 2. La red de raíces D ₄ es la dual de F ₄ y está dada por el subanillo de cuaterniones de Hurwitz con norma par al cuadrado. ^[38]

Consideradas como los 24 cuaterniones de Hurwitz unitarios , las coordenadas del radio unitario de las 24 celdas representan (en pares antípodas) las 12 rotaciones de un tetraedro regular. ^[39]

Los vértices de otros 4-politopos regulares convexos también forman grupos multiplicativos de cuaterniones, pero pocos de ellos generan una red de raíces. ^[40]

Las celdas de Voronoi de la red de raíces D ₄ son celdas regulares de 24 celdas. La teselación de Voronoi correspondiente da la teselación del espacio euclidiano de 4 dimensiones por celdas regulares de 24 celdas, el panal de abeja de 24 celdas . Las 24 celdas están centradas en los puntos de la red D ₄ (cuaterniones de Hurwitz con norma par al cuadrado) mientras que los vértices están en los puntos de la red F ₄ con norma impar al cuadrado. Cada celda de 24 de esta teselación tiene 24 vecinos. Con cada uno de ellos comparte un octaedro. También tiene otros 24 vecinos con los que comparte solo un vértice. Ocho celdas de 24 se encuentran en cualquier vértice dado en esta teselación. El símbolo de Schläfli para esta teselación es {3,4,3,3}. Es una de las tres únicas teselaciones regulares de R ⁴ .

Las bolas unitarias inscritas en las 24 celdas de esta teselación dan lugar al empaquetamiento reticular de hiperesferas más denso conocido en 4 dimensiones. También se ha demostrado que la configuración de vértices de las 24 celdas da el mayor número de besos posible en 4 dimensiones .

La teselación dual del panal de 24 celdas {3,4,3,3} es el panal de 16 celdas {3,3,4,3} . La tercera teselación regular del espacio de cuatro dimensiones es el panal teseractico {4,3,3,4} , cuyos vértices pueden describirse mediante coordenadas cartesianas de 4 enteros. ^[k] Las relaciones congruentes entre estas tres teselaciones pueden ser útiles para visualizar el panal de 24 celdas, en particular la simetría equilátera radial que comparte con el teseracto. ^[b]

Un panal de abejas de 24 celdas de longitud de arista unitaria puede superponerse a un panal de abejas de teseractos de longitud de arista unitaria de manera que cada vértice de un teseracto (cada coordenada de 4 enteros) sea también el vértice de una celda de 24 (y las aristas de un teseracto sean también aristas de 24 celdas), y cada centro de una celda de 24 sea también el centro de un teseracto. ^[41] Las 24 celdas son el doble de grandes que los teseractos por contenido de 4 dimensiones (hipervolumen), por lo que en general hay dos teseractos por cada 24 celdas, de los cuales solo la mitad están inscritos en una celda de 24. Si esos teseractos se colorean de negro y sus teseractos adyacentes (con los que comparten una faceta cúbica) se colorean de rojo, resulta un tablero de ajedrez de 4 dimensiones. ^[42] De los 24 radios de centro a vértice ^[bu] de cada celda de 24, 16 son también los radios de un teseracto negro inscrito en la celda de 24. Los otros 8 radios se extienden fuera del teseracto negro (a través de los centros de sus facetas cúbicas) hasta los centros de los 8 teseractos rojos adyacentes. Por lo tanto, el panal de 24 celdas y el panal teseractico coinciden de una manera especial: 8 de los 24 vértices de cada celda de 24 no ocurren en un vértice de un teseracto (ocurren en su lugar en el centro de un teseracto). Cada teseracto negro se corta de una celda de 24 truncándolo en estos 8 vértices, cortando 8 pirámides cúbicas (como en la construcción inversa de Gosset, ^[23] pero en lugar de eliminarlas, las pirámides simplemente se colorean de rojo y se dejan en su lugar). Ocho celdas de 24 elementos se encuentran en el centro de cada teseracto rojo: cada una se encuentra con su opuesto en ese vértice compartido, y las otras seis en una celda octaédrica compartida.

Los teseractos rojos son celdas rellenas (contienen un vértice central y radios); los teseractos negros son celdas vacías. El conjunto de vértices de esta unión de dos panales incluye los vértices de todas las 24 celdas y teseractos, más los centros de los teseractos rojos. Al sumar los centros de las 24 celdas (que también son los centros de los teseractos negros) a este panal, se obtiene un panal de 16 celdas, cuyo conjunto de vértices incluye todos los vértices y centros de todas las 24 celdas y teseractos. Los centros anteriormente vacíos de las 24 celdas adyacentes se convierten en los vértices opuestos de un panal de 16 celdas con una longitud de arista unitaria. 24 medias celdas de 16 elementos (pirámides octaédricas) se unen en cada centro anteriormente vacío para llenar cada celda de 24 elementos, y sus bases octaédricas son las facetas octaédricas de 6 vértices de las 24 celdas (compartidas con una celda de 24 elementos adyacente). ^[bv]

Obsérvese la ausencia total de pentágonos en cualquier parte de esta unión de tres panales. Al igual que el espacio euclidiano de 24 celdas y 4 dimensiones, está completamente lleno por un complejo de todos los politopos que se pueden construir a partir de triángulos y cuadrados regulares (excepto el de 5 celdas), pero ese complejo no requiere (ni permite) ninguno de los politopos pentagonales. ^[c]

Los 4-politopos convexos regulares son una expresión de su simetría subyacente , conocida como SO(4) , el grupo de rotaciones ^[43] alrededor de un punto fijo en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. ^[por]

Hay tres orientaciones distintas del panal teseractico que podrían hacerse coincidir con el panal de 24 celdas, dependiendo de cuál de los tres conjuntos disjuntos de 8 vértices ortogonales de las 24 celdas (qué conjunto de 4 ejes perpendiculares, o equivalentemente, qué base inscrita de 16 celdas) ^[n] se eligió para alinearlo, al igual que tres teseractos pueden inscribirse en las 24 celdas, rotados uno con respecto al otro. ^[t] La distancia de una de estas orientaciones a otra es una rotación isoclínica de 60 grados (una rotación doble de 60 grados en cada par de planos invariantes ortogonales, alrededor de un único punto fijo). ^[bz] Esta rotación se puede ver más claramente en los planos centrales hexagonales, donde cada hexágono rota para cambiar cuál de sus tres diámetros está alineado con un eje del sistema de coordenadas. ^[o]

Las rotaciones en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones pueden verse como la composición de dos rotaciones bidimensionales en planos completamente ortogonales. ^[45] Por lo tanto, la rotación general en el espacio de cuatro dimensiones es una rotación doble . ^[46] Hay dos casos especiales importantes, llamados rotación simple y rotación isoclínica . ^[ce]

En tres dimensiones, un poliedro giratorio tiene un único plano central de rotación invariante . El plano es un conjunto invariante porque cada punto del plano se mueve en un círculo pero permanece dentro del plano. Solo uno de los planos centrales de un poliedro puede ser invariante durante una rotación particular; la elección del plano central invariante y la distancia angular y la dirección en la que se gira especifican completamente la rotación. Los puntos fuera del plano invariante también se mueven en círculos (a menos que estén en el eje fijo de rotación perpendicular al plano invariante), pero los círculos no se encuentran dentro de un plano central.

Cuando un politopo de 4 celdas está rotando con un solo plano central invariante, está ocurriendo el mismo tipo de rotación simple que ocurre en 3 dimensiones. Una diferencia es que en lugar de un eje fijo de rotación, hay un plano central fijo completo en el que los puntos no se mueven. El plano fijo es el único plano central que es completamente ortogonal al plano invariante de rotación. En el politopo de 24 celdas, hay una rotación simple que llevará cualquier vértice directamente a cualquier otro vértice, moviendo también la mayoría de los otros vértices pero dejando al menos 2 y como máximo 6 vértices fijos (los vértices que el plano central fijo interseca). El vértice se mueve a lo largo de un gran círculo en el plano invariante de rotación entre vértices adyacentes de un gran hexágono, un gran cuadrado o un gran digón , y el plano fijo completamente ortogonal es un digón, un cuadrado o un hexágono, respectivamente. ^[az]

Los puntos en el plano central completamente ortogonal no están obligados a ser fijos. También es posible que roten en círculos, como un segundo plano invariante, a una velocidad independiente de la rotación del primer plano invariante: una doble rotación en dos planos de rotación perpendiculares no intersecantes ^[h] a la vez. ^[cc] En una doble rotación no hay un plano o eje fijo: cada punto se mueve excepto el punto central. La distancia angular rotada puede ser diferente en los dos planos centrales completamente ortogonales, pero siempre son ambos invariantes: sus puntos en movimiento circular permanecen dentro del plano mientras todo el plano se inclina lateralmente en la rotación completamente ortogonal. Una rotación en el espacio 4 siempre tiene (al menos) dos planos de rotación invariantes completamente ortogonales, aunque en una rotación simple el ángulo de rotación en uno de ellos es 0.

Las rotaciones dobles se presentan en dos formas quirales : rotaciones hacia la izquierda y hacia la derecha . ^[cf] En una rotación doble, cada vértice se mueve en espiral a lo largo de dos círculos máximos ortogonales a la vez. ^{[ca] O bien el camino} tiene rosca a la derecha (como la mayoría de los tornillos y pernos), moviéndose a lo largo de los círculos en las "mismas" direcciones, o tiene rosca a la izquierda (como un perno con rosca inversa), moviéndose a lo largo de los círculos en lo que convencionalmente llamamos direcciones "opuestas" (de acuerdo con la regla de la mano derecha por la que convencionalmente decimos qué lado está "arriba" en cada uno de los 4 ejes de coordenadas). ^[48]

En rotaciones dobles de la celda de 24 que llevan vértices a vértices, un plano invariante de rotación contiene un gran hexágono, un gran cuadrado o sólo un eje (dos vértices, un gran digón). El plano invariante de rotación completamente ortogonal contendrá necesariamente un gran digón, un gran cuadrado o un gran hexágono, respectivamente. La selección de un plano invariante de rotación, una dirección y un ángulo de rotación a través de los cuales rotarlo, y una dirección y un ángulo de rotación a través de los cuales rotar su plano completamente ortogonal, determina completamente la naturaleza del desplazamiento rotacional. En la celda de 24 hay varios tipos notables de rotación doble permitidos por estos parámetros. ^[49]

Cuando los ángulos de rotación en los dos planos invariantes son exactamente los mismos, se produce una transformación notablemente simétrica : ^[50] todos los planos de círculo máximo paralelos de Clifford ^[af] a los planos invariantes se convierten en planos invariantes de rotación ellos mismos, a través de ese mismo ángulo, y el 4-politopo gira isoclínicamente en muchas direcciones a la vez. ^[51] Cada vértice se mueve una distancia igual en cuatro direcciones ortogonales al mismo tiempo. ^[m] En el plano de 24 celdas, cualquier rotación isoclínica a través de 60 grados en un plano hexagonal lleva cada vértice a un vértice a dos longitudes de arista de distancia, gira los 16 hexágonos 60 grados y lleva cada polígono de círculo máximo (cuadrado, ^[un] hexágono o triángulo) a un polígono de círculo máximo paralelo de Clifford del mismo tipo a 120 grados de distancia. Una rotación isoclínica también se llama desplazamiento de Clifford , en honor a su descubridor . ^[bz]

La célula de 24 en la animación de doble rotación parece darse vuelta al revés. ^[ci] Parece que lo hace, porque en realidad lo hace, invirtiendo la quiralidad de todo el politopo de 4, de la misma manera que el espejo de su baño invierte la quiralidad de su imagen mediante un reflejo de 180 grados. Cada rotación isoclínica de 360 ​​grados es como si la superficie de 24 células hubiera sido desprendida como un guante y dada vuelta al revés, convirtiendo un guante de mano derecha en un guante de mano izquierda (o viceversa). ^[52]

En una rotación simple de la celda de 24 en un plano hexagonal, cada vértice en el plano rota primero a lo largo de un borde hacia un vértice adyacente a 60 grados de distancia. Pero en una rotación isoclínica en dos planos completamente ortogonales, uno de los cuales es un gran hexágono, ^[az] cada vértice rota primero hacia un vértice a dos longitudes de borde de distancia ( √ 3 y 120° de distancia). Las geodésicas helicoidales de la doble rotación de 60 grados pasan por cada uno de los otros vértices, sin tocar los vértices intermedios. ^[s] Cada cuerda √ 3 ^{de la geodésica helicoidal [cp]} cruza entre dos planos centrales de hexágonos paralelos de Clifford y se encuentra en otro plano central de hexágono que los interseca a ambos. ^[cu] Las cuerdas √ 3 se encuentran en un ángulo de 60°, pero como se encuentran en planos diferentes, forman una hélice, no un triángulo. Tres cuerdas de √ 3 y una rotación de 360° llevan al vértice a un vértice adyacente, no de regreso a sí mismo. La hélice de cuerdas de √ 3 se cierra en un bucle solo después de seis cuerdas de √ 3 : una rotación de 720° dos veces alrededor de las 24 celdas ^[cb] en un hexagrama oblicuo con aristas de √ 3. ^[ct] Aunque los 24 vértices y todos los hexágonos giran a la vez, una rotación isoclínica de 360 ​​grados mueve cada vértice solo la mitad de su circuito. Después de 360 ​​grados, cada hélice se ha alejado de 3 vértices y ha llegado a un cuarto vértice adyacente al vértice original, pero no ha regresado exactamente al vértice del que se apartó. Cada plano central (cada hexágono o cuadrado en las 24 celdas) ha rotado 360 grados y se ha inclinado lateralmente 360 ​​grados hasta su posición original (como una moneda que se lanza dos veces), pero la orientación de las 24 celdas en el espacio de 4 en el que están insertas ahora es diferente. ^[54] Debido a que las 24 celdas ahora están al revés, si la rotación isoclínica continúa en la misma dirección a través de otros 360 grados, los 24 vértices en movimiento pasarán por la otra mitad de los vértices que se pasaron por alto en la primera revolución (los 12 vértices antípodas de los 12 que se tocaron la primera vez), y cada geodésica isoclínica llegará de regreso al vértice del que partió, formando un bucle helicoidal cerrado de seis cuerdas. Se necesita una rotación isoclínica de 720 grados para que cada geodésica hexagrama2 complete un circuito a través de cada segundo vértice de sus seis vértices enrollandoalrededor de las 24 celdas dos veces, devolviendo las 24 celdas a su orientación quiral original. ^[dc]

El camino sinuoso hexagonal que toma cada vértice al dar dos vueltas alrededor de las 24 celdas forma una doble hélice doblada en un anillo de Möbius , de modo que las dos hebras de la doble hélice forman una sola hebra continua en un bucle cerrado. ^[cw] En la primera revolución, el vértice atraviesa una hebra de 3 cuerdas de la doble hélice; en la segunda revolución, atraviesa la segunda hebra de 3 cuerdas, moviéndose en la misma dirección de rotación con la misma lateralidad (doblándose hacia la izquierda o hacia la derecha) en todo momento. Aunque este anillo de Möbius isoclínico es una espiral cerrada, no un círculo bidimensional, al igual que un círculo máximo es una geodésica porque es el camino más corto de vértice a vértice. ^[at]

Dos planos también se llaman isoclínicos si una rotación isoclínica los unirá. ^[aw] Los planos isoclínicos son precisamente aquellos planos centrales con grandes círculos geodésicos paralelos de Clifford. ^[56] Los grandes círculos paralelos de Clifford no se intersecan, ^[af] por lo que los polígonos de gran círculo isoclínicos tienen vértices disjuntos. En las 24 celdas, cada plano central hexagonal es isoclínico con otros tres, y cada plano central cuadrado es isoclínico con otros cinco. Podemos elegir 4 grandes hexágonos mutuamente isoclínicos (paralelos de Clifford) (de cuatro formas diferentes) que cubran los 24 vértices de las 24 celdas solo una vez (una fibración hexagonal). ^[ak] Podemos elegir 6 grandes cuadrados mutuamente isoclínicos (paralelos de Clifford) ^[ck] (de tres formas diferentes) que cubran los 24 vértices de las 24 celdas solo una vez (una fibración cuadrada). ^[aq] Toda rotación isoclínica que lleva vértices a vértices corresponde a una fibración discreta. ^[dg]

Los polígonos bidimensionales de círculo máximo no son los únicos politopos en el sistema de 24 celdas que son paralelos en el sentido de Clifford. ^[58] Se puede decir que los politopos congruentes de 2, 3 o 4 dimensiones son paralelos de Clifford en 4 dimensiones si sus vértices correspondientes están todos a la misma distancia. Las tres celdas de 16 inscritas en el sistema de 24 celdas son paralelas de Clifford. Los politopos paralelos de Clifford son politopos completamente disjuntos . ^[w] Una rotación isoclínica de 60 grados en planos hexagonales lleva cada celda de 16 a una celda de 16 disjunta. Como todas las rotaciones dobles, las rotaciones isoclínicas vienen en dos formas quirales : hay una celda de 16 disjunta a la izquierda de cada celda de 16 y otra a su derecha . ^[y]

Todos los politopos de 4 paralelos de Clifford están relacionados por una rotación isoclínica, ^[bz] pero no todos los politopos isoclínicos son paralelos de Clifford (completamente disjuntos). ^[dh] Las tres celdas de 8 en el politopo de 24 celdas son isoclínicas pero no paralelas de Clifford. Al igual que las de 16 celdas, están rotadas 60 grados isoclínicamente entre sí, pero sus vértices no son todos disjuntos (y por lo tanto no todos equidistantes). Cada vértice se encuentra en dos de las tres celdas de 8 (como cada celda de 16 celdas se encuentra en dos de las tres celdas de 8). ^[t]

Las rotaciones isoclínicas relacionan los 4-politopos regulares convexos entre sí. Una rotación isoclínica de un único 16-cell generará ^[di] un 24-cell. Una rotación simple de un único 16-cell no lo hará, porque sus vértices no alcanzarán ninguno de los otros dos 16-cells en el curso de la rotación. Una rotación isoclínica del 24-cell generará el 600-cell, y una rotación isoclínica del 600-cell generará el 120-cell. (O todos ellos pueden ser generados directamente por una rotación isoclínica del 16-cell, generando copias isoclínicas de sí mismo.) Los 4-politopos regulares convexos se anidan uno dentro del otro, y se esconden uno al lado del otro en los espacios paralelos de Clifford que componen la 3-esfera. ^[59] Para un objeto de más de una dimensión, la única forma de alcanzar estos subespacios paralelos directamente es por rotación isoclínica. ^[DJ]

En el conjunto de 24 celdas hay conjuntos de anillos de seis tipos diferentes, que se describen en detalle por separado en otras secciones de este artículo. En esta sección se describe cómo se entrelazan los diferentes tipos de anillos.

Las 24 celdas contienen cuatro tipos de fibras geodésicas (anillos poligonales que pasan por los vértices): cuadrados de círculo máximo y sus octagramas de hélice isoclínicas , ^[aq] y hexágonos de círculo máximo y sus hexagramas de hélice isoclínicas. ^[ak] También contiene dos tipos de anillos de celdas (cadenas de octaedros doblados en un anillo en la cuarta dimensión): cuatro octaedros conectados vértice con vértice y doblados en un cuadrado, y seis octaedros conectados cara con cara y doblados en un hexágono.

Cuatro octaedros de arista unitaria pueden conectarse vértice con vértice a lo largo de un eje común de longitud 4 √ 2 . Luego, el eje puede doblarse hasta formar un cuadrado de arista de longitud √ 2 . Aunque es posible hacer esto en un espacio de solo tres dimensiones, no es así como ocurre en el sistema de 24 celdas. Aunque los ejes √ 2 de los cuatro octaedros ocupan el mismo plano, formando uno de los 18 √ 2 grandes cuadrados del sistema de 24 celdas, cada octaedro ocupa un hiperplano tridimensional diferente, ^[dk] y se utilizan las cuatro dimensiones. El sistema de 24 celdas puede dividirse en 6 anillos de 4 celdas (de tres formas diferentes), interconectados entre sí como eslabones adyacentes de una cadena (pero todos estos eslabones tienen un centro común). Una rotación isoclínica en el plano del gran cuadrado por un múltiplo de 90° convierte cada octaedro del anillo en un octaedro del anillo.

Se pueden conectar seis octaedros regulares cara a cara a lo largo de un eje común que pasa por sus centros de volumen, formando una pila o columna con solo caras triangulares. En un espacio de cuatro dimensiones, el eje puede doblarse 60° en la cuarta dimensión en cada uno de los seis centros del octaedro, en un plano ortogonal a los tres planos centrales ortogonales de cada octaedro, de modo que las caras triangulares superior e inferior de la columna coincidan. La columna se convierte en un anillo alrededor de un eje hexagonal. Las 24 celdas se pueden dividir en 4 anillos de este tipo (de cuatro formas diferentes), interconectados entre sí. Debido a que el eje hexagonal une los centros de las celdas (no los vértices), no es un gran hexágono de las 24 celdas. ^[dn] Sin embargo, se pueden encontrar seis grandes hexágonos en el anillo de seis octaedros, que recorren los bordes de los octaedros. En la columna de seis octaedros (antes de que se doble en un anillo) hay seis trayectorias espirales a lo largo de los bordes que recorren la columna: tres hélices paralelas que giran en espiral en el sentido de las agujas del reloj y tres hélices paralelas que giran en espiral en el sentido contrario a las agujas del reloj. Cada hélice en el sentido de las agujas del reloj interseca a cada hélice en el sentido contrario a las agujas del reloj en dos vértices separados por tres longitudes de arista. Al doblar la columna en un anillo, estas hélices se transforman en hexágonos de círculo máximo. ^[dl] El anillo tiene dos conjuntos de tres hexágonos grandes, cada uno en tres círculos máximos paralelos de Clifford. ^[dp] Los hexágonos grandes en cada conjunto paralelo de tres no se intersecan, pero cada uno interseca a los otros tres hexágonos grandes (a los que no es paralelo de Clifford) en dos vértices antípodas.

Una rotación simple en cualquiera de los planos de los grandes hexágonos por un múltiplo de 60° hace rotar únicamente ese hexágono de manera invariable, llevando cada vértice de ese hexágono a un vértice del mismo hexágono. Una rotación isoclínica de 60° en cualquiera de los seis planos de los grandes hexágonos hace rotar los tres grandes hexágonos paralelos de Clifford de manera invariable, y lleva cada octaedro del anillo a un octaedro no adyacente del anillo. ^[dr]

Cada octaedro desplazado isoclínicamente también se rota a sí mismo. Después de una rotación isoclínica de 360°, cada octaedro vuelve a la misma posición, pero con una orientación diferente. En una rotación isoclínica de 720°, sus vértices vuelven a su orientación original .

Cuatro grandes hexágonos paralelos de Clifford comprenden un haz de fibras discreto que cubre los 24 vértices de una fibración de Hopf . Cuatro anillos de 6 celdas disjuntos entre sí comprenden la misma fibración discreta. El de 24 celdas tiene cuatro de esas fibraciones hexagonales discretas, y cada una es el dominio (contenedor) de un par único de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha (haces de fibras de Hopf izquierdo y derecho). Cada gran hexágono pertenece a una sola fibración, ^[61] pero cada anillo de 6 celdas pertenece a tres fibraciones. El de 24 celdas contiene 16 grandes hexágonos, divididos entre cuatro fibraciones, cada una de las cuales es un conjunto de cuatro anillos de 6 celdas, pero el de 24 celdas tiene solo cuatro anillos de 6 celdas distintos. Cada anillo de 6 celdas contiene 3 de los grandes hexágonos en cada una de las tres fibraciones: solo 3 de los 4 hexágonos paralelos de Clifford de cada una de las tres fibraciones, y solo 18 de los 24 vértices. ^{[español:es]}

Otro tipo de fibra geodésica, las isoclinas helicoidales del hexagrama, se pueden encontrar dentro de un anillo de 6 celdas de octaedros. Cada una de estas geodésicas pasa por cada segundo vértice de un hexagrama oblicuo ₂ , que en el hexagrama de 24 celdas con radio unitario y longitud de arista unitaria tiene seis aristas de √ 3 . El hexagrama no se encuentra en un único plano central, sino que está compuesto por seis cuerdas √ 3 enlazadas de los seis círculos máximos hexagonales diferentes en el anillo de 6 celdas. La fibra geodésica isoclina es la trayectoria de una rotación isoclínica, ^[en] una trayectoria helicoidal en lugar de simplemente circular alrededor de las 24 celdas que vincula vértices separados por dos longitudes de arista y, en consecuencia, debe rodear dos veces las 24 celdas antes de completar su bucle de seis vértices. ^[cl] En lugar de un hexágono plano, forma un hexagrama oblicuo a partir de dos semibucles de 360 ​​grados de tres lados: triángulos abiertos unidos por los extremos entre sí en un bucle de Möbius de seis lados. ^[cw]

Cada anillo de 6 celdas contiene seis isoclinas de hexagrama, tres negras y tres blancas, que conectan vértices pares e impares respectivamente. ^[do] Cada uno de los tres pares de isoclinas negras y blancas pertenece a una de las tres fibraciones en las que se encuentra el anillo de 6 celdas. La rotación hacia la derecha (o hacia la izquierda) de cada fibración atraviesa dos isoclinas negras y dos isoclinas blancas en paralelo, rotando los 24 vértices. ^[s]

Partiendo de cualquier vértice en un extremo de la columna de seis octaedros, podemos seguir un camino isoclínico de √ 3 cuerdas de una isoclina de octaedro a octaedro. En el modelo de 24 celdas, las aristas √ 1 son aristas de grandes hexágonos (y aristas de octaedros); en la columna de seis octaedros vemos seis grandes hexágonos que recorren las aristas de los octaedros. Las √ 3 cuerdas son diagonales de grandes hexágonos que unen los vértices de grandes hexágonos separados por dos aristas √ 1. Las encontramos en el anillo de seis octaedros que va de un vértice de un octaedro a un vértice del siguiente octaedro, pasando por la cara compartida por los dos octaedros (pero sin tocar ninguno de los 3 vértices de la cara). Cada cuerda √ 3 es una cuerda de un solo gran hexágono (una arista de un gran triángulo inscrito en ese gran hexágono), pero las cuerdas √ 3 sucesivas pertenecen a diferentes grandes hexágonos. ^[cu] En cada vértice, el camino isoclínico de las cuerdas √ 3 se dobla 60 grados en dos planos centrales ^[ds] a la vez: 60 grados alrededor del gran hexágono al que pertenece la cuerda antes del vértice, y 60 grados en el plano de un gran hexágono completamente diferente, al que pertenece la cuerda después del vértice. ^[dv] Así, el camino sigue un gran hexágono desde cada octaedro al siguiente, pero cambia a otro de los seis grandes hexágonos en el siguiente enlace del camino del hexagrama ₂ . Siguiendo la columna de seis octaedros (y "alrededor del final" donde la columna se dobla en un anillo), el camino puede parecer al principio que zigzaguea entre tres planos centrales hexagonales paralelos adyacentes (como un polígono de Petrie ), pero no es así: cualquier camino isoclínico que podamos distinguir siempre zigzaguea entre dos conjuntos de tres planos centrales hexagonales paralelos adyacentes, intersectando solo cada vértice par (o impar) y nunca cambiando su paridad inherente par/impar, mientras visita los seis grandes hexágonos en el anillo de 6 celdas en rotación. ^[cg] Cuando ha atravesado una cuerda de cada uno de los seis grandes hexágonos, después de 720 grados de rotación isoclínica (ya sea hacia la izquierda o hacia la derecha), cierra su hexagrama oblicuo y comienza a repetirse, dando vueltas nuevamente a través de los vértices y celdas negras (o blancas).

En cada vértice, hay cuatro grandes hexágonos ^[dx] y cuatro isoclinas de hexagrama (todas negras o todas blancas) que se cruzan en el vértice. ^[dy] Cuatro isoclinas de hexagrama (dos negras y dos blancas) comprenden un haz de fibras único (izquierdo o derecho) de isoclinas que cubre los 24 vértices en cada rotación isoclínica distinta (izquierda o derecha). Cada fibración tiene una rotación isoclínica izquierda y derecha única, y haces de fibras de isoclinas izquierdo y derecho únicos correspondientes. ^[dz] Hay 16 isoclinas de hexagrama distintas en las 24 celdas (8 negras y 8 blancas). ^[ea] Cada isoclina es un polígono de Clifford oblicuo sin quiralidad inherente, pero actúa como una isoclina izquierda (o derecha) cuando es atravesada por una rotación izquierda (o derecha) en diferentes fibraciones. ^[cl]

El conjunto de 24 celdas contiene 18 isoclinas octagonales helicoidales (9 negras y 9 blancas). En cada una de las tres celdas inscritas de 16 celdas se encuentran tres pares de hélices de arista octagonal, descritas en otra parte como la construcción helicoidal del conjunto de 16 celdas . En resumen, cada celda de 16 celdas se puede descomponer (de tres maneras diferentes) en un par de anillos de 8 celdas de izquierda a derecha de celdas tetraédricas de √ 2 aristas. Cada anillo de 8 celdas gira hacia la izquierda o hacia la derecha alrededor de una hélice octagonal axial de ocho cuerdas. En cada celda de 16 celdas hay exactamente 6 hélices distintas, octagramas idénticos que giran cada uno a través de los ocho vértices. Cada uno actúa como una hélice izquierda o una hélice derecha o un polígono de Petrie en cada una de las seis rotaciones isoclínicas distintas (tres izquierdas y tres derechas), y no tiene quiralidad inherente excepto con respecto a una rotación particular. Los vértices adyacentes en las isoclinas del octagrama están separados por una distancia de √ 2 = 90°, por lo que la circunferencia de la isoclina es 4𝝅. Una rotación isoclínica de 90° en planos invariantes del gran cuadrado lleva cada vértice a su vértice antípoda, a cuatro vértices de distancia en cualquier dirección a lo largo de la isoclina, y a una distancia de √ 4 = 180° a través del diámetro de la isoclina.

Cada una de las 3 fibraciones de los 18 grandes cuadrados de las 24 celdas corresponde a una rotación isoclínica izquierda (y derecha) distinta en planos invariantes de grandes cuadrados. Cada paso de 60° de la rotación lleva 6 grandes cuadrados disjuntos (2 de cada 16 celdas) a grandes cuadrados en una celda vecina de 16 celdas, en isoclinas helicoidales de 8 cuerdas características de las 16 celdas . ^[eb]

En el anillo de 24 celdas, estas 18 isoclinas octagonales helicoidales se pueden encontrar dentro de los seis anillos ortogonales de 4 celdas de octaedros. Cada anillo de 4 celdas tiene celdas unidas vértice con vértice alrededor de un eje cuadrado mayor, y encontramos vértices antípodas en vértices opuestos del gran cuadrado. Una cuerda √ 4 (el diámetro del gran cuadrado y de la isoclina) las conecta. Las celdas límite describen cómo los ejes √ 2 de las celdas octaédricas del anillo de 24 celdas son los bordes de las celdas tetraédricas del anillo de 16 celdas, cada tetraedro está inscrito en un cubo (teseracto), y cada octaedro está inscrito en un par de cubos (de diferentes teseractos), uniéndolos. ^[br] Los octaedros unidos por vértices del anillo de 4 celdas también se encuentran en diferentes teseractos. ^{[bh] Las cuatro cuerdas de diámetro} √ 4 de la isoclina forman un octagrama _8{4}=4{2} con aristas √ 4 que van desde el vértice de un cubo y octaedro y tetraedro hasta el vértice de otro cubo y octaedro y tetraedro (en un teseracto diferente), directamente a través del centro de las 24 celdas en uno de los 12 ejes √ 4 .

Los octaedros de los anillos de 4 celdas están unidos por vértices a más de otros dos octaedros, porque tres anillos de 4 celdas (y sus tres grandes cuadrados axiales, que pertenecen a diferentes 16 celdas) se cruzan a 90° en cada vértice de enlace. En ese vértice, el octagrama realiza dos giros en ángulo recto a la vez: 90° alrededor del gran cuadrado y 90° ortogonalmente hacia un anillo de 4 celdas completamente diferente. El arco de cuatro aristas de 180° que une dos extremos de cada cuerda de diámetro √ 4 del octagrama pasa por los volúmenes y vértices opuestos de dos tetraedros √ 2 unidos por caras (en el mismo anillo de 16 celdas), que también son los vértices opuestos de dos octaedros unidos por vértices en diferentes anillos de 4 celdas (y diferentes teseractos). La isoclina del octagrama de 720° atraviesa 8 vértices del anillo de cuatro celdas y los volúmenes de 16 tetraedros. En cada vértice hay tres grandes cuadrados y seis isoclinas del octagrama (tres pares de blanco y negro) que se cruzan en el vértice. ^[ck]

Esta es la rotación característica de las 16 celdas, no la rotación característica de las 24 celdas, y no une las 16 celdas enteras de las 24 celdas entre sí como lo hace la rotación de las 24 celdas en los grandes planos hexagonales. ^[ec]

Cinco formas de mirar una moneda de 24 gramos torcida
Camino del borde	Polígonos de Petrie	En una celda de 600	Fibración discreta	Cuerdas de diámetro
16 celdas 3{3/8}	Dodecágonos 2{12}	24 gramos {24/5}	Cuadrados 6{4}	{24/12}={12/2}
Las tres celdas paralelas de Clifford inscritas de 24 celdas, de 16 celdas, se revelaron como 4-politopos disjuntos de 8 puntos con √ 2 aristas. [eb]	2 polígonos oblicuos de 12 √ 1 aristas cada uno. Los 24 polígonos se pueden descomponer en 2 dodecágonos en zigzag disjuntos (de 4 formas diferentes). [65]	En compuestos de 5 celdas de 24 , las isoclinas con cuerdas áureas de longitud φ = √ 2.𝚽 conectan las 24 celdas en circuitos de 24 cuerdas . [66]	Su rotación isoclínica toma 6 grandes cuadrados paralelos de Clifford (disjuntos) con √ 2 aristas entre sí.	Dos vértices separados por cuatro cuerdas √ 2 en la isoclina circular son vértices antípodas unidos por un eje √ 4 .

Características de las 24 celdas [67]
	borde [68]	arco		diedro [69]
𝒍	${\displaystyle 1}$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$	120°	${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{3}}}$
𝟀	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\approx 0.577}$	45°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$	45°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$
𝝉 [ed]	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}=0.5}$	30°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}}$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
𝟁	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12}}}\approx 0.289}$	30°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}}$	60°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
${\displaystyle _{0}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}$	45°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{1}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}=0.5}$	30°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{2}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}\approx 0.408}$	30°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}}$	90°	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{0}R^{4}/l}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle _{1}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\approx 0.866}$[ch]
${\displaystyle _{2}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\approx 0.816}$
${\displaystyle _{3}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}$

Cada 4-politopo regular tiene su 4-ortosquema característico , un 5-cell irregular . ^[bl] El 5-cell característico del 24-cell regular está representado por el diagrama de Coxeter-Dynkin , que puede leerse como una lista de los ángulos diedros entre sus facetas especulares. ^[ee] Es una pirámide tetraédrica irregular basada en el tetraedro característico del octaedro regular . La pirámide regular de 24 celdas se subdivide por sus hiperplanos de simetría en 1152 instancias de su pirámide característica de 5 celdas que se encuentran todas en su centro. ^[71]

La celda característica de 5 (4-ortosquema) tiene cuatro aristas más que su tetraedro característico de base (3-ortosquema), uniendo los cuatro vértices de la base a su vértice (el quinto vértice del 4-ortosquema, en el centro de la celda regular de 24). ^[ef] Si la celda regular de 24 tiene radio y longitud de arista 𝒍 = 1, las diez aristas de su celda característica de 5 tienen longitudes , , alrededor de su cara exterior de triángulo rectángulo (las aristas opuestas a los ángulos característicos 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^[ed] más , , (las otras tres aristas del 3-ortosquema exterior hacen faceta del tetraedro característico, que son los radios característicos del octaedro), más , , , (aristas que son los radios característicos de la celda regular de 24). La ruta de 4 aristas a lo largo de las aristas ortogonales del ortoesquema es , , , , primero desde un vértice de 24 celdas hasta un centro de arista de 24 celdas, luego gira 90° hasta un centro de cara de 24 celdas, luego gira 90° hasta un centro de celda octaédrica de 24 celdas, luego gira 90° hasta el centro de 24 celdas.${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$

El sistema de 24 celdas puede construirse mediante las reflexiones de su característica celda de 5 en sus propias facetas (sus paredes de espejo tetraédricas). ^{[p. ej.]} Las reflexiones y las rotaciones están relacionadas: una reflexión en un número par de espejos que se intersecan es una rotación. ^[72] En consecuencia, los politopos regulares pueden generarse mediante reflexiones o rotaciones. Por ejemplo, cualquier rotación isoclínica de 720° del sistema de 24 celdas en un plano invariante hexagonal lleva cada uno de los 24 vértices hacia y a través de otros 5 vértices y de regreso a sí mismo, en una isoclina geodésica hexagrama2 oblicua que gira dos veces alrededor de la esfera de 3 en cada segundo vértice del hexagrama. Cualquier conjunto de cuatro pares ortogonales de vértices antípodas (los 8 vértices de una de las tres 16 celdas inscritas) que realicen la mitad de dicha órbita visita 3 * 8 = 24 vértices distintos y genera las 24 celdas secuencialmente en 3 pasos de una única rotación isoclínica de 360°, de la misma manera que cualquier 5 celda característica que se refleja en sus propias paredes de espejo genera los 24 vértices simultáneamente por reflexión.

El rastreo de la órbita de uno de esos vértices de 16 celdas durante la rotación isoclínica de 360° revela más sobre la relación entre reflexiones y rotaciones como operaciones generativas. ^[eh] El vértice sigue una isoclina (un círculo geodésico doblemente curvado) en lugar de cualquiera de los círculos geodésicos de curva simple que son los segmentos del gran círculo sobre cada cuerda de √ 3 de la rotación. ^[cu] La isoclina conecta vértices separados por dos longitudes de arista, pero se curva alejándose de la trayectoria del gran círculo sobre las dos aristas que conectan esos vértices, perdiendo el vértice intermedio. ^[cp] Aunque la isoclina no sigue ningún gran círculo, está contenida dentro de un anillo de otro tipo: en la celda de 24, permanece dentro de un anillo de 6 celdas de celdas octaédricas esféricas ^[74] , interseccionando un vértice en cada celda y pasando por el volumen de dos celdas adyacentes cerca del vértice perdido.

Una operación de simetría es una rotación o reflexión que deja al objeto en la misma orientación, indistinguible de sí mismo antes de la transformación. El modelo de 24 celdas tiene 1152 operaciones de simetría distintas (576 rotaciones y 576 reflexiones). Cada rotación equivale a dos reflexiones, en un par distinto de planos de espejo no paralelos. ^[eh]

Se muestran conjuntos de polígonos circulares máximos disjuntos, cada uno en un plano central distinto del sistema de 24 celdas. Por ejemplo, {24/4}=4{6} es una proyección ortogonal del sistema de 24 celdas que representa 4 de sus [16] planos hexagonales máximos. ^[r] Los 4 planos se encuentran paralelos en el sentido de Clifford al plano de proyección y entre sí, y sus polígonos máximos constituyen colectivamente una fibración de Hopf discreta de 4 círculos máximos que no se intersecan y que visitan los 24 vértices solo una vez.

Cada fila de la tabla describe una clase de rotaciones distintas. Cada clase de rotación lleva los planos izquierdos representados a los planos derechos correspondientes representados. ^[ei] Los vértices de los planos móviles se mueven en paralelo a lo largo de las trayectorias isoclinas poligonales representadas. Por ejemplo, la clase de rotación consta de [32] desplazamientos rotacionales distintos por una distancia de arco de ⁠${\displaystyle [32]R_{q7,q8}}$2𝝅/3⁠ = 120° entre 16 grandes planos hexagonales representados por el grupo de cuaterniones y un conjunto correspondiente de 16 grandes planos hexagonales representados por el grupo de cuaterniones . ^[ek] Una de las [32] rotaciones distintas de esta clase mueve la coordenada del vértice representativa a la coordenada del vértice . ^[el]${\displaystyle q7}$${\displaystyle q8}$${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}})}$

Rotaciones propias del grupo de simetría de 24 celdas F 4 [75]
Isoclina [db]	Clase de rotación [es]				Planos de izquierda [em]${\displaystyle ql}$					Planos derechos${\displaystyle qr}$
{24/8}=4{6/2} [ep] ${\displaystyle ^{q7,q8}}$ [16] 4 {6/2}	${\displaystyle [32]R_{q7,q8}}$[eq]				{24/4}=4{6} [r] ${\displaystyle ^{q7}}$ [16] 2𝝅 {6}	${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$[el]				{24/8}=4{6/2} [er] ${\displaystyle ^{q8}}$ [16] 2𝝅 {6}	${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}})}$
	⁠2𝝅/3⁠	120°	√ 3	1.732~		⁠𝝅/3⁠	60°	√ 1	1		⁠2𝝅/3⁠	120°	√ 3	1.732~
{24/2}=2{12} [y] ${\displaystyle ^{q7,-q8}}$ [16] 4𝝅 {12}	${\displaystyle [32]R_{q7,-q8}}$[Ese]				{24/4}=4{6} ${\displaystyle ^{q7}}$ [16] 2𝝅 {6}	${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$				{24/4}=4{6} ${\displaystyle ^{-q8}}$ [16] 2𝝅 {6}	${\displaystyle (-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$
	⁠𝝅/3⁠	60°	√ 1	1		⁠𝝅/3⁠	60°	√ 1	1		⁠𝝅/3⁠	60°	√ 1	1
{24/1}={24} ${\displaystyle ^{q7,q7}}$ [16] 4𝝅 {1}	${\displaystyle [32]R_{q7,q7}}$[ew]				{24/4}=4{6} ${\displaystyle ^{q7}}$ [16] 2𝝅 {6}	${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$				{24/4}=4{6} ${\displaystyle ^{q7}}$ [16] 2𝝅 {6}	${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$
	2𝝅	360°	√ 0	0		⁠𝝅/3⁠	60°	√ 1	1		⁠𝝅/3⁠	60°	√ 1	1
{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{q7,-q7}}$ [16] 4𝝅 {2}	${\displaystyle [32]R_{q7,-q7}}$[ex]				{24/4}=4{6} ${\displaystyle ^{q7}}$ [16] 2𝝅 {6}	${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$				{24/8}=4{6/2} [er] ${\displaystyle ^{-q7}}$ [16] 2𝝅 {6}	${\displaystyle (-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}})}$
	𝝅	180°	√ 4	2		⁠𝝅/3⁠	60°	√ 1	1		⁠2𝝅/3⁠	120°	√ 3	1.732~
{24/2}=2{12} [y] ${\displaystyle ^{q7,q1}}$ [8] 4𝝅 {12}	${\displaystyle [16]R_{q7,q1}}$[pensión completa]				{24/4}=4{6} ${\displaystyle ^{q7}}$ [8] 2𝝅 {6}	${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$				{24/6}=6{4} [j] ${\displaystyle ^{q1}}$ [8] 2𝝅 {4}	${\displaystyle (1,0,0,0)}$
	⁠𝝅/3⁠	60°	√ 1	1		⁠𝝅/3⁠	60°	√ 1	1		⁠𝝅/2⁠	90°	√ 2	1.414~
{24/8}=4{6/2} [ep] ${\displaystyle ^{q7,-q1}}$ [8] 4 {6/2}	${\displaystyle [16]R_{q7,-q1}}$[es]				{24/4}=4{6} ${\displaystyle ^{q7}}$ [8] 2𝝅 {6}	${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{-q1}}$ [8] 2𝝅 {4}	${\displaystyle (-1,0,0,0)}$
	⁠2𝝅/3⁠	120°	√ 3	1.732~		⁠𝝅/3⁠	60°	√ 1	1		⁠𝝅/2⁠	90°	√ 2	1.414~
{24/1}={24} ${\displaystyle ^{q6,q6}}$ [18] 4𝝅 {1}	${\displaystyle [36]R_{q6,q6}}$[ss]				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{q6}}$ [18] 2𝝅 {4}	${\displaystyle ({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)}$[fh]				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{q6}}$ [18] 2𝝅 {4}	${\displaystyle ({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)}$
	2𝝅	360°	√ 0	0		⁠𝝅/2⁠	90°	√ 2	1.414~		⁠𝝅/2⁠	90°	√ 2	1.414~
{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{q6,-q6}}$ [18] 4𝝅 {2}	${\displaystyle [36]R_{q6,-q6}}$[es]				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{q6}}$ [18] 2𝝅 {4}	${\displaystyle ({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)}$				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{-q6}}$ [18] 2𝝅 {4}	${\displaystyle (-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)}$
	𝝅	180°	√ 4	2		⁠𝝅/2⁠	90°	√ 2	1.414~		⁠𝝅/2⁠	90°	√ 2	1.414~
{24/9}=3{8/3} [no se sabe] ${\displaystyle ^{q6,-q4}}$ [72] 4ª {8/3}	${\displaystyle [144]R_{q6,-q4}}$[fm]				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{q6}}$ [72] 2𝝅 {4}	${\displaystyle ({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)}$				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{-q4}}$ [72] 2𝝅 {4}	${\displaystyle (0,0,-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}})}$
	⁠𝝅/2⁠	90°	√ 2	1.414~		⁠𝝅/2⁠	90°	√ 2	1.414~		𝝅	180°	√ 4	2
{24/1}={24} ${\displaystyle ^{q4,q4}}$ [36] 4𝝅 {1}	${\displaystyle [72]R_{q4,q4}}$[fn]				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{q4}}$ [36] 2𝝅 {4}	${\displaystyle (0,0,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}})}$				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{q4}}$ [36] 2𝝅 {4}	${\displaystyle (0,0,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}})}$
	2𝝅	360°	√ 0	0		⁠𝝅/2⁠	90°	√ 2	1.414~		⁠𝝅/2⁠	90°	√ 2	1.414~
{24/2}=2{12} [y] ${\displaystyle ^{q2,q7}}$ [48] ​​4𝝅 {12}	${\displaystyle [96]R_{q2,q7}}$[para]				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{q2}}$ [48] ​​2𝝅 {4}	${\displaystyle (0,0,0,1)}$				{24/4}=4{6} ${\displaystyle ^{q7}}$ [48] ​​2𝝅 {6}	${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$
	⁠𝝅/3⁠	60°	√ 1	1		⁠𝝅/2⁠	90°	√ 2	1.414~		⁠𝝅/3⁠	60°	√ 1	1
{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{q2,-q2}}$ [9] 4𝝅 {2}	${\displaystyle [18]R_{q2,-q2}}$[fp]				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{q2}}$ [9] 2𝝅 {4}	${\displaystyle (0,0,0,1)}$				{24/6}=6{4} ${\displaystyle ^{-q2}}$ [9] 2𝝅 {4}	${\displaystyle (0,0,0,-1)}$
	𝝅	180°	√ 4	2		⁠𝝅/2⁠	90°	√ 2	1.414~		⁠𝝅/2⁠	90°	√ 2	1.414~
{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{q2,q1}}$ [12] 4𝝅 {2}	${\displaystyle [12]R_{q2,q1}}$[en]				{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{q2}}$ [12] 2𝝅 {2}	${\displaystyle (0,0,0,1)}$				{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{q1}}$ [12] 2𝝅 {2}	${\displaystyle (1,0,0,0)}$
	⁠𝝅/2⁠	90°	√ 2	1.414~		⁠𝝅/2⁠	90°	√ 2	1.414~		⁠𝝅/2⁠	90°	√ 2	1.414~
{24/1}={24} ${\displaystyle ^{q1,q1}}$ [0] 0𝝅 {1}	${\displaystyle [1]R_{q1,q1}}$[fs]				{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{q1}}$ [0] 2𝝅 {2}	${\displaystyle (1,0,0,0)}$				{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{q1}}$ [0] 2𝝅 {2}	${\displaystyle (1,0,0,0)}$
	0	0°	√ 0	0		⁠𝝅/2⁠	90°	√ 2	1.414~		⁠𝝅/2⁠	90°	√ 2	1.414~
{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{q1,-q1}}$ [12] 2𝝅 {2}	${\displaystyle [1]R_{q1,-q1}}$[pie]				{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{q1}}$ [12] 2𝝅 {2}	${\displaystyle (1,0,0,0)}$				{24/12}=12{2} ${\displaystyle ^{-q1}}$ [12] 2𝝅 {2}	${\displaystyle (-1,0,0,0)}$
	𝝅	180°	√ 4	2		⁠𝝅/2⁠	90°	√ 2	1.414~		⁠𝝅/2⁠	90°	√ 2	1.414~

En una clase de rotación, cada grupo de cuaterniones puede ser representativo no solo de su propia fibración de planos paralelos de Clifford ^[ek] sino también de las otras fibraciones congruentes. ^[r] Por ejemplo, la clase de rotación toma los 4 planos hexagonales de a los 4 planos hexagonales de que están a 120° de distancia, en una rotación isoclínica. Pero en una rotación rígida de este tipo, ^[em] todos los [16] planos hexagonales se mueven en desplazamientos rotacionales congruentes, por lo que esta clase de rotación también incluye , y . El nombre es la representación convencional para todos los [16] desplazamientos de planos congruentes.${\displaystyle [d]{R_{ql,qr}}}$${\displaystyle \pm {q_{n}}}$${\displaystyle [4]R_{q7,q8}}$${\displaystyle q7}$${\displaystyle q8}$${\displaystyle [4]R_{-q7,-q8}}$${\displaystyle [4]R_{q8,q7}}$${\displaystyle [4]R_{-q8,-q7}}$${\displaystyle [16]R_{q7,q8}}$

Estas clases de rotación son todas subclases de las cuales [32] tiene desplazamientos rotacionales distintos en lugar de [16] porque hay dos formas quirales de realizar cualquier clase de rotaciones, designadas sus rotaciones a la izquierda y sus rotaciones a la derecha . Los [16] desplazamientos a la izquierda de esta clase no son congruentes con los [16] desplazamientos a la derecha, sino enantiomorfos como un par de zapatos. ^[fu] Cada rotación isoclínica izquierda (o derecha) lleva [16] planos izquierdos a [16] planos derechos, pero los planos izquierdo y derecho se corresponden de manera diferente en las rotaciones izquierda y derecha. Los desplazamientos rotacionales izquierdo y derecho del mismo plano izquierdo lo llevan a diferentes planos derechos.${\displaystyle [32]R_{q7,q8}}$

Cada clase de rotación (fila de la tabla) describe una rotación isoclínica izquierda (y derecha) distinta. Las rotaciones izquierda (o derecha) llevan los planos izquierdos a los planos derechos simultáneamente, ^[cd] a través de un ángulo de rotación característico. ^[aw] Por ejemplo, la rotación mueve todos los [16] planos hexagonales a la vez mediante ⁠${\displaystyle [32]R_{q7,q8}}$2𝝅/3⁠ = 120° cada uno. Repetida 6 veces, esta rotación isoclínica hacia la izquierda (o derecha) mueve cada plano 720° y de regreso a sí mismo en la misma orientación , pasando por los 4 planos del conjunto izquierdo y los 4 planos del conjunto derecho una vez cada uno. ^[ej] La imagen en la columna de isoclinas representa esta unión de los conjuntos de planos izquierdo y derecho. En el ejemplo, se puede ver como un conjunto de 4 hexagramas oblicuo paralelos de Clifford , cada uno con una arista en cada plano del gran hexágono y oblicuo hacia la izquierda (o derecha) en cada vértice a lo largo de la rotación isoclínica izquierda (o derecha). ^[cf]${\displaystyle q7}$${\displaystyle q8}$${\displaystyle [32]R_{q7,q8}}$