24 celdas truncadas

24 celdas	24 celdas truncadas	Bittruncadas de 24 celdas
Diagramas de Schlegel centrados en uno [3,4] (celdas opuestas en [4,3])

En geometría , un politopo truncado de 24 celdas es un politopo uniforme de 4 dimensiones ( politopo uniforme de 4 dimensiones ) formado como el truncamiento del politopo regular de 24 celdas .

Hay dos grados de truncamiento, incluido un truncamiento de bits .

24 celdas truncadas

Diagrama de Schlegel
24 celdas truncadas
Tipo	Politopo 4 uniforme
Símbolos de Schläfli	t{3,4,3} tr{3,3,4}= t{3 ^1,1,1 } = $t\left\{{\begin{array}{l}3\\3,4\end{array}}\right\}$ $t\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}}\right\}$
Diagrama de Coxeter
Células	48	24 4.6.6 24 4.4.4
Caras	240	144 {4} 96 {6}
Bordes	384
Vértices	192
Figura de vértice	pirámide triangular equilátera
Grupo de simetría	F ₄ [3,4,3], orden 1152
Subgrupo de rotación	[3,4,3] ⁺ , orden 576
Subgrupo conmutador	[3 ⁺ ,4,3 ⁺ ], orden 288
Propiedades	convexo
Índice uniforme	23 24 25

El icositetracoron truncado de 24 celdas o icositetracoron truncado es un politopo uniforme de 4 dimensiones (o 4-politopo uniforme ), que está limitado por 48 celdas : 24 cubos y 24 octaedros truncados . Cada vértice une tres octaedros truncados y un cubo, en una figura de vértice de pirámide triangular equilátera .

Construcción

El sistema truncado de 24 celdas se puede construir a partir de politopos con tres grupos de simetría:

F ₄ [3,4,3]: Un truncamiento de las 24 celdas .
B ₄ [3,3,4]: Una cantitruncación de la célula de 16 , con dos familias de células octaédricas truncadas.
D ₄ [3 ^1,1,1 ]: Un omnitruncamiento del demitesseract , con tres familias de células octaédricas truncadas.

Grupo Coxeter	$Estilo de visualización {F}_{4}}$ = [3,4,3]	$Estilo de visualización {C}_{4}}$ = [4,3,3]	$Estilo de visualización {D}_{4}}$ = [3,3 ^1,1 ]
Símbolo de Schläfli	t{3,4,3}	tr{3,3,4}	t{3 ^1,1,1 }
Orden	1152	384	192
Grupo de simetría completa	[3,4,3]	[4,3,3]	<[3,3 ^1,1 ]> = [4,3,3] [3[3 ^1,1,1 ]] = [3,4,3]
Diagrama de Coxeter
Facetas	3: 1:	2: 1: 1:	1,1,1: 1:
Figura de vértice

Zonotopo

También es un zonotopo : puede formarse como la suma de Minkowski de los seis segmentos de línea que conectan pares opuestos entre las doce permutaciones del vector (+1,−1,0,0).

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas de los vértices de una celda truncada de 24 celdas que tiene una longitud de arista sqrt(2) son todas permutaciones de coordenadas y combinaciones de signos de:

(0,1,2,3) [4!×2 ³ = 192 vértices]

La configuración dual tiene coordenadas en todas las permutaciones de coordenadas y signos de

(1,1,1,5) [4×2 ⁴ = 64 vértices]

(1,3,3,3) [4×2 ⁴ = 64 vértices]

(2,2,2,4) [4×2 ⁴ = 64 vértices]

Estructura

Las 24 celdas cúbicas están unidas a través de sus caras cuadradas a los octaedros truncados; y los 24 octaedros truncados están unidos entre sí a través de sus caras hexagonales.

Proyecciones

La proyección paralela del octaedro truncado de 24 celdas en el espacio tridimensional, primero el octaedro truncado, tiene la siguiente disposición:

La envolvente de proyección es un cuboctaedro truncado .
Dos de los octaedros truncados se proyectan sobre un octaedro truncado que se encuentra en el centro de la envoltura.
Seis volúmenes cúbicos unen las caras cuadradas de este octaedro truncado central con el centro de las caras octogonales del gran rombicuboctaedro. Éstas son las imágenes de 12 de las celdas cúbicas, un par de celdas por cada imagen.
Las 12 caras cuadradas del gran rombicuboctaedro son las imágenes de los 12 cubos restantes.
Las 6 caras octogonales del gran rombicuboctaedro son las imágenes de 6 de los octaedros truncados.
Los 8 volúmenes octaédricos truncados (no uniformes) que se encuentran entre las caras hexagonales de la envolvente de proyección y el octaedro truncado central son las imágenes de los 16 octaedros truncados restantes, un par de celdas por cada imagen.

Imágenes

proyecciones ortográficas
Avión Coxeter	F4
Gráfico
Simetría diedral	[12]
Avión Coxeter	B3 / A2 ₍_a )	B3 / A2 ₍_b )
Gráfico
Simetría diedral	[6]	[6]
Avión Coxeter	B4	B2 / _A3
Gráfico
Simetría diedral	[8]	[4]

Diagrama de Schlegel ( celdas cúbicas visibles)	Diagrama de Schlegel 8 de 24 celdas octaédricas truncadas visibles
Proyección estereográfica centrada en el tetraedro truncado

Redes
24 celdas truncadas	Doble a truncado de 24 celdas

Politopos relacionados

La envoltura convexa del policoron truncado de 24 celdas y su dual (asumiendo que son congruentes) es un policoron no uniforme compuesto de 480 celdas: 48 cubos , 144 antiprismas cuadrados , 288 tetraedros (como disfenoides tetragonales) y 384 vértices. Su figura de vértice es una cúpula hexakis triangular .

Figura de vértice

Bittruncadas de 24 celdas

Bittruncadas de 24 celdas
Diagrama de Schlegel , centrado en un cubo truncado, con celdas alternas ocultas
Tipo	Politopo 4 uniforme
Símbolo de Schläfli	2t{3,4,3}
Diagrama de Coxeter
Células	48 ( 3.8.8 )
Caras	336	192 {3} 144 {8}
Bordes	576
Vértices	288
Figura de borde	3.8.8
Figura de vértice	difenoide tetragonal
politopo dual	Disfenoidal de 288 células
Grupo de simetría	Aut (F ₄ ), [[3,4,3]], orden 2304
Propiedades	convexo , isogonal , isotoxal , isocórico
Índice uniforme	26 27 28

El bitruncado de 24 células . 48 células , o tetracontoctachoron es un politopo uniforme de 4 dimensiones (o 4-politopo uniforme ) derivado del de 24 células .

EL Elte lo identificó en 1912 como un politopo semirregular.

Se construye truncando las 24 celdas (truncando a la mitad de la profundidad, lo que daría como resultado las 24 celdas duales ).

Al ser un politopo cuatridimensional uniforme, es transitivo por vértices . Además, es transitivo por celdas , ya que consta de 48 cubos truncados , y también transitivo por aristas , con 3 celdas de cubos truncados por arista y con un triángulo y dos octógonos alrededor de cada arista.

Las 48 celdas del sistema bitruncado de 24 celdas se corresponden con las 24 celdas y los 24 vértices del sistema de 24 celdas. Por lo tanto, los centros de las 48 celdas forman el sistema de raíces del tipo F ₄ .

Su figura de vértice es un difenoide tetragonal , un tetraedro con 2 aristas opuestas de longitud 1 y las 4 aristas laterales de longitud √(2+√2).

Nombres alternativos

Bitruncado de 24 celdas ( Norman W. Johnson )
48 células como 4-politopo transitivo celular
Icositetracoron bitruncado
Polioctaedro bitruncado
Tetracontaoctachoron (continuación) (Jonathan Bowers)

Estructura

Los cubos truncados están unidos entre sí a través de sus caras octogonales en orientación anti ; es decir, dos cubos truncados contiguos se giran 45 grados uno con respecto al otro de modo que ninguna de las caras triangulares comparta una arista.

La secuencia de cubos truncados unidos entre sí por caras octogonales opuestas forma un ciclo de 8. Cada cubo truncado pertenece a 3 de estos ciclos. Por otro lado, la secuencia de cubos truncados unidos entre sí por caras triangulares opuestas forma un ciclo de 6. Cada cubo truncado pertenece a 4 de estos ciclos.

Visto en una matriz de configuración , se muestran todos los recuentos de incidencia entre elementos. Los números del f-vector diagonal se derivan a través de la construcción de Wythoff , dividiendo el orden de grupo completo de un orden de subgrupo eliminando un espejo a la vez. Los bordes existen en 4 posiciones de simetría. Los cuadrados existen en 3 posiciones, los hexágonos en 2 posiciones y los octógonos en una. Finalmente, los 4 tipos de celdas existen centrados en las 4 esquinas del símplex fundamental. ^[1]

F4	k -cara	_por favor	o0	el ₁		el ₂			F3		k -figura	Notas
Un ₁ Un ₁	( )	o0	288	2	2	1	4	1	2	2	s{2,4}	F4 / _A1A1 = ₂₈₈
	{ }	el ₁	2	288	*	1	2	0	2	1	{ }v( )
	{ }	el ₁	2	*	288	0	2	1	1	2	{ }v( )
Un ₂ Un ₁	{3}	el ₂	3	3	0	96	*	*	2	0	{ }	F4 / _A2A1₌ 1152/6/2 ₌ 96
B2	el{4}		8	4	4	*	144	*	1	1		F4 /B2 _{= 1152/8}₌ 144
Un ₂ Un ₁	{3}		3	0	3	*	*	96	0	2		F4 / _A2A1₌ 1152/6/2 ₌ 96
B3	t{4,3}	F3	24	24	12	8	6	0	24	*	( )	F4 /B3 _{= 1152/48}₌ 24
B3	t{4,3}	F3	24	12	24	0	6	8	*	24	( )	F4 /B3 _{= 1152/48}₌ 24

Coordenadas

Las coordenadas cartesianas de un sistema de 24 celdas bitruncado que tiene una longitud de arista de 2 son todas permutaciones de coordenadas y signo de:

(0, 2+√2, 2+√2, 2+2√2)

(1, 1+√2, 1+√2, 3+2√2)

Proyecciones

Proyección a 2 dimensiones

proyecciones ortográficas
Avión Coxeter	F4	B4
Gráfico
Simetría diedral	[[12]] = [24]	[8]
Avión Coxeter	B3 / _A2	B2 / _A3
Gráfico
Simetría diedral	[6]	[[4]] = [8]

Proyección a 3 dimensiones

Ortográfico	Perspectiva
La siguiente animación muestra la proyección ortográfica de los 24 cubos truncados en tres dimensiones. La animación en sí es una proyección en perspectiva de la imagen 3D estática en una 2D, con rotación añadida para hacer más evidente su estructura. Las imágenes de los 48 cubos truncados se presentan de la siguiente manera: El cubo truncado central es la celda más cercana al punto de vista 4D, resaltada para que sea más fácil de ver. Para reducir el desorden visual, se han omitido los vértices y las aristas que se encuentran en este cubo truncado central. Alrededor de este cubo truncado central hay 6 cubos truncados unidos por las caras octogonales y 8 cubos truncados unidos por las caras triangulares. Estas celdas se han hecho transparentes para que la celda central sea visible. Las 6 caras cuadradas exteriores de la envolvente de proyección son las imágenes de otros 6 cubos truncados, y las 12 caras octogonales oblongas de la envolvente de proyección son las imágenes de otros 12 cubos truncados. Las celdas restantes se descartaron porque se encuentran en el lado más alejado de las 24 celdas bitruncadas y están ocultas desde el punto de vista 4D. Entre ellas se encuentra el cubo truncado antípoda, que se habría proyectado en el mismo volumen que el cubo truncado resaltado, con otros 6 cubos truncados que lo rodean unidos mediante caras octogonales y otros 8 cubos truncados que lo rodean unidos mediante caras triangulares.	La siguiente animación muestra la proyección en perspectiva de celdas en primer lugar del modelo de 24 celdas bitruncado en 3 dimensiones. Su estructura es la misma que la animación anterior, excepto que hay un cierto escorzo debido a la proyección en perspectiva.

Proyección estereográfica

Poliedro oblicuo regular relacionado

El poliedro oblicuo regular , {8,4|3}, existe en el espacio 4 con 4 caras octogonales alrededor de cada vértice, en una figura de vértice no plana en zigzag. Estas caras octogonales se pueden ver en la figura de 24 celdas bitruncada, utilizando las 576 aristas y los 288 vértices. Las 192 caras triangulares de la figura de 24 celdas bitruncada se pueden ver eliminadas. El poliedro oblicuo regular dual, {4,8|3}, está relacionado de manera similar con las caras cuadradas de la figura de 24 celdas runcinada .

Disfenoidal de 288 células

Disfenoidal de 288 células
Tipo	policoron perfecto ^[2]
Símbolo	f _1,2 F ₄^[2] (1,0,0,0) _{F ₄} ⊕ (0,0,0,1) _{F ₄}^[3]
Coxeter
Células	288 difénoides tetragonales congruentes
Caras	576 isósceles congruentes (2 aristas cortas)
Bordes	336	192 de longitud 144 de longitud ${\estilo de visualización \estilo de script 1}$ $\scriptstyle {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$
Vértices	48
Figura de vértice	( Triakis octaedro )
Dual	Bittruncadas de 24 celdas
Grupo Coxeter	Aut (F ₄ ), [[3,4,3]], orden 2304
Vector de órbita	(1, 2, 1, 1)
Propiedades	convexo , isocórico

El politopo de 288 celdas es el dual del politopo bitruncado de 24 celdas. Es un politopo de 4 dimensiones (o policorono ) derivado del politopo de 24 celdas . Se construye duplicando y rotando el politopo de 24 celdas y luego construyendo la envoltura convexa .

Al ser el dual de un policoron uniforme, es transitivo a nivel celular y consta de 288 difenoides tetragonales congruentes . Además, es transitivo a nivel de vértice bajo el grupo Aut(F ₄ ). ^[3]

Imágenes

Proyecciones ortogonales
Aviones Coxeter	B2	B3	F4
Disfenoidal de 288 células
Bittruncadas de 24 celdas

Geometría

Los vértices de la celda 288 son precisamente los 24 cuaterniones unitarios de Hurwitz con norma al cuadrado 1, unidos con los 24 vértices de la celda dual 24 con norma al cuadrado 2, proyectados a la esfera unitaria 3. Estos 48 vértices corresponden al grupo octaédrico binario 2O o <2,3,4>, de orden 48.

Así, el de 288 celdas es el único 4-politopo no regular que es la envoltura convexa de un grupo cuaterniónico, sin tener en cuenta los infinitos grupos dicíclicos (igual que el grupo diedro binario); los regulares son el de 24 celdas (≘ 2T o <2,3,3>, orden 24) y el de 600 celdas (≘ 2I o <2,3,5>, orden 120). (El de 16 celdas corresponde al grupo diedro binario 2D ₂ o <2,2,2>, orden 16.)

La 3-esfera inscrita tiene un radio de 1/2+ √ 2 /4 ≈ 0,853553 y toca la celda 288 en los centros de los 288 tetraedros que son los vértices de la celda 24 bitruncada dual.

Los vértices se pueden colorear de dos colores , por ejemplo, rojo y amarillo, con las 24 unidades de Hurwitz en rojo y los 24 duales en amarillo, siendo la celda amarilla de 24 congruente con la roja. Por lo tanto, el producto de dos cuaterniones de igual color es rojo y el producto de dos en colores mezclados es amarillo.

Región	Capa	Latitud	rojo		amarillo
Hemisferio norte	3	1	1	${\estilo de visualización 1}$	0
	2	√ 2 /2	0		6	${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\{\;\;\;1\pm \mathrm {i} ,\;\;\;1\pm \mathrm {j} ,\ ;\;\;1\pm \mathrm {k} \}$
	1	1/2	8	${\tfrac {1}{2}}\{1\pm \mathrm {i} \pm \mathrm {j} \pm \mathrm {k} \}$	0
Ecuador	0	0	6	$\{\pm \mathrm {i} ,\pm \mathrm {j} ,\pm \mathrm {k} \}$	12	${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\{\,\pm \mathrm {i} \pm \mathrm {j} ,\,\pm \mathrm {i} \pm \mathrm { k} ,\,\pm \mathrm {j} \pm \mathrm {k} \}$
Hemisferio sur	–1	–1/2	8	$-{\tfrac {1}{2}}\{1\pm \mathrm {i} \pm \mathrm {j} \pm \mathrm {k} \}$	0
	–2	– √ 2 /2	0		6	${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\{-1\pm \mathrm {i} ,-1\pm \mathrm {j} ,-1\pm \mathrm {k} \}$
	–3	–1	1	${\estilo de visualización -1}$	0
Total			24		24

Colocando un vértice rojo fijo en el polo norte (1,0,0,0), hay 6 vértices amarillos en la siguiente “latitud” más profunda en ( √ 2 /2,x,y,z), seguidos de 8 vértices rojos en la latitud en (1/2,x,y,z). Las coordenadas completas se dan como combinaciones lineales de las unidades cuaterniónicas , que al mismo tiempo pueden tomarse como los elementos del grupo 2O . La siguiente latitud más profunda es el hiperplano del ecuador que interseca la 3-esfera en una 2-esfera que está poblada por 6 vértices rojos y 12 amarillos. $1,\mathrm {i},\mathrm {j},\mathrm {k}$

La capa 2 es una esfera de 2 lados que circunscribe un octaedro regular cuyas aristas tienen una longitud de 1. Un tetraedro con un vértice en el polo norte tiene una de estas aristas como arista larga cuyos 2 vértices están conectados por aristas cortas al polo norte. Otra arista larga va desde el polo norte hacia la capa 1 y 2 aristas cortas desde allí hacia la capa 2 .

Hay 192 aristas largas con longitud 1 que unen colores iguales y 144 aristas cortas con longitud √ 2– √ 2 ≈ 0,765367 que unen colores mezclados. 192*2/48 = 8 de largo y 144*2/48 = 6 cortos, es decir, en conjunto 14 aristas se encuentran en cualquier vértice.

Las 576 caras son isósceles con una arista larga y dos cortas, todas congruentes. Los ángulos en la base son arccos( √ 4+ √ 8 /4) ≈ 49,210°. 576*3/48 = 36 caras se encuentran en un vértice, 576*1/192 = 3 en una arista larga y 576*2/144 = 8 en una corta.

Las 288 celdas son tetraedros con 4 aristas cortas y 2 aristas largas antípodas y perpendiculares, una de las cuales conecta 2 vértices rojos y los otros 2 amarillos. Todas las celdas son congruentes. 288*4/48 = 24 celdas se unen en un vértice. 288*2/192 = 3 celdas se unen en una arista larga, 288*4/144 = 8 en una corta. 288*4/576 = 2 celdas se unen en un triángulo.

Politopos relacionados

D ₄ policora uniforme


{3,3 ^1,1 } h{4,3,3}	2r{3,3 ^1,1 } h3 {4,3,3 _}	t{3,3 ^1,1 } h2 {4,3,3 _}	2t{3,3 _1,1^} h2,3 { 4,3,3}	r{3,3 ^1,1 } {3 ^1,1,1 }={3,4,3}	rr{3,3 ^1,1 } r{3 ^1,1,1 }=r{3,4,3}	tr{3,3 ^1,1 } t{3 ^1,1,1 }=t{3,4,3}	sr{3,3 ^1,1 } s{3 ^1,1,1 }=s{3,4,3}

B ₄ familia de politopos uniformes:

Politopos de simetría B4
Nombre	teseracto	teseracto rectificado	teseracto truncado	teseracto cantelado	teseracto runcinado	teseracto bitruncado	teseracto truncado	teseracto runcitruncado	teseracto omnitruncado
Diagrama de Coxeter		=				=
Símbolo de Schläfli	{4,3,3}	t1 { _4,3,3 } r{4,3,3}	t0,1 {4,3,3} t _{ 4,3,3}	t _0,2 {4,3,3} rr{4,3,3}	t0,3 _{ 4,3,3}	t1,2 {4,3,3} _2t {4,3,3}	t _0,1,2 {4,3,3} tr{4,3,3}	t0,1,3 _{ 4,3,3}	t0,1,2,3 _{ 4,3,3}
Diagrama de Schlegel
B4

Nombre	16 celdas	rectificado de 16 celdas	16 celdas truncadas	cantelado de 16 celdas	Runcinated de 16 celdas	bitruncado de 16 celdas	cantitruncado de 16 celdas	Runcitruncado de 16 celdas	omnitruncado de 16 celdas
Diagrama de Coxeter	=	=	=	=		=	=
Símbolo de Schläfli	{3,3,4}	t1 { _3,3,4 } r{3,3,4}	t0,1 {3,3,4} t _{ 3,3,4}	t _0,2 {3,3,4} rr{3,3,4}	t0,3 _{ 3,3,4}	t1,2 {3,3,4} _2t {3,3,4}	t _0,1,2 {3,3,4} tr{3,3,4}	t0,1,3 _{ 3,3,4}	t0,1,2,3 _{ 3,3,4}
Diagrama de Schlegel
B4

Familia F _{4 de politopos uniformes:}

Politopos de la familia de 24 células
Nombre	24 celdas	24 celdas truncadas	snub de 24 celdas	rectificado de 24 celdas	cantelado de 24 celdas	bitruncado de 24 celdas	cantitruncado de 24 celdas	Runcinated de 24 celdas	Runcitruncado de 24 celdas	omnitruncado de 24 celdas
Símbolo de Schläfli	{3,4,3}	t0,1 {3,4,3} t _{ 3,4,3}	s{3,4,3}	t1 { _3,4,3 } r{3,4,3}	t _0,2 {3,4,3} rr{3,4,3}	t1,2 {3,4,3} _2t {3,4,3}	t _0,1,2 {3,4,3} tr{3,4,3}	t0,3 _{ 3,4,3}	t0,1,3 _{ 3,4,3}	t0,1,2,3 { _3,4,3 }
Diagrama de Coxeter
Diagrama de Schlegel
F4
B4
B3 (a ₎
B3 (b ₎
B2

Referencias

^ Klitzing, Richard. "o3x4x3o - continuación".
^ ab Sobre 4-politopos perfectos Gabor Gévay Contribuciones al álgebra y la geometría Volumen 43 (2002), No. 1, 243-259 ] Tabla 2, página 252
^ ab Construcción cuaterniónica de los politopos W(F4) con sus politopos duales y ramificación bajo los subgrupos W(B4) y W(B3) × W(A1) Mehmet Koca 1, Mudhahir Al-Ajmi 2 y Nazife Ozdes Koca 3 Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad Sultán Qaboos P.O. Box 36, Al-Khoud 123, Mascate, Sultanato de Omán, p.18. 5.7 Politopo dual del politopo (0, 1, 1, 0)F ₄ = W(F ₄ )(ω ₂ +ω ₃ )

HSM Coxeter :
- Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  - (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  - (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
Manuscrito de politopos uniformes de Norman Johnson (1991)
- NW Johnson: La teoría de los politopos uniformes y los panales de abejas , Ph.D. (1966)
Klitzing, Richard. "Polítopos uniformes 4D (policora)".x3x4o3o=x3x3x4o - tico, o3x4x3o - cont
3. Polícora uniforme convexa basada en el icositetracoron (24 células) - Modelo 24, 27, George Olshevsky.

[1] Klitzing, Richard. "o3x4x3o - continuación".

[Gevay-2] Sobre 4-politopos perfectos Gabor Gévay Contribuciones al álgebra y la geometría Volumen 43 (2002), No. 1, 243-259 ] Tabla 2, página 252

[Koca-3] Construcción cuaterniónica de los politopos W(F4) con sus politopos duales y ramificación bajo los subgrupos W(B4) y W(B3) × W(A1) Mehmet Koca 1, Mudhahir Al-Ajmi 2 y Nazife Ozdes Koca 3 Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad Sultán Qaboos P.O. Box 36, Al-Khoud 123, Mascate, Sultanato de Omán, p.18. 5.7 Politopo dual del politopo (0, 1, 1, 0)F ₄ = W(F ₄ )(ω ₂ +ω ₃ )