Politopo uniforme k21

En geometría , un politopo uniforme k ₂₁ es un politopo en k  + 4 dimensiones construido a partir del grupo E _n Coxeter y que tiene solo facetas de politopo regulares . La familia fue nombrada por su símbolo de Coxeter k ₂₁ por su diagrama de Coxeter-Dynkin bifurcado , con un solo anillo en el extremo de la secuencia de k nodos.

Thorold Gosset descubrió esta familia como parte de su enumeración de 1900 de los politopos regulares y semirregulares , por lo que a veces se los llama figuras semirregulares de Gosset . Gosset los nombró por su dimensión de 5 a 9, por ejemplo, la figura semirregular 5-ic .

La secuencia identificada por Gosset termina como una teselación infinita (panal que llena el espacio) en el espacio 8, llamada red E8 . (Gosset no descubrió una forma final y se llama red E9 : 6 _21. Es una teselación del espacio 9 hiperbólico construida con facetas ∞ 9- símplex y ∞ 9- ortoplex con todos los vértices en el infinito).

La familia comienza únicamente con 6-politopos . El prisma triangular y el de 5 celdas rectificado se incluyen al principio para completar. El demipenteracto también existe en la familia de los demihipercubos .

A veces también se les nombra por su grupo de simetría, como el politopo E6 , aunque hay muchos politopos uniformes dentro de la _simetría E6 .

La familia completa de politopos semirregulares de Gosset son:

1. prisma triangular : −1 ₂₁ (2 triángulos y 3 caras cuadradas )
2. 5 celdas rectificadas : 0 ₂₁ , Tetroctaédrica ( celdas de 5 tetraedros y 5 octaedros )
3. demipenteracto : figura semirregular de 1,21,5 celdas ₍ 16 facetas de 5 celdas y 10 facetas de 16 celdas )
4. Politopo 2 21 : figura semirregular 2 ₂₁ , 6-ica (72 facetas simples 5 y 27 facetas ortoplex 5 )
5. Politopo 3 21 : figura semirregular 3 ₂₁ , 7-ica (576 facetas 6- simplex y 126 facetas 6- ortoplex )
6. Politopo 4 21 : figura semirregular 4 ₂₁ , 8-ic (17280 facetas 7- símplex y 2160 facetas 7- ortoplex )
7. 5 21 panal : 5 ₂₁ , teselados de verificación semirregulares 9-ic, espacio euclidiano 8 ( facetas ∞ 8- símplex y ∞ 8- ortoplex )
8. 6 21 panal : 6 ₂₁ , tesela el espacio hiperbólico 9 ( facetas ∞ 9- símplex y ∞ 9- ortoplex )

Cada politopo se construye a partir de facetas ( n  − 1) -símplex y ( n  − 1) -ortoplex .

Las caras ortoplex se construyen a partir del grupo de Coxeter D _{n −1} y tienen un símbolo de Schläfli de {3 ^{1, n −1,1} } en lugar del habitual {3 ^{n −2} ,4}. Esta construcción es una implicación de dos "tipos de facetas". La mitad de las facetas alrededor de cada cresta ortoplex están unidas a otro ortoplex, y las otras están unidas a un símplex. Por el contrario, cada cresta símplex está unida a un ortoplex.

Cada una tiene una figura de vértice como la forma anterior. Por ejemplo, la celda rectificada de 5 celdas tiene una figura de vértice como un prisma triangular .

Figuras semirregulares de Gosset

n -ico	k21​	Gráfico	Diagrama de nombres de Coxeter	Facetas		Elementos
				( n  − 1)- símplex {3 n −2 }	( n  − 1)- ortoplex {3 n −4,1,1 }	Vértices	Bordes	Caras	Células	4 caras	5 caras	6 caras	7 caras
3-ic	-1 21		Prisma triangular	2 triángulos	3 cuadrados	6	9	5
4-ic	0 21		Rectificado de 5 celdas	5 tetraedro	5 octaedro	10	30	30	10
5-ic	1 21		Demipenteracto	16 5 celdas	10 de 16 celdas	16	80	160	120	26
6-ic	2 21		2 21 politopo	72 5-símplex	27 5-ortoplexes	27	216	720	1080	648	99
7-ic	3 21		3 21 politopo	576 6-símplex	126 6-ortoplexes	56	756	4032	10080	12096	6048	702
8-ic	4 21		4 21 politopo	17280 7-símplex	2160 7-ortoplexes	240	6720	60480	241920	483840	483840	207360	19440
9-ic	5 21		5 21 panal	∞ 8-símplex	∞ 8-ortoplexes	∞
10-ic	6 21		6 21 panal	∞ 9-símplex	∞ 9-ortoplexes	∞

• Familia de politopos uniformes 2 _k1
• Familia de politopos uniformes 1 _k2

• T. Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
• Alicia Boole Stott Deducción geométrica de politopos semirregulares a partir de regulares y rellenos espaciales , Verhandelingen de la academia Koninklijke van Wetenschappen unidad de ancho Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
  • Stott, AB "Deducción geométrica de politopos semirregulares a partir de regulares y rellenos espaciales". Verhandelingen der Koninklijke Akad. Wetenschappen Ámsterdam 11, 3–24, 1910.
  • Alicia Boole Stott, "Deducción geométrica de politopos y rellenos espaciales semirregulares a partir de regulares", Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, (eerste sectie), vol. 11, núm. 1, págs. 1 a 24 más 3 láminas, 1910.
  • Stott, AB 1910. "Deducción geométrica de politopos semirregulares a partir de regulares y rellenos espaciales". Verhandelingen der Koninklijke Akad. Wetenschappen Ámsterdam
• Schoute, PH, Tratamiento analítico de los politopos derivados regularmente de los politopos regulares, Ver. der Koninklijke Akad. van Wetenschappen te Amsterdam (eerstie sectie), vol 11.5, 1913.
• HSM Coxeter : politopos regulares y semirregulares, parte I, Mathematische Zeitschrift, Springer, Berlín, 1940
• NW Johnson : La teoría de los politopos uniformes y los panales de abejas , tesis doctoral, Universidad de Toronto, 1966
• HSM Coxeter: politopos regulares y semirregulares, parte II, Mathematische Zeitschrift, Springer, Berlín, 1985
• HSM Coxeter: politopos regulares y semirregulares, parte III, Mathematische Zeitschrift, Springer, Berlín, 1988
• G.Blind y R.Blind, "Los poliedros semirregulares", Commentari Mathematici Helvetici 66 (1991) 150-154
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Capítulo 26, págs. 411–413: La serie Gosset: nota ₂₁ )

• PolyGloss v0.05: Figuras de Gosset (Gossetoicosatope)
• Politopos regulares, semirregulares, de caras regulares y arquimedianos Archivado el 19 de julio de 2011 en Wayback Machine.

en a mi Panales fundamentales convexos regulares y uniformes en dimensiones 2–9
Espacio	Familia	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$/ /${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
Y 2	Azulejos uniformes	0 [3]	delta 3	hδ3​	qδ3​	Hexagonal
Y 3	Panal de abeja convexo uniforme	0 [4]	delta 4	hδ4​	qδ4​
E4​	Uniforme de 4 panales	0 [5]	del 5	hδ5​	qδ5​	Panal de abeja de 24 celdas
E 5	Uniforme de 5 panales	0 [6]	delta 6	hδ6​	qδ6​
E6​	Uniforme de 6 panales	0 [7]	delta 7	hδ7​	qδ7​	2 22
E7​	Uniforme de 7 panales	0 [8]	del 8	hδ8​	qδ8​	1 33 • 3 31
E8​	Uniforme de 8 panales	0 [9]	del 9	hδ9​	qδ9​	1 52 • 2 51 • 5 21
E9​	Uniforme de 9 panales	0 [10]	delta 10	hδ10​	qδ10​
E10​	Uniforme de 10 panales	0 [11]	delta 11	hδ11​	qδ11​
En -1​	Uniforme ( n -1)- panal	0 [ n ]	delta n	hδn​	qδn​	1 k2 • 2 k1 • k21