Teoría de grupos

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
Nociones básicas Subgrupo Subgrupo normal Acción grupal Grupo de cocientes Producto (semi) directo Suma directa Producto gratuito Producto de corona Homomorfismos de grupo núcleo imagen simple finito infinito continuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diedro nilpotente soluble Glosario de teoría de grupos Lista de temas de teoría de grupos
Grupos finitos Grupo cíclico Z n Grupo simétrico S n Grupo alterno A n Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Teorema de Cauchy Teorema de Lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall p -grupo Grupo abeliano elemental Grupo de Frobenius Multiplicador de Schur Clasificación de grupos finitos simples cíclico alterno Tipo de mentira esporádico
Grupos discretos Enrejados Números enteros (${\displaystyle \mathbb {Z}}$) Grupo libre Grupos modulares LPS(2,${\displaystyle \mathbb {Z}}$) SL(2,${\displaystyle \mathbb {Z}}$) Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de Lie Solenoide Círculo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) O( n ) ortogonal E( n ) euclidiana SO( n ) ortogonal especial Unitario U( n ) SU unitario especial ( n ) Sp( n ) simpléctico G2​ F4​ E6​ E7​ E8​ Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Bucle Grupo de Lie de dimensión infinita O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductivo Variedad abeliana Curva elíptica
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En álgebra abstracta , la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos . El concepto de grupo es central para el álgebra abstracta: otras estructuras algebraicas bien conocidas, como anillos , cuerpos y espacios vectoriales , pueden verse como grupos dotados de operaciones y axiomas adicionales . Los grupos se repiten en toda la matemática, y los métodos de la teoría de grupos han influido en muchas partes del álgebra. Los grupos algebraicos lineales y los grupos de Lie son dos ramas de la teoría de grupos que han experimentado avances y se han convertido en áreas temáticas por derecho propio.

Diversos sistemas físicos, como los cristales y el átomo de hidrógeno , y tres de las cuatro fuerzas fundamentales conocidas en el universo, pueden modelarse mediante grupos de simetría . Por lo tanto, la teoría de grupos y la teoría de la representación, estrechamente relacionada con ella, tienen muchas aplicaciones importantes en física , química y ciencia de los materiales . La teoría de grupos también es fundamental para la criptografía de clave pública .

Los primeros antecedentes de la teoría de grupos datan del siglo XIX. Uno de los logros matemáticos más importantes del siglo XX ^[1] fue el esfuerzo colaborativo, que ocupó más de 10.000 páginas en revistas científicas y se publicó principalmente entre 1960 y 2004, que culminó en una clasificación completa de grupos simples finitos .

La teoría de grupos tiene tres fuentes históricas principales: la teoría de números , la teoría de ecuaciones algebraicas y la geometría . La rama de la teoría de números fue iniciada por Leonhard Euler y desarrollada por el trabajo de Gauss sobre aritmética modular y grupos aditivos y multiplicativos relacionados con cuerpos cuadráticos . Los primeros resultados sobre grupos de permutación fueron obtenidos por Lagrange , Ruffini y Abel en su búsqueda de soluciones generales de ecuaciones polinómicas de alto grado. Évariste Galois acuñó el término "grupo" y estableció una conexión, ahora conocida como teoría de Galois , entre la naciente teoría de grupos y la teoría de campos . En geometría, los grupos primero se volvieron importantes en la geometría proyectiva y, más tarde, en la geometría no euclidiana . El programa de Erlangen de Felix Klein proclamó la teoría de grupos como el principio organizador de la geometría.

Galois , en la década de 1830, fue el primero en emplear grupos para determinar la resolubilidad de ecuaciones polinómicas . Arthur Cayley y Augustin Louis Cauchy impulsaron estas investigaciones aún más creando la teoría de los grupos de permutación. La segunda fuente histórica de los grupos proviene de situaciones geométricas . En un intento de comprender las posibles geometrías (como la euclidiana , la hiperbólica o la proyectiva ) utilizando la teoría de grupos, Felix Klein inició el programa de Erlangen . Sophus Lie , en 1884, comenzó a utilizar grupos (ahora llamados grupos de Lie ) asociados a problemas analíticos . En tercer lugar, los grupos se utilizaron, al principio de forma implícita y luego explícita, en la teoría algebraica de números .

El diferente alcance de estas fuentes tempranas dio lugar a diferentes nociones de grupos. La teoría de grupos se unificó a partir de 1880 aproximadamente. Desde entonces, el impacto de la teoría de grupos ha ido en constante crecimiento, dando lugar al nacimiento del álgebra abstracta a principios del siglo XX, la teoría de la representación y muchos otros dominios derivados influyentes. La clasificación de grupos finitos simples es un vasto cuerpo de trabajo de mediados del siglo XX, que clasifica todos los grupos finitos simples .

La gama de grupos considerados se ha ampliado gradualmente desde grupos de permutación finita y ejemplos especiales de grupos matriciales hasta grupos abstractos que pueden especificarse mediante una presentación mediante generadores y relaciones .

La primera clase de grupos que se sometió a un estudio sistemático fueron los grupos de permutación . Dado cualquier conjunto X y una colección G de biyecciones de X en sí mismo (conocidas como permutaciones ) que está cerrada bajo composiciones e inversas, G es un grupo que actúa sobre X. Si X consta de n elementos y G consta de todas las permutaciones, G es el grupo simétrico S _n ; en general, cualquier grupo de permutación G es un subgrupo del grupo simétrico de X. Una construcción temprana debido a Cayley exhibió cualquier grupo como un grupo de permutación, actuando sobre sí mismo ( X = G ) por medio de la representación regular izquierda .

En muchos casos, la estructura de un grupo de permutaciones puede estudiarse a partir de las propiedades de su acción sobre el conjunto correspondiente. Por ejemplo, de esta manera se demuestra que para n ≥ 5 , el grupo alternante A _n es simple , es decir, no admite ningún subgrupo normal propio . Este hecho juega un papel clave en la imposibilidad de resolver una ecuación algebraica general de grado n ≥ 5 en radicales .

La siguiente clase importante de grupos está dada por los grupos matriciales o grupos lineales . Aquí G es un conjunto que consiste en matrices invertibles de orden dado n sobre un cuerpo K que está cerrado bajo los productos e inversos. Tal grupo actúa sobre el espacio vectorial n -dimensional K ⁿ mediante transformaciones lineales . Esta acción hace que los grupos matriciales sean conceptualmente similares a los grupos de permutación, y la geometría de la acción puede ser explotada de manera útil para establecer propiedades del grupo G .

Los grupos de permutación y los grupos matriciales son casos especiales de grupos de transformación : grupos que actúan sobre un determinado espacio X conservando su estructura inherente. En el caso de los grupos de permutación, X es un conjunto; para los grupos matriciales, X es un espacio vectorial . El concepto de grupo de transformación está estrechamente relacionado con el concepto de grupo de simetría : los grupos de transformación con frecuencia consisten en todas las transformaciones que conservan una determinada estructura.

La teoría de grupos de transformación forma un puente que conecta la teoría de grupos con la geometría diferencial . Una larga línea de investigación, que se originó con Lie y Klein , considera las acciones de los grupos sobre las variedades mediante homeomorfismos o difeomorfismos . Los grupos mismos pueden ser discretos o continuos .

La mayoría de los grupos considerados en la primera etapa del desarrollo de la teoría de grupos eran "concretos", ya que se habían realizado mediante números, permutaciones o matrices. No fue hasta finales del siglo XIX cuando comenzó a afianzarse la idea de un grupo abstracto , donde "abstracto" significa que se ignora la naturaleza de los elementos de tal manera que dos grupos isomorfos se consideran el mismo grupo. Una forma típica de especificar un grupo abstracto es mediante una presentación mediante generadores y relaciones .

${\displaystyle G=\langle S|R\rangle .}$

Una fuente significativa de grupos abstractos la proporciona la construcción de un grupo factorial , o grupo cociente , G / H , de un grupo G por un subgrupo normal H. Los grupos de clases de cuerpos de números algebraicos estuvieron entre los primeros ejemplos de grupos factoriales, de mucho interés en la teoría de números . Si un grupo G es un grupo de permutación en un conjunto X , el grupo factorial G / H ya no actúa sobre X ; pero la idea de un grupo abstracto permite no preocuparse por esta discrepancia.

El cambio de perspectiva de los grupos concretos a los grupos abstractos hace que sea natural considerar las propiedades de los grupos que son independientes de una realización particular, o en lenguaje moderno, invariantes bajo el isomorfismo , así como las clases de grupo con una propiedad dada de ese tipo: grupos finitos , grupos periódicos , grupos simples , grupos resolubles , etc. En lugar de explorar las propiedades de un grupo individual, se busca establecer resultados que se apliquen a toda una clase de grupos. El nuevo paradigma fue de suma importancia para el desarrollo de las matemáticas: prefiguró la creación del álgebra abstracta en las obras de Hilbert , Emil Artin , Emmy Noether y los matemáticos de su escuela. ^{[ cita requerida ]}

Una importante elaboración del concepto de grupo ocurre si G está dotado de una estructura adicional, en particular, de un espacio topológico , una variedad diferenciable o una variedad algebraica . Si las operaciones de grupo m (multiplicación) e i (inversión),

${\displaystyle m:G\times G\to G,(g,h)\mapsto gh,\quad i:G\to G,g\mapsto g^{-1},}$

son compatibles con esta estructura, es decir, son mapas continuos , suaves o regulares (en el sentido de la geometría algebraica), entonces G es un grupo topológico , un grupo de Lie o un grupo algebraico . ^[2]

La presencia de estructura extra relaciona estos tipos de grupos con otras disciplinas matemáticas y significa que hay más herramientas disponibles en su estudio. Los grupos topológicos forman un dominio natural para el análisis armónico abstracto , mientras que los grupos de Lie (frecuentemente realizados como grupos de transformación) son los pilares de la geometría diferencial y la teoría de representación unitaria . Ciertas cuestiones de clasificación que no se pueden resolver en general se pueden abordar y resolver para subclases especiales de grupos. Así, los grupos de Lie compactos conexos se han clasificado completamente. Existe una relación fructífera entre los grupos abstractos infinitos y los grupos topológicos: siempre que un grupo Γ se puede realizar como una red en un grupo topológico G , la geometría y el análisis pertenecientes a G producen resultados importantes sobre Γ . Una tendencia comparativamente reciente en la teoría de grupos finitos explota sus conexiones con grupos topológicos compactos ( grupos profinitos ): por ejemplo, un solo grupo analítico p -ádico G tiene una familia de cocientes que son p -grupos finitos de varios órdenes, y las propiedades de G se traducen en las propiedades de sus cocientes finitos.

Durante el siglo XX, los matemáticos investigaron en gran profundidad algunos aspectos de la teoría de grupos finitos, especialmente la teoría local de grupos finitos y la teoría de grupos resolubles y nilpotentes . ^{[ cita requerida ]} Como consecuencia, se logró la clasificación completa de los grupos simples finitos , es decir, ahora se conocen todos aquellos grupos simples a partir de los cuales se pueden construir todos los grupos finitos.

Durante la segunda mitad del siglo XX, matemáticos como Chevalley y Steinberg también aumentaron nuestra comprensión de los análogos finitos de los grupos clásicos y otros grupos relacionados. Una de estas familias de grupos es la familia de grupos lineales generales sobre cuerpos finitos . Los grupos finitos a menudo ocurren cuando se considera la simetría de objetos matemáticos o físicos, cuando esos objetos admiten solo un número finito de transformaciones que preservan la estructura. La teoría de los grupos de Lie , que puede verse como que trata con la " simetría continua ", está fuertemente influenciada por los grupos de Weyl asociados. Estos son grupos finitos generados por reflexiones que actúan sobre un espacio euclidiano de dimensión finita . Las propiedades de los grupos finitos pueden, por lo tanto, desempeñar un papel en materias como la física teórica y la química .

Decir que un grupo G actúa sobre un conjunto X significa que cada elemento de G define una función biyectiva sobre el conjunto X de una manera compatible con la estructura del grupo. Cuando X tiene más estructura, es útil restringir aún más esta noción: una representación de G sobre un espacio vectorial V es un homomorfismo de grupo :

${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {GL} (V),}$

donde GL ( V ) consiste en las transformaciones lineales invertibles de V . En otras palabras, a cada elemento del grupo g se le asigna un automorfismo ρ ( g ) tal que ρ ( g ) ∘ ρ ( h ) = ρ ( gh ) para cualquier h en G .

Esta definición puede entenderse en dos direcciones, ambas dan lugar a dominios completamente nuevos de las matemáticas. ^[3] Por un lado, puede proporcionar nueva información sobre el grupo G : a menudo, la operación de grupo en G se da de forma abstracta, pero a través de ρ , corresponde a la multiplicación de matrices , que es muy explícita. ^[4] Por otro lado, dado un grupo bien entendido que actúa sobre un objeto complicado, esto simplifica el estudio del objeto en cuestión. Por ejemplo, si G es finito, se sabe que V anterior se descompone en partes irreducibles (véase el teorema de Maschke ). Estas partes, a su vez, son mucho más fáciles de manejar que todo V (a través del lema de Schur ).

Dado un grupo G , la teoría de representaciones pregunta entonces qué representaciones de G existen. Hay varias configuraciones, y los métodos empleados y los resultados obtenidos son bastante diferentes en cada caso: la teoría de representaciones de grupos finitos y las representaciones de grupos de Lie son dos subdominios principales de la teoría. La totalidad de las representaciones está gobernada por los caracteres del grupo . Por ejemplo, los polinomios de Fourier pueden interpretarse como los caracteres de U(1) , el grupo de números complejos de valor absoluto 1 , que actúa sobre el L ² -espacio de funciones periódicas.

Un grupo de Lie es un grupo que es también una variedad diferenciable , con la propiedad de que las operaciones del grupo son compatibles con la estructura suave . Los grupos de Lie reciben su nombre de Sophus Lie , quien sentó las bases de la teoría de los grupos de transformación continua . El término groupes de Lie apareció por primera vez en francés en 1893 en la tesis del alumno de Lie Arthur Tresse, página 3. ^[5]

Los grupos de Lie representan la teoría mejor desarrollada de la simetría continua de los objetos y estructuras matemáticas , lo que los convierte en herramientas indispensables para muchas partes de las matemáticas contemporáneas, así como para la física teórica moderna . Proporcionan un marco natural para analizar las simetrías continuas de las ecuaciones diferenciales ( teoría diferencial de Galois ), de la misma manera que los grupos de permutación se utilizan en la teoría de Galois para analizar las simetrías discretas de las ecuaciones algebraicas . Una extensión de la teoría de Galois al caso de los grupos de simetría continua fue una de las principales motivaciones de Lie.

Los grupos se pueden describir de diferentes maneras. Los grupos finitos se pueden describir escribiendo la tabla de grupos que consiste en todas las posibles multiplicaciones g • h . Una forma más compacta de definir un grupo es mediante generadores y relaciones , también llamada la presentación de un grupo. Dado cualquier conjunto F de generadores , el grupo libre generado por F sobreyecta sobre el grupo G . El núcleo de esta función se llama subgrupo de relaciones , generado por algún subconjunto D . La presentación se denota generalmente por Por ejemplo, la presentación de grupo describe un grupo que es isomorfo a Una cadena que consiste en símbolos de generador y sus inversos se llama palabra .${\displaystyle \{g_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle \langle F\mid D\rangle .}$${\displaystyle \langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle }$${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .}$

La teoría de grupos combinatorios estudia los grupos desde la perspectiva de los generadores y las relaciones. ^[6] Es particularmente útil cuando se satisfacen los supuestos de finitud, por ejemplo, grupos finitamente generados o grupos finitamente presentados (es decir, además, las relaciones son finitas). El área hace uso de la conexión de grafos a través de sus grupos fundamentales . Un teorema fundamental de esta área es que cada subgrupo de un grupo libre es libre.

Existen varias preguntas naturales que surgen al dar un grupo por su presentación. El problema de las palabras pregunta si dos palabras son efectivamente el mismo elemento del grupo. Al relacionar el problema con las máquinas de Turing , se puede demostrar que, en general, no hay ningún algoritmo que resuelva esta tarea. Otro problema, generalmente más difícil e insoluble desde el punto de vista algorítmico, es el problema del isomorfismo de grupos , que pregunta si dos grupos dados por diferentes presentaciones son realmente isomorfos. Por ejemplo, el grupo con presentación es isomorfo al grupo aditivo Z de números enteros, aunque esto puede no ser evidente de inmediato. (Al escribir , se tiene )${\displaystyle \langle x,y\mid xyxyx=e\rangle ,}$${\displaystyle z=xy}$${\displaystyle G\cong \langle z,y\mid z^{3}=y\rangle \cong \langle z\rangle .}$

La teoría de grupos geométricos ataca estos problemas desde un punto de vista geométrico, ya sea considerando a los grupos como objetos geométricos o encontrando objetos geométricos adecuados sobre los que actúa un grupo. ^[7] La ​​primera idea se precisa mediante el grafo de Cayley , cuyos vértices corresponden a elementos del grupo y las aristas corresponden a la multiplicación por la derecha en el grupo. Dados dos elementos, se construye la palabra métrica dada por la longitud del camino mínimo entre los elementos. Un teorema de Milnor y Svarc dice entonces que dado un grupo G que actúa de manera razonable sobre un espacio métrico X , por ejemplo una variedad compacta , entonces G es cuasi-isométrico (es decir , parece similar desde la distancia) al espacio X.

Dado un objeto estructurado X de cualquier tipo, una simetría es una proyección del objeto sobre sí mismo que preserva la estructura. Esto ocurre en muchos casos, por ejemplo

• Si X es un conjunto sin estructura adicional, una simetría es una función biyectiva del conjunto hacia sí mismo, dando lugar a grupos de permutación.
• Si el objeto X es un conjunto de puntos en el plano con su estructura métrica o cualquier otro espacio métrico , una simetría es una biyección del conjunto consigo mismo que conserva la distancia entre cada par de puntos (una isometría ). El grupo correspondiente se llama grupo de isometría de X.
• Si, en cambio , se conservan los ángulos , se habla de aplicaciones conformes . Las aplicaciones conformes dan lugar , por ejemplo, a grupos kleinianos .
• Las simetrías no se limitan a los objetos geométricos, sino que también incluyen objetos algebraicos. Por ejemplo, la ecuación tiene dos soluciones y . En este caso, el grupo que intercambia las dos raíces es el grupo de Galois que pertenece a la ecuación. Toda ecuación polinómica en una variable tiene un grupo de Galois, es decir, un determinado grupo de permutación en sus raíces.${\displaystyle x^{2}-3=0}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$

Los axiomas de un grupo formalizan los aspectos esenciales de la simetría . Las simetrías forman un grupo: son cerradas porque si se toma una simetría de un objeto y luego se aplica otra simetría, el resultado seguirá siendo una simetría. La identidad que mantiene fijo el objeto es siempre una simetría de un objeto. La existencia de inversas se garantiza deshaciendo la simetría y la asociatividad proviene del hecho de que las simetrías son funciones en un espacio y la composición de funciones es asociativa.

El teorema de Frucht dice que cada grupo es el grupo de simetría de algún grafo . Por lo tanto, cada grupo abstracto es en realidad la simetría de algún objeto explícito.

El dicho de "preservar la estructura" de un objeto se puede precisar trabajando en una categoría . Las funciones que preservan la estructura son entonces los morfismos , y el grupo de simetría es el grupo de automorfismos del objeto en cuestión.

Las aplicaciones de la teoría de grupos son abundantes. Casi todas las estructuras del álgebra abstracta son casos especiales de grupos. Los anillos , por ejemplo, pueden considerarse grupos abelianos (que corresponden a la adición) junto con una segunda operación (que corresponde a la multiplicación). Por lo tanto, los argumentos de la teoría de grupos sustentan gran parte de la teoría de esas entidades.

La teoría de Galois utiliza grupos para describir las simetrías de las raíces de un polinomio (o más precisamente los automorfismos de las álgebras generadas por estas raíces). El teorema fundamental de la teoría de Galois proporciona un vínculo entre las extensiones de campos algebraicos y la teoría de grupos. Proporciona un criterio eficaz para la resolubilidad de ecuaciones polinómicas en términos de la resolubilidad del grupo de Galois correspondiente . Por ejemplo, S ₅ , el grupo simétrico en 5 elementos, no es resoluble, lo que implica que la ecuación quíntica general no puede resolverse por radicales de la manera en que pueden hacerlo las ecuaciones de grado inferior. La teoría, al ser una de las raíces históricas de la teoría de grupos, todavía se aplica fructíferamente para producir nuevos resultados en áreas como la teoría de campos de clases .

La topología algebraica es otro dominio que asocia de forma destacada los grupos a los objetos en los que la teoría está interesada. Allí, los grupos se utilizan para describir ciertos invariantes de los espacios topológicos . Se denominan "invariantes" porque se definen de tal manera que no cambian si el espacio se somete a alguna deformación . Por ejemplo, el grupo fundamental "cuenta" cuántos caminos en el espacio son esencialmente diferentes. La conjetura de Poincaré , demostrada en 2002/2003 por Grigori Perelman , es una aplicación destacada de esta idea. Sin embargo, la influencia no es unidireccional. Por ejemplo, la topología algebraica hace uso de los espacios de Eilenberg-MacLane , que son espacios con grupos de homotopía prescritos . De forma similar , la K-teoría algebraica se basa en cierto modo en la clasificación de espacios de grupos. Finalmente, el nombre del subgrupo de torsión de un grupo infinito muestra el legado de la topología en la teoría de grupos.

La geometría algebraica también utiliza la teoría de grupos de muchas maneras. Las variedades abelianas se han introducido anteriormente. La presencia de la operación de grupo produce información adicional que hace que estas variedades sean particularmente accesibles. También suelen servir como prueba para nuevas conjeturas. (Por ejemplo, la conjetura de Hodge (en ciertos casos)). El caso unidimensional, es decir, las curvas elípticas , se estudia con particular detalle. Son intrigantes tanto teórica como prácticamente. ^[8] En otra dirección, las variedades tóricas son variedades algebraicas sobre las que actúa un toro . Las incrustaciones toroidales han llevado recientemente a avances en la geometría algebraica , en particular la resolución de singularidades . ^[9]

La teoría de números algebraicos utiliza grupos para algunas aplicaciones importantes. Por ejemplo, la fórmula del producto de Euler ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}&=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},\\\end{aligned}}\!}$

Capta el hecho de que cualquier número entero se descompone de manera única en primos . El fracaso de esta afirmación para anillos más generales da lugar a grupos de clases y primos regulares , que aparecen en el tratamiento de Kummer del Último Teorema de Fermat .

El análisis de los grupos de Lie y otros grupos determinados se denomina análisis armónico . Las medidas de Haar , es decir, las integrales invariantes bajo la traslación en un grupo de Lie, se utilizan para el reconocimiento de patrones y otras técnicas de procesamiento de imágenes . ^[10]

En combinatoria , la noción de grupo de permutación y el concepto de acción de grupo se utilizan a menudo para simplificar el recuento de un conjunto de objetos; véase en particular el lema de Burnside .

La presencia de la periodicidad 12 en el círculo de quintas permite la aplicación de la teoría de grupos elementales en la teoría de conjuntos musicales . La teoría transformacional modela las transformaciones musicales como elementos de un grupo matemático.

En física , los grupos son importantes porque describen las simetrías a las que parecen obedecer las leyes de la física. Según el teorema de Noether , toda simetría continua de un sistema físico corresponde a una ley de conservación del sistema. Los físicos están muy interesados ​​en las representaciones de grupos, especialmente de los grupos de Lie, ya que estas representaciones a menudo señalan el camino hacia las teorías físicas "posibles". Algunos ejemplos del uso de grupos en física incluyen el Modelo Estándar , la teoría de gauge , el grupo de Lorentz y el grupo de Poincaré .

La teoría de grupos se puede utilizar para resolver la incompletitud de las interpretaciones estadísticas de la mecánica desarrolladas por Willard Gibbs , relacionadas con la suma de un número infinito de probabilidades para producir una solución significativa. ^[11]

En química y ciencia de los materiales , los grupos puntuales se utilizan para clasificar poliedros regulares y las simetrías de las moléculas , y los grupos espaciales para clasificar estructuras cristalinas . Los grupos asignados pueden utilizarse para determinar propiedades físicas (como polaridad química y quiralidad ), propiedades espectroscópicas (particularmente útiles para espectroscopia Raman , espectroscopia infrarroja , espectroscopia de dicroísmo circular, espectroscopia de dicroísmo circular magnético, espectroscopia UV/Vis y espectroscopia de fluorescencia) y para construir orbitales moleculares .

La simetría molecular es responsable de muchas propiedades físicas y espectroscópicas de los compuestos y proporciona información relevante sobre cómo ocurren las reacciones químicas. Para asignar un grupo puntual a una molécula dada, es necesario encontrar el conjunto de operaciones de simetría presentes en ella. La operación de simetría es una acción, como una rotación alrededor de un eje o una reflexión a través de un plano especular. En otras palabras, es una operación que mueve la molécula de tal manera que es indistinguible de la configuración original. En teoría de grupos, los ejes de rotación y los planos especulares se denominan "elementos de simetría". Estos elementos pueden ser un punto, una línea o un plano con respecto al cual se lleva a cabo la operación de simetría. Las operaciones de simetría de una molécula determinan el grupo puntual específico para esta molécula.

En química , hay _cinco operaciones de simetría importantes. Son la operación de identidad ( E) , la operación de rotación o rotación propia ( Cn ), la operación de reflexión ( σ ), la inversión ( i ) _y la operación de rotación-reflexión o rotación impropia ( Sn ). La operación de identidad ( E ) consiste en dejar la molécula como está. Esto es equivalente a cualquier número de rotaciones completas alrededor de cualquier eje. Esta es una simetría de todas las moléculas, mientras que el grupo de simetría de una molécula quiral consiste solo en la operación de identidad. Una operación de identidad es una característica de cada molécula incluso si no tiene simetría. La rotación alrededor de un eje ( Cn ₎ consiste en rotar la molécula alrededor de un eje específico en un ángulo específico. Es la rotación a través del ángulo 360°/ n , donde n es un número entero, alrededor de un eje de rotación. Por ejemplo, si una molécula de agua rota 180° alrededor del eje que pasa por el átomo de oxígeno y entre los átomos de hidrógeno , está en la misma configuración en la que comenzó. En este caso, n = 2 , ya que al aplicarlo dos veces se produce la operación de identidad. En moléculas con más de un eje de rotación, el eje C _n que tiene el mayor valor de n es el eje de rotación de orden más alto o eje principal. Por ejemplo, en el trifluoruro de boro (BF ₃ ), el orden más alto del eje de rotación es C ₃ , por lo que el eje principal de rotación es C ₃ .

En la operación de reflexión ( σ ) muchas moléculas tienen planos especulares, aunque no sean obvios. La operación de reflexión intercambia izquierda y derecha, como si cada punto se hubiera movido perpendicularmente a través del plano hasta una posición exactamente tan alejada del plano como cuando comenzó. Cuando el plano es perpendicular al eje principal de rotación, se denomina σ _h (horizontal). Otros planos, que contienen el eje principal de rotación, se denominan verticales ( σ _v ) o diedros ( σ _d ).

La inversión (i) es una operación más compleja. Cada punto se mueve a través del centro de la molécula a una posición opuesta a la posición original y tan lejos del punto central como donde comenzó. Muchas moléculas que a primera vista parecen tener un centro de inversión no lo tienen; por ejemplo, el metano y otras moléculas tetraédricas carecen de simetría de inversión. Para ver esto, sostenga un modelo de metano con dos átomos de hidrógeno en el plano vertical a la derecha y dos átomos de hidrógeno en el plano horizontal a la izquierda. La inversión da como resultado dos átomos de hidrógeno en el plano horizontal a la derecha y dos átomos de hidrógeno en el plano vertical a la izquierda. Por lo tanto, la inversión no es una operación de simetría del metano, porque la orientación de la molécula después de la operación de inversión difiere de la orientación original. Y la última operación es la rotación impropia o la operación de reflexión de rotación ( S _n ) requiere una rotación de 360°/ n , seguida de una reflexión a través de un plano perpendicular al eje de rotación.

Los grupos muy grandes de orden primo construidos en criptografía de curva elíptica sirven para la criptografía de clave pública . Los métodos criptográficos de este tipo se benefician de la flexibilidad de los objetos geométricos, de ahí sus estructuras de grupo, junto con la estructura complicada de estos grupos, que hacen que el logaritmo discreto sea muy difícil de calcular. Uno de los primeros protocolos de cifrado, el cifrado de César , también puede interpretarse como una operación de grupo (muy fácil). La mayoría de los esquemas criptográficos utilizan grupos de alguna manera. En particular, el intercambio de claves Diffie-Hellman utiliza grupos cíclicos finitos . Por lo tanto, el término criptografía basada en grupos se refiere principalmente a los protocolos criptográficos que utilizan grupos no abelianos infinitos, como un grupo trenzado .

• Lista de temas de teoría de grupos
• Ejemplos de grupos
• Teoría de Bass-Serre

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• Historia del concepto de grupo abstracto
• Teoría de grupos de dimensiones superiores Esta tesis presenta una visión de la teoría de grupos como el nivel uno de una teoría que se extiende en todas las dimensiones y tiene aplicaciones en la teoría de la homotopía y en métodos no abelianos de dimensiones superiores para problemas locales a globales.
• Paquete para profesores y estudiantes Plus: Teoría de grupos Este paquete reúne todos los artículos sobre teoría de grupos de Plus , la revista de matemáticas en línea producida por el Proyecto de Matemáticas del Milenio de la Universidad de Cambridge, que explora aplicaciones y avances recientes y ofrece definiciones explícitas y ejemplos de grupos.
• Burnside, William (1911), "Grupos, teoría de"  , en Chisholm, Hugh (ed.), Encyclopædia Britannica , vol. 12 (11.ª ed.), Cambridge University Press, págs. 626–636Esta es una exposición detallada de la comprensión contemporánea de la teoría de grupos por parte de un investigador pionero en este campo.