Teoría de nudos (vínculo)

En la teoría matemática de nudos , un enlace es una colección de nudos que no se intersecan, pero que pueden estar unidos (o anudados). Un nudo puede describirse como un enlace con un componente. Los enlaces y los nudos se estudian en una rama de las matemáticas llamada teoría de nudos . En esta definición está implícito que existe un enlace de referencia trivial , generalmente llamado desenlace , pero la palabra también se usa a veces en un contexto en el que no existe la noción de un enlace trivial.

Por ejemplo, un enlace de co-dimensión 2 en un espacio tridimensional es un subespacio del espacio euclidiano tridimensional (o a menudo la 3-esfera ) cuyos componentes conectados son homeomorfos a los círculos .

El ejemplo más simple y no trivial de un enlace con más de un componente se denomina enlace de Hopf , que consiste en dos círculos (o nudos ) unidos entre sí una vez. Los círculos de los anillos borromeos están unidos colectivamente a pesar de que no hay dos de ellos unidos directamente. Los anillos borromeos forman así un enlace brunniano y, de hecho, constituyen el enlace más simple de este tipo.

El concepto de vínculo puede generalizarse de diversas maneras.

Con frecuencia se utiliza la palabra enlace para describir cualquier subvariedad de la esfera difeomorfa a una unión disjunta de un número finito de esferas .$Estilo de visualización Sn$$Estilo de visualización Sj$

En términos generales, la palabra enlace es esencialmente la misma que la palabra nudo : el contexto es que uno tiene una subvariedad M de una variedad N (considerada trivialmente embebida) y una incrustación no trivial de M en N , no trivial en el sentido de que la segunda incrustación no es isotópica de la primera. Si M está desconectada, la incrustación se llama enlace (o se dice que está enlazada ). Si M está conectada, se llama nudo.

Si bien los enlaces (unidimensionales) se definen como incrustaciones de círculos, a menudo es interesante y especialmente útil desde el punto de vista técnico considerar intervalos incrustados (hebras), como en la teoría de trenzas .

De manera más general, se puede considerar un enredo ^{[1] [2]} – un enredo es una incrustación

${\displaystyle T\colon X\to \mathbf {R} ^{2}\times I}$

de una 1-variedad compacta (suave) con borde en el plano multiplicado por el intervalo tal que el borde está incrustado en ${\displaystyle (X,\X parcial)}$${\displaystyle I=[0,1],}$${\displaystyle T(\parcial X)}$

${\displaystyle \mathbf {R} \veces \{0,1\}}$( ).${\displaystyle \{0,1\}=\I parcial}$

El tipo de enredo es la variedad X, junto con una incrustación fija de${\displaystyle \X parcial.}$

Concretamente, una 1-variedad compacta conexa con borde es un intervalo o un círculo (la compacidad descarta el intervalo abierto y el intervalo semiabierto, ninguno de los cuales produce incrustaciones no triviales ya que el extremo abierto significa que pueden encogerse a un punto), por lo que una 1-variedad compacta posiblemente desconectada es una colección de n intervalos y m círculos. La condición de que el borde de X se encuentre en ${\displaystyle I=[0,1]}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle [0,1),}$${\displaystyle I=[0,1]}$${\displaystyle S^{1}.}$

${\displaystyle \mathbf {R} \times \{0,1\}}$

dice que los intervalos conectan dos líneas o dos puntos en una de las líneas, pero no impone condiciones a los círculos. Se puede considerar que los enredos tienen una dirección vertical ( I ), que se encuentra entre dos líneas y posiblemente las conecta .

( y ),${\displaystyle \mathbf {R} \times 0}$${\displaystyle \mathbf {R} \times 1}$

y luego poder moverse en una dirección horizontal bidimensional ( ) ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$

entre estas líneas; se pueden proyectar para formar un diagrama de enredos , análogo a un diagrama de nudos .

Los enredos incluyen enlaces (si X consiste solamente en círculos), trenzas y otros además: por ejemplo, una hebra que conecta las dos líneas entre sí con un círculo unido a su alrededor.

En este contexto, una trenza se define como una maraña que siempre va hacia abajo, cuya derivada siempre tiene un componente distinto de cero en la dirección vertical ( I ). En particular, debe constar únicamente de intervalos y no doblarse sobre sí misma; sin embargo, no se especifica en qué parte de la línea se encuentran los extremos.

Un enlace de cadenaes una maraña que consiste únicamente en intervalos, con los extremos de cada hebra requeridos para estar en (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), ... – es decir, conectando los números enteros, y terminando en el mismo orden en que comenzaron (uno puede usar cualquier otro conjunto fijo de puntos); si esto tiene ℓ componentes, lo llamamos un " enlace de cadena de ℓ componentes". Un enlace de cadena no necesita ser una trenza – puede doblarse sobre sí mismo, como un enlace de cadena de dos componentes que presenta un nudo simple . Una trenza que también es un enlace de cadena se llama trenza pura , y corresponde con la noción habitual de tal.

El valor técnico clave de los enredos y los enlaces de cuerdas es que tienen una estructura algebraica. Las clases de isotopía de los enredos forman una categoría tensorial , donde para la estructura de la categoría, uno puede componer dos enredos si el extremo inferior de uno es igual al extremo superior del otro (de modo que los límites se pueden coser juntos), apilándolos; no forman literalmente una categoría (puntualmente) porque no hay identidad, ya que incluso un enredo trivial ocupa espacio vertical, pero hasta la isotopía sí lo hacen. La estructura tensorial se da por yuxtaposición de enredos: poner un enredo a la derecha del otro.

Para un ℓ fijo, las clases isotópicas de enlaces de cadenas con componentes ℓ forman un monoide (se pueden componer todos los enlaces de cadenas con componentes ℓ y existe una identidad), pero no un grupo, ya que las clases isotópicas de enlaces de cadenas no necesitan tener inversas. Sin embargo, las clases de concordancia (y por lo tanto también las clases de homotopía ) de enlaces de cadenas sí tienen inversas, donde la inversa se da al invertir el enlace de la cadena y, por lo tanto, forman un grupo.

Cada eslabón puede cortarse para formar un eslabón de cuerda, aunque esto no es único, y los invariantes de los eslabones a veces pueden entenderse como invariantes de los eslabones de cuerda; este es el caso de los invariantes de Milnor , por ejemplo. Compárese con las trenzas cerradas .

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