Cuaternión de Hurwitz

En matemáticas , un cuaternión de Hurwitz (o entero de Hurwitz ) es un cuaternión cuyos componentes son todos números enteros o todos semienteros (mitades de números enteros impares ; se excluye una mezcla de números enteros y semienteros). El conjunto de todos los cuaterniones de Hurwitz es

${\displaystyle H=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \;{\mbox{ o }}\,a,b,c,d\in \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\right\}.}$

Es decir, o bien a , b , c , d son todos números enteros o bien son todos semienteros. H es cerrado bajo la multiplicación y adición de cuaterniones, lo que lo convierte en un subanillo del anillo de todos los cuaterniones H . Los cuaterniones de Hurwitz fueron introducidos por Adolf Hurwitz  (1919).

Un cuaternión de Lipschitz (o entero de Lipschitz ) es un cuaternión cuyos componentes son todos números enteros. El conjunto de todos los cuaterniones de Lipschitz

${\displaystyle L=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \right\}}$

forma un subanillo de los cuaterniones de Hurwitz H . Los números enteros de Hurwitz tienen la ventaja sobre los números enteros de Lipschitz de que es posible realizar una división euclidiana en ellos, obteniendo un pequeño resto.

Tanto los cuaterniones de Hurwitz como los de Lipschitz son ejemplos de dominios no conmutativos que no son anillos de división .

Como grupo aditivo , H es abeliano libre con generadores {(1 + i + j + k ) / 2, i , j , k }. Por lo tanto, forma una red en R ⁴ . Esta red se conoce como red F ₄ , ya que es la red raíz del álgebra de Lie semisimple F ₄ . Los cuaterniones de Lipschitz L forman una subred de índice 2 de H .

El grupo de unidades en L es el grupo de cuaterniones de orden 8 Q = {±1, ± i , ± j , ± k }. El grupo de unidades en H es un grupo no abeliano de orden 24 conocido como el grupo tetraédrico binario . Los elementos de este grupo incluyen los 8 elementos de Q junto con los 16 cuaterniones {(±1 ± i ± j ± k ) / 2}, donde los signos pueden tomarse en cualquier combinación. El grupo de cuaterniones es un subgrupo normal del grupo tetraédrico binario U( H ). Los elementos de U( H ), que tienen todos norma 1, forman los vértices de la celda de 24 inscrita en la esfera de 3 elementos .

Los cuaterniones de Hurwitz forman un orden (en el sentido de la teoría de anillos ) en el anillo de división de cuaterniones con componentes racionales . De hecho, es un orden máximo ; esto explica su importancia. Los cuaterniones de Lipschitz, que son el candidato más obvio para la idea de un cuaternión integral , también forman un orden. Sin embargo, este último orden no es máximo y, por lo tanto (como resulta) menos adecuado para desarrollar una teoría de ideales izquierdos comparable a la de la teoría de números algebraicos . Por lo tanto, lo que Adolf Hurwitz se dio cuenta fue que esta definición de cuaternión integral de Hurwitz es la mejor con la que operar. Para un anillo no conmutativo como H , los órdenes máximos no necesitan ser únicos, por lo que es necesario fijar un orden máximo, al trasladar el concepto de un entero algebraico .

La norma (aritmética o de campo) de un cuaternión de Hurwitz a + bi + cj + dk , dada por a ² + b ² + c ² + d ² , es siempre un entero. Por un teorema de Lagrange, todo entero no negativo puede escribirse como una suma de, como máximo, cuatro cuadrados . Por lo tanto, todo entero no negativo es la norma de algún cuaternión de Lipschitz (o de Hurwitz). Más precisamente, el número c ( n ) de cuaterniones de Hurwitz de norma positiva dada n es 24 veces la suma de los divisores impares de n . La función generadora de los números c ( n ) está dada por la forma modular de peso 2 de nivel 2

${\displaystyle 2E_{2}(2\tau )-E_{2}(\tau )=\sum _{n}c(n)q^{n}=1+24q+24q^{2}+96q^{3}+24q^{4}+144q^{5}+\puntos }$ Norma OEIS : A004011

dónde

${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

y

${\displaystyle E_{2}(\tau )=1-24\sum _{n}\sigma _{1}(n)q^{n}}$

es la serie de Eisenstein de nivel 1 de peso 2 (que es una forma cuasimodular ) y σ ₁ ( n ) es la suma de los divisores de n .

Un entero de Hurwitz se llama irreducible si no es 0 o una unidad y no es un producto de no unidades. Un entero de Hurwitz es irreducible si y solo si su norma es un número primo . Los cuaterniones irreducibles a veces se llaman cuaterniones primos, pero esto puede ser engañoso ya que no son primos en el sentido habitual del álgebra conmutativa : es posible que un cuaternión irreducible divida un producto ab sin dividir ni a ni b . Cada cuaternión de Hurwitz se puede factorizar como un producto de cuaterniones irreducibles. Esta factorización no es en general única, incluso hasta unidades y orden, porque un primo impar positivo p se puede escribir de 24( p +1) formas como un producto de dos cuaterniones de Hurwitz irreducibles de norma p , y para p grande estos no pueden ser todos equivalentes bajo la multiplicación izquierda y derecha por unidades ya que solo hay 24 unidades. Sin embargo, si uno excluye este caso, entonces hay una versión de factorización única. Más precisamente, cada cuaternión de Hurwitz puede escribirse de forma única como el producto de un entero positivo y un cuaternión primitivo (un cuaternión de Hurwitz no divisible por ningún entero mayor que 1). La factorización de un cuaternión primitivo en irreducibles es única hasta el orden y las unidades en el siguiente sentido: si

p0p1 ... pn_​​_​​

y

q0q1 ... qn_​​​_​

son dos factorizaciones de algún cuaternión primitivo de Hurwitz en cuaterniones irreducibles donde p _k tiene la misma norma que q _k para todo k , entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{0}&=p_{0}u_{1}\\q_{1}&=u_{1}^{-1}p_{1}u_{2}\\&\,\,\,\vdots \\q_{n}&=u_{n}^{-1}p_{n}\end{aligned}}}$

para algunas unidades u _k .

Los números enteros ordinarios y los números enteros gaussianos permiten una división con resto o división euclidiana .

Para los números enteros positivos N y D , siempre existe un cociente Q y un resto no negativo R tales que

• N = QD + R donde R < D .

Para enteros complejos o gaussianos N = a + i b y D = c + i d , con norma N( D ) > 0, siempre existen Q = p + i q y R = r + i s tales que

• N = QD + R , donde N( R ) < N( D ).

Sin embargo, para los enteros de Lipschitz N = ( a , b , c , d ) y D = ( e , f , g , h ) puede suceder que N( R ) = N( D ). Esto motivó un cambio a los enteros de Hurwitz, para los cuales la condición N( R ) < N( D ) está garantizada. ^[1]

Muchos algoritmos dependen de la división con resto, por ejemplo, el algoritmo de Euclides para el máximo común divisor .

• Entero gaussiano
• Número entero de Eisenstein
• Los icosianos
• El grupo de Lie F ₄
• La red E ₈

• Conway, John Horton ; Smith, Derek A. (2003). Sobre cuaterniones y octoniones: su geometría, aritmética y simetría . AK Peters. ISBN 1-56881-134-9.
• Hurwitz, Adolf (2013) [1919]. Vorlesungen Über die Zahlentheorie der Quaternionen. Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-47536-8.JFM 47.0106.01  .