Octacubo (escultura)

El Octacubo es una gran escultura de acero inoxidable que se exhibe en el departamento de matemáticas de la Universidad Estatal de Pensilvania en State College, Pensilvania . La escultura representa un objeto matemático llamado 24 celdas u "octacubo". Como un 24 celdas real es tetradimensional , la obra de arte es en realidad una proyección al mundo tridimensional.

El octacubo tiene una simetría intrínseca muy alta , que coincide con características de la química ( simetría molecular ) y la física ( teoría cuántica de campos ).

La escultura fue diseñada por Adrian Ocneanu  [de] , profesor de matemáticas de la Universidad Estatal de Pensilvania . El taller de máquinas de la universidad pasó más de un año completando el intrincado trabajo en metal. Octacube fue financiado por una exalumna en memoria de su esposo, Kermit Anderson, quien murió en los ataques del 11 de septiembre .

El esqueleto metálico del Octacube mide aproximadamente 1,8 metros en sus tres dimensiones. Es una compleja disposición de bridas trianguladas sin pintar. La base es un bloque de granito de 0,91 metros de alto, con algunos grabados. ^[1]

La obra de arte fue diseñada por Adrian Ocneanu, profesor de matemáticas de Penn State. Él proporcionó las especificaciones para las 96 piezas triangulares de acero inoxidable de la escultura y para su ensamblaje. La fabricación estuvo a cargo del taller de máquinas de Penn State, dirigido por Jerry Anderson. El trabajo llevó más de un año, e implicó doblar y soldar, además de cortar. Al hablar sobre la construcción, Ocneanu dijo: ^[1]

Es muy difícil hacer que 12 láminas de acero se unan de manera perfecta y conforme en cada uno de los 23 vértices, sin que quede ningún rastro de soldadura. Las personas que lo construyeron son verdaderos expertos y perfeccionistas de clase mundial: artistas del acero.

Debido a que el metal refleja desde diferentes ángulos, la apariencia es agradablemente extraña. En algunos casos, las superficies similares a espejos crean una ilusión de transparencia al mostrar reflejos desde lados inesperados de la estructura. El creador matemático de la escultura comentó: ^[1]

Cuando vi la escultura en sí, me llevé una gran sorpresa. Nunca imaginé el juego de luz sobre las superficies. Hay efectos ópticos sutiles que se pueden sentir, pero no se pueden identificar con exactitud.

• Vistas del Octacube desde múltiples ángulos
• 
• 
• 

Los sólidos platónicos son formas tridimensionales con una simetría especial y elevada . Son el siguiente paso en dimensión a partir de los polígonos regulares bidimensionales (cuadrados, triángulos equiláteros, etc.). Los cinco sólidos platónicos son el tetraedro (4 caras), el cubo (6 caras), el octaedro (8 caras), el dodecaedro (12 caras) y el icosaedro (20 caras). Se conocen desde la época de los antiguos griegos y se valoran por su atractivo estético y su importancia filosófica, incluso mística. (Véase también el Timeo , un diálogo de Platón ).

Los sólidos platónicos
Tetraedro	Cubo	Octaedro	Dodecaedro	Icosaedro

En dimensiones superiores, los equivalentes de los sólidos platónicos son los politopos regulares . Estas formas fueron descritas por primera vez a mediados del siglo XIX por un matemático suizo, Ludwig Schläfli . En cuatro dimensiones, hay seis de ellos : el pentacoron ( de 5 celdas ), el teseracto ( de 8 celdas ), el hexadecacoron ( de 16 celdas ), el octacubo ( de 24 celdas ), el hecatonicosacoron ( de 120 celdas ) y el hexacosicoron ( de 600 celdas ).

El sistema de 24 celdas consta de 24 octaedros unidos en un espacio de 4 dimensiones. La figura del vértice del sistema de 24 celdas (la forma tridimensional que se forma cuando se corta una esquina de 4 dimensiones) es un cubo. A pesar de su sugerente nombre, el octacubo no es el análogo en 4 dimensiones ni del octaedro ni del cubo. De hecho, es el único de los seis politopos regulares de 4 dimensiones que carece de un sólido platónico correspondiente. ^{[nota 1]}

Intentos de imaginar las 24 células
Diagrama de Schlegel	Rotación en 4 dimensiones

Ocneanu explica el desafío conceptual de trabajar en la cuarta dimensión: ^[1] "Aunque los matemáticos pueden trabajar con una cuarta dimensión de manera abstracta añadiendo una cuarta coordenada a las tres que usamos para describir un punto en el espacio, una cuarta dimensión espacial es difícil de visualizar".

Aunque es imposible ver o crear objetos de cuatro dimensiones, es posible mapearlos en dimensiones inferiores para obtener algunas impresiones de ellos. Una analogía para convertir el sistema de 24 celdas en cuatro dimensiones en su escultura en tres dimensiones es la proyección cartográfica , donde la superficie de la Tierra en tres dimensiones (o un globo) se reduce a un plano en dos dimensiones (un mapa portátil). Esto se hace ya sea con la luz "proyectando una sombra" desde el globo sobre el mapa o con alguna transformación matemática. Existen muchos tipos diferentes de proyección de mapas: la familiar proyección rectangular de Mercator (usada para la navegación), la proyección gnomónica circular (la primera proyección inventada) y varias otras. Todas ellas tienen limitaciones en el sentido de que muestran algunas características de una manera distorsionada ("no se puede aplanar una cáscara de naranja sin dañarla"), pero son ayudas visuales útiles y referencias convenientes.

De la misma manera que el exterior de la Tierra es una piel bidimensional (doblada hacia la tercera dimensión), el exterior de una forma tetradimensional es un espacio tridimensional (pero plegado a través del hiperespacio, la cuarta dimensión). Sin embargo, así como la superficie del globo terrestre no se puede representar en un plano sin algunas distorsiones, tampoco se puede representar la forma tridimensional exterior de la hiperforma tetradimensional de 24 celdas. En la imagen de la derecha se muestra una de 24 celdas proyectada en el espacio como un objeto tridimensional (y luego la imagen es una representación bidimensional de la misma, con perspectiva para ayudar a la vista). Algunas de las distorsiones:

• Líneas de borde curvas: son rectas en cuatro dimensiones, pero la proyección en una dimensión inferior las hace parecer curvas (se producen efectos similares al mapear la Tierra).
• Es necesario utilizar caras semitransparentes debido a la complejidad del objeto, por lo que se ven muchas "cajas" (celdas octaédricas).
• Sólo se ven claramente 23 celdas. La celda 24 es el "exterior hacia dentro", todo el espacio exterior que rodea al objeto visto en tres dimensiones.

Para representar las 24 celdas, Ocneanu utiliza una proyección relacionada que él llama proyección estereográfica radial con ventanas . Al igual que con la proyección estereográfica, hay líneas curvas que se muestran en el espacio 3D. En lugar de utilizar superficies semitransparentes, se cortan "ventanas" en las caras de las celdas para que se puedan ver las celdas interiores. Además, solo hay 23 vértices físicamente presentes. El vértice 24 "se encuentra en el infinito" debido a la proyección; lo que se ve son las 8 piernas y brazos de la escultura divergiendo hacia afuera desde el centro de la escultura 3D. ^[1]

La escultura Octacube tiene una simetría muy alta. La estructura de acero inoxidable tiene la misma cantidad de simetría que un cubo o un octaedro. La obra de arte se puede visualizar como relacionada con un cubo: los brazos y las piernas de la estructura se extienden hasta las esquinas. Imaginar un octaedro es más difícil; implica pensar en las caras del cubo visualizado formando las esquinas de un octaedro. El cubo y el octaedro tienen la misma cantidad y tipo de simetría: simetría octaédrica , llamada Oh ₍ orden 48) en notación matemática. Algunos, pero no todos, de los elementos de simetría son

• 3 ejes de rotación cuádruples diferentes (uno a través de cada par de caras opuestas del cubo visualizado): arriba/abajo, adentro/afuera e izquierda/derecha como se ve en la fotografía
• 4 ejes de rotación triples diferentes (uno a través de cada par de esquinas opuestas del cubo [a lo largo de cada uno de los pares de brazos/piernas opuestos])
• 6 ejes de rotación dobles diferentes (uno a través del punto medio de cada borde opuesto del cubo visualizado)
• 9 planos espejo que bisecan el cubo visualizado
  • 3 que lo cortan arriba/abajo, izquierda/derecha y adelante/atrás. Estos espejos representan su subsimetría diédrica reflectante D _2h , orden 8 (una simetría subordinada de cualquier objeto con simetría octaédrica)
  • 6 que van a lo largo de las diagonales de las caras opuestas del cubo visualizado (éstas van a lo largo de conjuntos dobles de pares brazo-pierna). Estos espejos representan su subsimetría tetraédrica reflectante T _d , orden 24 (una simetría subordinada de cualquier objeto con simetría octaédrica).

Utilizando los puntos de la sala intermedia, la escultura representa los sistemas de raíces de tipo D4, B4=C4 y F4, es decir, todos los de tipo 4d excepto A4. Permite visualizar la proyección de D4 a B3 y de D4 a G2.

Muchas moléculas tienen la misma simetría que la escultura del Octacubo . La molécula orgánica, cubana (C ₈ H ₈ ), es un ejemplo. Los brazos y las piernas de la escultura son similares a los átomos de hidrógeno que se proyectan hacia afuera. El hexafluoruro de azufre (o cualquier molécula con geometría molecular octaédrica exacta ) también comparte la misma simetría, aunque el parecido no es tan similar.

Moléculas con la misma simetría

Cubano	Hexafluoruro de azufre

El octacubo también muestra paralelismos con conceptos de la física teórica. Su creador, Ocneanu, investiga aspectos matemáticos de la teoría cuántica de campos (QFT, por sus siglas en inglés). El tema ha sido descrito por un ganador de la medalla Fields , Ed Witten , como el área más difícil de la física. ^[2] Parte del trabajo de Ocneanu es construir modelos teóricos, e incluso físicos, de las características de simetría en la QFT. Ocneanu cita la relación de las mitades interna y externa de la estructura como análoga a la relación de las partículas de espín 1/2 (por ejemplo, los electrones ) y las partículas de espín 1 (por ejemplo, los fotones ). ^[1]

Octacube fue encargado y financiado por Jill Anderson, graduada en matemáticas de la PSU en 1965, en memoria de su esposo, Kermit, otro graduado en matemáticas de 1965, que murió en los ataques terroristas del 11 de septiembre . ^[1] Resumiendo el monumento, Anderson dijo: ^[1]

Espero que la escultura anime a los estudiantes, profesores, administradores, exalumnas y amigos a reflexionar y apreciar el maravilloso mundo de las matemáticas. También espero que todos los que vean la escultura comiencen a comprender el hecho aleccionador de que todos somos vulnerables a que nos suceda algo terrible y que todos debemos aprender a vivir un día a la vez, aprovechando al máximo lo que se nos ha dado. Sería fantástico que todos los que vean el Octacube se fueran con la sensación de que ser amable con los demás es una buena forma de vivir.

Anderson también financió una beca de matemáticas en nombre de Kermit, al mismo tiempo que avanzaba el proyecto de la escultura. ^[1]

Penn State ha puesto a disposición una explicación más completa de la escultura, incluyendo cómo se hizo, cómo se financió su construcción y su papel en las matemáticas y la física . ^[1] Además, Ocneanu ha proporcionado su propio comentario. ^[3]

Artistas:

• Salvador Dalí , pintor de alusiones a la cuarta dimensión
• David Smith , un escultor de acero inoxidable abstracto y geométrico.
• Tony Smith , otro creador de grandes esculturas geométricas abstractas

Matemáticas:

• Teoría de grupos , la disciplina matemática que históricamente abarcó gran parte de la investigación sobre simetría.
• Álgebra de operadores y teoría de la representación , áreas de investigación matemática de Ocneanu

Notas

Citas

• Vídeo de Penn State sobre el Octacube
• Vídeo creado por el usuario sobre la imaginación de un objeto de cuatro dimensiones (pero un teseracto). Nótese el análisis de las proyecciones en el minuto 22 aproximadamente y el análisis de las celdas en el modelo en el minuto 35 aproximadamente.

40°47′51.5″N 77°51′43.7″O / 40.797639, -77.862139