Número de bobinado

Análisis matemático → Análisis complejo
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En matemáticas , el número de vueltas o índice de vueltas de una curva cerrada en el plano alrededor de un punto dado es un número entero que representa el número total de veces que la curva se desplaza en sentido antihorario alrededor del punto, es decir, el número de vueltas de la curva . Para ciertas curvas de plano abierto , el número de vueltas puede ser un número no entero. El número de vueltas depende de la orientación de la curva, y es negativo si la curva se desplaza alrededor del punto en el sentido de las agujas del reloj.

Los números sinuosos son objetos fundamentales de estudio en topología algebraica y juegan un papel importante en el cálculo vectorial , el análisis complejo , la topología geométrica , la geometría diferencial y la física (como en la teoría de cuerdas ).

Supongamos que se nos da una curva cerrada y orientada en el plano xy . Podemos imaginar la curva como la trayectoria de movimiento de un objeto, con la orientación indicando la dirección en la que se mueve el objeto. Entonces, el número de vueltas de la curva es igual al número total de vueltas en sentido contrario a las agujas del reloj que da el objeto alrededor del origen.

Al contar el número total de vueltas, el movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj se considera positivo, mientras que el movimiento en el sentido de las agujas del reloj se considera negativo. Por ejemplo, si el objeto primero da cuatro vueltas alrededor del origen en sentido contrario a las agujas del reloj y luego una vuelta alrededor del origen en el sentido de las agujas del reloj, entonces el número total de vueltas de la curva es tres.

Usando este esquema, una curva que no recorre el origen en absoluto tiene un número de vueltas cero, mientras que una curva que recorre el origen en el sentido de las agujas del reloj tiene un número de vueltas negativo. Por lo tanto, el número de vueltas de una curva puede ser cualquier número entero . Las siguientes imágenes muestran curvas con números de vueltas entre −2 y 3:

${\displaystyle \cdots}$
	-2	-1	0
				${\displaystyle \cdots}$
	1	2	3

Sea una trayectoria cerrada continua en el plano menos un punto. El número de vueltas de alrededor es el entero${\displaystyle \gamma :[0,1]\to \mathbb {C} \setminus \{a\}}$${\estilo de visualización \gamma}$${\estilo de visualización a}$

${\displaystyle {\text{viento}}(\gamma ,a)=s(1)-s(0),}$

¿Dónde está la ruta escrita en coordenadas polares, es decir, la ruta levantada a través del mapa de cobertura?${\displaystyle (\rho ,s)}$

${\displaystyle p:\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} \setminus \{a\}:(\rho _{0},s_{0})\mapsto a+\rho _{0}e^{i2\pi s_{0}}.}$

El número de bobinado está bien definido debido a la existencia y unicidad de la trayectoria levantada (dado el punto de partida en el espacio de recubrimiento) y porque todas las fibras de son de la forma (por lo que la expresión anterior no depende de la elección del punto de partida). Es un número entero porque la trayectoria es cerrada.${\estilo de visualización p}$${\displaystyle \rho _{0}\times (s_{0}+\mathbb {Z} )}$

El número de vueltas se suele definir de distintas maneras en distintas partes de las matemáticas. Todas las definiciones que aparecen a continuación son equivalentes a la que se ofrece más arriba:

En 1865, August Ferdinand Möbius ^[1] propuso una regla combinatoria sencilla para definir el número de vueltas y, de nuevo, James Waddell Alexander II la propuso de forma independiente en 1928. ^[2] Cualquier curva divide el plano en varias regiones conectadas, una de las cuales no tiene límites. Los números de vueltas de la curva alrededor de dos puntos de la misma región son iguales. El número de vueltas alrededor de (cualquier punto de) la región no limitada es cero. Por último, los números de vueltas de dos regiones adyacentes difieren exactamente en 1; la región con el número de vueltas más grande aparece en el lado izquierdo de la curva (con respecto al movimiento hacia abajo de la curva).

En geometría diferencial , se suele suponer que las ecuaciones paramétricas son diferenciables (o al menos diferenciables por partes). En este caso, la coordenada polar θ está relacionada con las coordenadas rectangulares x e y mediante la ecuación:

${\displaystyle d\theta ={\frac {1}{r^{2}}}\left(x\,dy-y\,dx\right)\quad {\text{donde }}r^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

Lo cual se obtiene diferenciando la siguiente definición para θ:

${\displaystyle \theta(t)=\arctan {\bigg (}{\frac {y(t)}{x(t)}}{\bigg )}}$

Según el teorema fundamental del cálculo , el cambio total en θ es igual a la integral de dθ . Por lo tanto, podemos expresar el número de vueltas de una curva diferenciable como una integral de línea :

${\displaystyle {\text{viento}}(\gamma ,0)={\frac {1}{2\pi }}\oint _{\gamma }\,\left({\frac {x}{r^{2}}}\,dy-{\frac {y}{r^{2}}}\,dx\right).}$

La forma unitaria dθ (definida en el complemento del origen) es cerrada pero no exacta, y genera el primer grupo de cohomología de De Rham del plano perforado . En particular, si ω es cualquier forma unitaria cerrada diferenciable definida en el complemento del origen, entonces la integral de ω a lo largo de bucles cerrados da un múltiplo del número de vueltas.

Los números de vueltas juegan un papel muy importante en todo el análisis complejo (véase el enunciado del teorema del residuo ). En el contexto del análisis complejo , el número de vueltas de una curva cerrada en el plano complejo se puede expresar en términos de la coordenada compleja z = x + iy . Específicamente, si escribimos z  =  re ^iθ , entonces${\estilo de visualización \gamma}$

${\displaystyle dz=e^{i\theta}dr+ire^{i\theta}d\theta}$

y por lo tanto

${\displaystyle {\frac {dz}{z}}={\frac {dr}{r}}+i\,d\theta =d[\ln r]+i\,d\theta .}$

Como es una curva cerrada, el cambio total en es cero y, por lo tanto, la integral de es igual a multiplicada por el cambio total en . Por lo tanto, el número de vueltas de la trayectoria cerrada alrededor del origen viene dado por la expresión ^[3]${\estilo de visualización \gamma}$${\displaystyle \ln(r)}$${\textstyle {\frac {dz}{z}}}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización \theta}$${\estilo de visualización \gamma}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {dz}{z}}\,.}$

De manera más general, si es una curva cerrada parametrizada por , el número de bobinado de aproximadamente , también conocido como el índice de con respecto a , se define para el complejo como ^[4]${\estilo de visualización \gamma}$${\displaystyle t\in [\alfa ,\beta ]}$${\estilo de visualización \gamma}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$${\estilo de visualización \gamma}$${\displaystyle z_{0}\notin \gamma ([\alpha,\beta])}$

${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\ zeta -z_{0}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {\gamma '(t)}{\gamma (t )-z_{0}}}dt.}$

Este es un caso especial de la famosa fórmula integral de Cauchy .

Algunas de las propiedades básicas del número de bobinado en el plano complejo están dadas por el siguiente teorema: ^[5]

Teorema. Sea un camino cerrado y sea el complemento del conjunto de la imagen de , es decir, . Entonces el índice de con respecto a , ${\displaystyle \gamma :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C} }$${\estilo de visualización \Omega}$${\estilo de visualización \gamma}$${\displaystyle \Omega :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])}$${\estilo de visualización z}$${\estilo de visualización \gamma}$es (i) de valor entero, es decir, para todo ; (ii) constante en cada componente (es decir, subconjunto máximo conexo) de ; y (iii) cero si está en el componente no acotado de .$${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }:\Omega \to \mathbb {C} ,\ \ z\mapsto {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}},}$$${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle z\in \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Omega }$

Como corolario inmediato, este teorema proporciona el número de vueltas de una trayectoria circular alrededor de un punto . Como era de esperar, el número de vueltas cuenta la cantidad de vueltas (en sentido contrario a las agujas del reloj) que da alrededor de :${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle z}$

Corolario. Si la ruta definida por es , entonces${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)={\begin{cases}n,&|z-a|<r;\\0,&|z-a|>r.\end{cases}}}$

En topología , el número de devanado es un término alternativo para el grado de una aplicación continua . En física , los números de devanado se denominan con frecuencia números cuánticos topológicos . En ambos casos, se aplica el mismo concepto.

El ejemplo anterior de una curva que se enrolla alrededor de un punto tiene una interpretación topológica simple. El complemento de un punto en el plano es homotópicamente equivalente al círculo , de modo que las aplicaciones del círculo a sí mismo son realmente todo lo que se necesita considerar. Se puede demostrar que cada una de estas aplicaciones se puede deformar continuamente a (es homotópica a) una de las aplicaciones estándar , donde la multiplicación en el círculo se define identificándola con el círculo unitario complejo. El conjunto de clases de homotopía de las aplicaciones de un círculo a un espacio topológico forman un grupo , que se llama el primer grupo de homotopía o grupo fundamental de ese espacio. El grupo fundamental del círculo es el grupo de los números enteros , Z ; y el número de enrollamiento de una curva compleja es simplemente su clase de homotopía.${\displaystyle S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}}$

Los mapas de la 3-esfera hacia sí misma también se clasifican mediante un número entero que también se denomina número de bobinado o, a veces, índice de Pontryagin .

También se puede considerar el número de vueltas del camino con respecto a la tangente del propio camino. Como camino recorrido a través del tiempo, este sería el número de vueltas con respecto al origen del vector de velocidad. En este caso, el ejemplo ilustrado al principio de este artículo tiene un número de vueltas de 3, porque se cuenta el bucle pequeño.

Esto sólo se define para trayectorias inmersas (es decir, para trayectorias diferenciables sin derivadas que se anulen en ninguna parte) y es el grado del mapa de Gauss tangencial .

Esto se llama número de giro , número de rotación , ^[6] índice de rotación ^[7] o índice de la curva , y se puede calcular como la curvatura total dividida por 2 π .

En los polígonos , el número de giros se denomina densidad de polígonos . Para los polígonos convexos y, más generalmente, los polígonos simples (no autointersecantes), la densidad es 1, según el teorema de la curva de Jordan . Por el contrario, para un polígono en estrella regular { p / q }, la densidad es q .

No se puede definir el número de giro para las curvas espaciales, ya que el grado requiere dimensiones coincidentes. Sin embargo, para curvas espaciales cerradas y localmente convexas , se puede definir el signo de giro de la tangente como , donde es el número de giro de la proyección estereográfica de su indicatriz tangente . Sus dos valores corresponden a las dos clases de homotopía no degeneradas de curvas localmente convexas . ^{[8] [9]}${\displaystyle (-1)^{d}}$${\displaystyle d}$

El número de bobinado está estrechamente relacionado con las ecuaciones ferromagnéticas continuas de Heisenberg de dimensión (2 + 1) y sus extensiones integrables: la ecuación de Ishimori, etc. Las soluciones de las últimas ecuaciones se clasifican por el número de bobinado o carga topológica ( invariante topológico y/o número cuántico topológico ).

El número de giro de un punto con respecto a un polígono se puede utilizar para resolver el problema del punto en el polígono (PIP), es decir, se puede utilizar para determinar si el punto está dentro del polígono o no.

En general, el algoritmo de proyección de rayos es una mejor alternativa al problema PIP, ya que no requiere funciones trigonométricas, a diferencia del algoritmo de número de vueltas. Sin embargo, el algoritmo de número de vueltas se puede acelerar para que tampoco requiera cálculos que involucren funciones trigonométricas. ^[10] La versión acelerada del algoritmo, también conocida como algoritmo de Sunday, se recomienda en casos en los que también se deben tener en cuenta polígonos no simples.

• Número de bobinado en PlanetMath .