Enlace de Hopf
En la teoría matemática de nudos , el enlace de Hopf es el enlace no trivial más simple con más de un componente. [1] Consiste en dos círculos unidos exactamente una vez, [2] y recibe su nombre de Heinz Hopf . [3]
Realización geométrica
Un modelo concreto consta de dos círculos unitarios en planos perpendiculares, cada uno pasando por el centro del otro. [2] Este modelo minimiza la longitud de la cuerda del eslabón y hasta 2002 el eslabón de Hopf era el único eslabón cuya longitud de cuerda se conocía. [4] La envoltura convexa de estos dos círculos forma una figura llamada oloide . [5]
Propiedades
Dependiendo de las orientaciones relativas de los dos componentes, el número de enlace del enlace de Hopf es ±1. [6]
El enlace de Hopf es un enlace de toro (2,2) [7] con la palabra trenzada [8]
El complemento de nudos del enlace de Hopf es R × S 1 × S 1 , el cilindro sobre un toro . [9] Este espacio tiene una geometría euclidiana local , por lo que el enlace de Hopf no es un enlace hiperbólico . El grupo de nudos del enlace de Hopf (el grupo fundamental de su complemento) es Z 2 (el grupo abeliano libre en dos generadores), lo que lo distingue de un par de bucles no enlazados que tiene como grupo el grupo libre en dos generadores. [10]
El enlace de Hopf no es tricolor : no es posible colorear las hebras de su diagrama con tres colores, de modo que se utilicen al menos dos de los colores y de modo que cada cruce tenga uno o tres colores presentes. Cada enlace tiene solo una hebra, y si a ambas hebras se les da el mismo color, entonces se utiliza solo un color, mientras que si se les dan colores diferentes, entonces los cruces tendrán dos colores presentes.
Paquete de Hopf
La fibración de Hopf es una función continua de la 3-esfera (una superficie tridimensional en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones) en la más familiar 2-esfera , con la propiedad de que la imagen inversa de cada punto en la 2-esfera es un círculo. Por lo tanto, estas imágenes descomponen la 3-esfera en una familia continua de círculos, y cada dos círculos distintos forman un enlace de Hopf. Esta fue la motivación de Hopf para estudiar el enlace de Hopf: debido a que cada dos fibras están vinculadas, la fibración de Hopf es una fibración no trivial . Este ejemplo inició el estudio de los grupos de homotopía de esferas . [11]
Biología
El enlace de Hopf también está presente en algunas proteínas. [12] [13] Consiste en dos bucles covalentes, formados por fragmentos de la estructura de la proteína , cerrados con enlaces disulfuro . La topología del enlace de Hopf está altamente conservada en las proteínas y contribuye a su estabilidad. [12]
Historia
El enlace de Hopf recibe su nombre del topólogo Heinz Hopf , quien lo consideró en 1931 como parte de su investigación sobre la fibración de Hopf . [14] Sin embargo, en matemáticas, Carl Friedrich Gauss lo conocía antes del trabajo de Hopf. [3] También se ha utilizado durante mucho tiempo fuera de las matemáticas, por ejemplo, como el escudo de Buzan-ha , una secta budista japonesa fundada en el siglo XVI.
Véase también
- Anillos borromeos , un eslabón con tres bucles cerrados
- Catenano , una molécula con dos bucles enlazados
- Nudo de Salomón , dos bucles que están doblemente unidos
Referencias
- ^ Adams, Colin Conrad (2004), El libro de los nudos: una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos, American Mathematical Society, pág. 151, ISBN 9780821836781.
- ^ ab Kusner, Robert B.; Sullivan, John M. (1998), "Sobre la distorsión y el grosor de los nudos", Topología y geometría en la ciencia de los polímeros (Minneapolis, MN, 1996) , IMA Vol. Math. Appl., vol. 103, Nueva York: Springer, págs. 67–78, doi :10.1007/978-1-4612-1712-1_7, MR 1655037. Véase en particular la pág. 77.
- ^ ab Prasolov, VV; Sossinsky, AB (1997), Nudos, enlaces, trenzas y 3-variedades: Una introducción a los nuevos invariantes en topología de baja dimensión, Traducciones de monografías matemáticas, vol. 154, Providence, RI: American Mathematical Society, p. 6, ISBN 0-8218-0588-6, Sr. 1414898.
- ^ Cantarella, Jason; Kusner, Robert B.; Sullivan, John M. (2002), "Sobre la longitud mínima de nudos y eslabones", Inventiones Mathematicae , 150 (2): 257–286, arXiv : math/0103224 , Bibcode :2002InMat.150..257C, doi :10.1007/s00222-002-0234-y, MR 1933586, S2CID 730891.
- ^ Dirnböck, Hans; Stachel, Hellmuth (1997), "El desarrollo del oloide" (PDF) , Journal for Geometry and Graphics , 1 (2): 105–118, MR 1622664.
- ^ Adams (2004), pág. 21.
- ^ Kauffman, Louis H. (1987), Sobre nudos, Anales de estudios matemáticos, vol. 115, Princeton University Press, pág. 373, ISBN 9780691084350.
- ^ Adams (2004), Ejercicio 5.22, pág. 133.
- ^ Turaev, Vladimir G. (2010), Invariantes cuánticos de nudos y variedades tridimensionales, Estudios de De Gruyter en matemáticas, vol. 18, Walter de Gruyter, p. 194, ISBN 9783110221831.
- ^ Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica, pág. 24, ISBN 9787302105886.
- ^ Shastri, Anant R. (2013), Topología algebraica básica, CRC Press, pág. 368, ISBN 9781466562431.
- ^ ab Dabrowski-Tumanski, Pawel; Sulkowska, Joanna I. (28 de marzo de 2017), "Nudos y enlaces topológicos en proteínas", Actas de la Academia Nacional de Ciencias , 114 (13): 3415–3420, Bibcode :2017PNAS..114.3415D, doi : 10.1073/pnas.1615862114 , ISSN 0027-8424, PMC 5380043 , PMID 28280100
- ^ Dabrowski-Tumanski, Pawel; Jarmolinska, Aleksandra I.; Niemyska, Wanda; Rawdon, Eric J.; Millett, Kenneth C.; Sulkowska, Joanna I. (4 de enero de 2017), "LinkProt: una base de datos que recopila información sobre enlaces biológicos", Nucleic Acids Research , 45 (D1): D243–D249, doi :10.1093/nar/gkw976, ISSN 0305-1048, PMC 5210653 , PMID 27794552
- ^ Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen , 104 (1), Berlín: Springer : 637–665, doi :10.1007/BF01457962, S2CID 123533891.
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. , "Enlace de Hopf", MathWorld
- "Enlace de Hopf", El Atlas de Nudos .
- "LinkProt" - la base de datos de enlaces de proteínas conocidos.
