n-esfera

En matemáticas , una n -esfera o hiperesfera es una generalización ⁠ ⁠${\estilo de visualización n}$ -dimensional del círculo ⁠ ⁠ -dimensional y la esfera ⁠ ⁠ -dimensional a cualquier entero no negativo ⁠ ⁠ . El círculo se considera unidimensional y la esfera bidimensional, porque las superficies en sí son unidimensionales y bidimensionales respectivamente, no porque existan como formas en el espacio unidimensional y bidimensional. Como tal, la ⁠ ⁠ -esfera es el escenario de la geometría esférica ⁠ ⁠ -dimensional .${\estilo de visualización 1}$${\estilo de visualización 2}$ ${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$

Considerada extrínsecamente, como una hipersuperficie incrustada en un espacio euclidiano de dimensión ⁠ ⁠${\estilo de visualización (n+1)}$ -dimensional , una ⁠ ⁠ -esfera es el lugar geométrico de los puntos a igual distancia (el radio ) de un punto central dado . Su interior , que consiste en todos los puntos más cercanos al centro que el radio, es una ⁠ ⁠ -esfera dimensional . En particular:${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización (n+1)}$

• La ⁠ ⁠${\estilo de visualización 0}$ -esfera es el par de puntos en los extremos de un segmento de línea ( ⁠ ⁠${\estilo de visualización 1}$ -bola).
• La ⁠ ⁠${\estilo de visualización 1}$ -esfera es un círculo , la circunferencia de un disco ( ⁠ ⁠ -bola) en el ${\estilo de visualización 2}$plano bidimensional .
• La ⁠ ⁠${\estilo de visualización 2}$ -esfera, a menudo llamada simplemente esfera, es el límite de una ⁠ ⁠${\estilo de visualización 3}$ -bola en el espacio tridimensional .
• La 3 -esfera es el límite de una ⁠ ⁠-${\estilo de visualización 4}$ bola en el espacio de cuatro dimensiones .
• La ⁠ ⁠${\estilo de visualización (n-1)}$ -esfera es el límite de una ⁠ ⁠${\estilo de visualización n}$ -bola.

Dado un sistema de coordenadas cartesianas , la esfera unitaria de${\estilo de visualización n}$ radio se puede definir como :${\estilo de visualización 1}$

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\}.}$

Considerada intrínsecamente, cuando ⁠ ⁠${\displaystyle n\geq 1}$ , la ⁠ ⁠${\estilo de visualización n}$ -esfera es una variedad riemanniana de curvatura constante positiva , y es orientable . Las geodésicas de la ⁠ ⁠${\estilo de visualización n}$ -esfera se denominan círculos máximos .

La proyección estereográfica proyecta la -esfera${\estilo de visualización n}$ sobre el -espacio con un único ${\estilo de visualización n}$punto adyacente en el infinito; bajo la métrica así definida, hay un modelo para la -esfera .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$${\estilo de visualización n}$

En el contexto más general de la topología , cualquier espacio topológico que sea homeomorfo a la unidad -esfera ${\estilo de visualización n}$se llama -esfera${\estilo de visualización n}$ . Bajo la proyección estereográfica inversa, la -esfera es la compactificación de un punto del -espacio . Las -esferas admiten varias otras descripciones topológicas: por ejemplo, pueden construirse pegando dos espacios -dimensionales , identificando el límite de un -cubo con un punto, o (inductivamente) formando la suspensión de una -esfera . Cuando está simplemente conexa ; la -esfera (círculo) no está simplemente conexa; la -esfera ni siquiera está conexa, y consiste en dos puntos discretos .${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización (n-1)}$${\displaystyle n\geq 2}$${\estilo de visualización 1}$${\estilo de visualización 0}$

Para cualquier número natural ,${\estilo de visualización n}$ una -esfera${\estilo de visualización n}$ de radio se define como el conjunto de puntos en el ${\estilo de visualización r}$espacio euclidiano de dimensión ⁠${\estilo de visualización (n+1)}$ ⁠ que están a distancia de algún punto fijo ⁠ ⁠ , donde ⁠ ⁠ puede ser cualquier número real positivo y donde ⁠ ⁠ puede ser cualquier punto en el espacio de dimensión ⁠ ⁠ . En particular:${\estilo de visualización r}$${\displaystyle \mathbf {c}}$${\estilo de visualización r}$ ${\displaystyle \mathbf {c}}$${\estilo de visualización (n+1)}$

• una 0-esfera es un par de puntos ⁠ ⁠${\displaystyle \{cr,c+r\}}$ , y es el límite de un segmento de línea ( ⁠ ⁠${\estilo de visualización 1}$ -bola).
• Una 1 -esfera es un círculo de radio ⁠ ⁠${\estilo de visualización r}$ centrado en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {c}}$ , y es el límite de un disco ( ⁠ ⁠${\estilo de visualización 2}$ -bola).
• Una 2 -esfera es una esfera ordinaria de dimensión ⁠ ⁠ en${\estilo de visualización 2}$ un espacio euclidiano de dimensión ⁠ ⁠, y es el límite de una bola ordinaria ( ⁠ ⁠ -bola).${\estilo de visualización 3}$${\estilo de visualización 3}$
• Una esfera tridimensional es una esfera tridimensional en un ${\estilo de visualización 3}$espacio euclidiano tridimensional${\estilo de visualización 4}$ .

El conjunto de puntos en el ⁠ ⁠${\estilo de visualización (n+1)}$ -espacio, ⁠ ⁠${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}$ , que definen una ⁠ ⁠${\estilo de visualización n}$ -esfera, ⁠ ⁠$Estilo de visualización S^{n}(r)}$ , está representado por la ecuación:

${\displaystyle r^{2}=\suma _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},}$

donde ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {c} = (c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n+1})}$ es un punto central, y ⁠ ⁠${\estilo de visualización r}$ es el radio.

La ⁠ ⁠ ${\estilo de visualización n}$-esfera anterior existe en el espacio euclidiano de dimensión ⁠ ⁠${\estilo de visualización (n+1)}$ y es un ejemplo de una ⁠ ⁠${\estilo de visualización n}$ -variedad . La forma de volumen ⁠ ⁠ de una ⁠ ⁠ -esfera de radio ⁠ ⁠ está dada por ${\estilo de visualización \omega}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización r}$

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}={\star }dr}$

donde es el operador de estrella de Hodge ; véase Flanders (1989, §6.1) para una discusión y prueba de esta fórmula en el caso ⁠ ⁠ . Como resultado,${\displaystyle {\star }}$${\displaystyle r=1}$

${\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}$

El espacio encerrado por una ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -esfera se llama ⁠ ⁠ -bola${\displaystyle (n+1)}$ . Una ⁠ ⁠ -esfera está cerrada si incluye la ⁠ ⁠ -esfera, y está abierta si no incluye la ⁠ ⁠ -esfera.${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Específicamente:

• Una ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ - bola , un segmento de línea , es el interior de una 0-esfera.
• Una ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ - bola , un disco , es el interior de un círculo ( ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -esfera).
• Una ⁠ ⁠${\displaystyle 3}$ - bola , una bola ordinaria , es el interior de una esfera ( ⁠ ⁠-${\displaystyle 2}$ esfera).
• Una ⁠ ⁠${\displaystyle 4}$ - bola es el interior de una 3 -esfera , etc.

Topológicamente , una -esfera${\displaystyle n}$ se puede construir como una compactificación de un punto del espacio euclidiano de dimensión${\displaystyle n}$ . Brevemente, la -esfera ${\displaystyle n}$se puede describir como , que${\displaystyle S^{n}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$ es un espacio euclidiano de dimensión${\displaystyle n}$ , más un único punto que representa el infinito en todas las direcciones. En particular, si se elimina un único punto de una -esfera ,${\displaystyle n}$ se vuelve homeomorfa a . Esto forma la base de la proyección estereográfica . ^[1]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Sea ⁠ ⁠${\displaystyle S_{n-1}}$ el área de la superficie de la esfera unitaria de radio${\displaystyle (n-1)}$ incrustada en${\displaystyle 1}$ el espacio euclidiano de dimensión ⁠ ⁠ y sea ⁠ ${\displaystyle n}$⁠ el volumen${\displaystyle V_{n}}$ de su interior, la bola unitaria . El${\displaystyle n}$ área de la superficie de una esfera arbitraria es${\displaystyle (n-1)}$ proporcional a la ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ potencia del radio, y el volumen de una bola arbitraria es ${\displaystyle n}$proporcional a la ⁠ ${\displaystyle n}$⁠ potencia del radio.

La bola ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ a veces se define como un único punto. La medida de Hausdorff ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ -dimensional es el número de puntos en un conjunto. Por lo tanto

${\displaystyle V_{0}=1.}$

Una ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -bola es un segmento de línea cuyos puntos tienen una sola coordenada en el intervalo ⁠ ⁠${\displaystyle [-1,1]}$ de longitud ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ , y la ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ -esfera consiste en sus dos puntos finales, con coordenada ⁠ ⁠${\displaystyle \{-1,1\}}$ .

${\displaystyle S_{0}=2,\quad V_{1}=2.}$

Una ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -esfera unitaria es el círculo unitario en el plano euclidiano, y su interior es el disco unitario ( ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ -bola).

${\displaystyle S_{1}=2\pi ,\quad V_{2}=\pi .}$

El interior de una 2-esfera en el espacio tridimensional es la unidad -bola${\displaystyle 3}$ .

${\displaystyle S_{2}=4\pi ,\quad V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi .}$

En general, ⁠ ⁠${\displaystyle S_{n-1}}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle V_{n}}$ se dan en forma cerrada mediante las expresiones

${\displaystyle S_{n-1}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}},\quad V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}+1{\bigr )}}}}$

donde ⁠ ⁠${\displaystyle \Gamma }$ es la función gamma .

A medida que tiende a infinito${\displaystyle n}$ , el volumen de la bola unitaria ( relación${\displaystyle n}$ entre el volumen de una bola de${\displaystyle n}$ radio y${\displaystyle 1}$ un cubo de lado ) tiende a cero. [ ^2] ${\displaystyle n}$${\displaystyle 1}$

El área de la superficie , o propiamente el volumen dimensional , de la esfera ${\displaystyle n}$en el${\displaystyle n}$ límite de la bola de${\displaystyle (n+1)}$ radio está${\displaystyle R}$ relacionado con el volumen de la bola mediante la ecuación diferencial

${\displaystyle S_{n}R^{n}={\frac {dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^{n}}.}$

De manera equivalente, representando la unidad ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -esfera como una unión de capas de ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ -esferas concéntricas ,

${\displaystyle V_{n+1}=\int _{0}^{1}S_{n}r^{n}\,dr={\frac {1}{n+1}}S_{n}.}$

También podemos representar la unidad ⁠ ⁠${\displaystyle (n+2)}$ -esfera como una unión de productos de un círculo ( ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -esfera) con una ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -esfera. Entonces ⁠ ⁠${\displaystyle S_{n+2}=2\pi V_{n+1}}$ . Como ⁠ ⁠${\displaystyle S_{1}=2\pi V_{0}}$ , la ecuación

${\displaystyle S_{n+1}=2\pi V_{n}}$

se cumple para todos ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ . Junto con los casos base ⁠ ⁠${\displaystyle S_{0}=2}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle V_{1}=2}$ de arriba, estas recurrencias se pueden usar para calcular el área de superficie de cualquier esfera o el volumen de cualquier bola.

Podemos definir un sistema de coordenadas en un espacio euclidiano de dimensión ⁠${\displaystyle n}$ ⁠ que sea análogo al sistema de coordenadas esféricas definido para el espacio euclidiano de dimensión ⁠${\displaystyle 3}$ ⁠ , en el que las coordenadas consisten en una coordenada radial ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ , y coordenadas angulares ⁠ ${\displaystyle n-1}$⁠ ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n-1}}$, donde los ángulos ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n-2}}$ varían en radianes${\displaystyle [0,\pi ]}$ (o ⁠ ⁠${\displaystyle [0,180]}$ grados) y ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi _{n-1}}$ varían en radianes${\displaystyle [0,2\pi )}$ (o ⁠ ⁠${\displaystyle [0,360)}$ grados). Si ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{i}}$son las coordenadas cartesianas, entonces podemos calcular ⁠ ⁠${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ a partir de ⁠ ⁠${\displaystyle r,\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n-1}}$ con: ^{[3] [a]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\varphi _{1}),\\[5mu]x_{2}&=r\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2}),\\[5mu]x_{3}&=r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\cos(\varphi _{3}),\\&\qquad \vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1}),\\[5mu]x_{n}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}).\end{aligned}}}$

Excepto en los casos especiales que se describen a continuación, la transformación inversa es única:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}+{x_{1}}^{2}}}},\\[5mu]\varphi _{1}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}},x_{1}\right),\\[5mu]\varphi _{2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{3}}^{2}}}},x_{2}\right),\\&\qquad \vdots \\\varphi _{n-2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}},x_{n-2}\right),\\[5mu]\varphi _{n-1}&=\operatorname {atan2} \left(x_{n},x_{n-1}\right).\end{aligned}}}$

donde atan2 es la función arcotangente de dos argumentos.

Hay algunos casos especiales en los que la transformada inversa no es única; ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi _{k}}$ para cualquier ⁠ ⁠${\displaystyle k}$ será ambigua siempre que todos ⁠ ⁠${\displaystyle x_{k},x_{k+1},\ldots x_{n}}$ sean cero; en este caso ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi _{k}}$ puede elegirse que sea cero. (Por ejemplo, para la ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ -esfera, cuando el ángulo polar es ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ o ⁠ ⁠${\displaystyle \pi }$ entonces el punto es uno de los polos, cenit o nadir, y la elección del ángulo azimutal es arbitraria).

Para expresar el elemento de volumen del espacio euclidiano ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -dimensional en términos de coordenadas esféricas, sean ⁠ ⁠${\displaystyle s_{k}=\sin \varphi _{k}}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle c_{k}=\cos \varphi _{k}}$ para concisión, luego observe que la matriz jacobiana de la transformación es:

${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}c_{1}&-rs_{1}&0&0&\cdots &0\\s_{1}c_{2}&rc_{1}c_{2}&-rs_{1}s_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\&&&&&0\\s_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}&\cdots &\cdots &&&-rs_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}\\s_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}&rc_{1}\cdots s_{n-1}&\cdots &&&{\phantom {-}}rs_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}\end{pmatrix}}.}$

El determinante de esta matriz se puede calcular por inducción. Cuando ⁠ ⁠${\displaystyle n=2}$ , un cálculo sencillo muestra que el determinante es ⁠ ⁠ . Para ${\displaystyle r}$⁠ ⁠${\displaystyle n}$ mayores , observe que ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$ se puede construir a partir de ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n-1}}$ de la siguiente manera. Excepto en la columna ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ , las filas ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ de ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$ son iguales que la fila ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ de ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n-1}}$ , pero multiplicadas por un factor adicional de ⁠ ⁠${\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$ en la fila ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ y un factor adicional de ⁠ ⁠${\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}$ en la fila ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ . En la columna ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ , las filas ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ de ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$ son las mismas que la columna ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ de la fila ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ de ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n-1}}$ , pero multiplicadas por factores adicionales de ⁠ ⁠${\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}$ en la fila ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$ en la fila ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ , respectivamente. El determinante de ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$ se puede calcular por expansión de Laplace en la columna final. Por la descripción recursiva de ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$ , la submatriz formada al eliminar la entrada en ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1,n)}$ y su fila y columna es casi igual a ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n-1}}$ , excepto que su última fila se multiplica por ⁠ ⁠${\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}$ . De manera similar, la submatriz formada al eliminar la entrada en ⁠ ⁠${\displaystyle (n,n)}$ y su fila y columna es casi igual a ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n-1}}$ , excepto que su última fila se multiplica por ⁠ ⁠${\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$ . Por lo tanto, el determinante de ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$ es

${\displaystyle {\begin{aligned}|J_{n}|&=(-1)^{(n-1)+n}(-rs_{1}\dotsm s_{n-2}s_{n-1})(s_{n-1}|J_{n-1}|)\\&\qquad {}+(-1)^{n+n}(rs_{1}\dotsm s_{n-2}c_{n-1})(c_{n-1}|J_{n-1}|)\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2}|J_{n-1}|(s_{n-1}^{2}+c_{n-1}^{2})\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2})|J_{n-1}|.\end{aligned}}}$

La inducción proporciona entonces una expresión de forma cerrada para el elemento de volumen en coordenadas esféricas.

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial \left(r,\varphi _{j}\right)}}\right|dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.\end{aligned}}}$

La fórmula para el volumen de la bola se${\displaystyle n}$ puede derivar de esto mediante integración.

De manera similar, el elemento de área de superficie de la ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ -esfera de radio ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ , que generaliza el elemento de área de la ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ -esfera, está dado por

${\displaystyle d_{S^{n-1}}V=R^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.}$

La elección natural de una base ortogonal sobre las coordenadas angulares es un producto de polinomios ultrasféricos ,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{n-j-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)\,d\varphi _{j}\\[6pt]&={\frac {2^{3-n+j}\pi \Gamma (s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}}$

para ⁠ ⁠${\displaystyle j=1,2,\ldots ,n-2}$ , y el ⁠ ⁠${\displaystyle e^{is\varphi _{j}}}$ para el ángulo ⁠ ⁠${\displaystyle j=n-1}$ en concordancia con los armónicos esféricos .

El sistema de coordenadas esféricas estándar surge de escribir ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ como el producto ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1}}$ . Estos dos factores pueden relacionarse utilizando coordenadas polares. Para cada punto ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {x} }$ de , las coordenadas cartesianas estándar${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},z_{1},\dots ,z_{n-1})=(y_{1},\mathbf {z} )}$

se puede transformar en un sistema de coordenadas polar-cartesiano mixto:

${\displaystyle \mathbf {x} =(r\sin \theta ,(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

Esto dice que los puntos en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ pueden expresarse tomando el rayo que comienza en el origen y pasa por , rotándolo hacia , y recorriendo una distancia a lo largo del rayo. La repetición de esta descomposición conduce eventualmente al sistema de coordenadas esféricas estándar.${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}=\mathbf {z} /\lVert \mathbf {z} \rVert \in S^{n-2}}$${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$${\displaystyle \theta =\arcsin y_{1}/r}$${\displaystyle r=\lVert \mathbf {x} \rVert }$

Los sistemas de coordenadas polisféricas surgen de una generalización de esta construcción. ^[4] El espacio ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ se divide como el producto de dos espacios euclidianos de menor dimensión, pero no se requiere que ninguno de los dos espacios sea una línea. Específicamente, supongamos que ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle q}$ son números enteros positivos tales que ⁠ ⁠${\displaystyle n=p+q}$ . Entonces ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}$ . Usando esta descomposición, un punto ⁠ ⁠${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ puede escribirse como

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},\dots ,y_{p},z_{1},\dots ,z_{q})=(\mathbf {y} ,\mathbf {z} ).}$

Esto se puede transformar en un sistema de coordenadas polar-cartesiano mixto escribiendo:

${\displaystyle \mathbf {x} =((r\sin \theta ){\hat {\mathbf {y} }},(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

Aquí y son los vectores unitarios asociados a ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ . Esto expresa ⁠ ⁠ en términos de ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , y un ángulo ⁠ ⁠ . Se puede demostrar que el dominio de ⁠ ⁠ es ⁠ ⁠ si ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ si exactamente uno de ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ es ⁠ ⁠ , y ⁠ ⁠ si ni ⁠ ⁠ ni ⁠ ⁠ son ⁠ ⁠ . La transformación inversa es${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\in S^{p-1}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}\in S^{q-1}}$${\displaystyle r\geq 0}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle [0,2\pi )}$${\displaystyle p=q=1}$${\displaystyle [0,\pi ]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle [0,\pi /2]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=\lVert \mathbf {x} \rVert ,\\\theta &=\arcsin {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arccos {\frac {\lVert \mathbf {z} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arctan {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {z} \rVert }}.\end{aligned}}}$

Estas divisiones pueden repetirse siempre que uno de los factores involucrados tenga dimensión dos o mayor. Un sistema de coordenadas poliesférico es el resultado de repetir estas divisiones hasta que no queden coordenadas cartesianas. Las divisiones posteriores a la primera no requieren una coordenada radial porque los dominios de y son esferas, por lo que las coordenadas de un sistema de coordenadas poliesférico son un radio no negativo y ángulos . Los posibles sistemas de coordenadas poliesféricos corresponden a árboles binarios con hojas . Cada nodo que no es hoja en el árbol corresponde a una división y determina una coordenada angular. Por ejemplo, la raíz del árbol representa , y sus hijos inmediatos representan la primera división en y . Los nodos hoja corresponden a coordenadas cartesianas para . Las fórmulas para convertir de coordenadas polisféricas a coordenadas cartesianas se pueden determinar hallando los caminos desde los nodos raíz hasta los nodos hoja. Estas fórmulas son productos con un factor para cada rama tomada por el camino. Para un nodo cuya coordenada angular correspondiente es ⁠ ⁠ , tomar la rama izquierda introduce un factor de ⁠ ⁠ y tomar la rama derecha introduce un factor de ⁠ ⁠ . La transformación inversa, de coordenadas polisféricas a coordenadas cartesianas, se determina agrupando nodos. Cada par de nodos que tienen un padre común se puede convertir de un sistema de coordenadas polares-cartesianas mixto a un sistema de coordenadas cartesianas utilizando las fórmulas anteriores para una división.${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \sin \theta _{i}}$${\displaystyle \cos \theta _{i}}$

Las coordenadas polisféricas también tienen una interpretación en términos del grupo ortogonal especial . Una división determina${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}$ un subgrupo .

${\displaystyle \operatorname {SO} _{p}(\mathbb {R} )\times \operatorname {SO} _{q}(\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {SO} _{n}(\mathbb {R} ).}$

Este es el subgrupo que deja fijos cada uno de los dos factores . Elegir un conjunto de coconjuntos representativos para el cociente es lo mismo que elegir ángulos representativos para este paso de la descomposición de coordenadas poliesféricas.${\displaystyle S^{p-1}\times S^{q-1}\subseteq S^{n-1}}$

En coordenadas poliesféricas, la medida del volumen en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ y la medida del área en ⁠ ⁠${\displaystyle S^{n-1}}$ son productos. Hay un factor para cada ángulo, y la medida del volumen en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ también tiene un factor para la coordenada radial. La medida del área tiene la forma:

${\displaystyle dA_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i},}$

donde los factores ⁠ ⁠${\displaystyle F_{i}}$ están determinados por el árbol. De manera similar, la medida del volumen es

${\displaystyle dV_{n}=r^{n-1}\,dr\,\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i}.}$

Supongamos que tenemos un nodo del árbol que corresponde a la descomposición ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n_{1}+n_{2}}=\mathbb {R} ^{n_{1}}\times \mathbb {R} ^{n_{2}}}$ y que tiene coordenadas angulares ⁠ ⁠${\displaystyle \theta }$ . El factor correspondiente ⁠ ⁠${\displaystyle F}$ depende de los valores de ⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle n_{2}}$ . Cuando la medida del área se normaliza de modo que el área de la esfera sea ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ , estos factores son los siguientes. Si ⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}=n_{2}=1}$ , entonces

${\displaystyle F(\theta )={\frac {d\theta }{2\pi }}.}$

Si ⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}>1}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle n_{2}=1}$ , y si ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {B} }$ denota la función beta , entonces

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\sin ^{n_{1}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {1}{2}})}}\,d\theta .}$

Si y , entonces​​${\displaystyle n_{1}=1}$​${\displaystyle n_{2}>1}$

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\cos ^{n_{2}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

Finalmente, si tanto ⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}}$ como ⁠ ⁠${\displaystyle n_{2}}$ son mayores que uno, entonces

${\displaystyle F(\theta )={\frac {(\sin ^{n_{1}-1}\theta )(\cos ^{n_{2}-1}\theta )}{{\frac {1}{2}}\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

Así como una esfera bidimensional incrustada en tres dimensiones puede ser mapeada en un plano bidimensional mediante una proyección estereográfica , una ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -esfera puede ser mapeada en un hiperplano ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -dimensional mediante la versión ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -dimensional de la proyección estereográfica. Por ejemplo, el punto ⁠ ⁠${\displaystyle [x,y,z]}$ en una esfera bidimensional de radio ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ se mapea al punto ⁠ ⁠${\displaystyle {\bigl [}{\tfrac {x}{1-z}},{\tfrac {y}{1-z}}{\bigr ]}}$ en el ⁠ ⁠${\displaystyle xy}$ plano. En otras palabras,

${\displaystyle [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].}$

De la misma manera , la proyección estereográfica de una -esfera ${\displaystyle n}$de radio ${\displaystyle S^{n}}$se asignará al hiperplano de dimensión perpendicular al eje como${\displaystyle 1}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}$

Para generar puntos aleatorios distribuidos uniformemente en la esfera unitaria ( es${\displaystyle (n-1)}$ decir, la superficie de la bola unitaria ) ,${\displaystyle n}$ Marsaglia (1972) da el siguiente algoritmo.

Generar un vector ⁠ ⁠ -dimensional de ${\displaystyle n}$desviaciones normales (basta con utilizar ⁠ ⁠${\displaystyle N(0,1)}$ , aunque de hecho la elección de la varianza es arbitraria), ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ . Ahora calcular el "radio" de este punto:

${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

El vector ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} }$ se distribuye uniformemente sobre la superficie de la unidad ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -bola.

Una alternativa dada por Marsaglia es seleccionar aleatoriamente de manera uniforme un punto ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ en el cubo unitario n muestreando cada ⁠ ⁠${\displaystyle x_{i}}$ independientemente de la distribución uniforme sobre ⁠ ⁠${\displaystyle (-1,1)}$ , calculando ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ como se indicó anteriormente, y rechazando el punto y volviendo a muestrear si ⁠ ⁠${\displaystyle r\geq 1}$ (es decir, si el punto no está en la ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -bola), y cuando se obtiene un punto en la bola, escalarlo hasta la superficie esférica por el factor ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}}$ ; luego, nuevamente , ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} }$ se distribuye uniformemente sobre la superficie de la ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -bola unitaria. Este método se vuelve muy ineficiente para dimensiones superiores, ya que una fracción extremadamente pequeña del cubo unitario está contenida en la esfera. En diez dimensiones, menos del 2% del cubo está lleno por la esfera, por lo que típicamente se necesitarán más de 50 intentos. En setenta dimensiones, se llena menos de una parte del cubo, lo que significa que normalmente se necesitarán un billón de cuatrillones de ensayos, mucho más de lo que una computadora podría llevar a cabo.${\displaystyle 10^{-24}}$

Con un punto seleccionado uniformemente al azar de la superficie de la esfera unitaria ( por${\displaystyle (n-1)}$ ejemplo, utilizando el algoritmo de Marsaglia), solo se necesita un radio para obtener un punto uniformemente al azar de dentro de la esfera unitaria . Si${\displaystyle n}$ ⁠ ⁠ es${\displaystyle u}$ un número generado uniformemente al azar a partir del intervalo ⁠ ⁠${\displaystyle [0,1]}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {x} }$ es un punto seleccionado uniformemente al azar de la esfera unitaria , entonces${\displaystyle (n-1)}$ ⁠ ⁠ está${\displaystyle u^{1/n}\mathbf {x} }$ distribuido uniformemente dentro de la esfera unitaria${\displaystyle n}$ .

Alternativamente, los puntos pueden ser muestreados uniformemente desde dentro de la esfera unitaria mediante una${\displaystyle n}$ reducción desde la esfera unitaria . En${\displaystyle (n+1)}$ particular, si ⁠ ⁠${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+2})}$ es un punto seleccionado uniformemente desde la esfera unitaria , entonces${\displaystyle (n+1)}$ ⁠ ⁠ se${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ distribuye uniformemente dentro de la esfera unitaria ( es${\displaystyle n}$ decir, simplemente descartando dos coordenadas). ^[5]

Si ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ es suficientemente grande, la mayor parte del volumen de la ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -bola estará contenido en la región muy cercana a su superficie, por lo que un punto seleccionado de ese volumen probablemente también estará cerca de la superficie. Este es uno de los fenómenos que conducen a la llamada maldición de la dimensionalidad que surge en algunas aplicaciones numéricas y de otro tipo.

Sea ⁠ ⁠${\displaystyle y=x_{1}^{2}}$ el cuadrado de la primera coordenada de un punto muestreado uniformemente al azar de la ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ -esfera, entonces su función de densidad de probabilidad, para , es ${\displaystyle y\in [0,1]}$

$${\displaystyle \rho (y)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}{{\sqrt {\pi }}\;\Gamma {\bigl (}{\frac {n-1}{2}}{\bigr )}}}(1-y)^{(n-3)/2}y^{-1/2}.}$$

Sea la versión escalada apropiadamente, entonces en el límite, la función de densidad de probabilidad de converge a . Esto a veces se denomina distribución de Porter-Thomas. ^[6]${\displaystyle z=y/N}$${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle z}$${\displaystyle (2\pi ze^{z})^{-1/2}}$

0 -esfera

El par de puntos ⁠ ⁠${\displaystyle \{\pm R\}}$ con la topología discreta para algún ⁠ ⁠${\displaystyle R>0}$ . La única esfera que no está conexa por trayectorias . Paralelizable .

1 -esfera

Comúnmente llamado círculo . Tiene un grupo fundamental no trivial. Estructura del grupo de Lie abeliano U(1) ; el grupo del círculo . Homeomorfo a la línea proyectiva real .

2- esfera

Comúnmente llamada simplemente esfera . Para su estructura compleja, véase esfera de Riemann . Homeomorfa de la línea proyectiva compleja

3- esfera

Paralelizable, haz principal U(1) sobre la ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ -esfera, estructura de grupo de Lie Sp(1) .

4- esfera

Homeomorfo a la línea proyectiva cuaterniónica , ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {HP} ^{1}}$ . ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {SO} (5)/\operatorname {SO} (4)}$ .

5- esfera

Fibrado principal U (1) sobre el espacio proyectivo complejo ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$ . ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {SO} (6)/\operatorname {SO} (5)=\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SU} (2)}$ . Es indecidible si una variedad ⁠ ⁠ -dimensional dada es homeomorfa a ${\displaystyle n}$⁠ ⁠${\displaystyle S^{n}}$ para ⁠ ⁠${\displaystyle n\geq 5}$ . ^[7]

6- esfera

Posee una estructura casi compleja que proviene del conjunto de octoniones unitarios puros . ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {SO} (7)/\operatorname {SO} (6)=G_{2}/\operatorname {SU} (3)}$ . La cuestión de si tiene una estructura compleja se conoce como el problema de Hopf, en honor a Heinz Hopf . ^[8]

7- esfera

Estructura topológica de cuasigrupo como el conjunto de octoniones unitarios . Fibrado principal sobre${\displaystyle \operatorname {Sp} (1)}$ . Paralelizable${\displaystyle S^{4}}$ . . La . ${\displaystyle \operatorname {SO} (8)/\operatorname {SO} (7)=\operatorname {SU} (4)/\operatorname {SU} (3)=\operatorname {Sp} (2)/\operatorname {Sp} (1)=\operatorname {Spin} (7)/G_{2}=\operatorname {Spin} (6)/\operatorname {SU} (3)}$La${\displaystyle 7}$ . es de particular interés ya que fue en esta dimensión donde se descubrieron las primeras esferas exóticas .

8- esfera

Homeomorfo a la recta proyectiva octoniónica ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {OP} ^{1}}$ .

23 -esfera

Es posible un empaquetamiento de esferas altamente denso en el espacio dimensional ,${\displaystyle 24}$ lo que está relacionado con las cualidades únicas de la red Leech .

La ⁠ ⁠ -esfera octaédrica${\displaystyle n}$ se define de manera similar a la ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -esfera pero utilizando la norma 1

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|_{1}=1\right\}}$

En general, toma la forma de un politopo cruzado .

La ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -esfera octaédrica es un cuadrado (sin su interior). La ⁠ ⁠ -esfera octaédrica es un ${\displaystyle 2}$octaedro regular ; de ahí el nombre. La ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -esfera octaédrica es la unión topológica de ⁠ ⁠${\displaystyle n+1}$ pares de puntos aislados. ^[9] Intuitivamente, la unión topológica de dos pares se genera dibujando un segmento entre cada punto de un par y cada punto del otro par; esto produce un cuadrado. Para unir esto con un tercer par, dibuja un segmento entre cada punto del cuadrado y cada punto del tercer par; esto da un octaedro.

• Geometría conforme  : estudio de las transformaciones que preservan los ángulos de un espacio geométrico
• Esfera exótica  : variedad lisa que es homeomorfa pero no difeomorfa con respecto a una esfera
• Esfera de homología  – Variedad topológica cuya homología coincide con la de una esfera
• Grupos de homotopía de esferas  : cómo esferas de distintas dimensiones pueden envolverse entre sí
• Geometría inversa  : estudio de transformaciones que preservan el ángulo
• Transformación de Möbius  – Función racional de la forma (az + b)/(cz + d)