8-símplex

Eneazetón regular (8-símplex)
Proyección ortogonal dentro del polígono de Petrie
Tipo	Politopo 8 regular
Familia	símplex
Símbolo de Schläfli	{3,3,3,3,3,3,3}
Diagrama de Coxeter-Dynkin
7 caras	9 7-símplex
6 caras	36 6-símplex
5 caras	84 5-símplex
4 caras	126 5 celdas
Células	126 tetraedro
Caras	84 triángulo
Bordes	36
Vértices	9
Figura de vértice	7-símplex
Polígono de Petrie	eneágono
Grupo Coxeter	Un 8 [3,3,3,3,3,3,3]
Dual	Auto-dual
Propiedades	convexo

En geometría , un 8- símplex es un 8-politopo regular autodual . Tiene 9 vértices , 36 aristas , 84 caras triangulares, 126 celdas tetraédricas , 126 5-celdas de 4 caras, 84 5-símplex de 5 caras, 36 6-símplex de 6 caras y 9 7-símplex de 7 caras. Su ángulo diedro es cos ⁻¹ (1/8), o aproximadamente 82,82°.

También se le puede llamar enneazetton o enea-8-topo , ya que es un politopo de nueve facetas en ocho dimensiones. El nombre enneazetton se deriva de ennea , que significa nueve facetas en griego , y -zetta, que significa tener facetas de siete dimensiones, y -on .

Esta matriz de configuración representa el 8-símplex. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras, celdas, 4-caras, 5-caras, 6-caras y 7-caras. Los números diagonales indican cuántos elementos de cada uno se encuentran en todo el 8-símplex. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en él. La matriz de este símplex autodual es idéntica a su rotación de 180 grados. ^{[1] [2]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}9&8&28&56&70&56&28&8\\2&36&7&21&35&35&21&7\\3&3&84&6&15&20&15&6\\4&6&4&126&5&10&10&5\\5&10&10&5&126&4&6&4\\6&15&20&15&6&84&3&3\\7&21&35&35&21&7&36&2\\8&28&56&70&56&28&8&9\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Las coordenadas cartesianas de los vértices de un eneazetón regular centrado en el origen que tiene una longitud de arista de 2 son:

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ -{\sqrt {12/7}},\ 0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ -{\sqrt {7/4}},\ 0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

${\displaystyle \left(-4/3,\ 0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0,\ ​​0\right)}$

En términos más simples, los vértices del 8-símplex se pueden posicionar en el 9-espacio como permutaciones de (0,0,0,0,0,0,0,0,1). Esta construcción se basa en facetas del 9-ortoplex .

Otra construcción centrada en el origen utiliza (1,1,1,1,1,1,1,1)/3 y permutaciones de (1,1,1,1,1,1,1,-11)/12 para una longitud de arista de √2.

proyecciones ortográficas

Un avión de Coxeter	Un 8	Un 7	Un 6	Un 5
Gráfico
Simetría diedral	[9]	[8]	[7]	[6]
Un avión de Coxeter	Un 4	Un 3	Un 2
Gráfico
Simetría diedral	[5]	[4]	[3]

Este politopo es una faceta en las teselaciones uniformes: 2 ₅₁ y 5 ₂₁ con respectivos diagramas de Coxeter-Dynkin :

,

Este politopo es uno de los 135 politopos 8 uniformes con simetría _A8 .

Politopos A8
Para	el 1	dos​	el 3	el 01	el 02	El día 12	el 03	El día 13	el 23	el 04	el 14	el 24	número 34	t05​
año 15	el 25	el 06	Día 16	el 07	t012​	t013​	t023​	número 123	T014​	T024​	número 124	T034​	número 134	número 234
t015	t025	número 125	t035	número 135	t235	t045	número 145	t016	t026	t126	t036	t136	t046	t056
t017	t027	t037	Número 0123	Número 0124	Número 0134	Número 0234	t1234​	t0125	t0135	t0235	1235​	t0145	t0245	1245​
t0345	1345​	t2345​	t0126	t0136	t0236	t1236	t0146	t0246	t1246	t0346	t1346	t0156	t0256	t1256
t0356	t0456	t0127	t0137	t0237	t0147	t0247	t0347	t0157	t0257	t0167	Número 01234	t01235	t01245	t01345
t02345	Número 12345	t01236	t01246	t01346	t02346	t12346	t01256	t01356	t02356	t12356	t01456	t02456	t03456	t01237
t01247	t01347	t02347	t01257	t01357	t02357	t01457	t01267	t01367	t012345	t012346	t012356	t012456	t013456	t023456
t123456	t012347	t012357	t012457	t013457	t023457	t012367	t012467	t013467	t012567	t0123456	t0123457	t0123467	t0123567	Número de teléfono 01234567

• Coxeter, HSM :
  • — (1973). "Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n-dimensiones (n≥5)". Politopos regulares (3.ª ed.). Dover. pp. 296. ISBN 0-486-61480-8.
  • Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C.; Weiss, Asia Ivic, eds. (1995). Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter. Wiley. ISBN 978-0-471-01003-6.
    • (Artículo 22) — (1940). "Polítopos regulares y semirregulares I". Math. Zeit . 46 : 380–407. doi :10.1007/BF01181449. S2CID  186237114.
    • (Artículo 23) — (1985). "Polítopos regulares y semirregulares II". Math. Zeit . 188 (4): 559–591. doi :10.1007/BF01161657. S2CID  120429557.
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• Conway, John H .; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). "26. Hemicubos: 1 _n1 ". Las simetrías de las cosas . pág. 409. ISBN 978-1-56881-220-5.
• Johnson, Norman (1991). "Polítopos uniformes" (manuscrito). Norman Johnson (matemático).
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• Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 8D (polyzetta) x3o3o3o3o3o3o3o - ene".

• Glosario del hiperespacio, George Olshevsky.
• Politopos de varias dimensiones
• Glosario multidimensional