Politopo 4-regular

En matemáticas , un 4-politopo regular o policorono regular es un politopo regular de cuatro dimensiones . Son los análogos de cuatro dimensiones de los poliedros regulares en tres dimensiones y de los polígonos regulares en dos dimensiones.

Hay seis politopos cuatripartitos convexos y diez politopos regulares en forma de estrella , lo que da un total de dieciséis.

Los 4-politopos regulares convexos fueron descritos por primera vez por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX. ^[1] Descubrió que existen exactamente seis de esas figuras.

Schläfli también encontró cuatro de los 4-politopos estelares regulares: el gran politopo de 120 celdas , el gran politopo estelado de 120 celdas , el gran politopo estelado de 600 celdas y el gran politopo estelado de 120 celdas . Se saltó los seis restantes porque no permitiría formas que no cumplieran con la característica de Euler en celdas o figuras de vértice (para toros de cero agujeros: F  −  E  +  V  = 2). Eso excluye celdas y figuras de vértice como el gran dodecaedro {5, ⁠5/2⁠ } y pequeño dodecaedro estrellado { ⁠5/2, 5}.

Edmund Hess (1843-1903) publicó la lista completa en su libro alemán de 1883 Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder .

La existencia de un 4-politopo regular está restringida por la existencia de los poliedros regulares que forman sus celdas y una restricción de ángulo diedro.${\estilo de visualización \{p,q,r\}}$${\displaystyle \{p,q\},\{q,r\}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}>\cos {\frac {\pi }{q}}}$

para garantizar que las células se junten para formar una superficie cerrada de 3 superficies.

Los seis politopos convexos y diez estelares descritos son las únicas soluciones a estas restricciones.

Hay cuatro símbolos de Schläfli no convexos {p,q,r} que tienen celdas válidas {p,q} y figuras de vértice {q,r}, y pasan la prueba diedral, pero no producen figuras finitas: {3, ⁠5/2⁠ ,3}, {4,3, ⁠5/2⁠ }, { ⁠5/2⁠ ,3,4}, { ⁠5/2⁠ ,3, ⁠5/2⁠ }.

Los 4-politopos convexos regulares son los análogos cuatridimensionales de los sólidos platónicos en tres dimensiones y los polígonos regulares convexos en dos dimensiones.

Cada 4-politopo regular convexo está delimitado por un conjunto de celdas tridimensionales que son todas sólidos platónicos del mismo tipo y tamaño. Estas están encajadas entre sí a lo largo de sus respectivas caras (cara con cara) de manera regular, formando la superficie del 4-politopo, que es un espacio tridimensional cerrado y curvo (de manera análoga a la forma en que la superficie de la Tierra es un espacio bidimensional cerrado y curvo).

Al igual que sus análogos tridimensionales, los 4-politopos regulares convexos se pueden ordenar naturalmente por tamaño como una medida del contenido cuatridimensional (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor en la secuencia es más redondo que su predecesor, y encierra más contenido dentro del mismo radio. ^[2] El 4-símplex (de 5 celdas) tiene el contenido más pequeño, y el de 120 celdas tiene el más grande.

Politopos cuatripartitos convexos regulares
Grupo de simetría	Un 4	B4​		F4​	H4​
Nombre	5 celdas Hipertetraedro de 5 puntas	16 celdas Hiper - octaedro de 8 puntas	8 celdas Hipercubo de 16 puntos	24 celdas 24 puntos	600 celdas Hipericosaedro de 120 puntos	120 celdas Hiperdodecaedro de 600 puntos
Símbolo de Schläfli	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Espejos Coxeter
Diédricos especulares	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
Gráfico
Vértices	5 tetraédricos	8 octaédrico	16 tetraédrico	24 cúbicos	120 icosaédricos	600 tetraédricos
Bordes	10 triangular	24 cuadrados	32 triangular	96 triangular	720 pentagonal	1200 triangular
Caras	10 triángulos	32 triángulos	24 cuadrados	96 triángulos	1200 triángulos	720 pentágonos
Células	5 tetraedros	16 tetraedros	8 cubos	24 octaedros	600 tetraedros	120 dodecaedros
Toros	1 5-tetraedro	2 8-tetraedro	2 4 cubos	4 6-octaedro	20 30-tetraedro	12 10-dodecaedro
Inscrito	120 en 120 celdas	675 en 120 celdas	2 de 16 celdas	3 de 8 celdas	25 24 celdas	10 600 celdas
Grandes polígonos		2 cuadrados x 3	4 rectángulos x 4	4 hexágonos x 4	12 decágonos x 6	100 hexágonos irregulares x 4
Polígonos de Petrie	1 pentágono x 2	1 octágono x 3	2 octágonos x 4	2 dodecágonos x 4	4 30-ágonos x 6	20 30-ágonos x 4
Radio largo	${\estilo de visualización 1}$	${\estilo de visualización 1}$	${\estilo de visualización 1}$	${\estilo de visualización 1}$	${\estilo de visualización 1}$	${\estilo de visualización 1}$
Longitud del borde	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\aproximadamente 1,581}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\aproximadamente 1,414}$	${\estilo de visualización 1}$	${\estilo de visualización 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}\aproximadamente 0,618}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\aproximadamente 0,270}$
Radio corto	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\aproximadamente 0,707}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\aproximadamente 0,926}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\aproximadamente 0,926}$
Área	${\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\aproximadamente 10,825}$	${\displaystyle 32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\aproximadamente 27,713}$	${\estilo de visualización 24}$	${\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\aproximadamente 41,569}$	${\displaystyle 1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48}$	${\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366}$
Volumen	${\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329}$	${\displaystyle 16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314}$	${\displaystyle 600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118}$
4-Contenido	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\approx 0.667}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193}$

La siguiente tabla enumera algunas propiedades de los seis 4-politopos regulares convexos. Los grupos de simetría de estos 4-politopos son todos grupos de Coxeter y se dan en la notación descrita en ese artículo. El número que sigue al nombre del grupo es el orden del grupo.

Nombres	Imagen	Familia	Coxeter, el perro guardián	V	mi	F	do	Fig . vertical .	Dual	Grupo de simetría
Pentacorono de 5 células , pentátopo 4-símplex		n -simplex (familia A n )	{3,3,3}	5	10	10 {3}	5 {3,3}	{3,3}	auto-dual	Un 4 [3,3,3]	120
Hexadecacoron de 16 células , 4-ortoplex		n -ortoplex (familia B n )	{3,3,4}	8	24	32 {3}	16 {3,3}	{3,4}	8 celdas	B 4 [4,3,3]	384
Teseracto octacoronado de 8 celdas y 4 cubos		hipercubo n -cubo ( familia B n )	{4,3,3}	16	32	24 {4}	8 {4,3}	{3,3}	16 celdas
Polioctaedro octaplex de icositetracoron de 24 células (pO)		Familia F n	{3,4,3}	24	96	96 {3}	24 {3,4}	{4,3}	auto-dual	F4 [3,4,3 ]	1152
Politetraedro tetraplex hexacosicoron de 600 células (pT)		Politopo n-pentagonal (familia H n )	{3,3,5}	120	720	1200 {3}	600 {3,3}	{3,5}	120 celdas	H4 [5,3,3 ]	14400
Polidodecaedro dodecaplex hecatonicosachoron dodecacontachoron de 120 células (pD)		Politopo n-pentagonal (familia H n )	{5,3,3}	600	1200	720 {5}	120 {5,3}	{3,3}	600 celdas

John Conway defendió los nombres de símplex, ortoplex, teseracto, octaplex o polioctaedro (pO), tetraplex o politetraedro (pT) y dodecaplex o polidodecaedro (pD). ^[3]

Norman Johnson defendió los nombres n-célula, o pentachoron, hexadecachoron, teseracto u octachoron, icositetrachoron, hexacosichoron y hecatonicosachoron (o dodecacontachoron), acuñando el término polichoron como una analogía 4D del poliedro 3D y polígono 2D, expresado a partir de las raíces griegas poly ("muchos") y choros ("habitación" o "espacio"). ^{[4] [5]}

La característica de Euler para todos los 4-politopos es cero, tenemos el análogo 4-dimensional de la fórmula poliédrica de Euler:

${\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,}$

donde N _k denota el número de k -caras en el politopo (un vértice es una cara 0, una arista es una cara 1, etc.).

La topología de cualquier 4-politopo dado se define por sus números de Betti y coeficientes de torsión . ^[6]

Un politopo cuatripartito regular puede describirse completamente como una matriz de configuración que contiene los recuentos de sus elementos componentes. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números diagonales (de la parte superior izquierda a la inferior derecha) indican cuántos elementos de cada uno se encuentran en el politopo cuatripartito completo. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en él. Por ejemplo, hay 2 vértices en cada arista (cada arista tiene 2 vértices) y 2 celdas se encuentran en cada cara (cada cara pertenece a 2 celdas), en cualquier politopo cuatripartito regular. La configuración del politopo dual puede obtenerse rotando la matriz 180 grados. ^{[7] [8]}

5 celdas {3,3,3}	16 celdas {3,3,4}	8 celdas {4,3,3}	24 celdas {3,4,3}	600 celdas {3,3,5}	120 celdas {5,3,3}
${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}5&4&6&4\\2&10&3&3\\3&3&10&2\\4&6&4&5\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&6&12&8\\2&24&4&4\\3&3&32&2\\4&6&4&16\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}16&4&6&4\\2&32&3&3\\4&4&24&2\\8&12&6&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}24&8&12&6\\2&96&3&3\\3&3&96&2\\6&12&8&24\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}120&12&30&20\\2&720&5&5\\3&3&1200&2\\4&6&4&600\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}600&4&6&4\\2&1200&3&3\\5&5&720&2\\20&30&12&120\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

La siguiente tabla muestra algunas proyecciones bidimensionales de estos 4-politopos. Se pueden encontrar otras visualizaciones en los enlaces externos que aparecen a continuación. Los gráficos del diagrama de Coxeter-Dynkin también se muestran debajo del símbolo de Schläfli .

Un 4 = [3,3,3]	B4 = [4,3,3 ]		F 4 = [3,4,3]	H 4 = [5,3,3]
5 celdas	16 celdas	8 celdas	24 celdas	600 celdas	120 celdas
{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}	{3,4,3}	{3,3,5}	{5,3,3}
Proyecciones ortográficas sólidas en 3D
Envoltura tetraédrica (centrada en la celda/vértice)	Envolvente cúbica (centrada en la celda)	Envolvente cúbica (centrada en la celda)	Envoltura cuboctaédrica (centrada en la célula)	Envolvente icosidodecaédrica de Pentakis (centrada en el vértice)	Envoltura de triacontaedro rómbico truncado (centrado en la célula)
Diagramas de Schlegel en alambre ( proyección en perspectiva )
Centrado en la célula	Centrado en la célula	Centrado en la célula	Centrado en la célula	Centrado en el vértice	Centrado en la célula
Proyecciones estereográficas de estructura alámbrica ( 3 esferas )

Los 4-politopos de Schläfli–Hess son el conjunto completo de 10 policoros estelares autointersecantes regulares ( politopos cuatridimensionales ). ^[10] Se denominan así en honor a sus descubridores: Ludwig Schläfli y Edmund Hess . Cada uno está representado por un símbolo de Schläfli { p , q , r } en el que uno de los números es ⁠5/2⁠ . Son, pues, análogos a los poliedros regulares no convexos de Kepler-Poinsot , que a su vez son análogos al pentagrama.

Los nombres que se dan aquí fueron dados por John Conway , ampliando los nombres de Cayley para los poliedros de Kepler-Poinsot : junto con estrellado y grande , agrega un modificador grande . Conway ofreció estas definiciones operativas:

1. Estelación : reemplaza los bordes por bordes más largos en las mismas líneas. (Ejemplo: un pentágono se estela para formar un pentagrama )
2. Ampliación : reemplaza las caras por otras más grandes en el mismo plano. (Ejemplo: un icosaedro se amplía y se convierte en un gran icosaedro )
3. Ampliación : reemplaza las celdas por celdas más grandes en los mismos 3 espacios. (Ejemplo: una celda de 600 se amplía y se convierte en una celda grande de 600 celdas )

John Conway nombra las 10 formas de 3 politopos de 4 celdas regulares: pT = politetraedro {3,3,5} (un tetraédrico de 600 celdas ), pI = poliicosaedro {3,5, ⁠5/2} (un icosaédrico de 120 celdas ), y pD=polidodecaedro {5,3,3} (un dodecaédrico de 120 celdas ), con modificadores de prefijo: g , a y s para grande, (ag)grand y estrellado. La estelación final, el gran gran polidodecaedro estrellado, los contiene a todos como gaspD .

Los diez policoros tienen simetría hexacosicórica [3,3,5] ( H ₄ ) . Se generan a partir de seis grupos de simetría de orden racional de tetraedros de Goursat relacionados : [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5,5/2], [5,5/2,3] y [3,3,5/2].

Cada grupo tiene dos policoras estelares regulares, excepto dos grupos que son autoduales y tienen solo una. Por lo tanto, hay cuatro pares duales y dos formas autoduales entre las diez policoras estelares regulares.

Nota:

• Hay dos disposiciones de vértices únicas , que coinciden con las de 120 celdas y 600 celdas .
• Hay cuatro disposiciones de bordes únicas , que se muestran como proyecciones ortográficas de estructura alámbrica .
• Hay 7 disposiciones de caras únicas , que se muestran como proyecciones ortográficas sólidas (con el color de la cara).

Las celdas (poliedros), sus caras (polígonos), las figuras de aristas poligonales y las figuras de vértices poliédricos se identifican mediante sus símbolos Schläfli .

Nombre Conway (abreviatura)	Proyección ortogonal	Coxeter, el perro guardián	C {p, q}	F {p}	mi ​	V {q, r}	Guaridas.	χ
Poliicosaedro icosaédrico de 120 celdas (pI)		{3,5,5/2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2 }	120 {5,5/2}	4	480
Polidodecaedro estrellado pequeño de 120 células (spD)		{5/2,5,3}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	−480
Gran polidodecaedro de 120 celdas (gpD)		{5,5/2,5}	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0
Gran polidodecaedro de 120 celdas (apD)		{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	20	0
Gran polidodecaedro estrellado de 120 células (gspD)		{5/2,3,5}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0
Gran polidodecaedro estrellado de 120 celdas (aspD)		{5/2,5,5/2}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	66	0
Gran polidodecaedro de 120 celdas (gapD)		{5,5/2,3}	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2,3}	76	−480
Gran poliicosaedro icosaédrico de 120 celdas (gpI)		{3,5/2,5}	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480
Gran politetraedro de 600 celdas (apT)		{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	191	0
Gran polidodecaedro estrellado de 120 celdas (gaspD)		{5/2,3,3}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0

• Politopo regular
• Lista de politopos regulares
• 4-politopos regulares infinitos:
  • Un panal euclidiano regular: {4,3,4}
  • Cuatro panales hiperbólicos regulares compactos: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
  • Once panales hiperbólicos regulares paracompactos: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} y {6,3,6}.
• Resumen de 4-politopos regulares:
  • 11 celdas {3,5,3}
  • 57 celdas {5,3,5}
• Familias uniformes de 4 politopos construidas a partir de estas 6 formas regulares.
• Sólido platónico
• Poliedros de Kepler-Poinsot : poliedros estelares regulares
• Polígono estrellado : polígonos estrellados regulares
• 4-politopo
• 5-politopo
• 6-politopo

• Weisstein, Eric W. "Policoron regular". MathWorld .
• Jonathan Bowers, 16 4-politopos regulares
• Desplegables de politopos 4D regulares
• Catálogo de imágenes de politopos Una colección de proyecciones estereográficas de 4-politopos.
• Catálogo de politopos uniformes
• Dimensiones Película de 2 horas sobre la cuarta dimensión (contiene proyecciones estereográficas de todos los 4-politopos regulares)
• Politopo regular
• La estrella regular Polychora
• Hipersolidos