Dodecágono

Dodecágono regular
Un dodecágono regular
Tipo	Polígono regular
Aristas y vértices	12
Símbolo de Schläfli	{12}, t{6}, tt{3}
Diagramas de Coxeter-Dynkin
Grupo de simetría	Diédrico (D 12 ), orden 2×12
Angulo interno ( grados )	150°
Propiedades	Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal
Polígono dual	Ser

En geometría , un dodecágono , o 12-gono , es cualquier polígono de doce lados .

Un dodecágono regular es una figura con lados de la misma longitud y ángulos internos del mismo tamaño. Tiene doce ejes de simetría reflexiva y simetría rotacional de orden 12. Un dodecágono regular se representa con el símbolo de Schläfli {12} y se puede construir como un hexágono truncado , t{6}, o un triángulo truncado dos veces , tt{3}. El ángulo interno en cada vértice de un dodecágono regular es de 150°.

El área de un dodecágono regular de lado a está dada por:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\simeq 11.19615242\,a^{2}\end{aligned}}}$

Y en términos de la apotema r (ver también figura inscrita ), el área es:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}\\&\simeq 3.2153903\,r^{2}\end{aligned}}}$

En términos del radio circunscrito R , el área es: ^[1]

${\displaystyle A=6\sin\left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}}$

La distancia entre dos lados paralelos es la distancia S del dodecágono y es igual al doble de la apotema. Una fórmula sencilla para el área (dadas la longitud del lado y la distancia) es:

${\estilo de visualización A=3aS}$

Esto se puede verificar con la relación trigonométrica:

${\displaystyle S=a(1+2\cos {30^{\circ }}+2\cos {60^{\circ }})}$

El perímetro de un dodecágono regular en términos del circunradio es: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=24R\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=12R{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\\&\simeq 6.21165708246\,R\end{aligned}}}$

El perímetro en términos de apotema es:

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=24r\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=24r(2-{\sqrt {3}})\\&\simeq 6.43078061835\,r\end{aligned}}}$

Este coeficiente es el doble del coeficiente encontrado en la ecuación de la apotema para el área. ^[3]

Como 12 = 2 ² × 3, el dodecágono regular se puede construir con regla y compás :

12 cubos	60 disección en rombo

Coxeter afirma que cada zonógono (un 2 m -gono cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) puede diseccionarse en m ( m -1)/2 paralelogramos. ^[4] En particular, esto es cierto para polígonos regulares con un número uniforme de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el dodecágono regular , m = 6, y puede dividirse en 15: 3 cuadrados, 6 rombos anchos de 30° y 6 rombos estrechos de 15°. Esta descomposición se basa en una proyección de polígono de Petrie de un 6-cubo , con 15 de 240 caras. La secuencia OEIS secuencia A006245 define el número de soluciones como 908, incluidas rotaciones de hasta 12 pliegues y formas quirales en reflexión.

Disección en 15 rombos

6 cubos

Una de las formas en que se utilizan los bloques de patrones manipulativos matemáticos es creando varios dodecágonos diferentes. ^[5] Están relacionados con las disecciones rómbicas, con 3 rombos de 60° fusionados en hexágonos, trapecios de medio hexágono o divididos en 2 triángulos equiláteros.

Otras disecciones regulares

Azulejos socolares

Bloques de patrones

El dodecágono regular tiene simetría Dih ₁₂ , orden 24. Hay 15 subgrupos distintos de simetrías diédricas y cíclicas. Cada subgrupo de simetría permite uno o más grados de libertad para las formas irregulares. Solo el subgrupo g12 no tiene grados de libertad, pero puede verse como aristas dirigidas .

Ejemplos de dodecágonos por simetría
r24
d12	g12	pág. 12		i8
d6	g6	pág. 6		d4	g4	pág. 4
g3				d2	g2	pág. 2
a1

Un dodecágono regular puede llenar un vértice plano con otros polígonos regulares de 4 maneras:

3.12.12	4.6.12	3.3.4.12	3.4.3.12

A continuación se muestran 3 ejemplos de teselación periódica de planos que utilizan dodecágonos regulares, definidos por su configuración de vértices :

1-uniform		2-uniform
3.12.12	4.6.12	3.12.12; 3.4.3.12

Un dodecágono oblicuo es un polígono oblicuo con 12 vértices y aristas pero que no se encuentran en el mismo plano. El interior de un dodecágono de este tipo no suele estar definido. Un dodecágono oblicuo en zigzag tiene vértices que se alternan entre dos planos paralelos.

Un dodecágono oblicuo regular es transitivo en sus vértices y tiene las mismas longitudes de aristas. En tres dimensiones, será un dodecágono oblicuo en zigzag y se puede observar en los vértices y aristas laterales de un antiprisma hexagonal con la misma simetría D _5d , [2 ⁺ ,10], orden 20. El antiprisma dodecagrámico, s{2,24/5} y el antiprisma dodecagrámico cruzado, s{2,24/7} también tienen dodecágonos oblicuos regulares.

El dodecágono regular es el polígono de Petrie para muchos politopos de dimensiones superiores, vistos como proyecciones ortogonales en planos de Coxeter . Ejemplos en 4 dimensiones son el de 24 celdas , el de 24 celdas romo , el duoprisma 6-6 y la duopirámide 6-6 . En 6 dimensiones , el cubo 6 , el ortoplex 6 , 2 ₂₁ y 1 _22. También es el polígono de Petrie para el gran de 120 celdas y el gran estrellado de 120 celdas .

Dodecágonos oblicuos regulares en dimensiones superiores
E6​		F4​		2G2 (4D )
2 21	1 22	24 celdas	Batería de 24 celdas de tamaño pequeño	6-6 duopirámide	{6}×{6}
Un 11	D7​		B6​		4A 2
11-símplex	(4 11 )	1 41	6-ortoplex	6 cubos	{3}×{3}×{3}×{3}

Un dodecagrama es un polígono estrellado de 12 lados, representado por el símbolo {12/n}. Hay un polígono estrellado regular : {12/5}, que utiliza los mismos vértices, pero que conecta cada quinto punto. También hay tres compuestos: {12/2} se reduce a 2{6} como dos hexágonos , y {12/3} se reduce a 3{4} como tres cuadrados , {12/4} se reduce a 4{3} como cuatro triángulos, y {12/6} se reduce a 6{2} como seis dígonos degenerados .

Estrellas y compuestos
norte	1	2	3	4	5	6
Forma	Polígono	Compuestos			Polígono estrellado	Compuesto
Imagen	{12/1} = {12}	{12/2} o 2{6}	{12/3} o 3{4}	{12/4} o 4{3}	{12/5}	{12/6} o 6{2}

Truncamientos más profundos del dodecágono regular y de los dodecagramas pueden producir formas poligonales isogonales ( transitivas de vértice ) intermedias con vértices espaciados de manera uniforme y dos longitudes de arista. Un hexágono truncado es un dodecágono, t{6}={12}. Un hexágono cuasitruncado, invertido como {6/5}, es un dodecagrama: t{6/5}={12/5}. ^[7]

Truncamientos transitivos de vértice del hexágono
Cuasiregular	Isogonal		Cuasiregular
t{6}={12}			t{6/5}={12/5}

En mayúsculas , las letras E , H y X (y la I en una fuente serif con remates ) tienen contornos dodecagonales. Una cruz es un dodecágono, al igual que el logotipo de la división de automóviles Chevrolet .

El dodecágono regular ocupa un lugar destacado en muchos edificios. La Torre del Oro es una torre de vigilancia militar dodecagonal en Sevilla , al sur de España , construida por la dinastía almohade . La iglesia de la Vera Cruz de principios del siglo XIII en Segovia , España, es dodecagonal. Otro ejemplo es la Porta di Venere (Puerta de Venus), en Spello , Italia , construida en el siglo I a. C., que tiene dos torres dodecagonales, llamadas "Torres de Propercio".

Las monedas dodecagonales regulares incluyen:

• Moneda británica de tres peniques desde 1937 hasta 1971, cuando dejó de ser de curso legal.
• Moneda de una libra británica , introducida en 2017.
• Moneda australiana de 50 centavos
• Fiji 50 centavos
• Tonga 50-seniti , desde 1974
• Islas Salomón 50 centavos
• 25 kuna croata
• 5000 lei rumanos , 2001-2005
• Centavo canadiense , 1982-1996
• 20 đồng de Vietnam del Sur , 1968-1975
• 50 ngwee de Zambia , 1969-1992
• 50 tambala de Malawi , 1986-1995
• 20 centavos mexicanos , 1992-2009

• Número dodecagonal
• Dodecaedro : cualquier poliedro con 12 caras.
• Dodecagrama

• Weisstein, Eric W. "Dodecágono". MathWorld .
• La ficha y el teorema de Kürschak
• Definición y propiedades de un dodecágono Con animación interactiva
• El dodecágono regular en el aula, utilizando bloques de patrones