Regla de la mano derecha

En matemáticas y física , la regla de la mano derecha es una convención y un mnemónico , utilizado para definir la orientación de los ejes en el espacio tridimensional y para determinar la dirección del producto vectorial de dos vectores , así como para establecer la dirección de la fuerza sobre un conductor que transporta corriente en un campo magnético .

Las distintas reglas de la mano derecha e izquierda surgen del hecho de que los tres ejes del espacio tridimensional tienen dos orientaciones posibles. Esto se puede comprobar si se juntan las manos con las palmas hacia arriba y los dedos curvados. Si la curvatura de los dedos representa un movimiento desde el primer eje o eje x al segundo eje o eje y, entonces el tercer eje o eje z puede apuntar a lo largo del pulgar derecho o del pulgar izquierdo.

La regla de la mano derecha se remonta al siglo XIX, cuando se implementó como una forma de identificar la dirección positiva de los ejes de coordenadas en tres dimensiones. A William Rowan Hamilton , reconocido por su desarrollo de cuaterniones , un sistema matemático para representar rotaciones tridimensionales, a menudo se le atribuye la introducción de esta convención. En el contexto de los cuaterniones, el producto hamiltoniano de dos cuaterniones vectoriales produce un cuaternión que comprende componentes escalares y vectoriales . ^[1] Josiah Willard Gibbs reconoció que tratar estos componentes por separado, como producto escalar y vectorial , simplifica el formalismo vectorial. Después de un debate sustancial, ^[2] la corriente principal pasó del sistema cuaterniónico de Hamilton al sistema de tres vectores de Gibbs. Esta transición condujo a la adopción predominante de la regla de la mano derecha en los contextos contemporáneos.

El producto vectorial de los vectores y  es un vector perpendicular al plano generado por y  con la dirección dada por la regla de la mano derecha : si colocas el índice de tu mano derecha sobre  y el dedo medio sobre , entonces el pulgar apunta en la dirección de . ^[3]${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {b}}}$${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {b}}}$${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {b}}}$${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}}$

La regla de la mano derecha en física fue introducida a finales del siglo XIX por John Fleming en su libro Magnets and Electric Currents. ^[4] Fleming describió la orientación de la fuerza electromotriz inducida haciendo referencia al movimiento del conductor y la dirección del campo magnético en la siguiente representación: “Si un conductor, representado por el dedo medio, se mueve en un campo de flujo magnético , cuya dirección está representada por la dirección del dedo índice , siendo la dirección de este movimiento la dirección del pulgar, entonces la fuerza electromotriz establecida en él estará indicada por la dirección en la que apunta el dedo medio”. ^[4]

En el caso de las coordenadas de la mano derecha , si el pulgar de la mano derecha de una persona apunta a lo largo del eje z en la dirección positiva (tercer vector de coordenadas), entonces los dedos se curvan desde el eje x positivo (primer vector de coordenadas) hacia el eje y positivo (segundo vector de coordenadas). Cuando se observan en una posición a lo largo del eje z positivo , el ¼ de giro desde el eje x positivo al eje y positivo es en sentido contrario a las agujas del reloj .

Para las coordenadas para zurdos , la descripción anterior de los ejes es la misma, excepto que se utiliza la mano izquierda y el ¼ de giro es en el sentido de las agujas del reloj .

Al intercambiar las etiquetas de dos ejes cualesquiera, se invierte la lateralidad. Al invertir la dirección de un eje (o de tres ejes), también se invierte la lateralidad. Al invertir dos ejes, se hace una rotación de 180° alrededor del eje restante, lo que también preserva la lateralidad. Estas operaciones se pueden componer para dar cambios repetidos de lateralidad. ^[5] (Si los ejes no tienen una dirección positiva o negativa, entonces la lateralidad no tiene significado).

En matemáticas, un cuerpo giratorio se representa comúnmente mediante un pseudovector a lo largo del eje de rotación . La longitud del vector da la velocidad de rotación y la dirección del eje da la dirección de rotación de acuerdo con la regla de la mano derecha: los dedos derechos curvados en la dirección de rotación y el pulgar derecho apuntando en la dirección positiva del eje. Esto permite algunos cálculos simples utilizando el producto vectorial. Ninguna parte del cuerpo se mueve en la dirección de la flecha del eje. Si el pulgar apunta al norte, la Tierra gira de acuerdo con la regla de la mano derecha ( movimiento progrado ). Esto hace que el Sol, la Luna y las estrellas parezcan girar hacia el oeste de acuerdo con la regla de la mano izquierda.

Una hélice es una línea curva formada por un punto que gira alrededor de un centro mientras el centro se mueve hacia arriba o hacia abajo en el eje z . Las hélices son para diestros o zurdos, con los dedos curvados indicando la dirección de rotación y el pulgar indicando la dirección de avance a lo largo del eje z .

Las roscas de un tornillo son helicoidales y, por lo tanto, los tornillos pueden ser de mano derecha o de mano izquierda. Para apretar o aflojar correctamente un tornillo, se aplican las reglas anteriores: si un tornillo es de mano derecha, apuntando el pulgar derecho en la dirección del orificio y girando en la dirección de los dedos curvados de la mano derecha (es decir, en el sentido de las agujas del reloj) se apretará el tornillo, mientras que apuntando en dirección opuesta al orificio y girando en la nueva dirección (es decir, en el sentido contrario a las agujas del reloj) se aflojará el tornillo.

En el cálculo vectorial , es necesario relacionar un vector normal de una superficie con la curva límite de la superficie. Dada una superficie S con una dirección normal especificada n̂ (una opción de "dirección ascendente" con respecto a S ), la curva límite C alrededor de S se define como orientada positivamente siempre que el pulgar derecho apunte en la dirección de n̂ y los dedos se curven a lo largo de la orientación de la curva límite C.

• Cuando la electricidad fluye (con la dirección dada por la corriente convencional ) en un cable largo y recto, crea un campo magnético cilíndrico alrededor del cable según la regla de la mano derecha. La dirección convencional de una línea magnética viene dada por la aguja de una brújula.
• Electroimán : El campo magnético alrededor de un cable es relativamente débil. Si el cable está enrollado en una hélice, todas las líneas de campo dentro de la hélice apuntan en la misma dirección y cada bobina sucesiva refuerza a las demás. El avance de la hélice, la parte no circular de la corriente y las líneas de campo apuntan en la dirección z positiva . Como no hay monopolo magnético , las líneas de campo salen por el extremo + z , dan una vuelta alrededor de la hélice y vuelven a entrar por el extremo − z . El extremo + z por donde salen las líneas se define como el polo norte. Si los dedos de la mano derecha están curvados en la dirección del componente circular de la corriente, el pulgar derecho apunta al polo norte.
• Fuerza de Lorentz : si una carga eléctrica se mueve a través de un campo magnético, experimenta una fuerza de acuerdo con la fuerza de Lorentz, con la dirección dada por la regla de la mano derecha. Si el dedo índice representa la dirección del flujo de carga (es decir, la corriente) y el dedo medio representa la dirección del campo magnético en el espacio, la dirección de la fuerza sobre la carga está representada por el pulgar. Debido a que la carga se está moviendo, la fuerza hace que la trayectoria de la partícula se doble. La fuerza de flexión se calcula mediante el producto vectorial. Esto significa que la fuerza de flexión aumenta con la velocidad de la partícula y la intensidad del campo magnético. La fuerza es máxima cuando la dirección de la partícula y los campos magnéticos son perpendiculares, es menor en cualquier otro ángulo y es cero cuando la partícula se mueve paralela al campo.

La regla de la mano derecha de Ampère , ^[6] también llamada regla del tornillo de la mano derecha , regla de la taza de café o regla del sacacorchos; se utiliza cuando se debe definir un vector (como el vector de Euler ) para representar la rotación de un cuerpo, un campo magnético o un fluido, o viceversa, cuando es necesario definir un vector de rotación para comprender cómo se produce la rotación. Revela una conexión entre la corriente y las líneas del campo magnético en el campo magnético que creó la corriente. Ampère se inspiró en su colega físico Hans Christian Ørsted , quien observó que las agujas giraban cuando estaban cerca de un cable que transportaba corriente eléctrica y concluyó que la electricidad podía crear campos magnéticos .

Esta regla se utiliza en dos aplicaciones diferentes de la ley circuital de Ampère :

1. Una corriente eléctrica pasa a través de un cable recto. Cuando el pulgar apunta en la dirección de la corriente convencional (de positivo a negativo), los dedos curvados apuntarán en la dirección de las líneas de flujo magnético alrededor del conductor. La dirección del campo magnético ( rotación en sentido antihorario en lugar de rotación en el sentido horario de las coordenadas cuando se observa la punta del pulgar) es el resultado de esta convención y no un fenómeno físico subyacente.
2. Una corriente eléctrica pasa a través de un solenoide , lo que da lugar a un campo magnético. Al envolver la mano derecha alrededor del solenoide con los dedos en la dirección de la corriente convencional , el pulgar apunta en la dirección del polo norte magnético.

El producto vectorial de dos vectores se suele tomar en física e ingeniería. Por ejemplo, como se ha comentado anteriormente, la fuerza ejercida sobre una partícula cargada en movimiento cuando se mueve en un campo magnético B se expresa mediante el término magnético de la fuerza de Lorentz:

${\displaystyle \mathbf {F} = q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }$(producto vectorial)

La dirección del producto vectorial se puede encontrar mediante la aplicación de la regla de la mano derecha de la siguiente manera:

1. El dedo índice apunta en la dirección del vector de velocidad v.
2. El dedo medio apunta en la dirección del vector del campo magnético B.
3. El pulgar apunta en la dirección del producto vectorial F.

Por ejemplo, para una partícula con carga positiva que se mueve hacia el norte, en una región donde el campo magnético apunta al oeste, la fuerza resultante apunta hacia arriba. ^[5]

La regla de la mano derecha tiene un uso generalizado en física . A continuación se ofrece una lista de magnitudes físicas cuyas direcciones están relacionadas mediante la regla de la mano derecha. (Algunas de ellas están relacionadas sólo indirectamente con los productos cruzados y utilizan la segunda forma).

• Para un objeto giratorio, si los dedos de la mano derecha siguen la curva de un punto del objeto, entonces el pulgar apunta a lo largo del eje de rotación en la dirección del vector de velocidad angular .
• Un torque , la fuerza que lo provoca y la posición del punto de aplicación de la fuerza.
• Un campo magnético, la posición del punto donde se determina y la corriente eléctrica (o cambio en el flujo eléctrico ) que lo provoca.
• Un campo magnético en una bobina de alambre y la corriente eléctrica en el alambre.
• La fuerza de un campo magnético sobre una partícula cargada, el campo magnético en sí y la velocidad del objeto.
• La vorticidad en cualquier punto del campo de flujo de un fluido
• La corriente inducida por el movimiento en un campo magnético (conocida como regla de la mano derecha de Fleming ).
• Los vectores unitarios x , y y z en un sistema de coordenadas cartesianas pueden elegirse para seguir la regla de la mano derecha. Los sistemas de coordenadas de la mano derecha se utilizan a menudo en cuerpos rígidos y cinemática .

A diferencia de la mayoría de los conceptos matemáticos, el significado de un sistema de coordenadas diestro no se puede expresar en términos de ningún axioma matemático . Más bien, la definición depende de fenómenos quirales en el mundo físico, por ejemplo, el significado culturalmente transmitido de las manos derecha e izquierda, una población humana mayoritaria con la mano derecha dominante o ciertos fenómenos que involucran la fuerza débil .

• Quiralidad (matemáticas)
• Curl (matemáticas)
• Regla de la mano izquierda de Fleming para motores
• Rotación incorrecta
• ISO2
• Ley de Oersted
• Vector de Poynting
• Pseudovector
• Reflexión (matemáticas)

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Regla de la mano derecha .

• Conferencia de Feynman sobre la regla de la mano derecha
• Reglas de la mano derecha e izquierda - Tutorial interactivo de Java Laboratorio Nacional de Altos Campos Magnéticos
• Weisstein, Eric W. "Regla de la mano derecha". MathWorld .
• Christian Moser: regla de la mano derecha: wpftutorial.net