Probabilidad

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Parte de una serie sobre estadísticas
Teoría de la probabilidad
Probabilidad Axiomas Determinismo Sistema Indeterminismo Aleatoriedad
Espacio de probabilidad Espacio muestral Evento Eventos colectivamente exhaustivos Evento elemental Exclusividad mutua Resultado Semifallo Experimento El proceso de Bernoulli Distribución de probabilidad Distribución de Bernoulli Distribución binomial Distribución exponencial Distribución normal Distribución de Pareto Distribución de Poisson Medida de probabilidad Variable aleatoria Proceso de Bernoulli Continuous or discrete Expected value Variance Markov chain Observed value Random walk Stochastic process
Complementary event Joint probability Marginal probability Conditional probability
Independence Conditional independence Law of total probability Law of large numbers Bayes' theorem Boole's inequality
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La probabilidad es la rama de las matemáticas que estudia los eventos y las descripciones numéricas de la probabilidad de que ocurran. La probabilidad de un evento es un número entre 0 y 1; cuanto mayor sea la probabilidad, más probable es que ocurra un evento. ^{[nota 1] [1] [2]} Un ejemplo simple es el lanzamiento de una moneda justa (imparcial). Como la moneda es justa, los dos resultados ("cara" y "cruz") son igualmente probables; la probabilidad de "cara" es igual a la probabilidad de "cruz"; y como no hay otros resultados posibles, la probabilidad de "cara" o "cruz" es 1/2 (que también podría escribirse como 0,5 o 50%).

Estos conceptos han recibido una formalización matemática axiomática en la teoría de la probabilidad , que se utiliza ampliamente en áreas de estudio como la estadística , las matemáticas , la ciencia , las finanzas , los juegos de azar , la inteligencia artificial , el aprendizaje automático , la informática , la teoría de juegos y la filosofía para, por ejemplo, extraer inferencias sobre la frecuencia esperada de los eventos. La teoría de la probabilidad también se utiliza para describir la mecánica y las regularidades subyacentes de los sistemas complejos . ^[3]

Cuando se trata de experimentos aleatorios (es decir, experimentos que son aleatorios y bien definidos ) en un contexto puramente teórico (como lanzar una moneda), las probabilidades se pueden describir numéricamente por el número de resultados deseados, dividido por el número total de todos los resultados. Esto se conoce como probabilidad teórica (en contraste con la probabilidad empírica , que trata con probabilidades en el contexto de experimentos reales). Por ejemplo, lanzar una moneda dos veces dará como resultado "cara-cara", "cara-cruz", "cruz-cara" y "cruz-cruz". La probabilidad de obtener un resultado de "cara-cara" es de 1 de cada 4 resultados o, en términos numéricos, 1/4, 0,25 o 25%. Sin embargo, cuando se trata de la aplicación práctica, hay dos categorías principales de interpretaciones de la probabilidad que compiten entre sí, cuyos partidarios tienen diferentes puntos de vista sobre la naturaleza fundamental de la probabilidad:

• Los objetivistas asignan números para describir algún estado físico o objetivo de las cosas. La versión más popular de la probabilidad objetiva es la probabilidad frecuentista , que afirma que la probabilidad de un evento aleatorio denota la frecuencia relativa de ocurrencia del resultado de un experimento cuando el experimento se repite indefinidamente. Esta interpretación considera que la probabilidad es la frecuencia relativa "a largo plazo" de los resultados. ^[4] Una modificación de esto es la probabilidad de propensión , que interpreta la probabilidad como la tendencia de algún experimento a producir un determinado resultado, incluso si se realiza solo una vez.
• Los subjetivistas asignan números por probabilidad subjetiva, es decir, como un grado de creencia . ^[5] El grado de creencia ha sido interpretado como "el precio al que comprarías o venderías una apuesta que paga 1 unidad de utilidad si E, 0 si no E", ^[6] aunque esa interpretación no es universalmente aceptada. ^[7] La ​​versión más popular de la probabilidad subjetiva es la probabilidad bayesiana , que incluye el conocimiento experto así como datos experimentales para producir probabilidades. El conocimiento experto está representado por alguna distribución de probabilidad previa (subjetiva) . Estos datos se incorporan en una función de verosimilitud . El producto de la previa y la verosimilitud, cuando se normaliza, da como resultado una distribución de probabilidad posterior que incorpora toda la información conocida hasta la fecha. ^[8] Por el teorema de acuerdo de Aumann , los agentes bayesianos cuyas creencias previas son similares terminarán con creencias posteriores similares. Sin embargo, las anteriores suficientemente diferentes pueden llevar a conclusiones diferentes, independientemente de cuánta información compartan los agentes. ^[9]

La palabra probabilidad deriva del latín probabilitas , que también puede significar "probidad", una medida de la autoridad de un testigo en un caso legal en Europa, y a menudo correlacionada con la nobleza del testigo . En cierto sentido, esto difiere mucho del significado moderno de probabilidad , que en contraste es una medida del peso de la evidencia empírica , y se llega a ella a partir del razonamiento inductivo y la inferencia estadística . ^[10]

El estudio científico de la probabilidad es un desarrollo moderno de las matemáticas. Los juegos de azar demuestran que a lo largo de la historia ha existido un interés por cuantificar las ideas de probabilidad, pero las descripciones matemáticas exactas surgieron mucho más tarde. Existen razones para el lento desarrollo de las matemáticas de la probabilidad. Si bien los juegos de azar proporcionaron el impulso para el estudio matemático de la probabilidad, las cuestiones fundamentales ^{[nota 2]} aún están oscurecidas por las supersticiones. ^[11]

Según Richard Jeffrey , "antes de mediados del siglo XVII, el término 'probable' (del latín probabilis ) significaba aprobable , y se aplicaba en ese sentido, unívocamente, a la opinión y a la acción. Una acción u opinión probable era aquella que las personas sensatas emprenderían o sostendrían, en las circunstancias". ^[12] Sin embargo, en contextos legales especialmente, 'probable' también podía aplicarse a proposiciones para las que había buena evidencia. ^[13]

El erudito italiano del siglo XVI Gerolamo Cardano demostró la eficacia de definir las probabilidades como la relación entre resultados favorables y desfavorables (lo que implica que la probabilidad de un evento está dada por la relación entre resultados favorables y el número total de resultados posibles ^[14] ). Aparte del trabajo elemental de Cardano, la doctrina de las probabilidades se remonta a la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) dio el primer tratamiento científico conocido del tema. ^[15] El Ars Conjectandi de Jakob Bernoulli (póstumo, 1713) y la Doctrina de las probabilidades de Abraham de Moivre (1718) trataron el tema como una rama de las matemáticas. ^[16] Véase The Emergence of Probability de Ian Hacking ^[10] y The Science of Conjecture de James Franklin ^[17] para historias del desarrollo temprano del concepto mismo de probabilidad matemática.

La teoría de los errores se remonta a la Opera Miscellanea de Roger Cotes (póstuma, 1722), pero una memoria preparada por Thomas Simpson en 1755 (impresa en 1756) aplicó por primera vez la teoría al análisis de los errores de observación. ^[18] La reimpresión (1757) de esta memoria establece los axiomas de que los errores positivos y negativos son igualmente probables y que ciertos límites asignables definen el rango de todos los errores. Simpson también analiza los errores continuos y describe una curva de probabilidad.

Las dos primeras leyes del error que se propusieron fueron ambas de Pierre-Simon Laplace . La primera ley se publicó en 1774 y establecía que la frecuencia de un error podía expresarse como una función exponencial de la magnitud numérica del error, sin tener en cuenta el signo. La segunda ley del error fue propuesta en 1778 por Laplace y establecía que la frecuencia del error es una función exponencial del cuadrado del error. ^[19] La segunda ley del error se denomina distribución normal o ley de Gauss. "Es difícil atribuir históricamente esa ley a Gauss, quien, a pesar de su conocida precocidad, probablemente no había hecho este descubrimiento antes de cumplir los dos años". ^[19]

Daniel Bernoulli (1778) introdujo el principio del producto máximo de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.

Adrien-Marie Legendre (1805) desarrolló el método de mínimos cuadrados y lo introdujo en sus Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes ( Nuevos métodos para determinar las órbitas de los cometas ). ^[20] Sin conocer la contribución de Legendre, un escritor irlandés-estadounidense, Robert Adrain , editor de "The Analyst" (1808), fue el primero en deducir la ley de la facilidad de error,

$${\displaystyle \phi (x)=ce^{-h^{2}x^{2}}}$$

donde es una constante que depende de la precisión de la observación, y es un factor de escala que asegura que el área bajo la curva sea igual a 1. Dio dos pruebas, siendo la segunda esencialmente la misma que la de John Herschel (1850). ^{[ cita requerida ]} Gauss dio la primera prueba que parece haber sido conocida en Europa (la tercera después de la de Adrain) en 1809. Otras pruebas fueron dadas por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), WF Donkin (1844, 1856) y Morgan Crofton (1870). Otros contribuyentes fueron Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872) y Giovanni Schiaparelli (1875). La fórmula de Peters (1856) ^{[ aclaración necesaria ]} para r , el error probable de una sola observación, es bien conocida.${\displaystyle h}$${\displaystyle c}$

En el siglo XIX, los autores que desarrollaron la teoría general fueron Laplace , Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion y Karl Pearson . Augustus De Morgan y George Boole mejoraron la exposición de la teoría.

En 1906, Andrey Markov introdujo ^[21] el concepto de cadenas de Markov , que desempeñó un papel importante en la teoría de procesos estocásticos y sus aplicaciones. La teoría moderna de la probabilidad basada en la teoría de la medida fue desarrollada por Andrey Kolmogorov en 1931. ^[22]

En el ámbito geométrico, entre los colaboradores de The Educational Times se incluyen Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson y Artemas Martin . ^[23] Véase geometría integral para obtener más información.

Al igual que otras teorías , la teoría de la probabilidad es una representación de sus conceptos en términos formales, es decir, en términos que pueden considerarse independientemente de su significado. Estos términos formales se manipulan mediante las reglas de las matemáticas y la lógica, y los resultados se interpretan o traducen de nuevo al dominio del problema.

Ha habido al menos dos intentos exitosos de formalizar la probabilidad, a saber, la formulación de Kolmogorov y la formulación de Cox . En la formulación de Kolmogorov (véase también espacio de probabilidad ), los conjuntos se interpretan como eventos y la probabilidad como una medida de una clase de conjuntos. En el teorema de Cox , la probabilidad se toma como un primitivo (es decir, no se analiza más a fondo) y el énfasis está en construir una asignación consistente de valores de probabilidad a proposiciones. En ambos casos, las leyes de probabilidad son las mismas, excepto por los detalles técnicos.

Existen otros métodos para cuantificar la incertidumbre, como la teoría de Dempster-Shafer o la teoría de la posibilidad , pero son esencialmente diferentes y no son compatibles con las leyes de probabilidad generalmente entendidas.

La teoría de la probabilidad se aplica en la vida cotidiana en la evaluación y modelización de riesgos . La industria y los mercados de seguros utilizan la ciencia actuarial para determinar los precios y tomar decisiones comerciales. Los gobiernos aplican métodos probabilísticos en la regulación ambiental , el análisis de derechos y la regulación financiera .

Un ejemplo del uso de la teoría de la probabilidad en el comercio de acciones es el efecto de la probabilidad percibida de cualquier conflicto generalizado en Oriente Medio sobre los precios del petróleo, que tienen efectos dominó en la economía en su conjunto. La evaluación por parte de un comerciante de materias primas de que es más probable que haya una guerra puede hacer subir o bajar los precios de esa materia prima y enviar señales a otros comerciantes de esa opinión. En consecuencia, las probabilidades no se evalúan de forma independiente ni necesariamente racional. La teoría de las finanzas conductuales surgió para describir el efecto de ese pensamiento colectivo sobre los precios, las políticas y la paz y los conflictos. ^[24]

Además de la evaluación financiera, la probabilidad se puede utilizar para analizar tendencias en biología (por ejemplo, propagación de enfermedades) así como en ecología (por ejemplo, cuadros de Punnett biológicos ). ^[25] Al igual que con las finanzas, la evaluación de riesgos se puede utilizar como una herramienta estadística para calcular la probabilidad de que ocurran eventos indeseables y puede ayudar a implementar protocolos para evitar encontrarse con tales circunstancias. La probabilidad se utiliza para diseñar juegos de azar de modo que los casinos puedan obtener una ganancia garantizada y, al mismo tiempo, proporcionar pagos a los jugadores que sean lo suficientemente frecuentes como para alentar el juego continuo. ^[26]

Otra aplicación importante de la teoría de la probabilidad en la vida cotidiana es la confiabilidad . Muchos productos de consumo, como los automóviles y los productos electrónicos, utilizan la teoría de la confiabilidad en el diseño del producto para reducir la probabilidad de falla. La probabilidad de falla puede influir en las decisiones de un fabricante sobre la garantía de un producto . ^[27]

El modelo de lenguaje caché y otros modelos de lenguaje estadístico que se utilizan en el procesamiento del lenguaje natural también son ejemplos de aplicaciones de la teoría de la probabilidad.

Consideremos un experimento que puede producir varios resultados. El conjunto de todos los resultados posibles se denomina espacio muestral del experimento, a veces denotado como . El conjunto potencia del espacio muestral se forma considerando todos los conjuntos diferentes de resultados posibles. Por ejemplo, al lanzar un dado se pueden producir seis resultados posibles. Un conjunto de resultados posibles da un número impar en el dado. Por lo tanto, el subconjunto {1,3,5} es un elemento del conjunto potencia del espacio muestral de lanzamientos de dados. Estos conjuntos se denominan "eventos". En este caso, {1,3,5} es el evento de que el dado caiga en algún número impar. Si los resultados que realmente ocurren caen en un evento dado, se dice que el evento ha ocurrido.${\displaystyle \Omega }$

Una probabilidad es una forma de asignar a cada evento un valor entre cero y uno, con el requisito de que al evento compuesto por todos los resultados posibles (en nuestro ejemplo, el evento {1,2,3,4,5,6}) se le asigne un valor de uno. Para calificar como probabilidad, la asignación de valores debe satisfacer el requisito de que para cualquier conjunto de eventos mutuamente excluyentes (eventos sin resultados comunes, como los eventos {1,6}, {3} y {2,4}), la probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos esté dada por la suma de las probabilidades de todos los eventos individuales. ^[28]

La probabilidad de un evento A se escribe como , ^[29] , o . ^[30] Esta definición matemática de probabilidad puede extenderse a espacios muestrales infinitos, e incluso a espacios muestrales incontables, utilizando el concepto de medida.${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle p(A)}$${\displaystyle {\text{Pr}}(A)}$

El opuesto o complemento de un evento A es el evento [no A ] (es decir, el evento de que A no ocurra), a menudo denotado como , , o ; su probabilidad está dada por P (no A ) = 1 − P ( A ) . ^[31] Como ejemplo, la probabilidad de no sacar un seis en un dado de seis caras es 1 – (probabilidad de sacar un seis) = 1 −${\displaystyle A',A^{c}}$${\displaystyle {\overline {A}},A^{\complement },\neg A}$${\displaystyle {\sim }A}$ 1/6⁠ = ⁠5/6⁠ . Para un tratamiento más completo, ver Evento complementario .

Si dos eventos A y B ocurren en una sola ejecución de un experimento, esto se llama intersección o probabilidad conjunta de A y B , denotada como${\displaystyle P(A\cap B).}$

Si dos eventos, A y B son independientes , entonces la probabilidad conjunta es ^[29]

P ( A y B ) = P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A{\mbox{ y }}B)=P(A\cap B)=P(A)P(B).}

Por ejemplo, si se lanzan dos monedas, entonces la probabilidad de que ambas salgan cara es ^[32]${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{4}}.}$

Si el evento A o el evento B pueden ocurrir, pero nunca ambos simultáneamente, entonces se denominan eventos mutuamente excluyentes.

Si dos eventos son mutuamente excluyentes , entonces la probabilidad de que ambos ocurran se denota como y Si dos eventos son mutuamente excluyentes , entonces la probabilidad de que cualquiera de ellos ocurra se denota como y${\displaystyle P(A\cap B)}$$${\displaystyle P(A{\mbox{ and }}B)=P(A\cap B)=0}$$${\displaystyle P(A\cup B)}$$${\displaystyle P(A{\mbox{ or }}B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-0=P(A)+P(B)}$$

Por ejemplo, la probabilidad de obtener un 1 o un 2 en un dado de seis caras es${\displaystyle P(1{\mbox{ or }}2)=P(1)+P(2)={\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{3}}.}$

Si los eventos no son (necesariamente) mutuamente excluyentes entonces Reescrito,$${\displaystyle P\left(A{\hbox{ or }}B\right)=P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A{\mbox{ and }}B\right).}$$$${\displaystyle P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)}$$

Por ejemplo, al sacar una carta de una baraja de cartas, la probabilidad de obtener un corazón o una figura (J, Q, K) (o ambas) es ya que entre las 52 cartas de una baraja, 13 son corazones, 12 son figuras y 3 son ambas: aquí las posibilidades incluidas en las "3 que son ambas" están incluidas en cada uno de los "13 corazones" y las "12 figuras", pero solo deben contarse una vez.${\displaystyle {\tfrac {13}{52}}+{\tfrac {12}{52}}-{\tfrac {3}{52}}={\tfrac {11}{26}},}$

Esto se puede ampliar aún más para múltiples eventos que no sean (necesariamente) mutuamente excluyentes. Para tres eventos, esto procede de la siguiente manera: Se puede ver, entonces, que este patrón se puede repetir para cualquier número de eventos.$${\displaystyle {\begin{aligned}P\left(A\cup B\cup C\right)=&P\left(\left(A\cup B\right)\cup C\right)\\=&P\left(A\cup B\right)+P\left(C\right)-P\left(\left(A\cup B\right)\cap C\right)\\=&P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)+P\left(C\right)-P\left(\left(A\cap C\right)\cup \left(B\cap C\right)\right)\\=&P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(A\cap B\right)-\left(P\left(A\cap C\right)+P\left(B\cap C\right)-P\left(\left(A\cap C\right)\cap \left(B\cap C\right)\right)\right)\\P\left(A\cup B\cup C\right)=&P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(A\cap B\right)-P\left(A\cap C\right)-P\left(B\cap C\right)+P\left(A\cap B\cap C\right)\end{aligned}}}$$

La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra algún evento A , dada la ocurrencia de algún otro evento B . La probabilidad condicional se escribe, y se lee "la probabilidad de A , dado B ". Está definida por ^[33]${\displaystyle P(A\mid B)}$

$${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\,}$$

Si entonces no está formalmente definido por esta expresión. En este caso y son independientes, ya que Sin embargo, es posible definir una probabilidad condicional para algunos eventos de probabilidad cero, por ejemplo, utilizando un σ-álgebra de tales eventos (como los que surgen de una variable aleatoria continua ). ^[34]${\displaystyle P(B)=0}$${\displaystyle P(A\mid B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)=0.}$

Por ejemplo, en una bolsa de 2 bolas rojas y 2 bolas azules (4 bolas en total), la probabilidad de sacar una bola roja es de 1, pero al sacar una segunda bola, la probabilidad de que sea roja o azul depende de la bola que se haya sacado anteriormente. Por ejemplo, si se ha sacado una bola roja, la probabilidad de sacar otra vez una bola roja sería de 1, ya que solo habrían quedado 1 bola roja y 2 bolas azules. Y si se ha sacado previamente una bola azul, la probabilidad de sacar una bola roja será de 1,${\displaystyle 1/2;}$${\displaystyle 1/3,}$${\displaystyle 2/3.}$

En teoría de probabilidad y aplicaciones, la regla de Bayes relaciona las probabilidades de un evento con otro antes (antes de) y después (posteriormente a) del condicionamiento sobre otro evento . Las probabilidades sobre un evento son simplemente la relación de las probabilidades de los dos eventos. Cuando arbitrariamente muchos eventos son de interés, no solo dos, la regla puede reformularse como posterior es proporcional a anterior multiplicado por probabilidad , donde el símbolo de proporcionalidad significa que el lado izquierdo es proporcional a (es decir, igual a una constante multiplicada por) el lado derecho como varía, para fijo o dado (Lee, 2012; Bertsch McGrayne, 2012). En esta forma se remonta a Laplace (1774) y a Cournot (1843); véase Fienberg (2005).${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2},}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P(A|B)\propto P(A)P(B|A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Resumen de probabilidades

Evento	Probabilidad
A	${\displaystyle P(A)\in [0,1]}$
No es un	${\displaystyle P(A^{\complement })=1-P(A)\,}$
A o B	${\displaystyle {\begin{aligned}P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\P(A\cup B)&=P(A)+P(B)\qquad {\mbox{if A and B are mutually exclusive}}\\\end{aligned}}}$
A y B	${\displaystyle {\begin{aligned}P(A\cap B)&=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)\\P(A\cap B)&=P(A)P(B)\qquad {\mbox{if A and B are independent}}\\\end{aligned}}}$
Un B dado	${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}\,}$

En un universo determinista , basado en los conceptos newtonianos , no habría probabilidad si se conocieran todas las condiciones ( el demonio de Laplace ) (pero hay situaciones en las que la sensibilidad a las condiciones iniciales excede nuestra capacidad para medirlas, es decir, conocerlas). En el caso de una ruleta , si se conocen la fuerza de la mano y el período de esa fuerza, el número en el que se detendrá la bola sería una certeza (aunque, en la práctica, esto probablemente sería cierto solo en el caso de una ruleta que no hubiera sido nivelada exactamente, como reveló el Casino Newtoniano de Thomas A. Bass ). Esto también supone el conocimiento de la inercia y la fricción de la rueda, el peso, la suavidad y la redondez de la bola, las variaciones en la velocidad de la mano durante el giro, etc. Una descripción probabilística puede, por tanto, ser más útil que la mecánica newtoniana para analizar el patrón de resultados de los giros repetidos de una ruleta. Los físicos se enfrentan a la misma situación en la teoría cinética de los gases , donde el sistema, aunque determinista en principio , es tan complejo (con un número de moléculas típicamente del orden de magnitud de la constante de Avogadro). 6,02 × 10 ²³ ) que sólo es factible una descripción estadística de sus propiedades. ^[35]

La teoría de la probabilidad es necesaria para describir los fenómenos cuánticos. ^[36] Un descubrimiento revolucionario de la física de principios del siglo XX fue el carácter aleatorio de todos los procesos físicos que ocurren a escalas subatómicas y están regidos por las leyes de la mecánica cuántica . La función de onda objetiva evoluciona de manera determinista pero, según la interpretación de Copenhague , se ocupa de las probabilidades de observación, y el resultado se explica por un colapso de la función de onda cuando se realiza una observación. Sin embargo, la pérdida del determinismo en aras del instrumentalismo no tuvo una aprobación universal. Albert Einstein comentó en una carta a Max Born : "Estoy convencido de que Dios no juega a los dados". ^[37] Al igual que Einstein, Erwin Schrödinger , quien descubrió la función de onda, creía que la mecánica cuántica es una aproximación estadística de una realidad determinista subyacente . ^[38] En algunas interpretaciones modernas de la mecánica estadística de la medición, se invoca la decoherencia cuántica para explicar la aparición de resultados experimentales subjetivamente probabilísticos.

• Contingencia
• Equiprobabilidad
• Lógica difusa
• Heurística (psicología)

• Kallenberg, O. (2005) Simetrías probabilísticas y principios de invariancia . Springer-Verlag, Nueva York. 510 pp.  ISBN 0-387-25115-4 
• Kallenberg, O. (2002) Fundamentos de la probabilidad moderna, 2.ª ed. Springer Series in Statistics. 650 págs.  ISBN 0-387-95313-2 
• Olofsson, Peter (2005) Probabilidad, estadística y procesos estocásticos , Wiley-Interscience. 504 pp ISBN 0-471-67969-0 . 

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Wikilibros tiene más información sobre el tema: Probabilidad

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Probabilidad .

• Laboratorios virtuales de probabilidad y estadística (Universidad de Alabama-Huntsville)
• Probabilidad en In Our Time en la BBC
• Libro electrónico sobre probabilidad y estadística
• Edwin Thompson Jaynes . Probability Theory: The Logic of Science . Preimpresión: Washington University, (1996). – Índice HTML con enlaces a archivos PostScript y PDF (primeros tres capítulos)
• Personajes de la historia de la probabilidad y la estadística (Universidad de Southampton)
• Probabilidad y estadística sobre los primeros usos de las páginas (Universidad de Southampton)
• Los primeros usos de los símbolos en probabilidad y estadística sobre los primeros usos de diversos símbolos matemáticos
• Un tutorial sobre probabilidad y el teorema de Bayes diseñado para estudiantes de primer año de la Universidad de Oxford
• UBUWEB :: La Monte Young archivo pdf de An Anthology of Chance Operations (1963) en UbuWeb
• Introducción a la probabilidad – Libro electrónico Archivado el 27 de julio de 2011 en Wayback Machine , por Charles Grinstead, Laurie Snell Fuente Archivado el 25 de marzo de 2012 en Wayback Machine ( Licencia de documentación libre de GNU )
• (en inglés e italiano) Bruno de Finetti , Probabilità e induzione , Bolonia, CLUEB, 1993. ISBN 88-8091-176-7 (versión digital) 
• Conferencia de Richard Feynman sobre probabilidad.