Augusto De Morgan

Augusto De Morgan
De Morgan en 1882
Nacido	( 27 de junio de 1806 )27 de junio de 1806 Madurai , Carnatic , Presidencia de Madrás (actual India)
Fallecido	18 de marzo de 1871 (18 de marzo de 1871)(64 años) Londres, Inglaterra
Nacionalidad	británico
Alma máter	Colegio Trinity , Cambridge
Conocido por	Leyes de De Morgan Álgebra de De Morgan Jerarquía de De Morgan Álgebra de relaciones Álgebra universal
Carrera científica
Campos	Matemático y lógico
Instituciones	Colegio Universitario de Londres Colegio Universitario
Asesores académicos	John Philips Higman George Peacock William Whewell
Estudiantes notables	Edward Routh James Joseph Sylvester Frederick Guthrie William Stanley Jevons Jacob Waley Ada Lovelace Walter Bagehot Richard Holt Hutton Francis Guthrie Stephen Joseph Perry Numa Edward Hartog Isaac Todhunter Henry Roscoe Arthur Cohen Thomas Hodgkin Robert Bellamy Clifton Charles James Hargreave George Jessel Sedley Taylor
Notas
Fue el padre de William De Morgan .

Augustus De Morgan (27 de junio de 1806 - 18 de marzo de 1871) fue un matemático y lógico británico . Es más conocido por las leyes de De Morgan , que relacionan la conjunción lógica, la disyunción y la negación, y por acuñar el término « inducción matemática », cuyos principios subyacentes formalizó. ^[1] Las contribuciones de De Morgan a la lógica se utilizan ampliamente en muchas ramas de las matemáticas, incluidas la teoría de conjuntos y la teoría de la probabilidad , así como otros campos relacionados como la informática .

Augustus De Morgan nació en Madurai , en la región carnática de la India , en 1806. ^{[2] [a]} Su padre fue el teniente coronel John De Morgan (1772-1816), que ocupó varios puestos al servicio de la Compañía de las Indias Orientales , y su madre, Elizabeth (née Dodson, 1776-1856), era la nieta de James Dodson , que calculó una tabla de antilogaritmos ( logaritmos inversos ). ^[3] Augustus De Morgan se quedó ciego de un ojo a los pocos meses de su nacimiento. Su familia se mudó a Inglaterra cuando Augustus tenía siete meses. Como su padre y su abuelo habían nacido en la India, De Morgan solía decir que no era inglés ni escocés ni irlandés, sino un británico "sin ataduras", utilizando el término técnico aplicado a un estudiante de grado de Oxford o Cambridge que no era miembro de ninguna de las universidades.

Cuando De Morgan tenía diez años, su padre murió. ^[2] Su talento matemático pasó desapercibido hasta que cumplió catorce años, cuando un amigo de la familia lo descubrió haciendo un elaborado dibujo de una figura de una de las obras de Euclides con una regla y un compás . ^[2] Recibió su educación secundaria del Sr. Parsons, un miembro del Oriel College, Oxford , que prefería los clásicos a las matemáticas.

En 1823, a la edad de dieciséis años, De Morgan se matriculó en el Trinity College de Cambridge , ^[4] donde entre sus profesores y tutores se encontraban George Peacock , William Whewell , George Biddell Airy , H. Parr Hamilton y John Philips Higman . Tanto Peacock como Whewell influirían en la selección de álgebra y lógica por parte de De Morgan para futuras investigaciones. ^[5]

De Morgan obtuvo el cuarto puesto en el examen final de matemáticas y obtuvo el título de Licenciado en Artes . Para obtener el título superior de Máster en Artes y ser elegible para una beca, se le exigió que aprobara un examen teológico. Aunque se crió en la Iglesia de Inglaterra, De Morgan se opuso firmemente a realizar este examen. Incapaz de avanzar en el mundo académico debido a su negativa, ingresó en Lincoln's Inn para seguir una carrera en derecho. ^[6]

La Universidad de Londres (hoy conocida como University College London) fue fundada en 1826 como una alternativa secular a Oxford y Cambridge; católicos, judíos y disidentes podían ingresar como estudiantes y ocupar puestos. Antes de su apertura en 1828, la Universidad anunció 24 vacantes para cátedras, dos de ellas en matemáticas, a las que se postuló De Morgan. ^{[7] [8]}

De Morgan fue nombrado profesor de matemáticas el 23 de febrero de 1828 a la edad de veintiún años. El Consejo de la Universidad de Londres no había logrado reclutar a Charles Babbage y John Herschel para el puesto. Finalmente, el comité de búsqueda, dirigido por el fundador Lord Brougham , Olinthus Gregory y Henry Warburton , seleccionó a De Morgan de un campo de al menos 31 candidatos, entre los que se encontraban Dionysius Lardner , Peter Nicholson , John Radford Young , Henry Moseley , John Herapath , Thomas Hewitt Key , William Ritchie y John Walker . ^{[9] [10]}

El trabajo de De Morgan durante este período se centró en la instrucción matemática: su primera publicación fue The Elements of Algebra (1828), ^[11] una traducción de un libro de texto francés de Louis Bourdon  [fr] , seguido de Elements of Arithmetic (1830), ^[12] un libro de texto ampliamente utilizado y de larga duración, ^[13] y The Study and Difficulties of Mathematics (1831), ^[14] un discurso sobre la educación matemática.

Tras una serie de disputas entre la facultad, incluido De Morgan, y la administración, en particular el rector, Leonard Horner , surgió una disputa sobre el manejo de las protestas de los estudiantes de medicina que pedían la destitución del profesor de anatomía, Granville Sharp Pattison , por motivos de incompetencia. Mientras De Morgan y otros argumentaban que los estudiantes no deberían tener influencia en el asunto, la Universidad cedió a la presión estudiantil y despidió a Pattison. De Morgan dimitió el 24 de julio de 1831, seguido de los profesores George Long y Friedrich August Rosen . ^{[15] [16]}

En 1826, Lord Brougham, uno de los fundadores de la Universidad de Londres, fundó la Sociedad para la Difusión del Conocimiento Útil (SDUK) con el objetivo de promover la autoeducación y mejorar el carácter moral de las clases media y trabajadora a través de publicaciones baratas y accesibles. ^[17] De Morgan se involucró con la SDUK en marzo de 1827; su manuscrito inédito Elements of Statics para la sociedad puede haber jugado un papel en su nombramiento en la Universidad de Londres. ^[10] Uno de sus escritores más voluminosos y efectivos, De Morgan publicó varios libros con SDUK: On the Study and Difficulties of Mathematics (1831), ^[14] Elementary Illustrations of the Differential and Integral Calculus (1832), The Elements of Spherical Trigonometry (1834), Examples of the Processes of Arithmetic and Algebra (1835), An Explanation of the Gnomic projection of the sphere (1836), ^[18] The Differential and Integral Calculus (1842), ^[19] y The Globes Celestial and Terrestrial (1845), ^[20] así como más de 700 artículos en la Penny Cyclopedia y contribuciones al Quarterly Journal of Education , la Gallery of Portraits y el Companion to the British Almanac . ^[21]

Tras su primera dimisión en la Universidad de Londres, De Morgan comenzó a trabajar como tutor privado. ^[22] Uno de sus primeros alumnos fue Jacob Waley , quien fue tutor de Ada Lovelace entre 1840 y 1842, principalmente por correspondencia. ^[23]

El bisabuelo, el abuelo y el suegro de De Morgan eran todos actuarios ; no es sorprendente que De Morgan también trabajara como actuario consultor para varias empresas de seguros de vida , incluidas la Family Endowment Assurance Office, ^[24] la Albert Life Assurance Office, ^[25] y la Alliance Assurance Company . ^[26] Publicó varios artículos sobre temas actuariales, así como el libro An Essay on Probabilities and Their Application to Life Contingencies and Insurance Offices . ^[27] Sin embargo, su trabajo más notable como actuario es su promoción del trabajo de Benjamin Gompertz , cuya " ley de la mortalidad " fue subestimada y plagiada. ^[28]

De Morgan se involucró con la Sociedad Astronómica de Londres en 1828. Sería nombrado secretario honorario en 1831, año en el que recibió su Carta Real y se convirtió en la Real Sociedad Astronómica . ^[29] Continuaría como secretario durante 18 años y permanecería activamente involucrado en la Sociedad durante 30 años.

En 1836, el sustituto de De Morgan como profesor de matemáticas, George JP White, se ahogó; De Morgan fue convencido de regresar y fue reinstalado. Ese mismo año, la Universidad de Londres pasó a llamarse University College y, junto con el King's College , se convirtió en una filial de la recién creada Universidad de Londres . ^[30]

De Morgan fue un profesor de matemáticas de gran éxito. Durante más de 30 años, sus cursos cubrieron un currículo completo, desde Euclides hasta el cálculo de variaciones, y sus clases a menudo superaban los 100 estudiantes. Su enfoque integraba conferencias, lecturas, conjuntos de problemas, instrucción personal y extensos apuntes del curso. No le gustaba el aprendizaje de memoria y consideraba que la educación matemática era aprender a razonar y el núcleo de una educación liberal. ^[31] Varios de sus estudiantes se convirtieron en matemáticos, sobre todo James Joseph Sylvester , y algunos de ellos, Edward Routh e Isaac Todhunter , educadores muy conocidos. Muchos de sus estudiantes no matemáticos lo calificaron muy bien; William Stanley Jevons describió a De Morgan como "inigualable" como profesor. ^{[13] [32]} Jevons, muy influenciado por De Morgan, continuaría realizando trabajos independientes en lógica y se haría más conocido por el desarrollo de la teoría de la utilidad como parte de la llamada Revolución Marginal . ^{[33] [34]}

En 1866, la cátedra de Filosofía Mental y Lógica en el University College quedó vacante y James Martineau fue recomendado formalmente por el Senado al Consejo. El Consejo, a instancias de George Grote , rechazó a Martineau con el argumento de que era un clérigo unitario y en su lugar nombró a un laico, George Croom Robertson . De Morgan argumentó que se había abandonado el principio fundador de la neutralidad religiosa y renunció de inmediato. ^[35]

De Morgan fue uno de los primeros defensores del álgebra simbólica . Expresada por primera vez por George Peacock en su Tratado sobre álgebra (1830) y desarrollada por Duncan Gregory , el álgebra simbólica fue un primer paso hacia el álgebra abstracta , separando la manipulación de los símbolos de su significado aritmético. Si bien el álgebra simbólica podía construir mecánicamente números negativos e imaginarios, como en el trabajo de Adrien-Quentin Buée  [fr] , Jean-Robert Argand y John Warren, no podía proporcionar su interpretación; De Morgan observó que un problema similar preocupaba al matemático indio clásico Bhāskara II en su obra Bijaganita . ^{[36] [37]}

De Morgan dejaría de lado el álgebra simbólica para desarrollar lo que llamó álgebra "lógica" o " doble " en una serie de artículos ^{[38] [39] [40] [41]} y en el libro Trigonometry and Double Algebra (1849). ^[42] El álgebra doble de De Morgan nunca se desarrolló por completo, pero sigue siendo un precursor del álgebra geométrica e influyó en el matemático irlandés Sir William Rowan Hamilton en su desarrollo de los cuaterniones . ^{[13] [36] [37]}

De Morgan y Hamilton fueron amigos y corresponsales durante más de 25 años, y De Morgan sirvió como colega en matemáticas, revisando sus Lectures on Quaternions (1853), y como confidente en asuntos personales. ^{[43] [28]}

El estudio de la lógica en Gran Bretaña experimentó un resurgimiento tras la publicación de Elementos de lógica de Richard Whately en 1826. El libro en sí fue objeto de un debate que impulsaría a De Morgan y George Boole a la acción. Por un lado, según William Whewell , la lógica, en particular el silogismo, tal como lo enfatizaba Whately, no podía llegar a "nuevas verdades" y, por lo tanto, era inferior y distinta del razonamiento científico; por otro lado, según el filósofo escocés Sir William Hamilton , el esfuerzo de Whately por equiparar la lógica a una "gramática para el razonamiento" era erróneo y reductivo. De Morgan, tal vez influenciado por los escritos de Sylvestre François Lacroix , vio la utilidad de la lógica de Whately en las matemáticas, tanto en su énfasis en el silogismo como en su abstracción similar a la gramática, como se evidencia en sus propios escritos sobre educación ^{[14] [44]} y en su demanda de la inclusión de la lógica en el plan de estudios de Cambridge. ^[5]

El artículo de De Morgan "Sobre la estructura del silogismo", ^[45] publicado en 1846, define matemáticamente las reglas de la lógica aristotélica , específicamente el silogismo , e incluye lo que ahora se conoce como las leyes de De Morgan . Históricamente significativo como el inicio de la lógica matemática , ^[46] en ese momento, el artículo de De Morgan inició una disputa con Hamilton sobre el papel de las matemáticas en la lógica; "las matemáticas no pueden conducir a hábitos lógicos en absoluto", escribiría Hamilton. La disputa se centraría en la llamada cuantificación del predicado , que Hamilton afirmaba, pero a medida que la disputa avanzaba en las páginas del Ateneo y en las publicaciones de los dos escritores, se hizo evidente que Hamilton y sus partidarios estaban equivocados y que la descripción matemáticamente precisa de De Morgan de la lógica de Aristóteles era correcta. Al darse cuenta de esto, Hamilton afirmaría que De Morgan había cometido plagio. ^{[47] [b]}

Boole, amigo de De Morgan desde 1842, motivado en parte por las disputas entre Whewell y Hamilton y De Morgan y Hamilton, escribiría The Mathematical Analysis of Logic , publicado en 1847 el mismo día que Formal Logic de De Morgan . El trabajo de Boole eclipsaría al de De Morgan y llegaría a definir la lógica matemática temprana. De Morgan continuó apoyando los esfuerzos de Boole, corrigiendo y defendiendo su trabajo. Tras la muerte de Boole, De Morgan trabajó para garantizar que la familia de Boole recibiera una pensión del gobierno. ^{[49] [28]}

Reclutado por Elizabeth Jesser Reid , en 1849 De Morgan enseñó matemáticas durante un año en el recién fundado Ladies College en Bedfored Square . ^[50]

En 1850, De Morgan recibió un libro de John Elliot Drinkwater Bethune , Tratado sobre problemas de máximos y mínimos , escrito y autoeditado por el matemático indio autodidacta Ramchundra . De Morgan quedó tan impresionado por la obra que entabló correspondencia con Ramchundra y organizó la reedición del libro en Londres en 1859, dirigido a un público europeo; el prefacio de De Morgan examinaba el pensamiento matemático indio clásico e instaba a un retorno contemporáneo de las matemáticas indias: ^{[51] [52] [28]}

Al examinar esta obra, vi en ella no sólo un mérito digno de estímulo, sino un mérito de un tipo peculiar, cuyo estímulo, según me pareció, probablemente promovería el esfuerzo nativo en pos de la restauración de la mente nativa en la India.

Se ha especulado sobre la influencia de la lógica clásica india en el propio trabajo de De Morgan sobre lógica. ^[53] Mary Boole , afirmó haber tenido una profunda influencia, a través de su tío George Everest , del pensamiento indio en general y de la lógica india, en particular, en su marido George Boole , así como en De Morgan:

Pensemos en el efecto que debió tener la intensa hinduización de tres hombres como Babbage, De Morgan y George Boole en la atmósfera matemática de 1830-1865. ¿Qué papel tuvo en la generación del análisis vectorial y de las matemáticas con las que se realizan hoy las investigaciones en las ciencias físicas? ^[54]

Arthur Cowper Ranyard y George Campbell De Morgan, hijo de De Morgan, concibieron la idea de fundar una sociedad matemática en Londres, donde no sólo se recibirían artículos matemáticos (como en la Royal Society ), sino que también se leerían y discutirían. La primera reunión de la London Mathematical Society se celebró en el University College en 1865. De Morgan fue el primer presidente y su hijo fue el primer secretario. Los primeros miembros incluyeron a Benjamin Gompertz , amigo personal de De Morgan y colega actuario, William Stanley Jevons y James Joseph Sylvester , antiguos alumnos de De Morgan, Thomas Archer Hirst , colega de De Morgan, y los matemáticos William Kingdom Clifford y Arthur Cayley . ^{[55] [28]}

Augustus fue uno de siete hijos, de los cuales solo cuatro sobrevivieron hasta la edad adulta. Estos hermanos fueron Eliza (1801-1836), quien se casó con Lewis Hensley, un cirujano que vivía en Bath; George (1808-1890), un abogado que se casó con Josephine, hija del vicealmirante Josiah Coghill, tercer baronet Coghill ; y Campbell Greig (1811-1876), un cirujano del Hospital de Middlesex.

Cuando De Morgan se mudó a Londres, se hizo amigo de William Frend (1757-1841). Ambos habían estudiado matemáticas en Cambridge y posteriormente lo abandonaron por razones religiosas, y ambos eran actuarios . En el otoño de 1837, De Morgan se casó con Sophia Elizabeth Frend (1809-1892), la hija mayor de William Frend y Sarah Blackburne (1779-?), nieta de Francis Blackburne (1705-1787), archidiácono de Cleveland. ^[56]

De Morgan tuvo tres hijos y cuatro hijas, entre ellas la autora de cuentos de hadas Mary De Morgan . Su hijo mayor fue el alfarero William De Morgan , que se casaría con la pintora Evelyn De Morgan , de soltera Pickering. Su segundo hijo, George, obtuvo una distinción en matemáticas en el University College y la Universidad de Londres.

De Morgan estaba lleno de peculiaridades personales. Con motivo de la investidura de su amigo, Lord Brougham, como rector de la Universidad de Edimburgo, el Senado le ofreció el título honorífico de Doctor en Derecho; él declinó el honor por considerarlo un nombre inapropiado. Se describió a sí mismo con humor utilizando la frase latina « Homo paucarum literarum » (hombre de pocas letras), lo que reflejaba su modestia respecto de sus extensas contribuciones a las matemáticas y la lógica.

No le gustaban las provincias fuera de Londres, y mientras su familia disfrutaba de la playa y los hombres de ciencia se divertían en una reunión de la Asociación Británica en el campo, él permanecía en las calurosas y polvorientas bibliotecas de la metrópoli. Decía que se sentía como Sócrates , quien afirmaba que cuanto más lejos estaba de Atenas , más lejos estaba de la felicidad.

Nunca intentó ser miembro de la Royal Society y nunca asistió a ninguna reunión de la Sociedad. Decía que no tenía ideas ni simpatías en común con el filósofo físico; su actitud se debía posiblemente a su enfermedad física, que le impedía ser observador o experimentador. ^[57]

Nunca votó en una elección y nunca visitó la Cámara de los Comunes , la Torre de Londres o la Abadía de Westminster . ^[58]

A pesar de una estricta educación en la Iglesia de Inglaterra ^[59] De Morgan era públicamente un no conformista , con algún costo personal: su negativa a conformarse le impidió un mayor avance en Cambridge; su matrimonio fue sin ceremonia de la Iglesia; ^[60] y en varias ocasiones luchó con la administración del University College para mantener la neutralidad religiosa, ^[61] finalmente dimitiendo por el tema. ^[62] En privado, De Morgan era un disidente : se casó con una familia unitaria , donde sus interpretaciones deístas esencialmente cristianas de las escrituras fueron bienvenidas. ^[63] Más tarde en la vida se inclinaría más hacia el deísmo y se uniría a la Unión Cristiana Libre de Martineau . ^[64]

En ocasiones, De Morgan fue acusado de ateísmo ^[65], lo que él descartó como sectarismo. ^{[c] [67]} En su testamento, De Morgan escribiría

Encomiendo mi futuro con esperanza y confianza a Dios Todopoderoso; a Dios Padre de nuestro Señor Jesucristo, a quien creo en mi corazón que es el Hijo de Dios, pero a quien no he confesado con mis labios, porque en mi tiempo tal confesión siempre ha sido el camino hacia arriba en el mundo. ^[68]

A los 60 años, los alumnos de De Morgan le consiguieron una pensión de 500 libras anuales, pero las desgracias se sucedieron. Dos años más tarde, su hijo George, el "joven Bernoulli", como a Augustus le gustaba oír que lo llamaran, ^[69] en alusión a los eminentes matemáticos padre e hijo de ese nombre, murió. A este golpe le siguió la muerte de una hija. Cinco años después de su dimisión del University College, De Morgan murió de postración nerviosa el 18 de marzo de 1871.

De Morgan es mejor conocido por sus contribuciones pioneras a la lógica matemática , específicamente a la lógica algebraica , y, en menor medida, por sus contribuciones a los inicios del álgebra abstracta .

Las contribuciones de De Morgan a la lógica son dobles. En primer lugar, antes de De Morgan no existía la lógica matemática: la lógica , incluida la lógica formal , era el dominio de los filósofos; De Morgan fue el primero en hacer de la lógica formal una materia matemática. En segundo lugar, De Morgan desarrollaría el cálculo de relaciones, abstrayendo esencialmente la lógica mediante la aplicación de principios algebraicos.

El primer artículo original de De Morgan sobre lógica, "Sobre la estructura del silogismo", ^[45] apareció en las Transactions of the Cambridge Philosophical Society en 1846. El artículo describe un sistema matemático que formaliza la lógica aristotélica , específicamente el silogismo . Si bien las reglas que De Morgan define, incluidas las epónimas leyes de De Morgan , son sencillas, el formalismo es significativo: representó el primer ejemplo serio de lógica matemática, que llegaría a invadir el campo de la lógica y presagiaba la programación lógica . ^[70] La disputa posterior con el filósofo Sir William Stirling Hamilton sobre la "cuantificación del predicado" a la que se hace referencia en el artículo de De Morgan llevaría a George Boole a escribir el panfleto Análisis matemático de la lógica (1847). De Morgan profundizó en su artículo inicial en el libro Formal Logic, or the Calculus of Inference, Necessary and Probable (1847), ^[71] publicado la misma semana que el panfleto de Boole y que inmediatamente quedó eclipsado por éste. No obstante, los profesionales posteriores reconocerían la naturaleza pionera de su trabajo; C. I. Lewis escribió: "Su originalidad en la invención de nuevas formas lógicas, su ingenio, sus ilustraciones fáciles y la claridad y vivacidad de su escritura hicieron un gran trabajo para derribar el prejuicio contra la introducción de métodos 'matemáticos' en la lógica". ^[72]

De Morgan desarrolló el cálculo de relaciones en su artículo "Sobre el silogismo, n.º IV" ^[73] y en su libro Syllabus of a Proposed System of Logic (1860). ^[74] Demostró que el razonamiento con silogismos podía reemplazarse con la composición de relaciones . ^[75] El cálculo fue descrito como la lógica de relativos por Charles Sanders Peirce , quien admiraba a De Morgan y lo conoció poco antes de su muerte. Los historiadores rastrean varios desarrollos en la lógica moderna directamente a las contribuciones de De Morgan a la lógica algebraica : "Cualquier intento serio de estudiar el trabajo contemporáneo de Tarski o Birkhoff debe comenzar con un estudio serio de los fundadores más significativos de su campo, especialmente Boole , De Morgan, Pierce y Schröder ". ^[76] De hecho, un teorema articulado por De Morgan en 1860 fue expresado más tarde por Schrŏder en su libro de texto sobre relaciones binarias , y ahora se llama comúnmente reglas de Schröder .

De Morgan fue uno de los primeros en apoyar el álgebra simbólica de Peacock , pero pronto se desilusionó. A partir de 1839, De Morgan escribió una serie de artículos titulados "Sobre los fundamentos del álgebra", ^{[38] [39] [40] [41]} en los que describía lo que él llamaba álgebra "lógica" o " doble ", esencialmente una forma temprana del álgebra geométrica . Aunque estos artículos son quizás más notables por su influencia en Sir William Rowan Hamilton y el desarrollo de los cuaterniones , ^{[13] [77]} también se reconoce que contienen los pasos de De Morgan hacia un álgebra completamente abstracta :

"Inventar un sistema distinto de símbolos unitarios e investigar o asignar relaciones que definan su modo de acción entre sí". ^[78]

De Morgan resumió y amplió su trabajo algebraico en su libro Trigonometría y Álgebra Doble (1849). ^[42]

De Morgan fue un escritor prolífico; una lista incompleta de sus obras ocupa 15 páginas de sus memorias. ^[79] Si bien la mayor parte de los escritos matemáticos de De Morgan son de naturaleza educativa y consisten en varios libros de texto, es por sus contribuciones pioneras a la lógica por las que es más conocido, presentadas en varios libros y artículos, en particular Formal Logic (1847) y Syllabus of a Proposed System of Logic (1860). Su trabajo sobre álgebra también es notable, en particular Trigonometry and Double Algebra (1849).

De Morgan también fue un conocido divulgador de la ciencia y las matemáticas; contribuyó con más de 600 artículos a la Penny Cyclopedia, que abarcaban desde Abacus hasta Young, Thomas . ^[80] Su obra más inusual es A Budget of Paradoxes , una compilación de sus escritos, en su mayoría reseñas de libros, para The Athenæum Journal .

Si bien los dos primeros trabajos de De Morgan sobre álgebra son instructivos, su traducción de Los elementos del álgebra de Bourdon (1828) ^[11] y su propio libro de texto Los elementos del álgebra (1835) ^[81] , los problemas que encontró mientras los escribía estimularían su investigación posterior. ^[37]

Los artículos de investigación de De Morgan sobre álgebra, presentados en una secuencia de cuatro en las Transactions of the Cambridge Philosophical Society de 1839 a 1844 con el título "Sobre los fundamentos del álgebra", ^{[38] [39] [40] [41]} definían lo que De Morgan llamaba álgebra "lógica" o "doble". Si bien los artículos son más notables por su influencia en Hamilton y los cuaterniones, ^[82] el n.° II ^[39] incluye la definición de lo que ahora se denominan campos ^[37] y el n.° IV ^[41] trata el caso del álgebra "triple" que eludió a Hamilton. ^[77]

El libro de De Morgan Trigonometry and Double Algebra (1849) ^[42] consiste en un tratado sobre trigonometría y una síntesis de su trabajo anterior sobre álgebra, que traza el desarrollo del álgebra "doble", esencialmente álgebra geométrica , desde la aritmética hasta el álgebra simbólica , ilustrada en todo momento con la construcción de los números complejos. ^[83] De Morgan enumera las leyes que definen una estructura algebraica , en un ejemplo temprano de lo que Whitehead llamaría álgebra universal . Si bien De Morgan omite notablemente la ley asociativa de Gregory , la aplicación selectiva de leyes, por ejemplo, la conmutatividad, es lo que llevó a los cuaterniones de Hamilton. ^{[84] [77]} También es de destacar la introducción de funciones hiperbólicas y la comparación de la trigonometría circular e hiperbólica . ^[48]

La primera obra de De Morgan sobre lógica, Primeras nociones de lógica (1839), es pedagógica e introduce a los estudiantes a la lógica necesaria para estudiar los Elementos de Euclides .

El primer artículo de investigación de De Morgan sobre lógica, "Sobre la estructura del silogismo" (1846), ^[45] que describe un sistema matemático para el silogismo aristotélico , posiblemente marca el comienzo de la llamada lógica matemática. ^[d]

La obra más conocida de De Morgan, Formal Logic, or the Calculus of Inference, Necessary and Probable ^[71], se publicó en 1847 en la misma semana (por acuerdo) que Mathematical Analysis of Logic de George Boole . El libro es principalmente una reedición de su artículo "On the structure of the sylogism" (1846) ^[45] , pero también incluye su libro anterior, First Notions of Logic (1839), ^[44] capítulos sobre falacias y probabilidad, y los detalles de su disputa con el filósofo escocés Sir William Hamilton.

De Morgan continuó su investigación sobre lógica en una serie de artículos, ^{[85] [86] [73] [87]} más notablemente "Sobre el silogismo, No. IV" (1860), ^[73] que introdujo la lógica de relaciones . De Morgan sintetiza gran parte de este trabajo en su libro Syllabus of a Proposed System of Logic (1860). ^[88]

Publicado póstumamente en 1872, A Budget of Paradoxes es una compilación de la columna de De Morgan del mismo nombre para el Athenæum, que consiste principalmente en reseñas de libros y se centra en los llamados paradoxistas , también conocidos como pseudomaths (un neologismo de De Morgan ) y pseudocientíficos . ^[89]

Los pseudomatemáticos que describe De Morgan son en su mayoría cuadrantes de círculos , como los de Thomas Baxter , ^[90] duplicadores de cubos y trisectores de ángulos . Uno de estos trisectores de ángulos fue James Sabben, cuyo trabajo recibió una reseña de una línea de De Morgan:

«La consecuencia de años de intensa reflexión»: muy probable y muy triste. ^[91]

Otro pseudomath identificado por De Morgan fue James Smith, un exitoso comerciante de Liverpool, quien afirmó que . De Morgan escribe:${\displaystyle \pi =3{\tfrac {1}{8}}}$

El señor Smith sigue escribiéndome largas cartas, a las que me da a entender que tengo que responder. En la última de las 31 páginas de papel, escritas a mano, me informa, en relación con mi obstinado silencio, que aunque me considero y otros me consideran un Goliat matemático, he decidido hacer de caracol matemático y mantenerme dentro de mi caparazón... Pero se aventura a decirme que las piedritas que caigan de la honda de la simple verdad y del sentido común acabarán por romper mi caparazón... ^[92]

Entre las muchas ideas pseudocientíficas que De Morgan desacredita están la teoría de la Tierra en expansión de Alfred Wilks Drayson ^[93] y la Astronomía Zetética de Samuel Rowbotham , o la teoría de la Tierra plana . ^[94]

En su discusión de los cálculos de , De Morgan analiza extensamente la aproximación de Buffon y sus propios resultados utilizando el método. ^[95]${\estilo de visualización \pi}$

De Morgan también dedica espacio a temas no técnicos en su obra Budget , en particular a la religión. De Morgan hace una reseña favorable de Anacalypsis de Godfrey Higgins ^[96] y proporciona varias anécdotas sobre las opiniones de grandes matemáticos sobre la religión, en particular Laplace ^[97] y Euler ^[98] .

De Morgan muestra frecuentemente humor en Budget , incluyendo varios anagramas como, "Great Gun, do us a sum!" (="Augustus De Morgan"), ^[99] The Astronomer's Drinking Song, ^{[100] [101]} y el poema Siphonaptera . ^[102] Budget fue bien recibido pero difícil de categorizar. ^{[e] [104] [105]}

Más adelante en su vida, De Morgan desarrolló un interés en el espiritismo . Inicialmente intrigado por la clarividencia , realizó investigaciones paranormales con la médium estadounidense Maria Hayden. Los resultados de estas investigaciones están documentados en el libro From Matter to Spirit: The Result of Ten Years Experience in Spirit Manifestations (1863), escrito por Sophia De Morgan y publicado de forma anónima para evitar repercusiones. ^[106]

Es probable que Sophia fuera una espiritualista convencida, pero el propio De Morgan no era ni un firme creyente ni un escéptico. Sostenía que la metodología de las ciencias físicas no excluye automáticamente los fenómenos psíquicos , sugiriendo que dichos fenómenos podrían eventualmente explicarse por fuerzas naturales aún no identificadas por los físicos. ^[107] En el prefacio de De la materia al espíritu (1863), De Morgan escribe:

Considerando que es muy probable que el universo contenga unos pocos agentes –digamos medio millón– sobre los que nadie sabe nada, no puedo dejar de sospechar que una pequeña proporción de estos agentes –digamos cinco mil– puede ser competente para la producción de todos los fenómenos [espiritistas], o puede estar a la altura de la tarea entre ellos. Las explicaciones físicas que he visto son fáciles, pero miserablemente insuficientes; la hipótesis espiritista es suficiente, pero pesadamente difícil. El tiempo y la reflexión decidirán; la segunda pedirá a la primera más resultados de prueba.

De Morgan fue uno de los primeros científicos notables de Gran Bretaña en interesarse en el estudio del espiritismo, influyendo en William Crookes para que también estudiara el espiritismo. ^[108]

La sede de la Sociedad Matemática de Londres se llama De Morgan House , y el máximo premio otorgado por la Sociedad es la Medalla De Morgan .

La sociedad de estudiantes del Departamento de Matemáticas del University College de Londres se llama Sociedad Augustus De Morgan.

La extensa biblioteca de obras matemáticas y científicas de De Morgan, muchas de ellas históricas, fue adquirida por Samuel Jones-Loyd para la Universidad de Londres y ahora es parte de la colección de Senate House Libraries . ^[109]

El cráter lunar De Morgan lleva su nombre.

• Bourdon, Pierre Louis Marie (1828). Los elementos del álgebra. Traducido por De Morgan, Augustus. Londres: John Taylor.
• De Morgan, Augustus (1831). Sobre el estudio y las dificultades de las matemáticas.
• Una explicación de la proyección gnomónica de la esfera. Londres: Baldwin. 1836.
• Elementos de trigonometría y análisis trigonométrico. Londres: Taylor & Walton. 1837a.
• Elementos de álgebra. Londres: Taylor & Walton. 1837b.
• Ensayo sobre probabilidades y su aplicación a las contingencias de vida y a las compañías de seguros. Londres: Longman, Orme, Brown, Green & Longmans. 1838.
• De Morgan, Augustus (1839). Primeras nociones de lógica, preparatorias para el estudio de la geometría. Londres: Taylor & Walton.
• Los elementos de la aritmética (4ª ed.). Londres: Taylor & Walton. 1840a.
• El cálculo diferencial e integral. Londres: Baldwin. 1842.
• Los globos celestes y terrestres. Londres: Malby & Co. 1845.
• De Morgan, Augustus (1847). Lógica formal o cálculo de inferencias, necesarias y probables. Londres: Taylor & Walton.
• Trigonometría y álgebra doble. Londres: Taylor, Walton & Malbery. 1849.
• De Morgan, Augustus (1860). Sílabo de un sistema de lógica propuesto. Londres: Walton & Malbery.
• De Morgan, Augustus (1872). Un presupuesto de paradojas. Londres: Longmans, Green.

• De Morgan, Augustus (1839). "Sobre los fundamentos del álgebra". Transactions of the Cambridge Philosophical Society . 7 : 173–187.
• De Morgan, Augustus (1841). "Sobre los fundamentos del álgebra, n.º II". Transactions of the Cambridge Philosophical Society . 7 : 287–300.
• De Morgan, Augustus (1846). «Sobre la estructura del silogismo y sobre la aplicación de la teoría de probabilidades a cuestiones de argumentación y autoridad». Transactions of the Cambridge Philosophical Society . 8 XXIX: 379–408.
• De Morgan, Augustus (1843). "Sobre los fundamentos del álgebra, n.º III". Transactions of the Cambridge Philosophical Society . 8 : 139–142.
• De Morgan, Augustus (1844). "Sobre los fundamentos del álgebra, n.º IV, Sobre el álgebra triple". Transactions of the Cambridge Philosophical Society . 8 : 241–253.
• De Morgan, Augustus (1850). "Sobre los símbolos de la lógica, la teoría del silogismo y, en particular, de la cópula, y la aplicación de la teoría de las probabilidades a algunas cuestiones de evidencia". Transactions of the Cambridge Philosophical Society . 9 : 79–127.
• De Morgan, Augustus (1858). «Sobre el silogismo, n.º III, y sobre la lógica en general». Transactions of the Cambridge Philosophical Society . 10 (1): 173–320.
• De Morgan, Augustus (1860). «Sobre el silogismo, n.º IV, y sobre la lógica de las relaciones». Transactions of the Cambridge Philosophical Society . 10 (2): 331–358.
• De Morgan, Augustus (1863). "Sobre el silogismo, n.º V, y sobre varios puntos del sistema onímico". Transactions of the Cambridge Philosophical Society . 10 (2): 428–487.

• Historia de la serie Grandi
• Ley de Murphy
• Cuadrando el círculo
• Teorema de los cuatro colores

• "La canción de bebida del astrónomo". Real Sociedad Astronómica de Canadá .

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• Obras de Augustus De Morgan en el Proyecto Gutenberg
• Obras de Augustus De Morgan o sobre él en Internet Archive
• Obras de Augustus De Morgan en LibriVox (audiolibros de dominio público)
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Augustus De Morgan", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
• Biblioteca del Senado | Biblioteca De Morgan [1] [2]
• «Material de archivo relacionado con Augustus De Morgan». Archivos Nacionales del Reino Unido .
• Retratos de Augustus De Morgan en la National Portrait Gallery de Londres