Decoherencia cuántica

Parte de una serie de artículos sobre
Mecánica cuántica
${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ Ecuación de Schrödinger
Introducción Glosario Historia
Fondo Mecánica clásica Antigua teoría cuántica Notación de corchetes Hamiltoniano Interferencia
Fundamentos Complementariedad Decoherencia Enredo Nivel de energía Medición No localidad Número cuántico Estado Superposición Simetría Túnel Incertidumbre Función de onda Colapsar
Experimentos Desigualdad de Bell Desigualdad de CHSH Davisson-Germer Doble rendija Elitzur–Vaidman Franck-Hertz Desigualdad de Leggett Desigualdad de Leggett-Garg Mach–Zehnder Corchete Borrador cuántico Elección retrasada El gato de Schrödinger Stern-Gerlach La elección retrasada de Wheeler
Formulaciones Descripción general Heisenberg Interacción Matriz Espacio de fases Schrödinger Suma de historias (integral de trayectoria)
Ecuaciones Dirac Klein-Gordon Pablo Rydberg Schrödinger
Interpretaciones Bayesiano Historias consistentes Copenhague de Broglie–Bohm Conjunto Variable oculta Local Superdeterminismo Muchos mundos Colapso objetivo Lógica cuántica Relacional Transaccional De von Neumann-Wigner
Temas avanzados Mecánica cuántica relativista Teoría cuántica de campos Ciencia de la información cuántica Computación cuántica Caos cuántico Paradoja del EPR Matriz de densidad Teoría de la dispersión Mecánica estadística cuántica Aprendizaje automático cuántico
Científicos Aharonov Campana Bethe Negro Bloqueo Bóhm Bohr Nacido Bosé de Broglie Compton Dirac Davison Debye Fiesta de los testigos Einstein Everett Follar Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramer Cordero Landau Laue Moseley Millikan Onnes Pauli Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Simmons Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

La decoherencia cuántica es la pérdida de coherencia cuántica . La decoherencia cuántica se ha estudiado para entender cómo los sistemas cuánticos se convierten en sistemas que pueden explicarse mediante la mecánica clásica. A partir de los intentos de ampliar la comprensión de la mecánica cuántica, la teoría se ha desarrollado en varias direcciones y los estudios experimentales han confirmado algunas de las cuestiones clave. La computación cuántica se basa en la coherencia cuántica y es una de las principales aplicaciones prácticas del concepto.

En mecánica cuántica , los sistemas físicos se describen mediante una representación matemática llamada función de onda ; se utiliza una interpretación probabilística de la función de onda para explicar diversos efectos cuánticos. La función de onda describe diversos estados y, siempre que exista una relación de fase definida entre los diferentes estados, se dice que el sistema es coherente . En ausencia de fuerzas o interacciones externas, la coherencia se conserva según las leyes de la física cuántica.

Si un sistema cuántico estuviera perfectamente aislado, mantendría la coherencia indefinidamente, pero sería imposible manipularlo o investigarlo. Si no está perfectamente aislado, por ejemplo durante una medición, la coherencia se comparte con el entorno y parece perderse con el tiempo, un proceso llamado decoherencia cuántica o decoherencia ambiental. La coherencia cuántica no se pierde, sino que se mezcla con muchos más grados de libertad en el entorno, de manera análoga a la forma en que la energía parece perderse por fricción en la mecánica clásica cuando en realidad ha producido calor en el entorno.

La decoherencia puede ser vista como la pérdida de información de un sistema hacia el entorno (a menudo modelada como un baño de calor ), ^[1] ya que cada sistema está débilmente acoplado con el estado energético de su entorno. Vista de forma aislada, la dinámica del sistema no es unitaria (aunque el sistema combinado más el entorno evoluciona de manera unitaria). ^[2] Por lo tanto, la dinámica del sistema por sí sola es irreversible . Como ocurre con cualquier acoplamiento, se generan entrelazamientos entre el sistema y el entorno. Estos tienen el efecto de compartir información cuántica con el entorno (o transferirla a él).

Una interpretación de la mecánica cuántica es un intento de explicar cómo la teoría matemática de la física cuántica podría corresponderse con la realidad experimentada . ^[3] Los cálculos de decoherencia se pueden realizar en cualquier interpretación de la mecánica cuántica, ya que esos cálculos son una aplicación de las herramientas matemáticas estándar de la teoría cuántica. Sin embargo, el tema de la decoherencia ha estado estrechamente relacionado con el problema de la interpretación a lo largo de su historia. ^{[4] [5]}

La decoherencia se ha utilizado para entender la posibilidad del colapso de la función de onda en la mecánica cuántica. La decoherencia no genera un colapso real de la función de onda. Sólo proporciona un marco para el colapso aparente de la función de onda, ya que la naturaleza cuántica del sistema se "filtra" al entorno. Es decir, los componentes de la función de onda se desacoplan de un sistema coherente y adquieren fases de su entorno inmediato. Todavía existe una superposición total de la función de onda global o universal (y sigue siendo coherente a nivel global), pero su destino final sigue siendo una cuestión de interpretación .

En lo que respecta al problema de la medición , la decoherencia proporciona una explicación de la transición del sistema a una mezcla de estados que parecen corresponderse con los estados que perciben los observadores. Además, la observación indica que esta mezcla parece un conjunto cuántico adecuado en una situación de medición, ya que las mediciones conducen a la "realización" de precisamente un estado en el "conjunto".

Las opiniones filosóficas de Werner Heisenberg y Niels Bohr se han agrupado a menudo como la " interpretación de Copenhague ", a pesar de las significativas divergencias entre ellos en puntos importantes. ^{[6] [7]} En 1955, Heisenberg sugirió que la interacción de un sistema con su entorno circundante eliminaría los efectos de interferencia cuántica. Sin embargo, Heisenberg no proporcionó una explicación detallada de cómo podría suceder esto, ni tampoco hizo explícita la importancia del entrelazamiento en el proceso. ^{[7] [8]}

La solución de Nevill Mott al icónico problema de Mott en 1929 se considera en retrospectiva como el primer trabajo de decoherencia cuántica. ^[9] Fue citado por el primer tratamiento teórico moderno. ^[10]

Aunque no utilizó el término, el concepto de decoherencia cuántica fue introducido por primera vez en 1951 por el físico estadounidense David Bohm , ^{[11] [12]} quien lo llamó la "destrucción de interferencias en el proceso de medición". Bohm utilizó más tarde la decoherencia para manejar el proceso de medición en la interpretación de De Broglie-Bohm de la teoría cuántica. ^[13]

La importancia de la decoherencia fue resaltada aún más en 1970 por el físico alemán H. Dieter Zeh , ^[14] y ha sido un tema de investigación activa desde la década de 1980. ^[15] La decoherencia se ha desarrollado hasta convertirse en un marco completo, pero existe controversia en cuanto a si resuelve el problema de la medición , como admiten los fundadores de la teoría de la decoherencia en sus artículos seminales. ^[16]

El estudio de la decoherencia como tema propiamente dicho comenzó en 1970, con el artículo de H. Dieter Zeh "Sobre la interpretación de la medición en la teoría cuántica". ^{[4] [14]} Zeh consideraba la función de onda como una entidad física, en lugar de un dispositivo de cálculo o un compendio de información estadística (como es típico en las interpretaciones de tipo Copenhague), y propuso que debería evolucionar unitariamente, de acuerdo con la ecuación de Schrödinger, en todo momento. Zeh inicialmente desconocía el trabajo anterior de Hugh Everett III , ^[17] que también proponía una función de onda universal que evolucionaba unitariamente; revisó su artículo para hacer referencia a Everett después de enterarse de la "interpretación del estado relativo" de Everett a través de un artículo de Bryce DeWitt . ^[4] (DeWitt fue quien denominó la propuesta de Everett la interpretación de los muchos mundos , nombre por el que se la conoce comúnmente). Para Zeh, la cuestión de cómo interpretar la mecánica cuántica era de importancia clave, y una interpretación en la línea de la de Everett era la más natural. En parte debido a un desinterés general entre los físicos por las cuestiones de interpretación, el trabajo de Zeh permaneció comparativamente desatendido hasta principios de la década de 1980, cuando dos artículos de Wojciech Zurek ^{[18] [19]} revitalizaron el tema. A diferencia de las publicaciones de Zeh, los artículos de Zurek eran bastante agnósticos sobre la interpretación, centrándose en cambio en problemas específicos de la dinámica de la matriz de densidad. El interés de Zurek en la decoherencia surgió de la profundización del análisis de Bohr del experimento de la doble rendija en su respuesta a la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen , trabajo que había realizado con Bill Wootters , ^[20] y desde entonces ha argumentado que la decoherencia trae una especie de acercamiento entre las visiones everettianas y las de tipo Copenhague. ^{[4] [21]}

La decoherencia no pretende proporcionar un mecanismo para un colapso real de la función de onda; más bien, propone un marco razonable para la aparición del colapso de la función de onda. La naturaleza cuántica del sistema simplemente se "filtra" al entorno de modo que sigue existiendo una superposición total de la función de onda, pero existe -al menos para todos los efectos prácticos- más allá del ámbito de la medición. ^{[22] [23]} Por definición, la afirmación de que sigue existiendo una función de onda fusionada pero no medible no puede probarse experimentalmente. La decoherencia es necesaria para entender por qué un sistema cuántico comienza a obedecer las reglas de probabilidad clásicas después de interactuar con su entorno (debido a la supresión de los términos de interferencia al aplicar las reglas de probabilidad de Born al sistema).

Anthony Leggett ha criticado la idoneidad de la teoría de la decoherencia para resolver el problema de la medición . ^{[24] [25]}

Para examinar cómo funciona la decoherencia, se presenta a continuación un modelo "intuitivo". El modelo requiere cierta familiaridad con los conceptos básicos de la teoría cuántica. Se establecen analogías entre los espacios de fase clásicos visualizables y los espacios de Hilbert . Una derivación más rigurosa en la notación de Dirac muestra cómo la decoherencia destruye los efectos de interferencia y la "naturaleza cuántica" de los sistemas. A continuación, se presenta el enfoque de la matriz de densidad para obtener una perspectiva.

Un sistema de N partículas se puede representar en mecánica cuántica no relativista mediante una función de onda , donde cada x _i es un punto en un espacio tridimensional. Esto tiene analogías con el espacio de fases clásico . Un espacio de fases clásico contiene una función de valor real en 6 N dimensiones (cada partícula contribuye con 3 coordenadas espaciales y 3 momentos). En este caso, un espacio de fases "cuántico", por otro lado, implica una función de valor complejo en un espacio tridimensional N. La posición y los momentos se representan mediante operadores que no conmutan , y viven en la estructura matemática de un espacio de Hilbert . Sin embargo, aparte de estas diferencias, la analogía aproximada se mantiene.${\displaystyle \psi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{N})}$${\displaystyle \psi }$

Diferentes sistemas previamente aislados y no interactuantes ocupan diferentes espacios de fases. Alternativamente, podemos decir que ocupan diferentes subespacios de menor dimensión en el espacio de fases del sistema conjunto. La dimensionalidad efectiva del espacio de fases de un sistema es el número de grados de libertad presentes, que, en modelos no relativistas, es 6 veces el número de partículas libres de un sistema. Para un sistema macroscópico , esta será una dimensionalidad muy grande. Sin embargo, cuando dos sistemas (el entorno es un sistema) comienzan a interactuar, sus vectores de estado asociados ya no están restringidos a los subespacios. En cambio, el vector de estado combinado evoluciona en el tiempo un camino a través del "volumen mayor", cuya dimensionalidad es la suma de las dimensiones de los dos subespacios. El grado en que dos vectores interfieren entre sí es una medida de cuán "cerca" están uno del otro (formalmente, su superposición o espacio de Hilbert se multiplica) en el espacio de fases. Cuando un sistema se acopla a un entorno externo, la dimensionalidad y, por lo tanto, el "volumen" disponible para el vector de estado conjunto aumenta enormemente. Cada grado de libertad ambiental aporta una dimensión extra.

La función de onda del sistema original se puede expandir de muchas maneras diferentes como una suma de elementos en una superposición cuántica. Cada expansión corresponde a una proyección del vector de onda sobre una base. La base se puede elegir a voluntad. Al elegir una expansión en la que los elementos de la base resultantes interactúan con el entorno de una manera específica para cada elemento, dichos elementos se separarán rápidamente entre sí por su evolución temporal unitaria natural a lo largo de sus propios caminos independientes. Después de una interacción muy corta, casi no hay posibilidad de más interferencias. El proceso es efectivamente irreversible . Los diferentes elementos se "pierden" efectivamente entre sí en el espacio de fase expandido creado por el acoplamiento con el entorno. En el espacio de fase, este desacoplamiento se controla a través de la distribución de cuasi-probabilidad de Wigner . Se dice que los elementos originales se han descoherido . El entorno ha seleccionado efectivamente aquellas expansiones o descomposiciones del vector de estado original que se descohere (o pierden coherencia de fase) entre sí. Esto se llama "superselección inducida por el entorno" o einselección . ^[26] Los elementos descoheridos del sistema ya no presentan interferencia cuántica entre sí, como en un experimento de doble rendija . Se dice que todos los elementos que se descoheren entre sí a través de interacciones ambientales están entrelazados cuánticamente con el entorno. Lo inverso no es cierto: no todos los estados entrelazados se descoheren entre sí.

Cualquier dispositivo o aparato de medición actúa como un entorno, ya que en algún punto de la cadena de medición debe ser lo suficientemente grande como para que pueda ser leído por humanos. Debe poseer una gran cantidad de grados de libertad ocultos. En efecto, las interacciones pueden considerarse mediciones cuánticas . Como resultado de una interacción, las funciones de onda del sistema y el dispositivo de medición se enredan entre sí. La decoherencia ocurre cuando diferentes porciones de la función de onda del sistema se enredan de diferentes maneras con el dispositivo de medición. Para que dos elementos no seleccionados del estado del sistema enredado interfieran, tanto el sistema original como el dispositivo de medición en ambos elementos deben superponerse significativamente, en el sentido del producto escalar. Si el dispositivo de medición tiene muchos grados de libertad, es muy poco probable que esto suceda.

Como consecuencia, el sistema se comporta como un conjunto estadístico clásico de los diferentes elementos en lugar de como una única superposición cuántica coherente de ellos. Desde la perspectiva del dispositivo de medición de cada miembro del conjunto, el sistema parece haber colapsado irreversiblemente en un estado con un valor preciso para los atributos medidos, en relación con ese elemento. Esto proporciona una explicación de cómo los coeficientes de la regla de Born actúan efectivamente como probabilidades según el postulado de medición que constituye una solución al problema de la medición cuántica.

Usando la notación de Dirac , supongamos que el sistema está inicialmente en el estado

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}|i\rangle \langle i|\psi \rangle ,}$

donde los s forman una base einselected ( base propia seleccionada inducida ambientalmente ^[26] ), y sea que el entorno esté inicialmente en el estado . La base vectorial de la combinación del sistema y el entorno consiste en los productos tensoriales de los vectores base de los dos subsistemas. Por lo tanto, antes de cualquier interacción entre los dos subsistemas, el estado conjunto se puede escribir como${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle |\epsilon \rangle }$

${\displaystyle |{\text{before}}\rangle =\sum _{i}|i\rangle |\epsilon \rangle \langle i|\psi \rangle ,}$

donde es la abreviatura del producto tensorial . Hay dos extremos en la forma en que el sistema puede interactuar con su entorno: o bien (1) el sistema pierde su identidad distintiva y se fusiona con el entorno (por ejemplo, los fotones en una cavidad fría y oscura se convierten en excitaciones moleculares dentro de las paredes de la cavidad), o bien (2) el sistema no se altera en absoluto, aunque el entorno se altera (por ejemplo, la medición no perturbadora idealizada). En general, una interacción es una mezcla de estos dos extremos que examinamos.${\displaystyle |i\rangle |\epsilon \rangle }$${\displaystyle |i\rangle \otimes |\epsilon \rangle }$

Si el entorno absorbe al sistema, cada elemento de la base del sistema total interactúa con el entorno de tal manera que

${\displaystyle |i\rangle |\epsilon \rangle }$evoluciona en${\displaystyle |\epsilon _{i}\rangle ,}$

y entonces

${\displaystyle |{\text{before}}\rangle }$evoluciona en${\displaystyle |{\text{after}}\rangle =\sum _{i}|\epsilon _{i}\rangle \langle i|\psi \rangle .}$

La unitaridad de la evolución temporal exige que la base del estado total permanezca ortonormal , es decir, los productos escalares o internos de los vectores base deben desaparecer, ya que :${\displaystyle \langle i|j\rangle =\delta _{ij}}$

${\displaystyle \langle \epsilon _{i}|\epsilon _{j}\rangle =\delta _{ij}.}$

Esta ortonormalidad de los estados del entorno es la característica definitoria requerida para la einselección . ^[26]

En una medición idealizada, el sistema altera el entorno, pero no es al mismo tiempo afectado por éste. En este caso, cada elemento de la base interactúa con el entorno de tal manera que

${\displaystyle |i\rangle |\epsilon \rangle }$evoluciona hacia el producto${\displaystyle |i,\epsilon _{i}\rangle =|i\rangle |\epsilon _{i}\rangle ,}$

y entonces

${\displaystyle |{\text{before}}\rangle }$evoluciona en${\displaystyle |{\text{after}}\rangle =\sum _{i}|i,\epsilon _{i}\rangle \langle i|\psi \rangle .}$

En este caso, la unitaridad exige que

${\displaystyle \langle i,\epsilon _{i}|j,\epsilon _{j}\rangle =\langle i|j\rangle \langle \epsilon _{i}|\epsilon _{j}\rangle =\delta _{ij}\langle \epsilon _{i}|\epsilon _{j}\rangle =\delta _{ij}\langle \epsilon _{i}|\epsilon _{i}\rangle =\delta _{ij},}$

donde se utilizó. Además , la decoherencia requiere, en virtud de la gran cantidad de grados de libertad ocultos en el entorno, que${\displaystyle \langle \epsilon _{i}|\epsilon _{i}\rangle =1}$

${\displaystyle \langle \epsilon _{i}|\epsilon _{j}\rangle \approx \delta _{ij}.}$

Como antes, esta es la característica definitoria para que la decoherencia se convierta en einselección . ^[26] La aproximación se vuelve más exacta a medida que aumenta el número de grados de libertad ambientales afectados.

Obsérvese que si la base del sistema no fuera una base no seleccionada, entonces la última condición es trivial, ya que el entorno perturbado no es una función de , y tenemos la base trivial del entorno perturbado . Esto correspondería a que la base del sistema fuera degenerada con respecto al observable de medición definido ambientalmente. Para una interacción ambiental compleja (que sería esperable para una interacción típica a macroescala) sería difícil definir una base no seleccionada.${\displaystyle |i\rangle }$${\displaystyle i}$${\displaystyle |\epsilon _{j}\rangle =|\epsilon '\rangle }$

La utilidad de la decoherencia reside en su aplicación al análisis de probabilidades, antes y después de la interacción con el entorno, y en particular a la desaparición de los términos de interferencia cuántica después de que se ha producido la decoherencia. Si preguntamos cuál es la probabilidad de observar que el sistema realiza una transición de a antes de haber interactuado con su entorno, entonces la aplicación de la regla de probabilidad de Born establece que la probabilidad de transición es el módulo al cuadrado del producto escalar de los dos estados:${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \operatorname {prob} _{\text{before}}(\psi \to \phi )=\left|\langle \psi |\phi \rangle \right|^{2}=\left|\sum _{i}\psi _{i}^{*}\phi _{i}\right|^{2}=\sum _{i}|\psi _{i}^{*}\phi _{i}|^{2}+\sum _{ij;i\neq j}\psi _{i}^{*}\psi _{j}\phi _{j}^{*}\phi _{i},}$

donde , , y etc.${\displaystyle \psi _{i}=\langle i|\psi \rangle }$${\displaystyle \psi _{i}^{*}=\langle \psi |i\rangle }$${\displaystyle \phi _{i}=\langle i|\phi \rangle }$

La expansión anterior de la probabilidad de transición tiene términos que involucran ; estos pueden considerarse como la representación de la interferencia entre los diferentes elementos básicos o alternativas cuánticas. Este es un efecto puramente cuántico y representa la no aditividad de las probabilidades de las alternativas cuánticas.${\displaystyle i\neq j}$

Para calcular la probabilidad de observar que el sistema da un salto cuántico de a después de haber interactuado con su entorno, la aplicación de la regla de probabilidad de Born establece que debemos sumar todos los estados posibles relevantes del entorno antes de elevar al cuadrado el módulo:${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle |\epsilon _{i}\rangle }$

${\displaystyle \operatorname {prob} _{\text{after}}(\psi \to \phi )=\sum _{j}\,\left|\langle {\text{after}}\right|\phi ,\epsilon _{j}\rangle |^{2}=\sum _{j}\,\left|\sum _{i}\psi _{i}^{*}\langle i,\epsilon _{i}|\phi ,\epsilon _{j}\rangle \right|^{2}=\sum _{j}\left|\sum _{i}\psi _{i}^{*}\phi _{i}\langle \epsilon _{i}|\epsilon _{j}\rangle \right|^{2}.}$

La suma interna desaparece cuando aplicamos la condición de decoherencia/ einselección , y la fórmula se simplifica a${\displaystyle \langle \epsilon _{i}|\epsilon _{j}\rangle \approx \delta _{ij}}$

${\displaystyle \operatorname {prob} _{\text{after}}(\psi \to \phi )\approx \sum _{j}|\psi _{j}^{*}\phi _{j}|^{2}=\sum _{i}|\psi _{i}^{*}\phi _{i}|^{2}.}$

Si comparamos esto con la fórmula que derivamos antes de que el entorno introdujera la decoherencia, podemos ver que el efecto de la decoherencia ha sido mover el signo de suma desde el interior del signo del módulo hacia el exterior. Como resultado, todos los términos de interferencia cuántica o cruzada${\displaystyle \textstyle \sum _{i}}$

${\displaystyle \sum _{ij;i\neq j}\psi _{i}^{*}\psi _{j}\phi _{j}^{*}\phi _{i}}$

han desaparecido del cálculo de probabilidad de transición. La decoherencia ha convertido irreversiblemente el comportamiento cuántico ( amplitudes de probabilidad aditivas ) en comportamiento clásico (probabilidades aditivas). ^{[26] [27] [28]} Sin embargo, Ballentine ^[29] muestra que el impacto significativo de la decoherencia para reducir la interferencia no necesita tener importancia para la transición de los sistemas cuánticos a los límites clásicos.

En términos de matrices de densidad, la pérdida de efectos de interferencia corresponde a la diagonalización de la matriz de densidad "rastreada ambientalmente" . ^[26]

El efecto de la decoherencia en las matrices de densidad es esencialmente la descomposición o desaparición rápida de los elementos fuera de la diagonal de la traza parcial de la matriz de densidad del sistema conjunto , es decir, la traza , con respecto a cualquier base ambiental, de la matriz de densidad del sistema combinado y su entorno. La decoherencia convierte irreversiblemente la matriz de densidad "promediada" o "rastreada ambientalmente" ^[26] de un estado puro a una mezcla reducida; es esto lo que da la apariencia de colapso de la función de onda . Nuevamente, esto se llama "superselección inducida ambientalmente" o einselección . ^[26] La ventaja de tomar la traza parcial es que este procedimiento es indiferente a la base ambiental elegida.

Inicialmente, la matriz de densidad del sistema combinado se puede denotar como

${\displaystyle \rho =|{\text{before}}\rangle \langle {\text{before}}|=|\psi \rangle \langle \psi |\otimes |\epsilon \rangle \langle \epsilon |,}$

donde es el estado del entorno. Entonces, si la transición ocurre antes de que se produzca cualquier interacción entre el sistema y el entorno, el subsistema del entorno no participa y se puede rastrear , dejando la matriz de densidad reducida para el sistema:${\displaystyle |\epsilon \rangle }$

${\displaystyle \rho _{\text{sys}}=\operatorname {Tr} _{\textrm {env}}(\rho )=|\psi \rangle \langle \psi |\langle \epsilon |\epsilon \rangle =|\psi \rangle \langle \psi |.}$

Ahora la probabilidad de transición se dará como

${\displaystyle \operatorname {prob} _{\text{before}}(\psi \to \phi )=\langle \phi |\rho _{\text{sys}}|\phi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle \langle \psi |\phi \rangle ={\big |}\langle \psi |\phi \rangle {\big |}^{2}=\sum _{i}|\psi _{i}^{*}\phi _{i}|^{2}+\sum _{ij;i\neq j}\psi _{i}^{*}\psi _{j}\phi _{j}^{*}\phi _{i},}$

donde , , y etc.${\displaystyle \psi _{i}=\langle i|\psi \rangle }$${\displaystyle \psi _{i}^{*}=\langle \psi |i\rangle }$${\displaystyle \phi _{i}=\langle i|\phi \rangle }$

Ahora bien, el caso en el que la transición se produce después de la interacción del sistema con el entorno. La matriz de densidad combinada será

${\displaystyle \rho =|{\text{after}}\rangle \langle {\text{after}}|=\sum _{i,j}\psi _{i}\psi _{j}^{*}|i,\epsilon _{i}\rangle \langle j,\epsilon _{j}|=\sum _{i,j}\psi _{i}\psi _{j}^{*}|i\rangle \langle j|\otimes |\epsilon _{i}\rangle \langle \epsilon _{j}|.}$

Para obtener la matriz de densidad reducida del sistema, trazamos el entorno y empleamos la condición de decoherencia/ einselección y vemos que los términos fuera de la diagonal desaparecen (un resultado obtenido por Erich Joos y HD Zeh en 1985): ^[30]

${\displaystyle \rho _{\text{sys}}=\operatorname {Tr} _{\text{env}}{\Big (}\sum _{i,j}\psi _{i}\psi _{j}^{*}|i\rangle \langle j|\otimes |\epsilon _{i}\rangle \langle \epsilon _{j}|{\Big )}=\sum _{i,j}\psi _{i}\psi _{j}^{*}|i\rangle \langle j|\langle \epsilon _{j}|\epsilon _{i}\rangle =\sum _{i,j}\psi _{i}\psi _{j}^{*}|i\rangle \langle j|\delta _{ij}=\sum _{i}|\psi _{i}|^{2}|i\rangle \langle i|.}$

De manera similar, la matriz de densidad reducida final después de la transición será

${\displaystyle \sum _{j}|\phi _{j}|^{2}|j\rangle \langle j|.}$

La probabilidad de transición se dará entonces como

${\displaystyle \operatorname {prob} _{\text{after}}(\psi \to \phi )=\sum _{i,j}|\psi _{i}|^{2}|\phi _{j}|^{2}\langle j|i\rangle \langle i|j\rangle =\sum _{i}|\psi _{i}^{*}\phi _{i}|^{2},}$

que no tiene contribución de los términos de interferencia

${\displaystyle \sum _{ij;i\neq j}\psi _{i}^{*}\psi _{j}\phi _{j}^{*}\phi _{i}.}$

El enfoque de matriz de densidad se ha combinado con el enfoque de Bohm para obtener un enfoque de trayectoria reducida , teniendo en cuenta la matriz de densidad reducida del sistema y la influencia del entorno. ^[31]

Consideremos un sistema S y un entorno (baño) B , que son cerrados y pueden ser tratados de manera mecano-cuántica. Sean y los espacios de Hilbert del sistema y del baño respectivamente. Entonces, el hamiltoniano para el sistema combinado es${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{B}}$

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{S}\otimes {\hat {I}}_{B}+{\hat {I}}_{S}\otimes {\hat {H}}_{B}+{\hat {H}}_{I},}$

donde son los hamiltonianos del sistema y del baño respectivamente, es el hamiltoniano de interacción entre el sistema y el baño, y son los operadores identidad en los espacios de Hilbert del sistema y del baño respectivamente. La evolución temporal del operador de densidad de este sistema cerrado es unitaria y, como tal, está dada por${\displaystyle {\hat {H}}_{S},{\hat {H}}_{B}}$${\displaystyle {\hat {H}}_{I}}$${\displaystyle {\hat {I}}_{S},{\hat {I}}_{B}}$

${\displaystyle \rho _{SB}(t)={\hat {U}}(t)\rho _{SB}(0){\hat {U}}^{\dagger }(t),}$

donde el operador unitario es . Si el sistema y el baño no están entrelazados inicialmente, entonces podemos escribir . Por lo tanto, la evolución del sistema se convierte en${\displaystyle {\hat {U}}=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$${\displaystyle \rho _{SB}=\rho _{S}\otimes \rho _{B}}$

${\displaystyle \rho _{SB}(t)={\hat {U}}(t)[\rho _{S}(0)\otimes \rho _{B}(0)]{\hat {U}}^{\dagger }(t).}$

El hamiltoniano de interacción sistema-baño se puede escribir en forma general como

${\displaystyle {\hat {H}}_{I}=\sum _{i}{\hat {S}}_{i}\otimes {\hat {B}}_{i},}$

donde es el operador que actúa sobre el espacio de Hilbert combinado sistema-baño, y son los operadores que actúan sobre el sistema y el baño respectivamente. Este acoplamiento del sistema y el baño es la causa de la decoherencia en el sistema solo. Para ver esto, se realiza un trazo parcial sobre el baño para dar una descripción del sistema solo:${\displaystyle {\hat {S}}_{i}\otimes {\hat {B}}_{i}}$${\displaystyle {\hat {S}}_{i},{\hat {B}}_{i}}$

${\displaystyle \rho _{S}(t)=\operatorname {Tr} _{B}{\big [}{\hat {U}}(t)[\rho _{S}(0)\otimes \rho _{B}(0)]{\hat {U}}^{\dagger }(t){\big ]}.}$

${\displaystyle \rho _{S}(t)}$se denomina matriz de densidad reducida y proporciona información únicamente sobre el sistema. Si el baño se escribe en términos de su conjunto de bases ortogonales, es decir, si se ha diagonalizado inicialmente, entonces . Calcular la traza parcial con respecto a esta base (computacional) da${\displaystyle \textstyle \rho _{B}(0)=\sum _{j}a_{j}|j\rangle \langle j|}$

${\displaystyle \rho _{S}(t)=\sum _{l}{\hat {A}}_{l}\rho _{S}(0){\hat {A}}_{l}^{\dagger },}$

donde se definen como los operadores de Kraus y se representan como (el índice combina los índices y ):${\displaystyle {\hat {A}}_{l},{\hat {A}}_{l}^{\dagger }}$${\displaystyle l}$${\displaystyle k}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{l}={\sqrt {a_{j}}}\langle k|{\hat {U}}|j\rangle .}$

Esto se conoce como la representación de suma de operadores (OSR). Se puede obtener una condición sobre los operadores de Kraus utilizando el hecho de que ; esto entonces da${\displaystyle \operatorname {Tr} [\rho _{S}(t)]=1}$

${\displaystyle \sum _{l}{\hat {A}}_{l}^{\dagger }{\hat {A}}_{l}={\hat {I}}_{S}.}$

Esta restricción determina si se producirá o no decoherencia en el OSR. En particular, cuando hay más de un término presente en la suma de , entonces la dinámica del sistema no será unitaria y, por lo tanto, se producirá decoherencia.${\displaystyle \rho _{S}(t)}$

Una consideración más general para la existencia de decoherencia en un sistema cuántico se da mediante la ecuación maestra , que determina cómo la matriz de densidad del sistema solo evoluciona en el tiempo (véase también la ecuación de Belavkin ^{[32] [33] [34]} para la evolución bajo medición continua). Esto utiliza la imagen de Schrödinger , donde se considera la evolución del estado (representado por su matriz de densidad). La ecuación maestra es

${\displaystyle \rho '_{S}(t)={\frac {-i}{\hbar }}{\big [}{\tilde {H}}_{S},\rho _{S}(t){\big ]}+L_{D}{\big [}\rho _{S}(t){\big ]},}$

donde es el hamiltoniano del sistema junto con una (posible) contribución unitaria del baño, y es el término de descoherencia de Lindblad . ^[2] El término de descoherencia de Lindblad se representa como${\displaystyle {\tilde {H}}_{S}=H_{S}+\Delta }$${\displaystyle H_{S}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle L_{D}}$

${\displaystyle L_{D}{\big [}\rho _{S}(t){\big ]}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha ,\beta =1}^{M}b_{\alpha \beta }{\Big (}{\big [}\mathbf {F} _{\alpha },\rho _{S}(t)\mathbf {F} _{\beta }^{\dagger }{\big ]}+{\big [}\mathbf {F} _{\alpha }\rho _{S}(t),\mathbf {F} _{\beta }^{\dagger }{\big ]}{\Big )}.}$

Los son operadores de base para el espacio M -dimensional de operadores acotados que actúan sobre el espacio de Hilbert del sistema y son los generadores de error . ^[35] Los elementos de la matriz representan los elementos de una matriz hermítica semidefinida positiva ; caracterizan los procesos de descoherencia y, como tales, se denominan parámetros de ruido . ^[35] El enfoque de semigrupo es particularmente bueno, porque distingue entre los procesos unitarios y de descoherencia (no unitarios), lo que no es el caso con el OSR. En particular, la dinámica no unitaria está representada por , mientras que la dinámica unitaria del estado está representada por el conmutador de Heisenberg habitual . Nótese que cuando , la evolución dinámica del sistema es unitaria. Las condiciones para la evolución de la matriz de densidad del sistema que se describirá mediante la ecuación maestra son: ^[2]${\displaystyle \{\mathbf {F} _{\alpha }\}_{\alpha =1}^{M}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$${\displaystyle b_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle L_{D}}$${\displaystyle L_{D}{\big [}\rho _{S}(t){\big ]}=0}$

1. La evolución de la matriz de densidad del sistema está determinada por un semigrupo de un parámetro.
2. La evolución es "completamente positiva" (es decir, las probabilidades se conservan)
3. Las matrices de densidad del sistema y del baño están inicialmente desacopladas

La decoherencia puede modelarse como un proceso no unitario por el cual un sistema se acopla con su entorno (aunque el sistema combinado más el entorno evoluciona de manera unitaria). ^[2] Por lo tanto, la dinámica del sistema por sí sola, tratada de forma aislada, no es unitaria y, como tal, está representada por transformaciones irreversibles que actúan sobre el espacio de Hilbert del sistema. Dado que la dinámica del sistema está representada por representaciones irreversibles, entonces cualquier información presente en el sistema cuántico puede perderse en el entorno o baño de calor . Alternativamente, la descomposición de la información cuántica causada por el acoplamiento del sistema al entorno se conoce como decoherencia. ^[1] Por lo tanto, la decoherencia es el proceso por el cual la información de un sistema cuántico se altera por la interacción del sistema con su entorno (que forma un sistema cerrado), creando así un entrelazamiento entre el sistema y el baño de calor (entorno). Por lo tanto, dado que el sistema está enredado con su entorno de alguna manera desconocida, no se puede hacer una descripción del sistema en sí sin hacer referencia también al entorno (es decir, sin describir también el estado del entorno).${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Consideremos un sistema de N qubits que está acoplado a un baño simétricamente. Supongamos que este sistema de N qubits experimenta una rotación alrededor de los estados propios de . Entonces, bajo dicha rotación, se creará una fase aleatoria entre los estados propios , de . Por lo tanto, estos qubits base y se transformarán de la siguiente manera:${\displaystyle |{\uparrow }\rangle \langle {\uparrow }|,|{\downarrow }\rangle \langle {\downarrow }|}$ ${\displaystyle {\big (}|0\rangle \langle 0|,|1\rangle \langle 1|{\big )}}$${\displaystyle {\hat {J_{z}}}}$ ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle {\hat {J_{z}}}}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

${\displaystyle |0\rangle \to |0\rangle ,\quad |1\rangle \to e^{i\phi }|1\rangle .}$

Esta transformación se realiza mediante el operador de rotación.

${\displaystyle R_{z}(\phi )={\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\phi }\end{pmatrix}}.}$

Dado que cualquier qubit en este espacio puede expresarse en términos de los qubits base, entonces todos esos qubits se transformarán bajo esta rotación. Consideremos el qubit en estado puro donde . Antes de la aplicación de la rotación, este estado es:${\displaystyle j}$${\displaystyle \vert \psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}\vert }$${\displaystyle |\psi _{j}\rangle =a|0\rangle +b|1\rangle }$

${\displaystyle \rho _{j,{\text{init}}}={\begin{pmatrix}|a|^{2}&ab^{\ast }\\a^{\ast }b&|b|^{2}\end{pmatrix}}}$.

Este estado se descoherirá, ya que no está "codificado" con (o depende de) el factor de desfase . Esto se puede ver examinando la matriz de densidad promediada sobre la fase aleatoria :${\displaystyle e^{i\phi }}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \rho _{j}=\mathbb {E} [R_{z}(\phi )\vert \psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}\vert R_{z}^{\dagger }(\phi )]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }R_{z}(\phi )|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|R_{z}^{\dagger }(\phi )\;P({\text{d}}\phi )}$,

donde es una medida de probabilidad de la fase aleatoria, . Aunque no es totalmente necesario, supongamos por simplicidad que esto viene dado por la distribución gaussiana , es decir , donde representa la dispersión de la fase aleatoria. Entonces la matriz de densidad calculada como se indicó anteriormente es${\displaystyle P(\cdot )}$${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle P({\text{d}}\phi )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {1}{2}}({\frac {\phi }{\sigma }})^{2}}\,{\text{d}}\phi }$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \rho _{j}={\begin{pmatrix}|a|^{2}&ab^{\ast }\,e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}\\a^{\ast }b\,e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}&|b|^{2}\end{pmatrix}}}$.

Obsérvese que los elementos fuera de la diagonal (los términos de coherencia) decaen a medida que la propagación de la fase aleatoria, , aumenta con el tiempo (lo cual es una expectativa realista). Por lo tanto, las matrices de densidad para cada cúbit del sistema se vuelven indistinguibles con el tiempo. Esto significa que ninguna medición puede distinguir entre los cúbits, lo que crea una decoherencia entre los diversos estados de los cúbits. En particular, este proceso de desfase hace que los cúbits colapsen a uno de los estados puros en . Es por eso que este tipo de proceso de desfase se llama desfase colectivo , porque se destruyen las fases mutuas entre todos los cúbits del sistema de N -cúbits.${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \{\vert 0\rangle \langle 0\vert ,\vert 1\rangle \langle 1\vert \}}$

La despolarización es una transformación no unitaria en un sistema cuántico que convierte los estados puros en estados mixtos. Se trata de un proceso no unitario porque cualquier transformación que invierta este proceso convertirá los estados en estados que se encuentran fuera de su respectivo espacio de Hilbert, por lo que no se conservará la positividad (es decir, las probabilidades originales se convertirán en probabilidades negativas, lo que no está permitido). El caso bidimensional de una transformación de este tipo consistiría en convertir los estados puros de la superficie de la esfera de Bloch en estados mixtos dentro de la esfera de Bloch. Esto contraería la esfera de Bloch en una cantidad finita y el proceso inverso expandiría la esfera de Bloch, lo que no puede ocurrir.

La disipación es un proceso de descoherencia por el cual las poblaciones de estados cuánticos se modifican debido al entrelazamiento con un baño. Un ejemplo de esto sería un sistema cuántico que puede intercambiar su energía con un baño a través de la interacción Hamiltoniano . Si el sistema no está en su estado fundamental y el baño está a una temperatura inferior a la del sistema, entonces el sistema cederá energía al baño y, por lo tanto, los estados propios de mayor energía del Hamiltoniano del sistema se descoherirán al estado fundamental después del enfriamiento y, como tal, todos serán no degenerados . Dado que los estados ya no están degenerados, no son distinguibles y, por lo tanto, este proceso es irreversible (no unitario).

La decoherencia representa un proceso extremadamente rápido para los objetos macroscópicos, ya que estos interactúan con muchos objetos microscópicos, con una enorme cantidad de grados de libertad en su entorno natural. El proceso es necesario si queremos entender por qué tendemos a no observar un comportamiento cuántico en los objetos macroscópicos cotidianos y por qué vemos que los campos clásicos emergen de las propiedades de la interacción entre la materia y la radiación para grandes cantidades de materia. El tiempo que tardan los componentes fuera de la diagonal de la matriz de densidad en desaparecer de manera efectiva se denomina tiempo de decoherencia . Por lo general, es extremadamente corto para los procesos cotidianos a escala macroscópica. ^{[26] [27] [28]} Una definición moderna independiente de la base del tiempo de decoherencia se basa en el comportamiento a corto plazo de la fidelidad entre el estado inicial y el estado dependiente del tiempo ^[36] o, equivalentemente, la descomposición de la pureza. ^[37]

Supongamos por un momento que el sistema en cuestión consta de un subsistema A en estudio y el "entorno" , y el espacio de Hilbert total es el producto tensorial de un espacio de Hilbert que describe a A y un espacio de Hilbert que describe a , es decir,${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\epsilon }}$${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{\epsilon }.}$

Esta es una aproximación razonablemente buena en el caso en que A y son relativamente independientes (por ejemplo, no hay nada parecido a que partes de A se mezclen con partes de o viceversa). El punto es que la interacción con el entorno es, para todos los efectos prácticos, inevitable (por ejemplo, incluso un solo átomo excitado en el vacío emitiría un fotón, que luego se dispararía). Digamos que esta interacción se describe mediante una transformación unitaria U que actúa sobre . Supongamos que el estado inicial del entorno es , y el estado inicial de A es el estado de superposición${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle |{\text{in}}\rangle }$

${\displaystyle c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle ,}$

donde y son ortogonales, y no hay entrelazamiento inicialmente. Además, elija una base ortonormal para . (Esta podría ser una "base indexada continuamente" o una mezcla de índices continuos y discretos, en cuyo caso tendríamos que usar un espacio de Hilbert manipulado y ser más cuidadosos con lo que queremos decir con ortonormal, pero ese es un detalle no esencial para fines expositivos). Luego, podemos expandir${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$${\displaystyle \{|e_{i}\rangle \}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$

${\displaystyle U{\big (}|\psi _{1}\rangle \otimes |{\text{in}}\rangle {\big )}}$

y

${\displaystyle U{\big (}|\psi _{2}\rangle \otimes |{\text{in}}\rangle {\big )}}$

Únicamente como

${\displaystyle \sum _{i}|e_{i}\rangle \otimes |f_{1i}\rangle }$

y

${\displaystyle \sum _{i}|e_{i}\rangle \otimes |f_{2i}\rangle }$

respectivamente. Una cosa que hay que tener en cuenta es que el entorno contiene una enorme cantidad de grados de libertad, y una buena cantidad de ellos interactúan entre sí todo el tiempo. Esto hace que la siguiente suposición sea razonable de manera superficial, lo que se puede demostrar como cierto en algunos modelos de juguete simples. Supongamos que existe una base para que y sean todos aproximadamente ortogonales en un buen grado si i ≠ j y lo mismo para y y también para y para cualquier i y j (la propiedad de decoherencia).${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\epsilon }}$${\displaystyle |f_{1i}\rangle }$${\displaystyle |f_{1j}\rangle }$${\displaystyle |f_{2i}\rangle }$${\displaystyle |f_{2j}\rangle }$${\displaystyle |f_{1i}\rangle }$${\displaystyle |f_{2j}\rangle }$

Esto a menudo resulta ser cierto (como una conjetura razonable) en la base de posición porque la forma en que A interactúa con el entorno a menudo dependería críticamente de la posición de los objetos en A. Entonces, si tomamos el rastro parcial sobre el entorno, encontraríamos que el estado de densidad ^{[ aclaración necesaria ]} se describe aproximadamente por

${\displaystyle \sum _{i}{\big (}\langle f_{1i}|f_{1i}\rangle +\langle f_{2i}|f_{2i}\rangle {\big )}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|,}$

es decir, tenemos un estado mixto diagonal , no hay interferencia constructiva ni destructiva y las "probabilidades" se suman de manera clásica. El tiempo que tarda U ( t ) (el operador unitario en función del tiempo) en mostrar la propiedad de decoherencia se denomina tiempo de decoherencia .

La tasa de decoherencia depende de varios factores, incluida la temperatura o la incertidumbre en la posición, y muchos experimentos han intentado medirla en función del entorno externo. ^[38]

El proceso de superposición cuántica que se va borrando gradualmente por la decoherencia fue medido cuantitativamente por primera vez por Serge Haroche y sus colaboradores en la École Normale Supérieure de París en 1996. ^[39] Su método consistía en enviar átomos de rubidio individuales , cada uno en una superposición de dos estados, a través de una cavidad llena de microondas. Los dos estados cuánticos provocan cambios en la fase del campo de microondas, pero en diferentes cantidades, de modo que el propio campo también se pone en una superposición de dos estados. Debido a la dispersión de fotones en la imperfección del espejo de la cavidad, el campo de la cavidad pierde coherencia de fase con el entorno. Haroche y sus colegas midieron la decoherencia resultante a través de correlaciones entre los estados de pares de átomos enviados a través de la cavidad con varios retrasos de tiempo entre los átomos.

En julio de 2011, investigadores de la Universidad de Columbia Británica y la Universidad de California en Santa Bárbara demostraron que la aplicación de campos magnéticos elevados a imanes de moléculas individuales suprimía dos de las tres fuentes conocidas de decoherencia. ^{[40] [41] [42]} Pudieron medir la dependencia de la decoherencia con la temperatura y la intensidad del campo magnético.

La decoherencia es un desafío para la realización práctica de las computadoras cuánticas , ya que se espera que dichas máquinas dependan en gran medida de la evolución inalterada de las coherencias cuánticas. Requieren que la coherencia de los estados se preserve y que la decoherencia se gestione para poder realizar realmente la computación cuántica. La preservación de la coherencia y la mitigación de los efectos de la decoherencia están, por lo tanto, relacionadas con el concepto de corrección de errores cuánticos .

En agosto de 2020, los científicos informaron que la radiación ionizante de los materiales radiactivos ambientales y los rayos cósmicos pueden limitar sustancialmente los tiempos de coherencia de los qubits si no están protegidos adecuadamente, lo que puede ser fundamental para la realización de computadoras cuánticas superconductoras tolerantes a fallas en el futuro. ^{[43] [44] [45]}

• Bacciagaluppi, Guido (21 de abril de 2020) [3 de noviembre de 2003]. «El papel de la decoherencia en la mecánica cuántica». Stanford Encyclopedia of Philosophy . Consultado el 3 de enero de 2022 .
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• Berthold-Georg Englert , Marlan O. Scully y Herbert Walther , Quantum Optical Tests of Complementarity , Nature, vol. 351, págs. 111-116 (9 de mayo de 1991) y (mismos autores) The Duality in Matter and Light , Scientific American, págs. 56-61 (diciembre de 1994). Demuestra que la complementariedad se refuerza y ​​los efectos de interferencia cuántica se destruyen mediante correlaciones irreversibles entre objetos y aparatos , y no, como se creía popularmente anteriormente, mediante el principio de incertidumbre de Heisenberg en sí.
• Mario Castagnino, Sebastian Fortin, Roberto Laura y Olimpia Lombardi , A general theory framework for decoherence in open and closed systems , Classical and Quantum Gravity, 25, pp. 154002–154013, (2008). Se propone un marco teórico general para la decoherencia, que abarca formalismos originalmente concebidos para tratar únicamente con sistemas abiertos o cerrados.