Evento complementario

Opuesto a un evento de probabilidad

En teoría de probabilidad , el complemento de cualquier evento A es el evento [no A ], es decir, el evento de que A no ocurra. ^[1] El evento A y su complemento [no A ] son mutuamente excluyentes y exhaustivos . Generalmente, solo hay un evento B tal que A y B sean mutuamente excluyentes y exhaustivos; ese evento es el complemento de A. El complemento de un evento A generalmente se denota como A′ , A ^c , A o A. Dado un evento, el evento y su evento complementario definen un ensayo de Bernoulli : ¿ocurrió el evento o no? $\neg$

Por ejemplo, si se lanza una moneda típica y se supone que no puede caer de canto, entonces puede caer mostrando "cara" o "cruz". Debido a que estos dos resultados son mutuamente excluyentes (es decir, la moneda no puede mostrar simultáneamente cara y cruz) y colectivamente exhaustivos (es decir, no hay otros resultados posibles que no estén representados entre estos dos), son, por lo tanto, complementarios entre sí. Esto significa que [cara] es lógicamente equivalente a [no cruz], y [cruz] es equivalente a [no cara].

Regla del complemento

En un experimento aleatorio , las probabilidades de todos los eventos posibles (el espacio muestral ) deben sumar 1, es decir, debe ocurrir algún resultado en cada ensayo. Para que dos eventos sean complementarios, deben ser colectivamente exhaustivos , llenando juntos todo el espacio muestral. Por lo tanto, la probabilidad del complemento de un evento debe ser la unidad menos la probabilidad del evento. ^[2] Es decir, para un evento A ,

P(A^{c})=1-P(A).

De manera equivalente, las probabilidades de un evento y su complemento siempre deben sumar 1. Sin embargo, esto no significa que dos eventos cuyas probabilidades sumen 1 sean complementarios entre sí; los eventos complementarios también deben cumplir la condición de exclusividad mutua .

Ejemplo de la utilidad de este concepto

Supongamos que se lanza un dado común de seis caras ocho veces. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca un "1" al menos una vez?

Puede ser tentador decir que

Pr(["1" en el 1.er intento] o ["1" en el segundo intento] o ... o ["1" en el 8.º intento])

= Pr("1" en el primer ensayo) + Pr("1" en el segundo ensayo) + ... + P("1" en el octavo ensayo)

= 1/6 + 1/6 + ... + 1/6

= 8/6

= 1.3333...

Este resultado no puede ser correcto porque una probabilidad no puede ser mayor que 1. La técnica es errónea porque los ocho eventos cuyas probabilidades se sumaron no son mutuamente excluyentes.

Esta superposición se puede resolver mediante el principio de inclusión-exclusión o, en este caso, simplemente hallando la probabilidad del evento complementario y restándola de 1, así:

Pr(al menos un "1") = 1 − Pr(ningún "1")

= 1 − Pr([no hay "1" en el 1.er ensayo] y [no hay "1" en el 2.º ensayo] y... y [no hay "1" en el 8.º ensayo])

= 1 − Pr(no hay "1" en el 1.er ensayo) × Pr(no hay "1" en el 2.º ensayo) × ... × Pr(no hay "1" en el 8.º ensayo)

= 1 −(5/6) × (5/6) × ... × (5/6)

= 1 − (5/6) ⁸

= 0,7674...

Véase también

Referencias

^ Robert R. Johnson, Patricia J. Kuby: Estadística elemental . Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-495-38386-4 , pág. 229 ( copia en línea restringida , pág. 229, en Google Books )
^ Yates, Daniel S.; Moore, David S.; Starnes, Daren S. (2003). La práctica de la estadística (2.ª ed.). Nueva York: Freeman . ISBN 978-0-7167-4773-4Archivado desde el original el 9 de febrero de 2005. Consultado el 18 de julio de 2013 .

Enlaces externos

Eventos complementarios - Página (gratuita) del libro de probabilidad de McGraw-Hill

[1] Robert R. Johnson, Patricia J. Kuby: Estadística elemental . Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-495-38386-4 , pág. 229 ( copia en línea restringida , pág. 229, en Google Books )

[yates-2] Yates, Daniel S.; Moore, David S.; Starnes, Daren S. (2003). La práctica de la estadística (2.ª ed.). Nueva York: Freeman . ISBN 978-0-7167-4773-4Archivado desde el original el 9 de febrero de 2005. Consultado el 18 de julio de 2013 .