Teoría de números

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La teoría de números (o aritmética o aritmética superior en el uso más antiguo) es una rama de las matemáticas puras dedicada principalmente al estudio de los números enteros y las funciones aritméticas . El matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855) dijo: "Las matemáticas son la reina de las ciencias, y la teoría de números es la reina de las matemáticas". ^[1] Los teóricos de números estudian los números primos , así como las propiedades de los objetos matemáticos construidos a partir de números enteros (por ejemplo, números racionales ), o definidos como generalizaciones de los números enteros (por ejemplo, números enteros algebraicos ).

Los números enteros pueden considerarse en sí mismos o como soluciones de ecuaciones ( geometría diofántica ). Las cuestiones de teoría de números suelen entenderse mejor mediante el estudio de objetos analíticos (por ejemplo, la función zeta de Riemann ) que codifican propiedades de los números enteros, primos u otros objetos de la teoría de números de alguna manera ( teoría analítica de números ). También se pueden estudiar los números reales en relación con los números racionales; por ejemplo, tal como se aproximan a estos últimos ( aproximación diofántica ).

El término más antiguo para la teoría de números es aritmética . A principios del siglo XX, había sido reemplazado por la teoría de números . ^{[nota 1]} (La palabra aritmética es utilizada por el público en general para significar " cálculos elementales "; también ha adquirido otros significados en lógica matemática , como en aritmética de Peano , y en informática , como en aritmética de punto flotante ). El uso del término aritmética para la teoría de números recuperó algo de terreno en la segunda mitad del siglo XX, posiblemente en parte debido a la influencia francesa. ^{[nota 2]} En particular, aritmético se prefiere comúnmente como adjetivo para teórico de números .

El hallazgo histórico más antiguo de naturaleza aritmética es un fragmento de una tabla: la tablilla de arcilla rota Plimpton 322 ( Larsa, Mesopotamia , ca. 1800 a. C.) contiene una lista de " ternas pitagóricas ", es decir, números enteros tales que . Las ternas son demasiadas y demasiado grandes para haber sido obtenidas por la fuerza bruta . El encabezado sobre la primera columna dice: "El takiltum de la diagonal que se ha restado de modo que el ancho..." ^[2]${\estilo de visualización (a,b,c)}$$Estilo de visualización a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

La disposición de la tabla sugiere ^[3] que fue construida mediante lo que equivale, en lenguaje moderno, a la identidad

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}+1=\left({\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2},}$

lo cual está implícito en los ejercicios rutinarios del Antiguo Babilónico . ^[4] Si se utilizó algún otro método, ^[5] primero se construían los triples y luego se reordenaban mediante , presumiblemente para su uso real como una "tabla", por ejemplo, con vistas a aplicaciones.${\estilo de visualización c/a}$

No se sabe cuáles pudieron haber sido estas aplicaciones, o si pudo haberlas tenido; la astronomía babilónica , por ejemplo, realmente alcanzó su auge sólo más tarde. Se ha sugerido, en cambio, que la tabla era una fuente de ejemplos numéricos para problemas escolares. ^{[6] [nota 3]}

Aunque solo la tablilla Plimpton 322 sobrevive como prueba de la teoría de números babilónica, algunos autores afirman que el álgebra babilónica estaba excepcionalmente bien desarrollada e incluía los fundamentos del álgebra elemental moderna . ^[7] Fuentes neoplatónicas tardías ^[8] afirman que Pitágoras aprendió matemáticas de los babilonios. Fuentes mucho más antiguas ^[9] afirman que Tales y Pitágoras viajaron y estudiaron en Egipto .

En el libro nueve de los Elementos de Euclides , las proposiciones 21-34 están muy probablemente influidas por las enseñanzas pitagóricas ; ^[10] es un material muy simple ("impar por par es par", "si un número impar mide [= divide] un número par, entonces también mide [= divide] la mitad de él"), pero es todo lo que se necesita para demostrar que es irracional . ^[11] Los místicos pitagóricos dieron gran importancia a lo impar y lo par. ^[12] El descubrimiento de que es irracional se atribuye a los primeros pitagóricos (pre- Teodoro ). ^[13] Al revelar (en términos modernos) que los números podían ser irracionales, este descubrimiento parece haber provocado la primera crisis fundacional en la historia matemática; su prueba o su divulgación a veces se atribuyen a Hipasus , quien fue expulsado o se escindió de la secta pitagórica. ^[14] Esto forzó una distinción entre números (enteros y racionales, los temas de la aritmética), por un lado, y longitudes y proporciones (que pueden identificarse con números reales, sean racionales o no), por el otro.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

La tradición pitagórica hablaba también de los llamados números poligonales o figurados . ^[15] Mientras que los números cuadrados , cúbicos , etc., se consideran ahora más naturales que los triangulares , pentagonales , etc., el estudio de las sumas de números triangulares y pentagonales resultaría fructífero en el período moderno temprano (siglos XVII a principios del XIX).

El teorema del resto chino aparece como un ejercicio ^[16] en Sunzi Suanjing (siglo III, IV o V d.C.). ^[17] (Hay un paso importante que se pasa por alto en la solución de Sunzi: ^{[nota 4]} es el problema que luego fue resuelto por el Kuṭṭaka de Āryabhaṭa ; véase más abajo). El resultado fue generalizado posteriormente con una solución completa llamada Da-yan-shu (大衍術) en el Tratado matemático en nueve secciones de Qin Jiushao de 1247 ^[18] que fue traducido al inglés a principios del siglo XIX por el misionero británico Alexander Wylie . ^[19]

También hay cierto misticismo numérico en las matemáticas chinas, ^{[nota 5]} pero, a diferencia del de los pitagóricos, no parece haber conducido a ninguna parte.

Aparte de unos pocos fragmentos, conocemos las matemáticas de la Grecia clásica ya sea a través de informes de no matemáticos contemporáneos o a través de obras matemáticas del período helenístico temprano . ^[20] En el caso de la teoría de números, esto significa, en general, Platón y Euclides , respectivamente.

Aunque las matemáticas asiáticas influyeron en el aprendizaje griego y helenístico, parece ser que las matemáticas griegas también son una tradición indígena.

Eusebio , PE X, capítulo 4 menciona a Pitágoras :

"De hecho, el susodicho Pitágoras, mientras estudiaba afanosamente la sabiduría de cada nación, visitó Babilonia, Egipto y toda Persia, siendo instruido por los magos y los sacerdotes: y además de estos, se dice que estudió con los brahmanes (estos son filósofos indios); y de algunos recogió astrología, de otros geometría, y aritmética y música de otros, y diferentes cosas de diferentes naciones, y sólo de los sabios de Grecia no obtuvo nada, casados ​​como estaban con una pobreza y escasez de sabiduría: así que, por el contrario, él mismo se convirtió en el autor de instrucción para los griegos en el conocimiento que había adquirido del extranjero". ^[21]

Aristóteles afirmó que la filosofía de Platón seguía de cerca las enseñanzas de los pitagóricos, ^[22] y Cicerón repite esta afirmación: Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia ("Dicen que Platón aprendió todas las cosas pitagóricas"). ^[23]

Platón tenía un gran interés por las matemáticas y distinguía claramente entre aritmética y cálculo. (Por aritmética se refería, en parte, a la teorización sobre los números, en lugar de lo que la aritmética o la teoría de números han llegado a significar). Es a través de uno de los diálogos de Platón, concretamente Teeteto , que se sabe que Teodoro había demostrado que son irracionales. Teeteto era, como Platón, discípulo de Teodoro; trabajó en la distinción de diferentes tipos de inconmensurables y, por lo tanto, podría decirse que fue un pionero en el estudio de los sistemas numéricos . (El libro X de los Elementos de Euclides es descrito por Pappus como basado en gran medida en el trabajo de Teeteto).${\displaystyle {\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\puntos ,{\sqrt {17}}}$

Euclides dedicó parte de sus Elementos a los números primos y a la divisibilidad, temas que pertenecen inequívocamente a la teoría de números y son básicos para ella (libros VII a IX de los Elementos de Euclides ). En particular, dio un algoritmo para calcular el máximo común divisor de dos números (el algoritmo de Euclides ; Elementos , Prop. VII.2) y la primera prueba conocida de la infinitud de los primos ( Elementos , Prop. IX.20).

En 1773, Lessing publicó un epigrama que había encontrado en un manuscrito durante su trabajo como bibliotecario; afirmaba ser una carta enviada por Arquímedes a Eratóstenes . ^{[24] [25]} El epigrama proponía lo que se ha conocido como el problema del ganado de Arquímedes ; su solución (ausente en el manuscrito) requiere resolver una ecuación cuadrática indeterminada (que se reduce a lo que más tarde se llamaría erróneamente ecuación de Pell ). Hasta donde se sabe, tales ecuaciones fueron tratadas con éxito por primera vez por la escuela india. No se sabe si el propio Arquímedes tenía un método de solución.

Se sabe muy poco sobre Diofanto de Alejandría ; probablemente vivió en el siglo III d. C., es decir, unos quinientos años después de Euclides. Seis de los trece libros de la Aritmética de Diofanto sobreviven en el griego original y cuatro más sobreviven en una traducción árabe. La Aritmética es una colección de problemas resueltos donde la tarea es invariablemente encontrar soluciones racionales a un sistema de ecuaciones polinómicas, generalmente de la forma o . Así, hoy en día, una ecuación diofántica es una ecuación polinómica a la que se buscan soluciones racionales o enteras.${\displaystyle f(x,y)=z^{2}}$${\displaystyle f(x,y,z)=w^{2}}$

Si bien la astronomía griega probablemente influyó en el aprendizaje indio, hasta el punto de introducir la trigonometría , ^[26] parece ser que las matemáticas indias son, por lo demás, una tradición indígena; ^[27] en particular, no hay evidencia de que los Elementos de Euclides llegaran a la India antes del siglo XVIII. ^[28]

Āryabhaṭa (476–550 d. C.) demostró que los pares de congruencias simultáneas podían resolverse mediante un método que llamó kuṭṭaka o pulverizador ; ^[29] este es un procedimiento cercano a (una generalización de) el algoritmo euclidiano , que probablemente fue descubierto independientemente en la India. ^[30] Āryabhaṭa parece haber tenido en mente aplicaciones a los cálculos astronómicos. ^[26]${\displaystyle n\equiv a_{1}{\bmod {m}}_{1}}$${\displaystyle n\equiv a_{2}{\bmod {m}}_{2}}$

Brahmagupta (628 d. C.) inició el estudio sistemático de las ecuaciones cuadráticas indefinidas, en particular, la mal llamada ecuación de Pell , en la que Arquímedes pudo haber estado interesado por primera vez y que no comenzó a resolverse en Occidente hasta la época de Fermat y Euler. Los autores sánscritos posteriores seguirían, utilizando la terminología técnica de Brahmagupta. Jayadeva ( citado en el siglo XI; su trabajo se perdió por lo demás) encontró finalmente un procedimiento general (el chakravala o "método cíclico") para resolver la ecuación de Pell; la exposición más antigua que sobrevive aparece en la Bīja-gaṇita de Bhāskara II (siglo XII). ^[31]

Las matemáticas indias permanecieron en gran medida desconocidas en Europa hasta finales del siglo XVIII; ^[32] El trabajo de Brahmagupta y Bhāskara fue traducido al inglés en 1817 por Henry Colebrooke . ^[33]

A principios del siglo IX, el califa Al-Ma'mun ordenó traducciones de muchas obras matemáticas griegas y al menos una obra sánscrita (el Sindhind , que puede ^[34] o no ^{[35] ser} el Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta ). La obra principal de Diofanto, la Arithmetica , fue traducida al árabe por Qusta ibn Luqa (820-912). Parte del tratado al-Fakhri (por al-Karajī , 953 - ca. 1029) se basa en él en cierta medida. Según Rashed Roshdi, el contemporáneo de al-Karajī, Ibn al-Haytham, conocía ^[36] lo que más tarde se llamaría el teorema de Wilson .

Aparte de un tratado sobre los cuadrados en progresión aritmética escrito por Fibonacci —quien viajó y estudió en el norte de África y Constantinopla—, no se hizo ninguna teoría de números digna de mención en Europa occidental durante la Edad Media. Las cosas comenzaron a cambiar en Europa a fines del Renacimiento , gracias a un estudio renovado de las obras de la antigüedad griega. Un catalizador fue la enmienda textual y la traducción al latín de Arithmetica de Diofanto . ^[37]

Pierre de Fermat (1607-1665) nunca publicó sus escritos; en particular, su trabajo sobre teoría de números está contenido casi en su totalidad en cartas a matemáticos y en notas marginales privadas. ^[38] En sus notas y cartas, apenas escribió pruebas: no tenía modelos en ese área. ^[39]

A lo largo de su vida, Fermat hizo las siguientes contribuciones al campo:

• Uno de los primeros intereses de Fermat fueron los números perfectos (que aparecen en Euclides, Elementos IX) y los números amigos ; ^{[nota 6]} estos temas lo llevaron a trabajar en los divisores enteros , que desde el principio estuvieron entre los temas de la correspondencia (1636 en adelante) que lo puso en contacto con la comunidad matemática de la época. ^[40]
• En 1638, Fermat afirmó, sin pruebas, que todos los números enteros pueden expresarse como la suma de cuatro cuadrados o menos. ^[41]
• Pequeño teorema de Fermat (1640): ^[42] si a no es divisible por un primo p , entonces ^{[nota 7]}${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\bmod {p}}.}$
• Si a y b son coprimos , entonces no es divisible por ningún primo congruente con −1 módulo 4; ^[43] y todo primo congruente con 1 módulo 4 puede escribirse en la forma . ^[44] Estas dos afirmaciones también datan de 1640; en 1659, Fermat le dijo a Huygens que había demostrado la última afirmación mediante el método de descendencia infinita . ^[45]$Estilo de visualización a^{2}+b^{2}}$$Estilo de visualización a^{2}+b^{2}}$
• En 1657, Fermat planteó el problema de la solución como un desafío a los matemáticos ingleses. El problema fue resuelto en unos pocos meses por Wallis y Brouncker. ^[46] Fermat consideró válida su solución, pero señaló que habían proporcionado un algoritmo sin una prueba (al igual que Jayadeva y Bhaskara, aunque Fermat no era consciente de ello). Afirmó que se podía encontrar una prueba mediante descenso infinito.${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}$
• Fermat afirmó y demostró (por descenso infinito) en el apéndice a las Observaciones sobre Diofanto (Obs. XLV) ^[47] que no tiene soluciones no triviales en los números enteros. Fermat también mencionó a sus corresponsales que no tiene soluciones no triviales, y que esto también podría demostrarse por descenso infinito. ^[48] La primera prueba conocida se debe a Euler (1753; en efecto, por descenso infinito). ^[49]${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{4}}$${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}}$
• Fermat afirmó ( el último teorema de Fermat ) haber demostrado que no hay soluciones para todos ; esta afirmación aparece en sus anotaciones en los márgenes de su copia de Diofanto.${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$${\displaystyle n\geq 3}$

El interés de Leonhard Euler (1707-1783) por la teoría de números se despertó por primera vez en 1729, cuando un amigo suyo, el aficionado ^{[nota 8]} Goldbach , le señaló algunos de los trabajos de Fermat sobre el tema. ^{[50] [51]} Esto se ha llamado el "renacimiento" de la teoría de números moderna, ^[52] después de la relativa falta de éxito de Fermat en conseguir la atención de sus contemporáneos hacia el tema. ^[53] El trabajo de Euler sobre la teoría de números incluye lo siguiente: ^[54]

• Pruebas de los enunciados de Fermat. Entre ellas se incluyen el pequeño teorema de Fermat (generalizado por Euler a módulos no primos); el hecho de que si y solo si ; el trabajo inicial encaminado a demostrar que todo entero es la suma de cuatro cuadrados (la primera demostración completa es de Joseph-Louis Lagrange (1770), pronto mejorada por el propio Euler ^[55] ); la falta de soluciones enteras no nulas para (lo que implica el caso n=4 del último teorema de Fermat, cuyo caso n=3 Euler también demostró mediante un método relacionado).$estilo de visualización p=x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle p\equiv 1{\bmod {4}}}$${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{2}}$
• Ecuación de Pell , mal nombrada por primera vez por Euler. ^[56] Escribió sobre el vínculo entre las fracciones continuas y la ecuación de Pell. ^[57]
• Primeros pasos hacia la teoría analítica de números. En su trabajo sobre sumas de cuatro cuadrados, particiones , números pentagonales y la distribución de números primos, Euler fue pionero en el uso de lo que puede considerarse como análisis (en particular, series infinitas) en la teoría de números. Dado que vivió antes del desarrollo del análisis complejo , la mayor parte de su trabajo se limita a la manipulación formal de series de potencias . Sin embargo, realizó algunos trabajos tempranos muy notables (aunque no completamente rigurosos) sobre lo que más tarde se llamaría la función zeta de Riemann . ^[58]
• Formas cuadráticas . Siguiendo el ejemplo de Fermat, Euler realizó más investigaciones sobre la cuestión de qué números primos pueden expresarse en la forma , algunas de las cuales prefiguraron la reciprocidad cuadrática . ^{[59] [60] [61]}$Estilo de visualización x^{2}+Ny^{2}}$
• Ecuaciones diofánticas . Euler trabajó en algunas ecuaciones diofánticas de género 0 y 1. ^{[62] [63]} En particular, estudió el trabajo de Diofanto; intentó sistematizarlo, pero el momento aún no estaba maduro para tal esfuerzo: la geometría algebraica todavía estaba en su infancia. ^[64] Observó que había una conexión entre los problemas diofánticos y las integrales elípticas , ^[64] cuyo estudio él mismo había iniciado.

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) fue el primero en dar pruebas completas de algunos de los trabajos y observaciones de Fermat y Euler; por ejemplo, el teorema de los cuatro cuadrados y la teoría básica de la mal llamada "ecuación de Pell" (para la cual Fermat y sus contemporáneos, y también Jayadeva y Bhaskara II antes que ellos, encontraron una solución algorítmica). También estudió las formas cuadráticas en total generalidad (a diferencia de ): definió su relación de equivalencia, mostró cómo ponerlas en forma reducida, etc.$Estilo de visualización mX^{2}+nY^{2}}$

Adrien-Marie Legendre (1752-1833) fue el primero en enunciar la ley de reciprocidad cuadrática. También conjeturó lo que equivale al teorema de los números primos y al teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas . Trató en profundidad la ecuación ^[66] y trabajó en formas cuadráticas siguiendo las líneas que luego desarrolló Gauss. ^[67] En su vejez, fue el primero en demostrar el último teorema de Fermat para (completando el trabajo de Peter Gustav Lejeune Dirichlet y atribuyéndole el mérito tanto a él como a Sophie Germain ). ^[68]${\displaystyle hacha^{2}+por^{2}+cz^{2}=0}$${\estilo de visualización n=5}$

En sus Disquisitiones Arithmeticae (1798), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) demostró la ley de reciprocidad cuadrática y desarrolló la teoría de las formas cuadráticas (en particular, definiendo su composición). También introdujo algunas notaciones básicas ( congruencias ) y dedicó una sección a cuestiones computacionales, incluidas las pruebas de primalidad. ^[69] La última sección de las Disquisitiones estableció un vínculo entre las raíces de la unidad y la teoría de números:

La teoría de la división del círculo... que se trata en la sección 7 no pertenece por sí misma a la aritmética, sino que sus principios sólo pueden extraerse de la aritmética superior. ^[70]

De este modo, Gauss posiblemente hizo una primera incursión tanto en el trabajo de Évariste Galois como en la teoría algebraica de números .

A partir de principios del siglo XIX se produjeron gradualmente los siguientes cambios:

• El ascenso a la autoconciencia de la teoría de números (o aritmética superior ) como campo de estudio. ^[71]
• El desarrollo de gran parte de las matemáticas modernas necesarias para la teoría básica de números moderna: análisis complejo , teoría de grupos , teoría de Galois —acompañado de un mayor rigor en el análisis y la abstracción en el álgebra.
• La subdivisión aproximada de la teoría de números en sus subcampos modernos, en particular, la teoría analítica y algebraica de números.

Se puede decir que la teoría algebraica de números comienza con el estudio de la reciprocidad y la ciclotomía , pero realmente llegó a su máximo esplendor con el desarrollo del álgebra abstracta y la teoría ideal temprana y la teoría de la valoración ; véase más abajo. Un punto de partida convencional para la teoría analítica de números es el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas (1837), ^{[72] [73]} cuya prueba introdujo funciones L e implicó algún análisis asintótico y un proceso limitante sobre una variable real. ^[74] El primer uso de ideas analíticas en la teoría de números en realidad se remonta a Euler (1730), ^{[75] [76]} quien utilizó series de potencias formales y argumentos limitantes no rigurosos (o implícitos). El uso del análisis complejo en la teoría de números viene después: el trabajo de Bernhard Riemann (1859) sobre la función zeta es el punto de partida canónico; ^[77] El teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi (1839), que lo precede, pertenece a una corriente inicialmente diferente que ahora ha asumido un papel principal en la teoría analítica de números ( formas modulares ). ^[78]

La historia de cada subcampo se aborda brevemente en su propia sección a continuación; consulte el artículo principal de cada subcampo para obtener información más completa. Muchas de las preguntas más interesantes en cada área siguen abiertas y se está trabajando activamente en ellas.

El término elemental generalmente denota un método que no utiliza análisis complejo . Por ejemplo, el teorema de los números primos se demostró por primera vez utilizando análisis complejo en 1896, pero una prueba elemental fue encontrada recién en 1949 por Erdős y Selberg . ^[79] El término es algo ambiguo: por ejemplo, las pruebas basadas en teoremas tauberianos complejos (por ejemplo, Wiener–Ikehara ) a menudo se consideran bastante esclarecedoras pero no elementales, a pesar de utilizar análisis de Fourier , en lugar de análisis complejo como tal. Aquí como en otros lugares, una prueba elemental puede ser más larga y más difícil para la mayoría de los lectores que una no elemental.

La teoría de números tiene fama de ser un campo cuyos resultados pueden ser expuestos al público en general. Al mismo tiempo, las pruebas de estos resultados no son particularmente accesibles, en parte porque la gama de herramientas que utilizan es, en todo caso, inusualmente amplia dentro de las matemáticas. ^[80]

La teoría analítica de números puede definirse

• en cuanto a sus herramientas, como el estudio de los números enteros mediante herramientas de análisis real y complejo ; ^[72] o
• en términos de sus preocupaciones, como el estudio dentro de la teoría de números de estimaciones sobre tamaño y densidad, en oposición a identidades. ^[81]

Algunos temas generalmente considerados como parte de la teoría analítica de números, por ejemplo, la teoría de tamices , ^{[nota 9]} se cubren mejor con la segunda definición que con la primera: parte de la teoría de tamices, por ejemplo, utiliza poco análisis, ^{[nota 10]} pero pertenece a la teoría analítica de números.

Los siguientes son ejemplos de problemas en la teoría analítica de números: el teorema de los números primos , la conjetura de Goldbach (o la conjetura de los primos gemelos , o las conjeturas de Hardy-Littlewood ), el problema de Waring y la hipótesis de Riemann . Algunas de las herramientas más importantes de la teoría analítica de números son el método del círculo , los métodos de criba y las funciones L (o, más bien, el estudio de sus propiedades). La teoría de formas modulares (y, más generalmente, las formas automórficas ) también ocupa un lugar cada vez más central en la caja de herramientas de la teoría analítica de números. ^[82]

Se pueden hacer preguntas analíticas sobre los números algebraicos y utilizar medios analíticos para responder a dichas preguntas; es así como la teoría de números algebraica y analítica se cruzan. Por ejemplo, se pueden definir ideales primos (generalizaciones de números primos en el campo de los números algebraicos) y preguntar cuántos ideales primos hay hasta un cierto tamaño. Esta pregunta se puede responder mediante un examen de las funciones zeta de Dedekind , que son generalizaciones de la función zeta de Riemann , un objeto analítico clave en las raíces del tema. ^[83] Este es un ejemplo de un procedimiento general en la teoría analítica de números: derivar información sobre la distribución de una secuencia (aquí, ideales primos o números primos) a partir del comportamiento analítico de una función de valor complejo construida apropiadamente. ^[84]

Un número algebraico es cualquier número complejo que es una solución a alguna ecuación polinómica con coeficientes racionales; por ejemplo, cada solución de (digamos) es un número algebraico. Los campos de números algebraicos también se denominan campos de números algebraicos o, abreviadamente, campos de números . La teoría de números algebraicos estudia los campos de números algebraicos. ^[85] Por lo tanto, la teoría analítica y la teoría algebraica de números pueden superponerse y de hecho lo hacen: la primera se define por sus métodos, la segunda por sus objetos de estudio.${\displaystyle f(x)=0}$${\estilo de visualización x}$$Estilo de visualización x^{5}+(11/2)x^{3}-7x^{2}+9=0}$

Se podría argumentar que el tipo más simple de cuerpos numéricos (es decir, cuerpos cuadráticos) ya fueron estudiados por Gauss, ya que la discusión de las formas cuadráticas en Disquisitiones arithmeticae puede reformularse en términos de ideales y normas en cuerpos cuadráticos. (Un cuerpo cuadrático consiste en todos los números de la forma , donde y son números racionales y es un número racional fijo cuya raíz cuadrada no es racional). De hecho, el método chakravala del siglo XI equivale, en términos modernos, a un algoritmo para encontrar las unidades de un cuerpo numérico cuadrático real. Sin embargo, ni Bhāskara ni Gauss conocían los cuerpos numéricos como tales.${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización d}$

Las bases del tema se establecieron a finales del siglo XIX, cuando se introdujeron los números ideales , la teoría de los ideales y la teoría de la valoración ; estas son tres formas complementarias de tratar la falta de factorización única en los cuerpos de números algebraicos. (Por ejemplo, en el cuerpo generado por los racionales y , el número puede factorizarse tanto como y ; todos los , , y son irreducibles y, por lo tanto, en un sentido ingenuo, análogos a los primos entre los números enteros). El impulso inicial para el desarrollo de los números ideales (por Kummer ) parece haber venido del estudio de las leyes de reciprocidad superiores, ^[86] es decir, generalizaciones de la reciprocidad cuadrática .${\displaystyle {\sqrt {-5}}}$${\estilo de visualización 6}$${\displaystyle 6=2\cdot 3}$${\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$${\estilo de visualización 2}$${\estilo de visualización 3}$${\displaystyle 1+{\sqrt {-5}}}$${\displaystyle 1-{\sqrt {-5}}}$

Los cuerpos numéricos se estudian a menudo como extensiones de cuerpos numéricos más pequeños: se dice que un cuerpo L es una extensión de un cuerpo K si L contiene a K . (Por ejemplo, los números complejos C son una extensión de los reales R , y los reales R son una extensión de los racionales Q .) La clasificación de las posibles extensiones de un cuerpo numérico dado es un problema difícil y parcialmente abierto. Las extensiones abelianas —es decir, extensiones L de K tales que el grupo de Galois ^{[nota 11]} Gal( L / K ) de L sobre K es un grupo abeliano — se entienden relativamente bien. Su clasificación fue el objeto del programa de teoría de cuerpos de clases , que se inició a finales del siglo XIX (en parte por Kronecker y Eisenstein ) y se llevó a cabo en gran medida entre 1900 y 1950.

Un ejemplo de un área activa de investigación en la teoría algebraica de números es la teoría de Iwasawa . El programa Langlands , uno de los principales planes de investigación a gran escala actuales en matemáticas, se describe a veces como un intento de generalizar la teoría de cuerpos de clases a extensiones no abelianas de cuerpos de números.

El problema central de la geometría diofántica es determinar cuándo una ecuación diofántica tiene soluciones y, si las tiene, cuántas. El enfoque adoptado consiste en pensar en las soluciones de una ecuación como un objeto geométrico.

Por ejemplo, una ecuación con dos variables define una curva en el plano. En términos más generales, una ecuación o un sistema de ecuaciones con dos o más variables define una curva , una superficie o algún otro objeto similar en un espacio n -dimensional. En la geometría diofántica, uno se pregunta si hay puntos racionales (puntos cuyas coordenadas son todas racionales) o puntos integrales (puntos cuyas coordenadas son todas enteras) en la curva o superficie. Si hay tales puntos, el siguiente paso es preguntar cuántos hay y cómo se distribuyen. Una pregunta básica en esta dirección es si hay un número finito o infinito de puntos racionales en una curva o superficie dada.

Un ejemplo puede ser de ayuda. Consideremos la ecuación de Pitágoras de la que nos gustaría saber sus soluciones racionales; es decir, sus soluciones tales que x e y sean ambas racionales. Esto es lo mismo que pedir todas las soluciones enteras de ; cualquier solución de la última ecuación nos da una solución , de la primera. También es lo mismo que pedir todos los puntos con coordenadas racionales en la curva descrita por (un círculo de radio 1 centrado en el origen).${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,}$${\estilo de visualización (x,y)}$$Estilo de visualización a^{2}+b^{2}=c^{2}}$${\displaystyle x=a/c}$${\displaystyle y=b/c}$$Estilo de visualización x^{2}+y^{2}=1$

La reformulación de las preguntas sobre ecuaciones en términos de puntos sobre curvas es acertada. La finitud o no del número de puntos racionales o enteros sobre una curva algebraica (es decir, soluciones racionales o enteras de una ecuación , donde es un polinomio con dos variables) depende crucialmente del género de la curva. ^{[nota 12]} Un logro importante de este enfoque es la prueba de Wiles del Último Teorema de Fermat , para la cual otras nociones geométricas son igualmente cruciales.${\displaystyle f(x,y)=0}$${\estilo de visualización f}$

También está el área estrechamente vinculada de las aproximaciones diofánticas : dado un número , determinar qué tan bien puede ser aproximado por números racionales. Uno busca aproximaciones que sean buenas en relación con la cantidad de espacio requerido para escribir el número racional: llame (con ) una buena aproximación a si , donde es grande. Esta pregunta es de especial interés si es un número algebraico. Si no se puede aproximar bien, entonces algunas ecuaciones no tienen soluciones enteras o racionales. Además, varios conceptos (especialmente el de altura ) son críticos tanto en la geometría diofántica como en el estudio de las aproximaciones diofánticas. Esta pregunta también es de especial interés en la teoría de números trascendentales : si un número puede aproximarse mejor que cualquier número algebraico, entonces es un número trascendental . Es por este argumento que se ha demostrado que π y e son trascendentales.${\estilo de visualización x}$${\displaystyle a/q}$${\displaystyle \mcd(a,q)=1}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle |xa/q|<{\frac {1}{q^{c}}}}$${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$

La geometría diofántica no debe confundirse con la geometría de los números , que es una colección de métodos gráficos para responder a ciertas preguntas en la teoría algebraica de números. La geometría aritmética , sin embargo, es un término contemporáneo para el mismo dominio que el cubierto por el término geometría diofántica . El término geometría aritmética se usa posiblemente con más frecuencia cuando uno desea enfatizar las conexiones con la geometría algebraica moderna (por ejemplo, en el teorema de Faltings ) en lugar de las técnicas en aproximaciones diofánticas.

Las áreas que se describen a continuación no datan de antes de mediados del siglo XX, aunque se basan en material más antiguo. Por ejemplo, como se explica a continuación, los algoritmos en teoría de números tienen una larga historia, posiblemente anterior al concepto formal de prueba. Sin embargo, el estudio moderno de la computabilidad comenzó recién en las décadas de 1930 y 1940, mientras que la teoría de la complejidad computacional surgió en la década de 1970.

La teoría probabilística de números comienza con preguntas como las siguientes: tomemos un número entero n al azar entre uno y un millón. ¿Qué probabilidad hay de que sea primo? (esta es otra forma de preguntar cuántos primos hay entre uno y un millón). ¿Cuántos divisores primos tendrá n en promedio? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga muchos más o muchos menos divisores o divisores primos que el promedio?

Gran parte de la teoría de números probabilísticos puede considerarse un caso especial importante del estudio de variables que son casi independientes entre sí, pero no del todo . Por ejemplo, el evento de que un número entero aleatorio entre uno y un millón sea divisible por dos y el evento de que sea divisible por tres son casi independientes, pero no del todo.

A veces se dice que la combinatoria probabilística se basa en el hecho de que todo lo que ocurre con una probabilidad mayor que la de que debe ocurrir a veces; se puede decir con igual justicia que muchas aplicaciones de la teoría probabilística de números dependen del hecho de que todo lo que es inusual debe ser raro. Si se puede demostrar que ciertos objetos algebraicos (por ejemplo, soluciones racionales o enteras de ciertas ecuaciones) están en la cola de ciertas distribuciones definidas sensatamente, se sigue que debe haber pocos de ellos; esta es una afirmación no probabilística muy concreta que se deriva de una probabilística.${\estilo de visualización 0}$

A veces, un enfoque probabilístico no riguroso conduce a una serie de algoritmos heurísticos y problemas abiertos, en particular la conjetura de Cramér .

La combinatoria aritmética comienza con preguntas como las siguientes: ¿Un conjunto infinito bastante "grueso" contiene muchos elementos en progresión aritmética: , , digamos? ¿Debería ser posible escribir números enteros grandes como sumas de elementos de ?${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización a}$${\displaystyle a+b,a+2b,a+3b,\lpuntos,a+10b}$${\estilo de visualización A}$

Estas cuestiones son características de la combinatoria aritmética . Se trata de un campo en plena consolidación; incluye la teoría aditiva de números (que se ocupa de ciertos conjuntos muy específicos de significado aritmético, como los primos o los cuadrados) y, posiblemente, parte de la geometría de los números , junto con algún material nuevo en rápido desarrollo. Su enfoque en cuestiones de crecimiento y distribución explica en parte sus vínculos en desarrollo con la teoría ergódica , la teoría de grupos finitos , la teoría de modelos y otros campos. También se utiliza el término combinatoria aditiva ; sin embargo, los conjuntos que se estudian no necesitan ser conjuntos de números enteros, sino más bien subconjuntos de grupos no conmutativos , para los que tradicionalmente se utiliza el símbolo de multiplicación, no el símbolo de adición; también pueden ser subconjuntos de anillos , en cuyo caso se puede comparar el crecimiento de y · .${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización A+A}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización A}$

Aunque la palabra algoritmo se remonta sólo a ciertos lectores de al-Khwārizmī , las descripciones cuidadosas de los métodos de solución son más antiguas que las pruebas: dichos métodos (es decir, algoritmos) son tan antiguos como cualquier matemática reconocible (egipcia antigua, babilónica, védica, china), mientras que las pruebas aparecieron sólo con los griegos del período clásico.

Un ejemplo temprano es el de lo que ahora se denomina algoritmo de Euclides. En su forma básica (es decir, como un algoritmo para calcular el máximo común divisor ) aparece como Proposición 2 del Libro VII de los Elementos , junto con una prueba de corrección. Sin embargo, en la forma que se utiliza a menudo en la teoría de números (es decir, como un algoritmo para encontrar soluciones enteras a una ecuación , o, lo que es lo mismo, para encontrar las cantidades cuya existencia está asegurada por el teorema chino del resto ) aparece por primera vez en las obras de Āryabhaṭa (siglos V-VI d. C.) como un algoritmo llamado kuṭṭaka ("pulverizador"), sin una prueba de corrección.${\displaystyle ax+by=c}$

Hay dos preguntas principales: "¿Se puede calcular esto?" y "¿Se puede calcular rápidamente?" Cualquiera puede comprobar si un número es primo o, si no lo es, dividirlo en factores primos; hacerlo rápidamente es otra cuestión. Ahora se conocen algoritmos rápidos para comprobar la primalidad , pero, a pesar de mucho trabajo (tanto teórico como práctico), no existe ningún algoritmo verdaderamente rápido para factorizar.

La dificultad de un cálculo puede ser útil: los protocolos modernos para cifrar mensajes (por ejemplo, RSA ) dependen de funciones que todos conocen, pero cuyas inversas solo las conocen unos pocos elegidos, y que llevaría demasiado tiempo averiguar por uno mismo. Por ejemplo, estas funciones pueden ser tales que sus inversas solo se puedan calcular si se factorizan ciertos números enteros grandes. Si bien se conocen muchos problemas computacionales difíciles fuera de la teoría de números, la mayoría de los protocolos de cifrado que funcionan hoy en día se basan en la dificultad de unos pocos problemas de teoría de números.

Algunas cosas pueden no ser computables en absoluto; de hecho, esto se puede demostrar en algunos casos. Por ejemplo, en 1970, se demostró, como solución al décimo problema de Hilbert , que no existe una máquina de Turing que pueda resolver todas las ecuaciones diofánticas. ^[87] En particular, esto significa que, dado un conjunto de axiomas computablemente enumerables , hay ecuaciones diofánticas para las que no hay prueba, a partir de los axiomas, de si el conjunto de ecuaciones tiene o no soluciones enteras. (es decir, ecuaciones diofánticas para las que no hay soluciones enteras, ya que, dada una ecuación diofántica con al menos una solución, la solución en sí misma proporciona una prueba del hecho de que existe una solución. No se puede demostrar que una ecuación diofántica particular sea de este tipo, ya que esto implicaría que no tiene soluciones).

El teórico de números Leonard Dickson (1874-1954) dijo: "Gracias a Dios que la teoría de números no se ve contaminada por ninguna aplicación". Esta visión ya no es aplicable a la teoría de números. ^[88] En 1974, Donald Knuth dijo que "prácticamente todos los teoremas de la teoría de números elemental surgen de una manera natural y motivada en relación con el problema de hacer que las computadoras realicen cálculos numéricos de alta velocidad". ^[89] La teoría de números elemental se enseña en cursos de matemáticas discretas para científicos informáticos . También tiene aplicaciones en el continuo en el análisis numérico . ^[90]

La teoría de números tiene ahora varias aplicaciones modernas que abarcan diversas áreas, tales como:

• Criptografía : Los esquemas de cifrado de clave pública como RSA se basan en la dificultad de factorizar números compuestos grandes en sus factores primos. ^[91]
• Ciencias de la computación : El algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT), que se utiliza para calcular de manera eficiente la transformada de Fourier discreta, tiene aplicaciones importantes en el procesamiento de señales y el análisis de datos. ^[92]
• Física : La hipótesis de Riemann tiene conexiones con la distribución de números primos y ha sido estudiada por sus posibles implicaciones en la física. ^[93]
• Códigos de corrección de errores : La teoría de campos finitos y la geometría algebraica se han utilizado para construir códigos de corrección de errores eficientes. ^[94]
• Comunicaciones: El diseño de redes de telefonía celular requiere el conocimiento de la teoría de formas modulares , que es parte de la teoría analítica de números. ^[95]
• Estudio de las escalas musicales: el concepto de " temperamento igual ", que es la base de la mayor parte de la música occidental moderna, implica dividir la octava en 12 partes iguales. ^[96] Esto se ha estudiado utilizando la teoría de números y en particular las propiedades de la raíz 12 de 2.

La American Mathematical Society otorga el Premio Cole en Teoría de Números . Además, la teoría de números es una de las tres subdisciplinas matemáticas que reciben el Premio Fermat .

• Campo de funciones algebraicas
• Campo finito
• número p-ádico
• Lista de algoritmos de teoría de números

• Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium "Teoría de números", que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported pero no bajo la GFDL .

Dos de las introducciones más populares al tema son:

• GH Hardy ; EM Wright (2008) [1938]. Introducción a la teoría de números (revisión de DR Heath-Brown y JH Silverman, sexta edición). Oxford University Press . ISBN 978-0-19-921986-5. Recuperado el 2 de marzo de 2016 .
• Vinogradov, IM (2003) [1954]. Elementos de teoría de números (reimpresión de la edición de 1954). Mineola, NY: Dover Publications.

El libro de Hardy y Wright es un clásico completo, aunque su claridad a veces se resiente debido a la insistencia de los autores en métodos elementales (Apostol 1981). El principal atractivo de Vinogradov consiste en su conjunto de problemas, que rápidamente conducen a los propios intereses de investigación de Vinogradov; el texto en sí es muy básico y casi minimalista. Otras introducciones populares son:

• Ivan M. Niven ; Herbert S. Zuckerman; Hugh L. Montgomery (2008) [1960]. Introducción a la teoría de números (reimpresión de la quinta edición de 1991). John Wiley & Sons . ISBN 978-81-265-1811-1. Recuperado el 28 de febrero de 2016 .
• Kenneth H. Rosen (2010). Teoría de números elemental (6.ª ed.). Pearson Education . ISBN 978-0-321-71775-7. Recuperado el 28 de febrero de 2016 .

Las opciones populares para un segundo libro de texto incluyen:

• Borevich, AI ; Shafarevich, Igor R. (1966). Teoría de números. Matemáticas puras y aplicadas. Vol. 20. Boston, MA: Academic Press . ISBN 978-0-12-117850-5.Sr. 0195803  .
• Serre, Jean-Pierre (1996) [1973]. Un curso de aritmética. Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 7. Springer. ISBN 978-0-387-90040-7.

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Wikiquote tiene citas relacionadas con Teoría de números .

• Entrada sobre teoría de números en la Enciclopedia de Matemáticas
• Teoría de números en la Web