Politopo pentagonal

En geometría , un politopo pentagonal es un politopo regular en n dimensiones construido a partir del grupo H _n de Coxeter . La familia fue nombrada por HSM Coxeter , porque el politopo pentagonal bidimensional es un pentágono . Puede ser nombrado por su símbolo de Schläfli como {5, 3 ^{n − 2} } (dodecaédrico) o {3 ^{n − 2} , 5} (icosaédrico).

La familia comienza como 1-politopos y termina con n = 5 como teselaciones infinitas de espacio hiperbólico de 4 dimensiones.

Existen dos tipos de politopos pentagonales: pueden denominarse dodecaédricos e icosaédricos , por sus elementos tridimensionales. Los dos tipos son duales entre sí.

La familia completa de politopos pentagonales dodecaédricos son:

1. Segmento de línea , { }
2. Pentágono , {5}
3. Dodecaedro , {5, 3} (12 caras pentagonales )
4. 120 células , {5, 3, 3} (120 células dodecaédricas )
5. Orden 3, panal de abeja de 120 celdas , {5, 3, 3, 3} (teselados hiperbólicos de 4 espacios ( facetas de ∞ 120 celdas )

Las facetas de cada politopo pentagonal dodecaédrico son los politopos pentagonales dodecaédricos de una dimensión menos. Sus figuras de vértice son los símplices de una dimensión menos.

Politopos pentagonales dodecaédricos

norte	Grupo Coxeter	Proyección del polígono de Petrie	Nombre Diagrama de Coxeter Símbolo de Schläfli	Facetas	Elementos
					Vértices	Bordes	Caras	Células	4- caras
1	$Estilo de visualización H_{1}$ [ ] (orden 2)		Segmento de línea { }	2 vértices	2
2	$Estilo de visualización H_{2}$ [5] (orden 10)		Pentágono {5}	5 bordes	5	5
3	$Estilo de visualización H3$ [5,3] (orden 120)		Dodecaedro {5, 3}	12 pentágonos	20	30	12
4	$Estilo de visualización H_{4}$ [5,3,3] (orden 14400)		120 celdas {5, 3, 3}	120 dodecaedros	600	1200	720	120
5	${\displaystyle {\bar {H}}_{4}}$ [5,3,3,3] (orden ∞)		Panal de abeja de 120 celdas {5, 3, 3, 3}	∞ 120 celdas	∞	∞	∞	∞	∞

La familia completa de politopos pentagonales icosaédricos son:

1. Segmento de línea , { }
2. Pentágono , {5}
3. Icosaedro , {3, 5} (20 caras triangulares )
4. 600 células , {3, 3, 5} (600 células tetraédricas )
5. Panal de abeja de 5 celdas de orden 5 , {3, 3, 3, 5} (teselados hiperbólicos de 4 espacios ( facetas de 5 celdas en ∞ )

Las facetas de cada politopo pentagonal icosaédrico son los símplices de una dimensión menos. Sus figuras de vértice son politopos pentagonales icosaédricos de una dimensión menos.

Politopos pentagonales icosaédricos

norte	Grupo Coxeter	Proyección del polígono de Petrie	Nombre Diagrama de Coxeter Símbolo de Schläfli	Facetas	Elementos
					Vértices	Bordes	Caras	Células	4- caras
1	$Estilo de visualización H_{1}$ [ ] (orden 2)		Segmento de línea { }	2 vértices	2
2	$Estilo de visualización H_{2}$ [5] (orden 10)		Pentágono {5}	5 bordes	5	5
3	$Estilo de visualización H3$ [5,3] (orden 120)		Icosaedro {3, 5}	20 triángulos equiláteros	12	30	20
4	$Estilo de visualización H_{4}$ [5,3,3] (orden 14400)		600 celdas {3, 3, 5}	600 tetraedros	120	720	1200	600
5	${\displaystyle {\bar {H}}_{4}}$ [5,3,3,3] (orden ∞)		Orden 5 Panal de abeja de 5 celdas {3, 3, 3, 5}	∞ 5 celdas	∞	∞	∞	∞	∞

Los politopos pentagonales pueden estelarse para formar nuevos politopos estelares regulares :

• En dos dimensiones, obtenemos el pentagrama {5/2},
• En tres dimensiones, esto forma los cuatro poliedros de Kepler-Poinsot , { 3,5/2 }, { 5/2,3 }, { 5,5/2 } y { 5/2,5 }.
• En cuatro dimensiones, esto forma los diez polychora de Schläfli–Hess : { 3,5,5/2 }, { 5/2,5,3 }, { 5,5 /2,5 }, { 5,3,5/2 } , { 5/ 2,3,5 } , { 5/2,5,5/2 }, { 5,5/2,3 }, { 3,5/2,5 }, { 3,3,5/2 } y { 5/2,3,3 }.
• En el espacio hiperbólico de cuatro dimensiones hay cuatro panales de abeja regulares : {5/2,5,3,3} , {3,3,5,5/2} , {3,5,5/2,5} y {5,5/2,5,3} .

En algunos casos, los politopos pentagonales estelares se cuentan entre los politopos pentagonales. ^[1]

Al igual que otros politopos, las estrellas regulares pueden combinarse con sus duales para formar compuestos;

• En dos dimensiones se forma una figura estelar decagramática {10/2},
• En tres dimensiones, obtenemos el compuesto de dodecaedro e icosaedro ,
• En cuatro dimensiones, obtenemos el compuesto de 120 celdas y 600 celdas .

Los politopos estelares también se pueden combinar.

• Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (Documento 10) HSM Coxeter, politopos estelares y la función Schlafli f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
• Coxeter , Regular Polytopes , 3.ª ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Tabla I(ii): 16 politopos regulares {p, q, r} en cuatro dimensiones, págs. 292-293)