Politopo 4 uniforme

Clase de politopos de 4 dimensiones

En geometría , un 4-politopo uniforme (o policoron uniforme ) ^[1] es un politopo de 4 dimensiones que es transitivo por vértices y cuyas celdas son poliedros uniformes y sus caras son polígonos regulares .

Existen 47 politopos cuaternarios convexos uniformes no prismáticos . Existen dos conjuntos infinitos de formas prismáticas convexas, junto con 17 casos que surgen como prismas de los poliedros convexos uniformes. También existe un número desconocido de formas estelares no convexas.

Historia del descubrimiento

Politopos regulares convexos :
- 1852 : Ludwig Schläfli demostró en su manuscrito Theorie der vielfachen Kontinuität que existen exactamente 6 politopos regulares en 4 dimensiones y sólo 3 en 5 o más dimensiones.
Politopos de cuatro estrellas regulares ( células poliédricas estelares y/o figuras de vértices )
- 1852 : Ludwig Schläfli también encontró 4 de los 10 4-politopos estelares regulares, descontando 6 con _celdas o figuras de vértice { ⁵ / _2,5 } y {5, ^5/2 } .
- 1883 : Edmund Hess completó la lista de 10 de los 4 politopos regulares no convexos, en su libro (en alemán) Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder Einleitung in die Lehre von. der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder, von dr. Edmundo Hess. Mit sechzehn litographierten tafeln..
Politopos semirregulares convexos : (Varias definiciones antes de la categoría uniforme de Coxeter )
- 1900 : Thorold Gosset enumeró la lista de politopos convexos semirregulares no prismáticos con celdas regulares ( sólidos platónicos ) en su publicación Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones . En cuatro dimensiones, esto da como resultado el de 5 celdas rectificado , el de 600 celdas rectificado y el de 24 celdas chato . ^[2]
- 1910 : Alicia Boole Stott , en su publicación Deducción geométrica de politopos semirregulares a partir de politopos regulares y rellenos espaciales , amplió la definición al permitir también sólidos arquimedianos y celdas prismáticas . Esta construcción enumeró 45 4-politopos semirregulares, correspondientes a las formas no prismáticas que se enumeran a continuación. El snub de 24 celdas y el gran antiprisma faltaban en su lista. ^[3]
- 1911 : Pieter Hendrik Schoute publicó Tratamiento analítico de los politopos regularmente derivados de los politopos regulares , siguió las notaciones de Boole-Stott, enumerando los politopos uniformes convexos por simetría basada en 5 celdas , 8 celdas / 16 celdas y 24 celdas .
- 1912 : EL Elte amplió de forma independiente la lista de Gosset con la publicación The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces , politopos con uno o dos tipos de facetas semirregulares. ^[4]
Politopos uniformes convexos :
- 1940 : La búsqueda fue ampliada sistemáticamente por HSM Coxeter en su publicación Regular and Semi-Regular Polytopes .
- Politopos cuatripartitos uniformes convexos :
  - 1965 : La lista completa de formas convexas fue finalmente enumerada por John Horton Conway y Michael Guy , en su publicación Four-Dimensional Archimedean Polytopes , establecida por análisis computacional, agregando solo un 4-politopo convexo no Wythoffiano, el gran antiprisma.
  - 1966 Norman Johnson completa su tesis doctoral La teoría de politopos uniformes y panales bajo la supervisión de Coxeter, completa la teoría básica de politopos uniformes para dimensiones 4 y superiores.
  - En 1986, Coxeter publicó un artículo titulado Regular and Semi-Regular Polytopes II (Polítopos regulares y semirregulares II) , que incluía el análisis de la estructura única de 24 celdas y la simetría del gran antiprisma anómalo.
  - 1998 ^[5] -2000 : Los 4-politopos fueron nombrados sistemáticamente por Norman Johnson, y dados por la enumeración indexada en línea de George Olshevsky (usada como base para esta lista). Johnson nombró a los 4-politopos como polychora, como los poliedros para los 3-politopos, de las raíces griegas poly ("muchos") y choros ("habitación" o "espacio"). ^[6] Los nombres de los polychora uniformes comenzaron con los 6 polychora regulares con prefijos basados en anillos en los diagramas de Coxeter; truncamiento t _0,1 , cantelación, t _0,2 , runcinación t _0,3 , con formas de un solo anillo llamadas rectificadas, y bi, tri-prefijos agregados cuando el primer anillo estaba en el segundo o tercer nodo. ^[7]^[8]
  - 2004 : Marco Möller publicó una prueba de que el conjunto de Conway-Guy está completo en su tesis doctoral, Vierdimensionale Archimedische Polytope . Möller reprodujo el sistema de nombres de Johnson en su lista. ^[9]
  - 2008 : John H. Conway publicó The Symmetries of Things ^[10] , que contiene la primera lista impresa de los 4-politopos uniformes convexos y los politopos de dimensiones superiores por familia de grupos de Coxeter, con diagramas de figuras de vértices generales para cada permutación de diagrama de Coxeter en anillo (snub, gran antiprisma y duoprismas), a los que llamó proprismas para prismas de producto. Utilizó su propio esquema de nombres ijk -ambo para las permutaciones de anillos indexados más allá del truncamiento y el bitruncamiento, y todos los nombres de Johnson se incluyeron en el índice del libro.
Politopos estelares uniformes no regulares (similares a los poliedros uniformes no convexos )
- 1966 : Johnson describe tres antiprismas uniformes no convexos en el espacio 4 en su tesis. ^[11]
- 1990-2006 : En una búsqueda colaborativa, hasta 2005 Jonathan Bowers y George Olshevsky habían identificado un total de 1845 4-politopos uniformes (convexos y no convexos), ^[12] con cuatro adicionales descubiertos en 2006 para un total de 1849. El recuento incluye los 74 prismas de los 75 poliedros uniformes no prismáticos (ya que es un conjunto finito – el prisma cúbico está excluido ya que duplica el teseracto), pero no las categorías infinitas de duoprismas o prismas de antiprismas. ^[13]
- 2020-2023 : Se encontraron 342 nuevos policoros, lo que eleva el número total de 4-politopos uniformes conocidos a 2191. No se ha demostrado que la lista esté completa. ^[13]^[14]

4-politopos regulares

Los 4-politopos regulares son un subconjunto de los 4-politopos uniformes, que satisfacen requisitos adicionales. Los 4-politopos regulares se pueden expresar con el símbolo de Schläfli { p , q , r } y tienen celdas de tipo { p , q }, caras de tipo { p }, figuras de arista { r } y figuras de vértice { q , r }.

La existencia de un 4-politopo regular { p , q , r } está restringida por la existencia de los poliedros regulares { p , q } que se convierten en celdas, y { q , r } que se convierte en la figura del vértice .

La existencia como un 4-politopo finito depende de una desigualdad: ^[15]

\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)>\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right).

Los 16 4-politopos regulares , con la propiedad de que todas las celdas, caras, aristas y vértices son congruentes:

6 4-politopos convexos regulares : 5 celdas {3,3,3}, 8 celdas {4,3,3}, 16 celdas {3,3,4}, 24 celdas {3,4,3}, 120 celdas {5,3,3} y 600 celdas {3,3,5}.
10 estrellas regulares de 4 politopos : icosaédrica de 120 celdas {3,5, ⁵ / ₂ }, pequeña estrellada de 120 celdas { ⁵ / _2,5,3 }, gran estrellada de 120 celdas {5, ⁵ / _2,5 }, grandiosa de 120 celdas {5,3, ⁵ / ₂ }, gran estrellada de 120 celdas {5 / 2,3,5}, grandiosa estrellada de 120 ^celdas { ₅ / 2,5 ^, 5 _/ 2 ^} , _gran grandiosa de 120 celdas {5, ⁵ / _2,3 }, gran icosaédrica de 120 celdas {3, ⁵ / _2,5 }, gran de 600 celdas {3,3, ⁵ / ₂ } y gran grandiosa estrellada de 120 celdas { ⁵ / ₂ ,3,3}.

Politopos convexos uniformes de 4 elementos

Simetría de 4-politopos uniformes en cuatro dimensiones

Subgrupos ortogonales
Los 24 espejos de F ₄ se pueden descomponer en 2 grupos D ₄ ortogonales : =(12 espejos) =(12 espejos)
Los 10 espejos de B ₃ × A ₁ se pueden descomponer en grupos ortogonales, 4 A ₁ y D ₃ : =(3+1 espejos) =(6 espejos)

Hay 5 familias fundamentales de grupos puntuales de simetría especular en 4 dimensiones: A ₄ =, B4 =, D4 =, F4 =, H4 =. ^[7] También hay 3 grupos prismáticos A ₃A ₁ =, B3A1 =, H3A1 =, y grupos duoprismáticos: I ₂ (p)×I ₂ (q) =. Cada grupo está definido por un dominio fundamental del tetraedro de Goursat delimitado por planos especulares.

Cada 4-politopo uniforme reflexivo se puede construir en uno o más grupos puntuales reflexivos en 4 dimensiones mediante una construcción de Wythoff , representada por anillos alrededor de permutaciones de nodos en un diagrama de Coxeter . Los hiperplanos especulares se pueden agrupar, como se ve por los nodos coloreados, separados por ramas pares. Los grupos de simetría de la forma [a,b,a], tienen una simetría extendida, [[a,b,a]], que duplica el orden de simetría. Esto incluye [3,3,3], [3,4,3] y [ p ,2, p ]. Los politopos uniformes en estos grupos con anillos simétricos contienen esta simetría extendida.

Si todos los espejos de un color determinado están sin anillar (inactivos) en un politopo uniforme determinado, tendrá una construcción de simetría inferior al eliminar todos los espejos inactivos. Si todos los nodos de un color determinado están anillados (activos), una operación de alternancia puede generar un nuevo 4-politopo con simetría quiral, que se muestra como nodos "vacíos" en círculos, pero la geometría no suele ser ajustable para crear soluciones uniformes.

Grupo Weyl	Cuaternión de Conway	Estructura abstracta	Orden	Notación de Coxeter	Subgrupo conmutador	Número de Coxeter (h)	Espejos m = 2 h
Irreducible
Un ₄	+1/60[I×I].21	S ₅	120	[3,3,3]	[3,3,3] ⁺	5		10
D4	±1/3[T×T].2	1/ ^2.2 s ₄	192	[3 ^1,1,1 ]	[3 ^1,1,1 ] ⁺	6		12
B4	±1/6[O×O].2	^2S4 = _S2 ≀S4	384	[4,3,3]	[3 ^1,1,1 ] ⁺	8	4	12
F4	±1/2[O×O].2 ₃	3.2S4	1152	[3,4,3]	[3 ⁺ ,4,3 ⁺ ]	12	12	12
H4	±[I×I].2	2.(A ₅ × A ₅ ).2	14400	[5,3,3]	[5,3,3] ⁺	30		60
Grupos prismáticos
Un ₃ Un ₁	+1/24[O×O].2 ₃	Tamaño ₄ × Profundidad ₁	48	[3,3,2] = [3,3]×[ ]	[3,3] ⁺	-		6	1
B3A1	±1/24[O×O].2	Tamaño ₄ × Profundidad ₁	96	[4,3,2] = [4,3]×[ ]	[3,3] ⁺	-	3	6	1
H3A1	±1/60[I×I].2	Un ₅ ×D ₁	240	[5,3,2] = [5,3]×[ ]	[5,3] ⁺	-		15	1
Grupos duoprismáticos (Utilice 2p,2q para números enteros pares)
Yo ₂ ( p )Yo ₂ ( q )	±1/ ₂ [ _D2p × _{D2q ]}	D _p × D _q	4 piezas	[ p ,2, q ] = [ p ]×[ q ]	[ p ⁺ ,2, q ⁺ ]	-		pag	q
Yo ₂ ( 2p )Yo ₂ ( q )	±1/2[D _{4 p} ×D _{2 q} ]	D2p × _Dq	8 piezas	[2 p ,2, q ] = [2 p ]×[ q ]		-	pag	pag	q
Yo ₂ ( 2p )Yo ₂ ( 2q )	±1/2[D _{4 p} ×D _{4 q} ]	D2p × _D2q	16 piezas	[2 p ,2,2 q ] = [2 p ]×[2 q ]		-	pag	pag	q	q

Enumeración

Hay 64 4-politopos convexos uniformes, incluidos los 6 4-politopos convexos regulares y excluidos los conjuntos infinitos de duoprismas y prismas antiprismáticos .

5 son prismas poliédricos basados en los sólidos platónicos (1 se superpone con el regular ya que un hiperprisma cúbico es un teseracto )
13 son prismas poliédricos basados en los sólidos de Arquímedes.
9 pertenecen a la familia del grupo auto-dual regular A ₄ [3,3,3] ( 5 células ).
_{9 pertenecen a la familia del grupo F 4} [3,4,3] regular autodual ( 24 células ). (Excluyendo el grupo de 24 células snub)
15 pertenecen a la familia regular del grupo B ₄ [3,3,4] ( tesseract / 16 células ) (3 se superponen con la familia de 24 células)
15 pertenecen a la familia del grupo regular H ₄ [3,3,5] ( 120 células / 600 células ).
1 forma especial de snub en la familia del grupo [3,4,3] ( 24 células ).
1 4-politopo especial no Wythoffiano: el gran antiprisma.
TOTAL: 68 − 4 = 64

Estos 64 4-politopos uniformes están indexados a continuación por George Olshevsky. Las formas de simetría repetidas están indexadas entre corchetes.

Además de los 64 anteriores, hay 2 conjuntos prismáticos infinitos que generan todas las formas convexas restantes:

Conjunto de prismas antiprismáticos uniformes - sr{ p ,2}×{ } - Prismas poliédricos de dos antiprismas .
Conjunto de duoprismas uniformes - { p }×{ q } - Un producto cartesiano de dos polígonos.

La A₄familia

La celda 5 tiene simetría pentacórica diploide [3,3,3] , ^[7] de orden 120, isomorfa a las permutaciones de cinco elementos, porque todos los pares de vértices están relacionados de la misma manera.

Se proporcionan facetas (celdas) agrupadas en sus ubicaciones en el diagrama de Coxeter eliminando nodos específicos.

[3,3,3] politopos uniformes
#	Nombre Nombre Bowers (y acrónimo)	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Recuento de células por ubicación				Recuento de elementos
#	Nombre Nombre Bowers (y acrónimo)	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Pos. 3 (5)	Pos. 2 (10)	Pos. 1 (10)	Pos. 0 (5)	Células	Caras	Bordes	Vértices
1	Pentachoron de 5 células ^[7] (pluma)		{3,3,3}	(4) (3.3.3)				5	10	10	5
2	Pentacoron rectificado de 5 celdas (rap)		r{3,3,3}	(3) (3.3.3.3)			(2) (3.3.3)	10	30	30	10
3	Pentacoron truncado de 5 células (punta)		t{3,3,3}	(3) (3.6.6)			(1) (3.3.3)	10	30	40	20
4	Pentacoron romboidal pequeño cantelado de 5 células (srip)		rr{3,3,3}	(2) (3.4.3.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)	20	80	90	30
7	Gran pentacoron romboidal de 5 células cantitruncado (agarre)		tr{3,3,3}	(2) (4.6.6)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)	20	80	120	60
8	Pentacoron prismatorrombado de 5 células, runcitruncado (prip)		t0,1,3 _{ 3,3,3}	(1) (3.6.6)	(2) (4.4.6)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	30	120	150	60

[[3,3,3]] politopos uniformes
#	Nombre Nombre Bowers (y acrónimo)	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos Schläfli	Recuento de células por ubicación			Recuento de elementos
#	Nombre Nombre Bowers (y acrónimo)	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos Schläfli	Pos. 3-0 (10)	Pos. 1-2 (20)	Alt	Células	Caras	Bordes	Vértices
5	* Prismatodecacoron pequeño (spid) de 5 células runcinado		t0,3 { _3,3,3 }	(2) (3.3.3)	(6) (3.4.4)		30	70	60	20
6	* Decachoron bitruncado de 5 celdas (deca)		2t{3,3,3}	(4) (3.6.6)			10	40	60	30
9	* Prismatodecacoron grande omnitruncado de 5 células (gippid)		t0,1,2,3 { _3,3,3 }	(2) (4.6.6)	(2) (4.4.6)		30	150	240	120
No uniforme	omnisnub 5 celdas Snub decachoron (snad) Snub pentachoron (snip) ^[16]		alto _0,1,2,3 {3,3,3}	(2) (3.3.3.3.3)	(2) (3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	90	300	270	60

Las tres formas uniformes de 4-politopos marcadas con un asterisco , * , tienen la simetría pentacórica extendida más alta , de orden 240, [[3,3,3]] porque el elemento correspondiente a cualquier elemento de la celda de 5 subyacente se puede intercambiar con uno de los correspondientes a un elemento de su dual. Hay un pequeño subgrupo de índice [3,3,3] ⁺ , orden 60, o su duplicación [[3,3,3]] ⁺ , orden 120, que define una celda de 5 omnisnub que se incluye para completar, pero no es uniforme.

El B₄familia

Esta familia tiene simetría hexadecacórica diploide , ^[7] [4,3,3], de orden 24×16=384: 4!=24 permutaciones de los cuatro ejes, 2 ⁴ =16 para la reflexión en cada eje. Hay 3 subgrupos de índices pequeños, y los dos primeros generan 4-politopos uniformes que también se repiten en otras familias, [1 ⁺ ,4,3,3], [4,(3,3) ⁺ ] y [4,3,3] ⁺ , todos de orden 192.

Truncamientos de Tesseract

#	Nombre (nombre Bowers y acrónimo)	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Recuento de células por ubicación					Recuento de elementos
#	Nombre (nombre Bowers y acrónimo)	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Pos. 3 (8)	Pos. 2 (24)	Pos. 1 (32)	Pos. 0 (16)	Células	Caras	Bordes	Vértices
10	Tesseract o Tesseract de 8 celdas (tes)		{4,3,3}	(4) (4.4.4)				8	24	32	16
11	Teseracto rectificado (rit)		r{4,3,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (3.3.3)	24	88	96	32
13	Teseracto truncado (tat)		t{4,3,3}	(3) (3.8.8)			(1) (3.3.3)	24	88	128	64
14	Teseracto cantelado Teseracto romboidal pequeño (srit)		rr{4,3,3}	(2) (3.4.4.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)	56	248	288	96
15	Teseracto runcinado (también runcinado de 16 células ) Pequeño disprismatotesseractihexadecachoron (sidpith)		t0,3 _{ 4,3,3}	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)	80	208	192	64
16	Teseracto bitruncado (también bitruncado de 16 celdas ) Tesseractihexadecachoron (tah)		2t{4,3,3}	(2) (4.6.6)			(2) (3.6.6)	24	120	192	96
18	Teseracto cantitruncado Gran teseracto romboidal (grano)		tr{4,3,3}	(2) (4.6.8)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)	56	248	384	192
19	Teseracto runcitruncado Hexadecacoron prismatorrombado (proh)		t0,1,3 _{ 4,3,3}	(1) (3.8.8)	(2) (4.4.8)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	80	368	480	192
21	Teseracto omnitruncado (también omnitruncado de 16 celdas ) Gran disprismatotesseractihexadecachoron (gidpith)		t0,1,2,3 _{ 3,3,4}	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)	80	464	768	384

Teseracto medio relacionado, [1 ⁺ ,4,3,3] 4-politopos uniformes
#	Nombre (acrónimo en estilo Bowers)	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Recuento de células por ubicación					Recuento de elementos
#	Nombre (acrónimo en estilo Bowers)	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Pos. 3 (8)	Pos. 2 (24)	Pos. 1 (32)	Pos. 0 (16)	Alt	Células	Caras	Bordes	Vértices
12	Medio teseracto Demiteseracto = 16 celdas (hexadecimal)		= h{4,3,3}={3,3,4}	(4) (3.3.3)				(4) (3.3.3)	16	32	24	8
[17]	Teseracto cántico = Teseracto truncado de 16 celdas		= h2 { _4,3,3 }=t{4,3,3}	(4) (6.6.3)			(1) (3.3.3.3)		24	96	120	48
[11]	Teseracto rúnico = Teseracto rectificado (rit)		= h3 { _4,3,3 }=r{4,3,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (3.3.3)		24	88	96	32
[16]	Teseracto Runcicantic = Teseracto Bitruncado (tah)		= h2,3 {4,3,3}=2t{4,3,3 _}	(2) (3.4.3.4)			(2) (3.6.6)		24	120	192	96
[11]	= Teseracto rectificado (rata)		= h1 { _4,3,3 }=r{4,3,3}						24	88	96	32
[16]	= Teseracto bitruncado (tah)		= h1,2 { _4,3,3 }=2t{4,3,3}						24	120	192	96
[23]	= Rectificado de 24 celdas (rico)		= h1,3 { _4,3,3 }=rr{3,3,4}						48	240	288	96
[24]	= 24 celdas truncadas (tico)		= h1,2,3 { _4,3,3 }=tr{3,3,4}						48	240	384	192

#	Nombre (acrónimo en estilo Bowers)	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Recuento de células por ubicación					Recuento de elementos
#	Nombre (acrónimo en estilo Bowers)	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Pos. 3 (8)	Pos. 2 (24)	Pos. 1 (32)	Pos. 0 (16)	Alt	Células	Caras	Bordes	Vértices
No uniforme	Teseracto omnisnub Teseracto snub (snet) ^[17] (O omnisnub de 16 celdas )		alto _0,1,2,3 {4,3,3}	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3.4)	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	272	944	864	192

Truncamientos de 16 celdas

#	Nombre (nombre Bowers y acrónimo)	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Recuento de células por ubicación					Recuento de elementos
#	Nombre (nombre Bowers y acrónimo)	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Pos. 3 (8)	Pos. 2 (24)	Pos. 1 (32)	Pos. 0 (16)	Alt	Células	Caras	Bordes	Vértices
[12]	Hexadecacoron de 16 células ^[7] (hex)		{3,3,4}				(8) (3.3.3)		16	32	24	8
[22]	16 celdas rectificadas (igual que 24 celdas* ) (ico)		= r{3,3,4}	(2) (3.3.3.3)			(4) (3.3.3.3)		24	96	96	24
17	Hexadecacoron truncado de 16 células (thex)		t{3,3,4}	(1) (3.3.3.3)			(4) (3.6.6)		24	96	120	48
[23]	Cantelada de 16 celdas (igual que rectificada de 24 celdas* ) (rico)		= rr{3,3,4}	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)		(2) (3.4.3.4)		48	240	288	96
[15]	Teseracto runcinado de 16 celdas (también) (sidpith)		t0,3 _{ 3,3,4}	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)		80	208	192	64
[16]	Teseracto bitruncado de 16 celdas (también) (tah)		2t{3,3,4}	(2) (4.6.6)			(2) (3.6.6)		24	120	192	96
[24]	Truncated 16-cell (Igual que truncated 24-cell* ) (tico)		= tr{3,3,4}	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.4)		(2) (4.6.6)		48	240	384	192
20	Teseracto prismatorombado de 16 celdas runcitruncado (prit)		t0,1,3 _{ 3,3,4}	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.4.4)	(2) (4.4.6)	(1) (3.6.6)		80	368	480	192
[21]	Teseracto omnitruncado de 16 celdas (también teseracto omnitruncado ) (gidpith)		t0,1,2,3 _{ 3,3,4}	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)		80	464	768	384
[31]	Cantitruncado alternado de 16 celdas (igual que el de 24 celdas ) (sadi)		sr{3,3,4}	(1) (3.3.3.3.3)		(1) (3.3.3)	(2) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	144	480	432	96
No uniforme	Tesseract Pyritosnub de 16 celdas rectificado con snub Runcic (pysnet)		Sr ₃ {3,3,4}	(1) (3.4.4.4)	(2) (3.4.4)	(1) (4.4.4)	(1) (3.3.3.3.3)	(2) (3.4.4)	176	656	672	192

(*) Así como rectificar el tetraedro produce el octaedro , rectificar el de 16 celdas produce el de 24 celdas, el miembro regular de la siguiente familia.

El snub de 24 celdas se repite en esta familia para completar. Es una alternancia del truncado de 16 celdas o truncado de 24 celdas , con el grupo de semisimetría [(3,3) ⁺ ,4]. Las celdas octaédricas truncadas se convierten en icosaedros. Los cubos se convierten en tetraedros y se crean 96 nuevos tetraedros en los huecos de los vértices eliminados.

La F₄familia

Esta familia tiene simetría icositetracórica diploide , ^[7] [3,4,3], de orden 24×48=1152: las 48 simetrías del octaedro para cada una de las 24 celdas. Hay 3 pequeños subgrupos de índice, con los dos primeros pares isomorfos generando 4-politopos uniformes que también se repiten en otras familias, [3 ⁺ ,4,3], [3,4,3 ⁺ ] y [3,4,3] ⁺ , todos de orden 576.

[3,4,3] 4-politopos uniformes
#	Nombre	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Recuento de células por ubicación				Recuento de elementos
#	Nombre	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Pos. 3 (24)	Pos. 2 (96)	Pos. 1 (96)	Pos. 0 (24)	Células	Caras	Bordes	Vértices
22	Icositetracoron de 24 células (igual que el de 16 células rectificado ) ^[7] (ico)		{3,4,3}	(6) (3.3.3.3)				24	96	96	24
23	24 celdas rectificado (Igual que 16 celdas canteladas ) Icositetracoron rectificado (rico)		r{3,4,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (4.4.4)	48	240	288	96
24	24 células truncadas (Igual que el 16 células cantitruncado ) Icositetracoron truncado (tico)		t{3,4,3}	(3) (4.6.6)			(1) (4.4.4)	48	240	384	192
25	Icositetracoron romboidal pequeño de 24 células canteladas (srico)		rr{3,4,3}	(2) (3.4.4.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	144	720	864	288
28	Gran icositetracoron romboidal de 24 células (grico)		tr{3,4,3}	(2) (4.6.8)		(1) (3.4.4)	(1) (3.8.8)	144	720	1152	576
29	Prismatorromboide de 24 células, runcitruncado, icositetracoron (prico)		t0,1,3 _{ 3,4,3}	(1) (4.6.6)	(2) (4.4.6)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.4.4)	240	1104	1440	576

[3 ⁺ ,4,3] 4-politopos uniformes
#	Nombre	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Recuento de células por ubicación					Recuento de elementos
#	Nombre	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Pos. 3 (24)	Pos. 2 (96)	Pos. 1 (96)	Pos. 0 (24)	Alt	Células	Caras	Bordes	Vértices
31	† Disicositetrachoron chato de 24 células (sadi)		s{3,4,3}	(3) (3.3.3.3.3)			(1) (3.3.3)	(4) (3.3.3)	144	480	432	96
No uniforme	runcic desaire Prismatorhombisnub icositetrachoron (prissi) de 24 celdas		y ₃ {3,4,3}	(1) (3.3.3.3.3)	(2) (3.4.4)		(1) (3.6.6)	(3) Trípode	240	960	1008	288
[25]	snub cántico de 24 celdas (igual que 24 celdas cantelado ) (srico)		y ₂ {3,4,3}	(2) (3.4.4.4)			(1) (3.4.3.4)	(2) (3.4.4)	144	720	864	288
[29]	Runcicantic snub de 24 celdas (igual que runcitruncated de 24 celdas ) (prico)		y _2,3 {3,4,3}	(1) (4.6.6)		(1) (3.4.4)	(1) (3.4.4.4)	(2) (4.4.6)	240	1104	1440	576

(†) El cubo chato de 24 celdas que se muestra aquí, a pesar de su nombre común, no es análogo al cubo chato ; más bien, se deriva de una alternancia del cubo truncado de 24 celdas. Su número de simetría es solo 576 (el grupo icositetracórico disminuido iónico , [3 ⁺ ,4,3]).

Al igual que la de 5 células, la de 24 células es autodual, por lo que las tres formas siguientes tienen el doble de simetrías, lo que eleva su total a 2304 ( simetría icositetracórica extendida [[3,4,3]]).

[[3,4,3]] 4-politopos uniformes
#	Nombre	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos Schläfli	Recuento de células por ubicación		Recuento de elementos
#	Nombre	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos Schläfli	Pos. 3-0 (48)	Pos. 2-1 (192)	Células	Caras	Bordes	Vértices
26	Prismatotetracontoctachoron pequeño (spic) de 24 células runcinado		t0,3 _{ 3,4,3}	(2) (3.3.3.3)	(6) (3.4.4)	240	672	576	144
27	Tetracontoctachoron bitruncado de 24 células (cont.)		2t{3,4,3}	(4) (3.8.8)		48	336	576	288
30	Gran prismatotetracontoctachoron omnitruncado de 24 células (gippic)		t0,1,2,3 { _3,4,3 }	(2) (4.6.8)	(2) (4.4.6)	240	1392	2304	1152

[[3,4,3]] ⁺ 4-politopo isogonal
#	Nombre	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Recuento de células por ubicación			Recuento de elementos
#	Nombre	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Pos. 3-0 (48)	Pos. 2-1 (192)	Alt	Células	Caras	Bordes	Vértices
No uniforme	omnisnub 24 células Tetracontoctachoron snub (snoc) Icositetrachoron snub (sni) ^[18]		alto _0,1,2,3 {3,4,3}	(2) (3.3.3.3.4)	(2) (3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	816	2832	2592	576

La H₄familia

Esta familia tiene simetría hexacosicórica diploide , ^[7] [5,3,3], de orden 120×120=24×600=14400: 120 para cada uno de los 120 dodecaedros, o 24 para cada uno de los 600 tetraedros. Hay un pequeño subgrupo de índice [5,3,3] ⁺ , todos de orden 7200.

Truncamientos de 120 celdas

#	Nombre (nombre Bowers y acrónimo)	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Recuento de células por ubicación					Recuento de elementos
#	Nombre (nombre Bowers y acrónimo)	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Pos. 3 (120)	Pos. 2 (720)	Pos. 1 (1200)	Pos. 0 (600)	Alt	Células	Caras	Bordes	Vértices
32	120 células (hecatonicosachoron o dodecacontachoron) ^[7] Hecatonicosachoron (hi)		{5,3,3}	(4) (5.5.5)					120	720	1200	600
33	Hecatonicosachoron rectificado de 120 células (rahi)		r{5,3,3}	(3) (3.5.3.5)			(2) (3.3.3)		720	3120	3600	1200
36	Hecatonicosachoron truncado de 120 células (thi)		t{5,3,3}	(3) (3.10.10)			(1) (3.3.3)		720	3120	4800	2400
37	Hecatonicosachoron romboidal pequeño cantelado de 120 células (srahi)		rr{5,3,3}	(2) (3.4.5.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)		1920	9120	10800	3600
38	Disprismatohexacosihecatonicosachoron pequeño (sidpixhi) de 120 células (también de 600 células )		t0,3 _{ 5,3,3}	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)		2640	7440	7200	2400
39	Hexacosihecatonicosachoron (xhi) bitruncado de 120 células (también bitruncado de 600 células )		2t{5,3,3}	(2) (5.6.6)			(2) (3.6.6)		720	4320	7200	3600
42	Gran hecatonicosachoron romboidal (grahi) de 120 células, cantitruncado		tr{5,3,3}	(2) (4.6.10)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)		1920	9120	14400	7200
43	Prismatorromboide hexacosicoronado (prix) de 120 células, runcitruncado		t0,1,3 _{ 5,3,3}	(1) (3.10.10)	(2) (4.4.10)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)		2640	13440	18000	7200
46	Gran disprismatohexacosihecatonicosachoron (gidpixhi) omnitruncado de 120 células (también omnitruncado de 600 células )		t0,1,2,3 _{ 5,3,3}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)		2640	17040	28800	14400
No uniforme	Hecatonicosachoron snub (snixhi) de 120 células omnisnub ^[19] (igual que el omnisnub de 600 células )		alto _0,1,2,3 {5,3,3}	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	9840	35040	32400	7200

Truncamientos de 600 celdas

#	Nombre (acrónimo en estilo Bowers)	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Simetría	Recuento de células por ubicación				Recuento de elementos
#	Nombre (acrónimo en estilo Bowers)	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Simetría	Pos. 3 (120)	Pos. 2 (720)	Pos. 1 (1200)	Pos. 0 (600)	Células	Caras	Bordes	Vértices
35	Hexacosicoron de 600 células ^[7] (ex)		{3,3,5}	[5,3,3] orden 14400				(20) (3.3.3)	600	1200	720	120
[47]	20 celdas disminuidas de 600 = Gran antiprisma (espacio vacío)		Construcción no wythoffiana	[[10,2 ⁺ ,10]] orden 400 Índice 36	(2) (3.3.3.5)			(12) (3.3.3)	320	720	500	100
[31]	24 celdas reducidas de 600 celdas = 24 celdas reducidas (sadi)		Construcción no wythoffiana	[3 ⁺ ,4,3] orden 576 índice 25	(3) (3.3.3.3.3)			(5) (3.3.3)	144	480	432	96
No uniforme	Bi-24-disminuido 600 células Bi-icositetradisminuido hexacosicoron (bidex)		Construcción no wythoffiana	orden 144 índice 100	(6) TDI-TDI-TDI				48	192	216	72
34	Hexacosicoron rectificado de 600 celdas (rox)		r{3,3,5}	[5,3,3]	(2) (3.3.3.3.3)			(5) (3.3.3.3)	720	3600	3600	720
No uniforme	Prisma de remolino rectificado disminuido de 120 celdas, hexacosicoron rectificado disminuido (spidrox)		Construcción no wythoffiana	orden 1200 índice 12	(2) 3.3.3.5	(2) 4.4.5		(5) P4	840	2640	2400	600
41	Hexacosicoron truncado de 600 células (tex)		t{3,3,5}	[5,3,3]	(1) (3.3.3.3.3)			(5) (3.6.6)	720	3600	4320	1440
40	Hexacosicoron romboidal pequeño cantelado de 600 células (srix)		rr{3,3,5}	[5,3,3]	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.5)		(1) (3.4.3.4)	1440	8640	10800	3600
[38]	Runcinated de 600 celdas (también Runcinated de 120 celdas ) (sidpixhi)		t0,3 _{ 3,3,5}	[5,3,3]	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)	2640	7440	7200	2400
[39]	bitruncado de 600 celdas (también bitruncado de 120 celdas ) (xhi)		2t{3,3,5}	[5,3,3]	(2) (5.6.6)			(2) (3.6.6)	720	4320	7200	3600
45	Gran hexacosicoron romboidal (grix) de 600 células cantitruncado		tr{3,3,5}	[5,3,3]	(1) (5.6.6)	(1) (4.4.5)		(2) (4.6.6)	1440	8640	14400	7200
44	Prismatorrombated hecatonicosachoron (prahi) de 600 células, runcitruncado		t0,1,3 _{ 3,3,5}	[5,3,3]	(1) (3.4.5.4)	(1) (4.4.5)	(2) (4.4.6)	(1) (3.6.6)	2640	13440	18000	7200
[46]	omnitruncado de 600 celdas (también omnitruncado de 120 celdas ) (gidpixhi)		t0,1,2,3 { _3,3,5 }	[5,3,3]	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)	2640	17040	28800	14400

La D₄familia

Esta familia de semiteseractos , [3 ^1,1,1 ], no introduce nuevos 4-politopos uniformes, pero vale la pena repetir estas construcciones alternativas. Esta familia tiene orden 12×16=192: 4!/2=12 permutaciones de los cuatro ejes, la mitad alternadas, 2 ⁴ =16 para la reflexión en cada eje. Hay un pequeño subgrupo de índices que genera 4-politopos uniformes, [3 ^1,1,1 ] ⁺ , orden 96.

[3 ^1,1,1 ] 4-politopos uniformes
#	Nombre (acrónimo en estilo Bowers)	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter = =	Recuento de células por ubicación					Recuento de elementos
#	Nombre (acrónimo en estilo Bowers)	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter = =	Pos. 0 (8)	Pos. 2 (24)	Pos. 1 (8)	Pos. 3 (8)	Pos. Alt (96)	3	2	1	0
[12]	demitesseract medio tesseract (Igual que 16 celdas ) (hexadecimal)		= h{4,3,3}			(4) (3.3.3)	(4) (3.3.3)		16	32	24	8
[17]	teseracto cántico (igual que el de 16 celdas truncado ) (thex)		= h2 {4,3,3 _}	(1) (3.3.3.3)		(2) (3.6.6)	(2) (3.6.6)		24	96	120	48
[11]	Teseracto rúnico (igual que teseracto rectificado ) (rit)		= h3 {4,3,3 _}	(1) (3.3.3)		(1) (3.3.3)	(3) (3.4.3.4)		24	88	96	32
[16]	Teseracto runcicantic (Igual que teseracto bitruncado ) (tah)		= h2,3 { _4,3,3 }	(1) (3.6.6)		(1) (3.6.6)	(2) (4.6.6)		24	96	96	24

Cuando los 3 nodos de la rama bifurcada están anillados de manera idéntica, la simetría se puede incrementar en 6, ya que [3[3 ^1,1,1 ]] = [3,4,3], y por lo tanto estos politopos se repiten a partir de la familia de 24 células .

[3[3 ^1,1,1 ]] 4-politopos uniformes
#	Nombre (acrónimo en estilo Bowers)	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter = =	Recuento de células por ubicación			Recuento de elementos
#	Nombre (acrónimo en estilo Bowers)	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter = =	Pos. 0,1,3 (24)	Pos. 2 (24)	Pos. Alt (96)	3	2	1	0
[22]	rectificado de 16 celdas (igual que 24 celdas ) (ico)		=== {3 ^1,1,1 } = r{3,3,4} = {3,4,3}	(6) (3.3.3.3)			48	240	288	96
[23]	Cantelado de 16 celdas (igual que rectificado de 24 celdas ) (rico)		=== r{3 ^1,1,1 } = rr{3,3,4} = r{3,4,3}	(3) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)		24	120	192	96
[24]	cantitruncado de 16 celdas (igual que truncado de 24 celdas ) (tico)		=== t{3 ^1,1,1 } = tr{3,3,4} = t{3,4,3}	(3) (4.6.6)	(1) (4.4.4)		48	240	384	192
[31]	snub de 24 celdas (sadi)		=== s{3 ^1,1,1 } = sr{3,3,4} = s{3,4,3}	(3) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3)	(4) (3.3.3)	144	480	432	96

Aquí nuevamente el snub de 24 celdas , con el grupo de simetría [3 ^1,1,1 ] ⁺ esta vez, representa un truncamiento alternado del truncado de 24 celdas creando 96 nuevos tetraedros en la posición de los vértices eliminados. En contraste con su apariencia dentro de los grupos anteriores como 4-politopo parcialmente snubeado, solo dentro de este grupo de simetría tiene la analogía completa con los snubs de Kepler, es decir, el cubo snub y el dodecaedro snub .

El gran antiprisma

Existe un 4-politopo uniforme convexo no wythoffiano, conocido como el gran antiprisma , que consta de 20 antiprismas pentagonales que forman dos anillos perpendiculares unidos por 300 tetraedros . Es vagamente análogo a los antiprismas tridimensionales , que consisten en dos polígonos paralelos unidos por una banda de triángulos . Sin embargo, a diferencia de ellos, el gran antiprisma no es miembro de una familia infinita de politopos uniformes.

Su simetría es el grupo de Coxeter iónico disminuido , [[10,2 ⁺ ,10]], orden 400.

#	Nombre (acrónimo en estilo Bowers)	Imagen	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Células por tipo		Recuento de elementos				Neto
#	Nombre (acrónimo en estilo Bowers)	Imagen	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Células por tipo		Células	Caras	Bordes	Vértices	Neto
47	gran antiprisma (brecha)			Sin símbolo	300 ( 3.3.3 )	20 ( 3.3.3.5 )	320	20 {5} 700 {3}	500	100

Politopos prismáticos uniformes de 4

Un politopo prismático es un producto cartesiano de dos politopos de menor dimensión; ejemplos conocidos son los prismas tridimensionales , que son productos de un polígono y un segmento de línea . Los 4-politopos prismáticos uniformes constan de dos familias infinitas:

Prismas poliédricos : productos de un segmento de recta y un poliedro uniforme. Esta familia es infinita porque incluye prismas construidos sobre prismas y antiprismas tridimensionales .
Duoprismas : productos de dos polígonos.

Prismas poliédricos convexos

La familia más obvia de 4-politopos prismáticos son los prismas poliédricos, es decir, productos de un poliedro con un segmento de línea . Las celdas de estos 4-politopos son dos poliedros uniformes idénticos que se encuentran en hiperplanos paralelos (las celdas de base ) y una capa de prismas que los une (las celdas laterales ). Esta familia incluye prismas para los 75 poliedros uniformes no prismáticos (de los cuales 18 son convexos; uno de ellos, el prisma cúbico, se menciona anteriormente como teseracto ). ^{[ cita requerida ]}

Hay 18 prismas poliédricos convexos creados a partir de 5 sólidos platónicos y 13 sólidos arquimedianos , así como para las infinitas familias de prismas y antiprismas tridimensionales . ^{[ cita requerida ]} El número de simetría de un prisma poliédrico es el doble del del poliedro base.

Prismas tetraédricos: A₃× Un₁

Esta simetría tetraédrica prismática es [3,3,2], orden 48. Hay dos subgrupos de índice 2, [(3,3) ⁺ ,2] y [3,3,2] ⁺ , pero el segundo no genera un 4-politopo uniforme.

[3,3,2] 4-politopos uniformes
#	Nombre (acrónimo en estilo Bowers)	Imagen	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Células por tipo			Recuento de elementos				Neto
#	Nombre (acrónimo en estilo Bowers)	Imagen	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Células por tipo			Células	Caras	Bordes	Vértices	Neto
48	Prisma tetraédrico (tepe)			{3,3}×{ } t _0,3 {3,3,2}	2 3.3.3	4 3.4.4		6	8 {3} 6 {4}	16	8
49	Prisma tetraédrico truncado (tuttip)			t{3,3}×{ } t _0,1,3 {3,3,2}	2 3.6.6	4 3.4.4	4 4.4.6	10	8 {3} 18 {4} 8 {6}	48	24

[[3,3],2] 4-politopos uniformes
#	Nombre (acrónimo en estilo Bowers)	Imagen	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Células por tipo			Recuento de elementos				Neto
#	Nombre (acrónimo en estilo Bowers)	Imagen	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Células por tipo			Células	Caras	Bordes	Vértices	Neto
[51]	Prisma tetraédrico rectificado (igual que el prisma octaédrico ) (ope)			r{3,3}×{ } t _1,3 {3,3,2}	2 3.3.3.3	4 3.4.4		6	16 {3} 12 {4}	30	12
[50]	Prisma tetraédrico cantelado (igual que prisma cuboctaédrico ) (cope)			rr{3,3}×{ } t _0,2,3 {3,3,2}	2 3.4.3.4	8 3.4.4	6 4.4.4	16	16 {3} 36 {4}	60	24
[54]	Prisma tetraédrico truncado (igual que prisma octaédrico truncado ) (topo)			tr{3,3}×{ } t _0,1,2,3 {3,3,2}	2 4.6.6	8 6.4.4	6 4.4.4	16	48 {4} 16 {6}	96	48
[59]	Prisma tetraédrico romo (igual que prisma icosaédrico ) (ipe)			sr{3,3}×{ }	2 3.3.3.3.3	20 3.4.4		22	40 {3} 30 {4}	72	24
No uniforme	Antiprisma tetraédrico omnisnub Antiprisma icosaédrico piritoédrico (pikap)			$s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\2\end{array}}\right\}$	2 3.3.3.3.3	8 3.3.3.3	6+24 3.3.3	40	16+96 {3}	96	24

Prismas octaédricos: B₃× Un₁

Esta familia de simetría octaédrica prismática es [4,3,2], orden 96. Hay 6 subgrupos de índice 2, orden 48 que se expresan en 4-politopos alternados a continuación. Las simetrías son [(4,3) ⁺ ,2], [1 ⁺ ,4,3,2], [4,3,2 ⁺ ], [4,3 ⁺ ,2], [4,(3,2) ⁺ ] y [4,3,2] ⁺ .

#	Nombre (acrónimo en estilo Bowers)	Imagen	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Células por tipo				Recuento de elementos				Neto
#	Nombre (acrónimo en estilo Bowers)	Imagen	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Células por tipo				Células	Caras	Bordes	Vértices	Neto
[10]	Prisma cúbico (Igual que teseracto ) (Igual que duoprisma 4-4 ) (tes)			{4,3}×{ } t _0,3 {4,3,2}	2 4.4.4	6 4.4.4			8	24 {4}	32	16
50	Prisma cuboctaédrico (igual que prisma tetraédrico cantelado ) (cope)			r{4,3}×{ } t _1,3 {4,3,2}	2 3.4.3.4	8 3.4.4	6 4.4.4		16	16 {3} 36 {4}	60	24
51	Prisma octaédrico (Igual que prisma tetraédrico rectificado ) (Igual que prisma antiprismático triangular ) (ope)			{3,4}×{ } t _2,3 {4,3,2}	2 3.3.3.3	8 3.4.4			10	16 {3} 12 {4}	30	12
52	Prisma rombicuboctaédrico (sircope)			rr{4,3}×{ } t _0,2,3 {4,3,2}	2 3.4.4.4	8 3.4.4	18 4.4.4		28	16 {3} 84 {4}	120	48
53	Prisma cúbico truncado (ticcup)			t{4,3}×{ } t _0,1,3 {4,3,2}	2 3.8.8	8 3.4.4	6 4.4.8		16	16 {3} 36 {4} 12 {8}	96	48
54	Prisma octaédrico truncado (igual que prisma tetraédrico cantitruncado ) (topo)			t{3,4}×{ } t _1,2,3 {4,3,2}	2 4.6.6	6 4.4.4	8 4.4.6		16	48 {4} 16 {6}	96	48
55	Prisma cuboctaédrico truncado (giroscopio)			tr{4,3}×{ } t _0,1,2,3 {4,3,2}	2 4.6.8	12 4.4.4	8 4.4.6	6 4.4.8	28	96 {4} 16 {6} 12 {8}	192	96
56	Prisma cúbico romo (sniccup)			sr{4,3}×{ }	2 3.3.3.3.4	32 3.4.4	6 4.4.4		40	64 {3} 72 {4}	144	48
[48]	Prisma tetraédrico (tepe)			h{4,3}×{ }	2 3.3.3	4 3.4.4			6	8 {3} 6 {4}	16	8
[49]	Prisma tetraédrico truncado (tuttip)			h2 { _4,3 }×{ }	2 3.3.6	4 3.4.4	4 4.4.6		6	8 {3} 6 {4}	16	8
[50]	Prisma cuboctaédrico (cope)			rr{3,3}×{ }	2 3.4.3.4	8 3.4.4	6 4.4.4		16	16 {3} 36 {4}	60	24
[52]	Prisma rombicuboctaédrico (sircope)			s ₂ {3,4}×{ }	2 3.4.4.4	8 3.4.4	18 4.4.4		28	16 {3} 84 {4}	120	48
[54]	Prisma octaédrico truncado (topo)			tr{3,3}×{ }	2 4.6.6	6 4.4.4	8 4.4.6		16	48 {4} 16 {6}	96	48
[59]	Prisma icosaédrico (ipe)			s{3,4}×{ }	2 3.3.3.3.3	20 3.4.4			22	40 {3} 30 {4}	72	24
[12]	16 celdas (hexadecimal)			s{2,4,3}	2+6+8 3.3.3.3				16	32 {3}	24	8
No uniforme	Antiprisma tetraédrico omnisnub = Antiprisma icosaédrico piritoédrico (pikap)			sr{2,3,4}	2 3.3.3.3.3	8 3.3.3.3	6+24 3.3.3		40	16+96 {3}	96	24
No uniforme	Hosochoron octaédrico de arista chata Alterprisma piritos chato (pysna)			sr ₃ {2,3,4}	2 3.4.4.4	6 4.4.4	8 3.3.3.3	24 3.4.4	40	16+48 {3} 12+12+24+24 {4}	144	48
No uniforme	Antiprisma cúbico omnisnub Antiprisma cúbico snub (sniccap)			$s\left\{{\begin{array}{l}4\\3\\2\end{array}}\right\}$	2 3.3.3.3.4	12+48 3.3.3	8 3.3.3.3	6 3.3.3.4	76	16+192 {3} 12 {4}	192	48
No uniforme	Hosocorona cúbica chata rúnica Alterprisma tetraédrico truncado (tuta)			y ₃ {2,4,3}	2 3.6.6	6 3.3.3	8 cúpula triangular		16	52	60	24

Prismas icosaédricos: H₃× Un₁

Esta simetría icosaédrica prismática es [5,3,2], orden 240. Hay dos subgrupos de índice 2, [(5,3) ⁺ ,2] y [5,3,2] ⁺ , pero el segundo no genera un policoron uniforme.

#	Nombre (nombre Bowers y acrónimo)	Imagen	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Células por tipo				Recuento de elementos				Neto
#	Nombre (nombre Bowers y acrónimo)	Imagen	Figura de vértice	Diagrama de Coxeter y símbolos de Schläfli	Células por tipo				Células	Caras	Bordes	Vértices	Neto
57	Prisma dodecaédrico (droga)			{5,3}×{ } t _0,3 {5,3,2}	2 5.5.5	12 4.4.5			14	30 {4} 24 {5}	80	40
58	Prisma icosidodecaédrico (iddip)			r{5,3}×{ } t _1,3 {5,3,2}	2 3.5.3.5	20 3.4.4	12 4.4.5		34	40 {3} 60 {4} 24 {5}	150	60
59	Prisma icosaédrico (igual que prisma tetraédrico chato ) (ipe)			{3,5}×{ } t _2,3 {5,3,2}	2 3.3.3.3.3	20 3.4.4			22	40 {3} 30 {4}	72	24
60	Prisma dodecaédrico truncado (tiddip)			t{5,3}×{ } t _0,1,3 {5,3,2}	2 3.10.10	20 3.4.4	12 4.4.10		34	40 {3} 90 {4} 24 {10}	240	120
61	Prisma rombicosidodecaédrico (sriddip)			rr{5,3}×{ } t _0,2,3 {5,3,2}	2 3.4.5.4	20 3.4.4	30 4.4.4	12 4.4.5	64	40 {3} 180 {4} 24 {5}	300	120
62	Prisma icosaédrico truncado (tipo)			t{3,5}×{ } t _1,2,3 {5,3,2}	2 5.6.6	12 4.4.5	20 4.4.6		34	90 {4} 24 {5} 40 {6}	240	120
63	Prisma icosidodecaédrico truncado (griddip)			tr{5,3}×{ } t _0,1,2,3 {5,3,2}	2 4.6.10	30 4.4.4	20 4.4.6	12 4.4.10	64	240 {4} 40 {6} 24 {10}	480	240
64	Prisma dodecaédrico chato (sniddip)			sr{5,3}×{ }	2 3.3.3.3.5	80 3.4.4	12 4.4.5		94	160 {3} 150 {4} 24 {5}	360	120
No uniforme	Antiprisma dodecaédrico omnisnub Antiprisma dodecaédrico snub (sniddap)			$s\left\{{\begin{array}{l}5\\3\\2\end{array}}\right\}$	2 3.3.3.3.5	30+120 3.3.3	20 3.3.3.3	12 3.3.3.5	184	20+240 {3} 24 {5}	220	120

Duoprismas: [p] × [q]

La segunda es la familia infinita de duoprismas uniformes , productos de dos polígonos regulares . El diagrama de Coxeter-Dynkin de un duoprisma esSu figura de vértice es un tetraedro difenoide ..

Esta familia se superpone con la primera: cuando uno de los dos polígonos "factoriales" es un cuadrado, el producto es equivalente a un hiperprisma cuya base es un prisma tridimensional. El número de simetría de un duoprisma cuyos factores son un p -gono y un q -gono (un " p,q -duoprisma") es 4 pq si p ≠ q ; si los factores son ambos p -gonos, el número de simetría es 8 p ² . El teseracto también puede considerarse un 4,4-duoprisma.

El vector f extendido de { p }×{ q } es ( p , p ,1)*( q , q ,1) = ( pq ,2 pq , pq + p + q , p + q ).

Células: prismas p q -gonales, prismas q p -gonales
Caras: pq cuadrados, p q -gonos, q p -gonos
Bordes: 2pq
Vértices: pq

No existe un análogo uniforme en cuatro dimensiones para la familia infinita de antiprismas tridimensionales .

Conjunto infinito de duoprismas pq -- prismas p q -gonales, prismas q p -gonales:

Nombre	Gráfico de Coxeter	Células	Imágenes	Neto
Duoprisma 3-3 (triddip)		3+3 prismas triangulares
3-4 duoprisma (tisdip)		3 cubos 4 prismas triangulares
Duoprisma 4-4 (tes) (igual que teseracto)		4+4 cubos
3-5 duoprisma (trapedipo)		3 prismas pentagonales 5 prismas triangulares
4-5 duoprisma (squipdip)		4 prismas pentagonales 5 cubos
5-5 duoprisma (pedip)		Prismas pentagonales 5+5
3-6 duoprisma (thiddip)		3 prismas hexagonales 6 prismas triangulares
4-6 duoprisma (shiddip)		4 prismas hexagonales 6 cubos
5-6 duoprisma (phiddip)		5 prismas hexagonales 6 prismas pentagonales
Duoprisma 6-6 (hiddip)		6+6 prismas hexagonales

3-3	3-4	3-5	3-6	3-7	3-8
4-3	4-4	4-5	4-6	4-7	4-8
5-3	5-4	5-5	5-6	5-7	5-8
6-3	6-4	6-5	6-6	6-7	6-8
7-3	7-4	7-5	7-6	7-7	7-8
8-3	8-4	8-5	8-6	8-7	8-8

Son posibles alteraciones.=da la familia de duoantiprismas , pero generalmente no se pueden hacer uniformes. p=q=2 es el único caso convexo que se puede hacer uniforme, dando las 16 celdas regulares. p=5, q=5/3 es el único caso no convexo que se puede hacer uniforme, dando el llamado gran duoantiprisma .da el prismantiprismoide p-2q-gonal (una alternancia de aristas del duoprisma 2p-4q), pero esto no se puede hacer uniforme en ningún caso. ^[20]

Prismas prismáticos poligonales: [p] × [ ] × [ ]

El conjunto infinito de prismas prismáticos uniformes se superpone con los duoprismas 4-p: (p≥3) -- p cubos y 4 prismas p -gonales - (Todos son iguales al duoprisma 4-p ) El segundo politopo de la serie es una simetría inferior del teseracto regular , {4}×{4}.

Prismas prismáticos p -gonales convexos
Nombre	{3}×{4}	{4}×{4}	{5}×{4}	{6}×{4}	{7}×{4}	{8}×{4}	{p}×{4}
Diagramas de Coxeter
Imagen
Células	3 {4}×{} 4 {3}×{}	4 {4}×{} 4 {4}×{}	5 {4}×{} 4 {5}×{}	6 {4}×{} 4 {6}×{}	7 {4}×{} 4 {7}×{}	8 {4}×{} 4 {8}×{}	p {4}×{} 4 {p}×{}
Neto

Prismas antiprismáticos poligonales: [p] × [ ] × [ ]

Los conjuntos infinitos de prismas antiprismáticos uniformes se construyen a partir de dos antiprismas uniformes paralelos ): (p≥2) -- 2 antiprismas p -gonales, conectados por 2 prismas p -gonales y 2 prismas triangulares p.

Prismas antiprismáticos p -gonales convexos
Nombre	s{2,2}×{}	s{2,3}×{}	s{2,4}×{}	s{2,5}×{}	s{2,6}×{}	s{2,7}×{}	s{2,8}×{}	s{2,p}×{}
Diagrama de Coxeter
Imagen
Figura de vértice
Células	2 s{2,2} (2) {2}×{}= {4} 4 {3}×{}	2 s{2,3} 2 {3}×{} 6 {3}×{}	2 s{2,4} 2 {4}×{} 8 {3}×{}	2 s{2,5} 2 {5}×{} 10 {3}×{}	2 s{2,6} 2 {6}×{} 12 {3}×{}	2 s{2,7} 2 {7}×{} 14 {3}×{}	2 s{2,8} 2 {8}×{} 16 {3}×{}	2 s{2,p} 2 {p}×{} 2 p {3}×{}
Neto

Un prisma antiprismático p-gonal tiene 4 caras p -triángulo, 4 caras p -cuadradas y 4 caras p-gonales. Tiene 10 caras p y 4 caras p -vértices.

Alternancias no uniformes

Coxeter mostró solo dos soluciones uniformes para grupos de Coxeter de rango 4 con todos los anillos alternados (mostrados con nodos circulares vacíos). La primera es, s{2 ^1,1,1 } que representaba una forma de subgrupo de índice 24 ( simetría [2,2,2] ⁺ , orden 8) del semiteseracto ,, h{4,3,3} (simetría [1 ⁺ ,4,3,3] = [3 ^1,1,1 ], orden 192). El segundo es, s{3 ^1,1,1 }, que es una forma de subgrupo de índice 6 (simetría [3 ^1,1,1 ] ⁺ , orden 96) del snub de 24 celdas ,, s{3,4,3}, (simetría [3 ⁺ ,4,3], orden 576).

Otras alternancias, como, como una alternancia del teseracto omnitruncado , no se pueden hacer uniformes ya que la resolución de longitudes de aristas iguales está en general sobredeterminada (hay seis ecuaciones pero solo cuatro variables). Tales figuras alternadas no uniformes se pueden construir como 4-politopos transitivos de vértice mediante la eliminación de uno de los dos medios conjuntos de vértices de la figura anillada completa, pero tendrán longitudes de arista desiguales. Al igual que las alternancias uniformes, tendrán la mitad de la simetría de la figura uniforme, como [4,3,3] ⁺ , orden 192, es la simetría del teseracto omnitruncado alternado . ^[21]

Las construcciones de Wythoff con alternancias producen figuras transitivas de vértices que pueden hacerse equiláteras, pero no uniformes porque los huecos alternados (alrededor de los vértices eliminados) crean celdas que no son regulares ni semirregulares. Un nombre propuesto para tales figuras es politopos escaliformes . ^[22] Esta categoría permite un subconjunto de sólidos de Johnson como celdas, por ejemplo, la cúpula triangular .

Cada configuración de vértice dentro de un sólido de Johnson debe existir dentro de la figura de vértice. Por ejemplo, una pirámide cuadrada tiene dos configuraciones de vértice: 3.3.4 alrededor de la base y 3.3.3.3 en el vértice.

A continuación se muestran las redes y las figuras de vértices de los cuatro casos equiláteros convexos, junto con una lista de celdas alrededor de cada vértice.

Cuatro 4-politopos equiláteros transitivos de vértice convexos con celdas no uniformes
Diagrama de Coxeter	y ₃ {2,4,3},	y ₃ {3,4,3},	Otros
Relación	24 de los 48 vértices del prisma rombicuboctaédrico	288 de 576 vértices de 24 celdas truncadas	72 de 120 vértices de 600 celdas	600 de 720 vértices de 600 celdas rectificadas
Proyección				Dos anillos de pirámides
Neto	hosochoron cúbico chato rúnico ^[23]^[24]	Runcic snub de 24 celdas ^[25]^[26]	^[27]^[28]^[29]	^[30]^[31]
Células
Figura de vértice	(1) 3.4.3.4: cúpula triangular (2) 3.4.6: cúpula triangular (1) 3.3.3: tetraedro (1) 3.6.6: tetraedro truncado	(1) 3.4.3.4: cúpula triangular (2) 3.4.6: cúpula triangular (2) 3.4.4: prisma triangular (1) 3.6.6: tetraedro truncado (1) 3.3.3.3: icosaedro	(2) 3.3.3.5: icosaedro tridisminuido (4) 3.5.5: icosaedro tridisminuido	(1) 3.3.3.3: pirámide cuadrada (4) 3.3.4: pirámide cuadrada (2) 4.4.5: prisma pentagonal (2) 3.3.3.5 antiprisma pentagonal

Derivaciones geométricas para 46 policoras uniformes wythoffianas no prismáticas

Los 46 4-politopos de Wythoff incluyen los seis 4-politopos regulares convexos . Los otros cuarenta pueden derivarse de los policoros regulares mediante operaciones geométricas que preservan la mayoría o la totalidad de sus simetrías y, por lo tanto, pueden clasificarse por los grupos de simetría que tienen en común.

Cuadro resumen de operaciones de truncamiento	Ejemplos de ubicaciones del punto generador caleidoscópico en el dominio fundamental.

Las operaciones geométricas que derivan los 40 4-politopos uniformes a partir de los 4-politopos regulares son operaciones de truncamiento . Un 4-politopo puede truncarse en los vértices, aristas o caras, lo que lleva a la adición de celdas correspondientes a esos elementos, como se muestra en las columnas de las tablas siguientes.

El diagrama de Coxeter-Dynkin muestra los cuatro espejos del caleidoscopio de Wythoff como nodos, y los bordes entre los nodos están etiquetados con un número entero que muestra el ángulo entre los espejos ( π / n radianes o 180 / n grados). Los nodos en círculos muestran qué espejos están activos para cada forma; un espejo está activo con respecto a un vértice que no se encuentra sobre él.

Operación	Símbolo de Schläfli	Simetría	Descripción
Padre	t ₀ {p, q, r}	[p,q,r]	Forma regular original {p,q,r}
Rectificación	t1 {p,q,r _}		Operación de truncamiento aplicada hasta que los bordes originales se degeneran en puntos.
Birectificación (Rectificación dual)	t2 {p, _q ,r}		Las caras están completamente truncadas en puntos. Igual que el dual rectificado.
Trirectificación ( doble )	t3 {p,q,r _}		Las celdas se truncan en puntos. Dual regular {r,q,p}
Truncamiento	t _0,1 {p,q,r}		Cada vértice se corta de modo que se conserva el centro de cada arista original. En el lugar donde estaba el vértice aparece una nueva celda, la figura del vértice original . Cada celda original se trunca igualmente.
Truncamiento de bits	t _1,2 {p,q,r}		Un truncamiento entre una forma rectificada y la forma rectificada dual.
Tritruncamiento	t2,3 {p, _q ,r}		Dual truncado {r,q,p}.
Cantelacion	t _0,2 {p,q,r}		Un truncamiento aplicado a aristas y vértices y define una progresión entre la forma regular y la forma rectificada dual.
Bicantelación	t _1,3 {p,q,r}		Dual cantelado {r,q,p}.
Runcinación (o expansión )	t _0,3 {p,q,r}		Un truncamiento aplicado a las celdas, caras y aristas; define una progresión entre una forma regular y la dual.
Cantitruncación	t _0,1,2 {p,q,r}		Las operaciones de cantelación y truncamiento se aplican juntas.
Bicantitruncación	t _1,2,3 {p,q,r}		Cantitruncado dual {r,q,p}.
Runcitruncamiento	t _0,1,3 {p,q,r}		Las operaciones de truncamiento y ejecución se aplican juntas.
Antología de runcicantes	t _0,2,3 {p,q,r}		Runcitruncado dual {r,q,p}.
Omnitruncamiento (antitruncamiento runcic)	t _0,1,2,3 {p,q,r}		Aplicación de los tres operadores.
Medio	h{2p,3,q}	[1 ⁺ ,2p,3,q] =[(3,p,3),q]	Alternancia de, lo mismo que
Cántico	h2 {2p,3 _, q}		Lo mismo que
Rúnico	h3 {2p, ₃ ,q}		Lo mismo que
Runcicantico	h2,3 {2p, ₃ ,q}		Lo mismo que
Cuarto	q{2p,3,2q}	[1 ⁺ ,2p,3,2q,1 ⁺ ]	Lo mismo que
Desaire	s{p,2q,r}	[p ⁺ ,2q,r]	Truncamiento alterno
Desaire cántico	s ₂ {p, 2q, r}		Truncamiento alternado cantelado
Desaire de Runcic	s ₃ {p,2q,r}		Truncamiento alternado runcinado
Desaire runcicantico	s _2,3 {p,2q,r}		Truncamiento alternado runcicantelado
Snub rectificado	sr{p,q,2r}	[(p,q) ⁺ ,2r]	Rectificación truncada alternada
	alto _0,3 {2p,q,2r}	[(2p,q,2r,2 ⁺ )]	Runcinación alternada
Bisnub	2s{2p,q,2r}	[2p,q ⁺ ,2r]	Truncamiento de bits alternado
Omnisnub	alto _0,1,2,3 {p,q,r}	[p,q,r] ⁺	Truncamiento omnialterno alternado

Véase también los panales uniformes convexos , algunos de los cuales ilustran estas operaciones aplicadas al panal cúbico regular .

Si dos politopos son duales entre sí (como el teseracto y el de 16 celdas, o el de 120 celdas y el de 600 celdas), entonces bitruncating , runcinating u omnitruncating producen la misma figura que la misma operación en el otro. Por lo tanto, cuando solo aparece el participio en la tabla, debe entenderse que se aplica a cualquiera de los padres.

Resumen de construcciones por simetría extendida

Las 46 policoras uniformes construidas a partir de la simetría A ₄ , B ₄ , F ₄ , H ₄ se dan en esta tabla por su simetría extendida completa y diagramas de Coxeter. También se incluye la simetría D ₄ , aunque solo crea duplicados. Las alternancias se agrupan por su simetría quiral. Se dan todas las alternancias, aunque la de 24 celdas chata , con sus 3 construcciones de diferentes familias, es la única que es uniforme. Los recuentos entre paréntesis son repeticiones o no uniformes. Los diagramas de Coxeter se dan con índices de subíndice del 1 al 46. Se incluye la familia duoprismática 3-3 y 4-4, la segunda por su relación con la familia B ₄ .

Grupo Coxeter	Simetría extendida	Policora		Simetría extendida quiral	Panales de alternancia
[3,3,3]	[3,3,3] (orden 120)	6	₍₁₎ \|₍₂₎ \|₍₃₎ ₍₄₎ \|₍₇₎ \|₍₈₎
[3,3,3]	[2 ⁺ [3,3,3]] (orden 240)	3	₍₅₎ \|₍₆₎ \|₍₉₎	[2 ⁺ [3,3,3]] ⁺ (orden 120)	(1)	₍₋₎
[3,3 ^1,1 ]	[3,3 ^1,1 ] (orden 192)	0	(ninguno)
	[1[3,3 ^1,1 ]]=[4,3,3] = (orden 384)	(4)	₍₁₂₎ \|₍₁₇₎ \|₍₁₁₎ \|₍₁₆₎
	[3[3 ^1,1,1 ]]=[3,4,3] = (Orden 1152)	(3)	₍₂₂₎ \|₍₂₃₎ \|₍₂₄₎	[3[3,3 ^1,1 ]] ⁺ =[3,4,3] ⁺ (orden 576)	(1)	₍₃₁₎ (=) ₍₋₎
[4,3,3]	[3[1 ⁺ ,4,3,3]]=[3,4,3] = (Orden 1152)	(3)	₍₂₂₎ \|₍₂₃₎ \|₍₂₄₎
	[4,3,3] (orden 384)	12	₍₁₀₎ \|₍₁₁₎ \|₍₁₂₎ \|₍₁₃₎ \|₍₁₄₎ ₍₁₅₎ \|₍₁₆₎ \|₍₁₇₎ \|₍₁₈₎ \|₍₁₉₎ ₍₂₀₎ \|₍₂₁₎	[1 ⁺ ,4,3,3] ⁺ (orden 96)	(2)	₍₁₂₎ (=) ₍₃₁₎ ₍₋₎
	[4,3,3] (orden 384)	12		[4,3,3] ⁺ (orden 192)	(1)	₍₋₎
[3,4,3]	[3,4,3] (Orden 1152)	6	₍₂₂₎ \|₍₂₃₎ \|₍₂₄₎ ₍₂₅₎ \|₍₂₈₎ \|₍₂₉₎	[2 ⁺ [3 ⁺ ,4,3 ⁺ ]] (orden 576)	1	₍₃₁₎
[3,4,3]	[2 ⁺ [3,4,3]] (orden 2304)	3	₍₂₆₎ \|₍₂₇₎ \|₍₃₀₎	[2 ⁺ [3,4,3]] ⁺ (orden 1152)	(1)	₍₋₎
[5,3,3]	[5,3,3] (orden 14400)	15	₍₃₂₎ \|₍₃₃₎ \|₍₃₄₎ \|₍₃₅₎ \|₍₃₆₎ ₍₃₇₎ \|₍₃₈₎ \|₍₃₉₎ \|₍₄₀₎ \|₍₄₁₎ ₍₄₂₎ \|₍₄₃₎ \|₍₄₄₎ \|₍₄₅₎ \|₍₄₆₎	[5,3,3] ⁺ (orden 7200)	(1)	₍₋₎
[3,2,3]	[3,2,3] (orden 36)	0	(ninguno)	[3,2,3] ⁺ (orden 18)	0	(ninguno)
	[2 ⁺ [3,2,3]] (orden 72)	0		[2 ⁺ [3,2,3]] ⁺ (orden 36)	0	(ninguno)
	[[3],2,3]=[6,2,3] = (orden 72)	1		[1[3,2,3]]=[[3],2,3] ⁺ =[6,2,3] ⁺ (orden 36)	(1)
	[(2 ⁺ ,4)[3,2,3]]=[2 ⁺ [6,2,6]] = (orden 288)	1		[(2 ⁺ ,4)[3,2,3]] ⁺ =[2 ⁺ [6,2,6]] ⁺ (orden 144)	(1)
[4,2,4]	[4,2,4] (orden 64)	0	(ninguno)	[4,2,4] ⁺ (orden 32)	0	(ninguno)
	[2 ⁺ [4,2,4]] (orden 128)	0	(ninguno)	[2 ⁺ [(4,2 ⁺ ,4,2 ⁺ )]] (orden 64)	0	(ninguno)
	[(3,3)[4,2*,4]]=[4,3,3] = (orden 384)	(1)	₍₁₀₎	[(3,3)[4,2*,4]] ⁺ =[4,3,3] ⁺ (orden 192)	(1)	₍₁₂₎
	[[4],2,4]=[8,2,4] = (orden 128)	(1)		[1[4,2,4]]=[[4],2,4] ⁺ =[8,2,4] ⁺ (orden 64)	(1)
	[(2 ⁺ ,4)[4,2,4]]=[2 ⁺ [8,2,8]] = (orden 512)	(1)		[(2 ⁺ ,4)[4,2,4]] ⁺ =[2 ⁺ [8,2,8]] ⁺ (orden 256)	(1)

Policora estrellada uniforme

Además de las familias de prismas de duoprismas y antiprismas infinitos antes mencionadas, que tienen infinitos miembros no convexos, se han descubierto muchas policoras estelares uniformes. En 1852, Ludwig Schläfli descubrió cuatro policoras estelares regulares : {5,3,5/2}, {5/2,3,5}, {3,3,5/2} y {5/2,3,3}. En 1883, Edmund Hess descubrió las otras seis: {3,5,5/2}, {5/2,5,3}, {5,5/2,5}, {5/2,5,5/2}, {5,5/2,3} y {3,5/2,5}. Norman Johnson describió tres policoras estelares uniformes de tipo antiprisma en su tesis doctoral de 1966: se basan en los tres poliedros ditrigonales que comparten las aristas y los vértices del dodecaedro regular. Desde entonces, otros investigadores, entre ellos Jonathan Bowers y George Olshevsky, han descubierto muchas más, con lo que se ha llegado a un total de 2127 policoros estelares uniformes conocidos en la actualidad (sin contar el conjunto infinito de duoprismas basados en polígonos estelares). Actualmente no hay ninguna prueba de que el conjunto esté completo.

Véase también

Poliedros oblicuos regulares finitos del espacio 4
Panal uniforme convexo : 4-politopos infinitos relacionados en el espacio tridimensional euclidiano.
Panales convexos uniformes en el espacio hiperbólico : 4-politopos infinitos relacionados en el 3-espacio hiperbólico.
Panales uniformes paracompactos

Referencias

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A. Boole Stott : Deducción geométrica de politopos semirregulares a partir de regulares y rellenos espaciales , Verhandelingen de la unidad de ancho van Wetenschappen de la Koninklijke academy Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
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Elte, EL (1912), Los politopos semirregulares de los hiperespacios , Groningen: Universidad de Groningen, ISBN 1-4181-7968-XLos politopos semirregulares de los hiperespacios. Los politopos semirregulares de los hiperespacios.
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John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26)
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Enlaces externos

Politopos convexos uniformes de 4 elementos
- Politopos uniformes y convexos en cuatro dimensiones, Marco Möller (en alemán) . Incluye nombres alternativos para estas figuras, incluidos los de Jonathan Bowers, George Olshevsky y Norman Johnson.
- Politopos convexos regulares y semirregulares: breve reseña histórica
- Applets Java3D con fuentes
Politopos cuatripartitos uniformes no convexos
- Policora uniforme de Jonathan Bowers
- Stella4D Stella (software) produce vistas interactivas de policoras uniformes conocidas, incluidas las 64 formas convexas y las infinitas familias prismáticas.
Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 4D".
Politopos 4D y sus politopos duales del grupo Coxeter W(A4) representados por cuaterniones Revista internacional de métodos geométricos en física moderna, vol. 9, núm. 4 (2012) Mehmet Koca, Nazife Ozdes Koca, Mudhahir Al-Ajmi (2012) [2]

en a mi Politopos fundamentales convexos regulares y uniformes en dimensiones 2–10
Familia	Un	Bn	Yo ₂ (p) / D _n	Mi ₆ / Mi ₇ / Mi ₈ / Fa ₄ / Sol ₂	H- _n
Polígono regular	Triángulo	Cuadrado	p-gon	Hexágono	Pentágono
Poliedro uniforme	Tetraedro	Octaedro • Cubo	Semicubo		Dodecaedro • Icosaedro
Policoron uniforme	Pentachoron	16 celdas • Tesseract	Acto de Demitesseract	24 celdas	120 celdas • 600 celdas
Politopo 5 uniforme	5-símplex	5-ortoplex • 5-cubo	5-demicubes
Politopo uniforme de 6 elementos	6-símplex	6-ortoplex • 6-cubo	6-demicubes	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Politopo 7 uniforme	7-símplex	7-ortoplex • 7-cubo	7-demicube	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Politopo 8 uniforme	8-símplex	8-ortoplex • 8-cubo	8-demicubes	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Politopo uniforme de 9 elementos	9-símplex	9-ortoplex • 9-cubo	9-demicubes
Politopo uniforme de 10	10-símplex	10-ortoplex • 10-cubo	10-demicubes
Politopo uniforme n	n - símplex	n - ortoplex • n - cubo	n - demicubo	1 _k2 • 2 _k1 • k21	n - politopo pentagonal
Temas: Familias de politopos • Politopo regular • Lista de politopos regulares y compuestos

[1] NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11.1 Politopos y panales , pág. 224

[2] T. Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900

[3] "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 29 de diciembre de 2009. Consultado el 13 de agosto de 2010 .{{cite web}}: CS1 maint: copia archivada como título ( enlace )

[4] Elte (1912)

[5] Politopos uniformes en cuatro dimensiones 6 de diciembre de 1998 archivo más antiguo

[6] El libro universal de las matemáticas: del Abracadabra a las paradojas de Zenón Por David Darling, (2004) ASIN: B00SB4TU58

[polychoric_groups-7] Johnson (2015), Capítulo 11, sección 11.5 Grupos esféricos de Coxeter, 11.5.5 Grupos policóricos completos

[8] Polítopos uniformes en cuatro dimensiones, George Olshevsky.

[9] Möller, Marco (2004). Vierdimensionale Archimedische Polytope (PDF) (Tesis doctoral) (en alemán). Universidad de Hamburgo.

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[29] El Bi-icositetradisminuyó 600 células

[30] "spidrox". bendwavy.org . Consultado el 11 de noviembre de 2023 .

[31] Categoría S4: Prismas en espiral escaliformes spidrox

3-3	3-4	3-5	3-6	3-7	3-8
4-3	4-4	4-5	4-6	4-7	4-8
5-3	5-4	5-5	5-6	5-7	5-8
6-3	6-4	6-5	6-6	6-7	6-8
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