Politopo regular

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Ejemplos de politopos regulares

Un pentágono regular es un polígono , un politopo bidimensional con 5 aristas , representado por el símbolo de Schläfli {5}.	Un dodecaedro regular es un poliedro , un politopo tridimensional, con 12 caras pentagonales , representado por el símbolo de Schläfli {5,3}.
Un policoro regular de 120 celdas es un policoro , un politopo de cuatro dimensiones, con 120 celdas dodecaédricas , representado por el símbolo de Schläfli {5,3,3}. (mostrado aquí como un diagrama de Schlegel )	Un panal cúbico regular es una teselación , un politopo infinito, representado por el símbolo de Schläfli {4,3,4}.
Los 256 vértices y 1024 aristas de un cubo de 8 pueden mostrarse en esta proyección ortogonal ( polígono de Petrie )

En matemáticas , un politopo regular es un politopo cuyo grupo de simetría actúa transitivamente sobre sus banderas , lo que le confiere el mayor grado de simetría. En particular, todos sus elementos o j -caras (para todo 0 ≤ j ≤ n , donde n es la dimensión del politopo) —celdas, caras, etc.— también son transitivos sobre las simetrías del politopo, y son en sí mismos politopos regulares de dimensión j ≤ n .

Los politopos regulares son el análogo generalizado en cualquier número de dimensiones de los polígonos regulares (por ejemplo, el cuadrado o el pentágono regular) y los poliedros regulares (por ejemplo, el cubo ). La fuerte simetría de los politopos regulares les confiere una calidad estética que interesa tanto a los matemáticos como a los no matemáticos.

Clásicamente, un politopo regular en n dimensiones puede definirse como aquel que tiene facetas regulares ( [ n –1] -caras) y figuras de vértices regulares . Estas dos condiciones son suficientes para garantizar que todas las caras y todos los vértices sean iguales. Sin embargo, tenga en cuenta que esta definición no funciona para politopos abstractos .

Un politopo regular se puede representar mediante un símbolo Schläfli de la forma {a, b, c, ..., y, z}, con facetas regulares como {a, b, c, ..., y}, y figuras de vértice regulares como {b, c, ..., y, z}.

Los politopos regulares se clasifican principalmente según su dimensión.

Existen tres clases de politopos regulares en cada dimensión:

• Simplex regular
• Medir politopo (Hipercubo)
• Politopo cruzado (Ortoplex)

Se dice que cualquier otro politopo regular es excepcional.

En una dimensión , el segmento de línea sirve simultáneamente como 1-símplex, 1-hipercubo y 1-ortoplex.

En dos dimensiones , hay infinitos polígonos regulares , a saber, el polígono regular de n lados para n ≥ 3. El triángulo es el 2-símplex. El cuadrado es tanto el 2-hipercubo como el 2-ortoplex. Los polígonos de n lados para n ≥ 5 son excepcionales.

En tres y cuatro dimensiones , hay varios poliedros regulares y 4-politopos más excepcionales .

En cinco dimensiones y superiores, el símplex, el hipercubo y el ortoplex son los únicos politopos regulares. No existen politopos regulares excepcionales en estas dimensiones.

Véase también la lista de politopos regulares .

Los politopos regulares pueden clasificarse además según su simetría . Por ejemplo, el cubo y el octaedro regular comparten la misma simetría, al igual que el dodecaedro y el icosaedro regulares . Dos politopos regulares distintos con la misma simetría son duales entre sí. De hecho, los grupos de simetría a veces reciben el nombre de politopos regulares, por ejemplo, las simetrías tetraédrica e icosaédrica .

La idea de politopo se generaliza a veces para incluir tipos relacionados de objetos geométricos. Algunos de ellos tienen ejemplos habituales, como se analiza en la sección sobre descubrimientos históricos que aparece a continuación.

Ludwig Schläfli desarrolló una representación simbólica concisa para los politopos regulares en el siglo XIX, y una forma ligeramente modificada se ha convertido en estándar. La notación se explica mejor añadiendo una dimensión a la vez.

• Un polígono regular convexo que tiene n lados se denota por { n }. Por lo tanto, un triángulo equilátero es {3}, un cuadrado {4}, y así sucesivamente indefinidamente. Un polígono regular en forma de estrella de n lados que gira m veces alrededor de su centro se denota por el valor fraccionario { n / m }, donde n y m son coprimos , por lo que un pentagrama regular es {5/2}.
• Un poliedro regular que tiene caras { n } con p caras que se unen alrededor de un vértice se denota por { n , p }. Los nueve poliedros regulares son {3, 3} {3, 4} {4, 3} {3, 5} {5, 3} {3, 5/2} {5/2, 3} {5, 5/2} y {5/2, 5}. { p } es la figura del vértice del poliedro.
• Un politopo cuadridimensional regular que tiene celdas { n , p } con q celdas unidas alrededor de una arista se denota por { n , p , q }. La figura del vértice del politopo cuadridimensional es { p , q }.
• Un 5-politopo regular es un { n , p , q , r }. Y así sucesivamente.

El dual de un politopo regular es también un politopo regular. El símbolo de Schläfli para el politopo dual es simplemente el símbolo original escrito al revés: {3, 3} es autodual, {3, 4} es dual a {4, 3}, {4, 3, 3} a {3, 3, 4} y así sucesivamente.

La figura del vértice de un politopo regular es el dual de la faceta del politopo dual. Por ejemplo, la figura del vértice de {3, 3, 4} es {3, 4}, cuyo dual es {4, 3}, una celda de {4, 3, 3}.

Los politopos de medida y cruz en cualquier dimensión son duales entre sí.

Si el símbolo de Schläfli es palindrómico , es decir, se lee igual de adelante hacia atrás, entonces el poliedro es autodual. Los politopos regulares autoduales son:

• Todos los polígonos regulares , {a}.
• Todos los n - símplex regulares , {3,3,...,3}
• Las 24 celdas regulares en 4 dimensiones, {3,4,3}.
• La gran estrella de 120 celdas ({5,5/2,5}) y la gran estrella de 120 celdas ({5/2,5,5/2}) en 4 dimensiones.
• Todos los panales cúbicos regulares de dimensión n , {4,3,...,3,4}, pueden considerarse politopos infinitos.
• Teselación hiperbólica y panales de abeja (teselación {p,p} con p>4 en 2 dimensiones, { 4,4,4} , { 5,3,5 } , {3,5,3} , {6,3,6} y {3,6,3} en 3 dimensiones, { 5,3,3,5} en 4 dimensiones y {3,3,4,3,3} en 5 dimensiones).

Gráficas del 1-simplex al 4-simplex.

Segmento de línea	Triángulo	Tetraedro	Pentachoron

Comience con un punto A. Marque el punto B a una distancia r de él y únalos para formar un segmento de línea . Marque el punto C en una segunda dimensión ortogonal a una distancia r de ambos y únalos con A y B para formar un triángulo equilátero . Marque el punto D en una tercera dimensión ortogonal a una distancia r de los tres y únalos para formar un tetraedro regular . Y así sucesivamente para dimensiones superiores.

Estos son los simples o símplex regulares . Sus nombres son, en orden de dimensión:

0. Punto

1. Segmento de línea

2. Triángulo equilátero (trígono regular)

3. Tetraedro regular

4. Pentacoron regular o 4-símplex

5. Hexaterón regular o 5-símplex

... Un n -símplex tiene n +1 vértices.

Gráficas del 2-cubo al 4-cubo.

Cuadrado	Cubo	Teseracto

Comience con un punto A. Prolongue una línea hasta el punto B a una distancia r y únala para formar un segmento de línea. Prolongue una segunda línea de longitud r , ortogonal a AB , desde B hasta C , y de la misma manera desde A hasta D , para formar un cuadrado ABCD . Prolongue líneas de longitud r respectivamente desde cada esquina, ortogonales tanto a AB como a BC (es decir, hacia arriba). Marque nuevos puntos E , F , G , H para formar el cubo ABCDEFGH . Y así sucesivamente para dimensiones mayores.

Estos son los politopos de medida o hipercubos . Sus nombres son, en orden de dimensión:

0. Punto

1. Segmento de línea

2. Cuadrado (tetrágono regular)

3. Cubo (hexaedro regular)

4. Teseracto (octacoron regular) o 4-cubo

5. Penteract (decaterón regular) o 5 cubos

... Un n -cubo tiene 2 ⁿ vértices.

Gráficas del 2-ortoplex al 4-ortoplex.

Cuadrado	Octaedro	16 celdas

Comienza con un punto O. Extiende una línea en direcciones opuestas a los puntos A y B a una distancia r de O y 2 r de distancia. Dibuja una línea COD de longitud 2 r , centrada en O y ortogonal a AB . Une los extremos para formar un cuadrado ACBD . Dibuja una línea EOF de la misma longitud y centrada en 'O', ortogonal a AB y CD (es decir, hacia arriba y hacia abajo). Une los extremos al cuadrado para formar un octaedro regular . Y así sucesivamente para dimensiones mayores.

Estos son los politopos cruzados u ortoplexos . Sus nombres son, en orden de dimensionalidad:

0. Punto

1. Segmento de línea

2. Cuadrado (tetrágono regular)

3. Octaedro regular

4. Hexadecacoron regular ( 16 células ) o 4-ortoplex

5. Triacontakaiditaron regular ( Pentacross ) o 5-ortoplex

... Un n -ortoplex tiene 2n vértices.

Los politopos regulares se pueden clasificar por su grupo de isometría . Estos son grupos de Coxeter finitos , pero no todos los grupos de Coxeter finitos pueden realizarse como el grupo de isometría de un politopo regular. Los politopos regulares están en biyección con grupos de Coxeter con diagrama de Coxeter-Dynkin lineal (sin punto de ramificación) y una numeración creciente de los nodos. Invirtiendo la numeración se obtiene el politopo dual.

La clasificación de los grupos de Coxeter finitos, que se remonta a (Coxeter 1935), implica por tanto la clasificación de los politopos regulares:

• El tipo , el grupo simétrico, da el símplex regular ,$Estilo de visualización A_{n}$
• El tipo , da el politopo de medida y el politopo cruzado (ambos se pueden distinguir por la numeración creciente de los nodos del diagrama de Coxeter-Dynkin),$Estilo de visualización B_{n}$
• Los tipos excepcionales dan los polígonos regulares (con ),$Estilo de visualización I_{2}(n)}$${\displaystyle n=3,4,...}$
• El tipo excepcional lo constituyen el dodecaedro regular y el icosaedro (de nuevo la numeración permite distinguirlos),$Estilo de visualización H3$
• El tipo excepcional ofrece el modelo de 120 celdas y el de 600 celdas .$Estilo de visualización H_{4}$
• El tipo excepcional es el de 24 celdas , que es autodual.$Estilo de visualización F_{4}$

La biyección entre politopos regulares y grupos de Coxeter con diagrama lineal de Coxeter-Dynkin se puede entender de la siguiente manera. Considere un politopo regular de dimensión y tome su subdivisión baricéntrica . El dominio fundamental de la acción del grupo de isometría sobre está dado por cualquier símplex en la subdivisión baricéntrica. El símplex tiene vértices que pueden numerarse de 0 a por la dimensión de la cara correspondiente de (la cara de la que son el baricentro). El grupo de isometría de se genera por las reflexiones alrededor de los hiperplanos de que contienen el número de vértice (ya que el baricentro de todo el politopo está fijado por cualquier isometría). Estos hiperplanos pueden numerarse por el vértice de que no contienen. Lo que queda por comprobar es que dos hiperplanos cualesquiera con números adyacentes no pueden ser ortogonales, mientras que los hiperplanos con números no adyacentes son ortogonales. Esto se puede hacer usando inducción (ya que todas las facetas de son nuevamente politopos regulares). Por lo tanto, el diagrama de Coxeter-Dynkin del grupo de isometría de tiene vértices numerados de 0 a tales que los números adyacentes están unidos por al menos una arista y los números no adyacentes no están unidos.${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización \Delta}$${\estilo de visualización \Delta}$${\estilo de visualización n+1}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización \Delta}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización \Delta}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n-1}$

El tratamiento matemático más antiguo que se conserva de los polígonos regulares y los poliedros nos llega de los matemáticos griegos antiguos . Ellos conocían los cinco sólidos platónicos . Pitágoras conocía al menos tres de ellos y Teeteto (c. 417 a. C. – 369 a. C.) describió los cinco. Más tarde, Euclides escribió un estudio sistemático de las matemáticas, que publicó bajo el título Elementos , en el que construía una teoría lógica de la geometría y la teoría de números . Su obra concluyó con descripciones matemáticas de los cinco sólidos platónicos .

Sólidos platónicos
Tetraedro	Cubo	Octaedro	Dodecaedro	Icosaedro

Nuestra comprensión se mantuvo estática durante muchos siglos después de Euclides. La historia posterior de los politopos regulares se puede caracterizar por una ampliación gradual del concepto básico, permitiendo que se consideraran cada vez más objetos entre ellos. Thomas Bradwardine (Bradwardinus) fue el primero en registrar un estudio serio de los polígonos estrellados. Varios poliedros estrellados aparecen en el arte renacentista, pero no fue hasta que Johannes Kepler estudió el pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro estrellado en 1619 que se dio cuenta de que estos dos eran regulares. Louis Poinsot descubrió el gran dodecaedro y el gran icosaedro en 1809, y Augustin Cauchy demostró que la lista estaba completa en 1812. Estos poliedros se conocen colectivamente como los poliedros de Kepler-Poinsot .

Poliedros de Kepler-Poinsot
Pequeño dodecaedro estrellado	Gran dodecaedro estrellado	Gran dodecaedro	Gran icosaedro

No fue hasta el siglo XIX cuando un matemático suizo, Ludwig Schläfli , examinó y caracterizó los politopos regulares en dimensiones superiores. Sus esfuerzos se publicaron por primera vez íntegramente en Schläfli (1901), seis años después de su muerte, aunque partes de ellos se publicaron en Schläfli (1855) y Schläfli (1858). Entre 1880 y 1900, los resultados de Schläfli fueron redescubiertos de forma independiente por al menos otros nueve matemáticos (véase Coxeter (1973, pp. 143-144) para más detalles). Schläfli llamó a esta figura un "polisquema" (en español, "polyscheme" o "polyschema"). El término "politopo" fue introducido por Reinhold Hoppe , uno de los redescubridores de Schläfli, en 1882, y utilizado por primera vez en inglés por Alicia Boole Stott unos veinte años después. El término "poliedros" también se utilizó en la literatura anterior (Hilbert, 1952).

Coxeter (1973) es probablemente el tratamiento impreso más completo de los resultados de Schläfli y similares hasta la fecha. Schläfli demostró que hay seis politopos convexos regulares en 4 dimensiones . Cinco de ellos pueden verse como análogos a los sólidos platónicos: el 4-símplex (o pentacorone) al tetraedro , el hipercubo (o teseracto ) al cubo , el 4-ortoplex (o hexadecacoron o 16 celdas ) al octaedro , el de 120 celdas al dodecaedro y el de 600 celdas al icosaedro . El sexto, el de 24 celdas , puede verse como una forma de transición entre el hipercubo y el de 16 celdas, análoga a la forma en que el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico son formas de transición entre el cubo y el octaedro.

En cinco o más dimensiones, existen exactamente tres politopos regulares, que corresponden al tetraedro, al cubo y al octaedro: estos son los símplices regulares, los politopos de medida y los politopos de cruz. Se pueden encontrar descripciones de estos en la lista de politopos regulares . También son de interés los 4-politopos regulares estrella , parcialmente descubiertos por Schläfli.

A finales del siglo XIX, matemáticos como Arthur Cayley y Ludwig Schläfli habían desarrollado la teoría de politopos regulares en cuatro dimensiones y más, como el teseracto y el polinomio de 24 celdas .

Estos últimos son difíciles (aunque no imposibles) de visualizar a través de un proceso de analogía dimensional , ya que conservan la simetría familiar de sus análogos de menor dimensión. El teseracto contiene 8 celdas cúbicas. Consiste en dos cubos en hiperplanos paralelos con vértices correspondientes conectados de manera cruzada de tal manera que las 8 aristas cruzadas tienen la misma longitud y son ortogonales a las 12+12 aristas situadas en cada cubo. Las caras correspondientes de los dos cubos están conectadas para formar las 6 caras cúbicas restantes del teseracto . Las 24 celdas se pueden derivar del teseracto uniendo los 8 vértices de cada una de sus caras cúbicas a un vértice adicional para formar el análogo de cuatro dimensiones de una pirámide. Ambas figuras, así como otras figuras de 4 dimensiones, se pueden visualizar y representar directamente utilizando estereografías de 4 dimensiones. ^[1]

Aún más difíciles de imaginar son los politopos regulares abstractos más modernos , como el de 57 celdas o el de 11 celdas . Sin embargo, desde el punto de vista matemático, estos objetos tienen las mismas cualidades estéticas que sus parientes bidimensionales y tridimensionales más conocidos.

A principios del siglo XX, la definición de politopo regular era la siguiente:

• Un polígono regular es un polígono cuyos bordes son todos iguales y cuyos ángulos son todos iguales.
• Un poliedro regular es un poliedro cuyas caras son todas polígonos regulares congruentes y cuyas figuras de vértice son todas congruentes y regulares.
• Y así sucesivamente, un politopo n regular es un politopo n -dimensional cuyas caras ( n − 1)-dimensionales son todas regulares y congruentes, y cuyas figuras de vértice son todas regulares y congruentes.

Esta es una definición "recursiva". Define la regularidad de figuras de dimensiones superiores en términos de figuras regulares de dimensiones inferiores. Existe una definición equivalente (no recursiva) que establece que un politopo es regular si tiene un grado suficiente de simetría.

• Un n -politopo es regular si cualquier conjunto que consiste en un vértice, un borde que lo contiene, una cara bidimensional que contiene el borde, y así sucesivamente hasta n −1 dimensiones, se puede mapear a cualquier otro conjunto de este tipo mediante una simetría del politopo.

Por ejemplo, el cubo es regular porque si elegimos un vértice del cubo, y una de las tres aristas en las que se encuentra, y una de las dos caras que contienen la arista, entonces este triplete, conocido como bandera , (vértice, arista, cara) puede asignarse a cualquier otra bandera de ese tipo mediante una simetría adecuada del cubo. De este modo, podemos definir un politopo regular de forma muy sucinta:

• Un politopo regular es aquel cuyo grupo de simetría es transitivo en sus banderas.

En el siglo XX se produjeron algunos avances importantes. Los grupos de simetría de los politopos regulares clásicos se generalizaron en lo que hoy se denomina grupos de Coxeter . Los grupos de Coxeter también incluyen los grupos de simetría de teselaciones regulares del espacio o del plano. Por ejemplo, el grupo de simetría de un tablero de ajedrez infinito sería el grupo de Coxeter [4,4].

En la primera parte del siglo XX, Coxeter y Petrie descubrieron tres estructuras infinitas {4, 6}, {6, 4} y {6, 6}. Las llamaron poliedros oblicuos regulares, porque parecían satisfacer la definición de poliedro regular: todos los vértices, aristas y caras son iguales, todos los ángulos son iguales y la figura no tiene aristas libres. En la actualidad, se denominan poliedros infinitos o apeiroedros. Las teselas regulares del plano {4, 4}, {3, 6} y {6, 3} también pueden considerarse poliedros infinitos.

En la década de 1960, Branko Grünbaum hizo un llamamiento a la comunidad geométrica para que considerase tipos más abstractos de politopos regulares, a los que llamó polistromas . Desarrolló la teoría de los polistromas, mostrando ejemplos de nuevos objetos a los que llamó apeirótopos regulares , es decir, politopos regulares con infinitas caras. Un ejemplo sencillo de un apeirógono oblicuo sería un zigzag. Parece satisfacer la definición de polígono regular: todas las aristas tienen la misma longitud, todos los ángulos son iguales y la figura no tiene cabos sueltos (porque nunca se pueden alcanzar). Más importante aún, quizás, es que existen simetrías del zigzag que pueden mapear cualquier par de vértices y aristas adjuntas a cualquier otro. Desde entonces, se han seguido descubriendo otros apeirógonos regulares y apeirótopos superiores.

Un número complejo tiene una parte real, que es la parte con la que todos estamos familiarizados, y una parte imaginaria, que es un múltiplo de la raíz cuadrada de menos uno. Un espacio de Hilbert complejo tiene sus coordenadas x, y, z, etc. como números complejos. Esto duplica efectivamente el número de dimensiones. Un politopo construido en un espacio unitario de este tipo se llama politopo complejo . ^[2]

Grünbaum también descubrió el 11-cell , un objeto tetradimensional autodual cuyas facetas no son icosaedros, sino "hemi-icosaedros" —es decir, son la forma que se obtiene si se consideran las caras opuestas del icosaedro como si fueran en realidad la misma cara (Grünbaum 1976). El hemi-icosaedro tiene sólo 10 caras triangulares y 6 vértices, a diferencia del icosaedro, que tiene 20 y 12.

Este concepto puede resultar más fácil de comprender para el lector si se considera la relación entre el cubo y el hemicubo. Un cubo ordinario tiene 8 esquinas, que podrían etiquetarse de la A a la H, con A opuesta a H, B opuesta a G, y así sucesivamente. En un hemicubo, A y H se tratarían como la misma esquina. Lo mismo ocurriría con B y G, y así sucesivamente. La arista AB se convertiría en la misma arista que GH, y la cara ABEF se convertiría en la misma cara que CDGH. La nueva forma tiene solo tres caras, 6 aristas y 4 esquinas.

Las 11 celdas no pueden formarse con geometría regular en un hiperespacio plano (euclidiano), sino sólo en un hiperespacio positivamente curvado (elíptico).

Unos años después del descubrimiento de Grünbaum del politopo de 11 celdas , HSM Coxeter descubrió de forma independiente la misma forma. Anteriormente había descubierto un politopo similar, el de 57 celdas (Coxeter 1982, 1984).

En 1994, Grünbaum consideraba los politopos de manera abstracta como conjuntos combinatorios de puntos o vértices, y no le preocupaba si las caras eran planas. A medida que él y otros refinaron estas ideas, dichos conjuntos pasaron a llamarse politopos abstractos . Un politopo abstracto se define como un conjunto parcialmente ordenado (conjunto parcial), cuyos elementos son las caras del politopo (vértices, aristas, caras, etc.) ordenadas por contención . Se imponen ciertas restricciones al conjunto que son similares a las propiedades satisfechas por los politopos regulares clásicos (incluidos los sólidos platónicos). Sin embargo, las restricciones son lo suficientemente laxas como para que las teselaciones regulares, los hemicubos e incluso objetos tan extraños como el de 11 celdas o el más extraño, sean todos ejemplos de politopos regulares.

Se entiende por politopo geométrico una realización del politopo abstracto, de modo que existe una correspondencia biunívoca entre los elementos abstractos y las caras correspondientes de la realización geométrica. Por lo tanto, cualquier politopo geométrico puede describirse mediante el conjunto de elementos abstractos apropiado, aunque no todos los politopos abstractos tienen realizaciones geométricas adecuadas.

La teoría ha sido desarrollada aún más desde entonces, principalmente por McMullen y Schulte (2002), pero otros investigadores también han hecho contribuciones.

La regularidad tiene un significado relacionado, aunque diferente, para los politopos abstractos , ya que los ángulos y las longitudes de las aristas no tienen significado.

La definición de regularidad en términos de la transitividad de las banderas tal como se da en la introducción se aplica a los politopos abstractos.

Cualquier politopo regular clásico tiene un equivalente abstracto que es regular, que se obtiene tomando el conjunto de caras. Pero los politopos clásicos no regulares pueden tener equivalentes abstractos regulares, ya que los politopos abstractos no retienen información sobre ángulos y longitudes de aristas, por ejemplo. Y un politopo abstracto regular puede no ser realizable como un politopo clásico.

Todos los polígonos son regulares en el mundo abstracto, por ejemplo, mientras que en el mundo clásico sólo son regulares aquellos que tienen ángulos iguales y aristas de igual longitud.

El concepto de figura de vértice también se define de forma diferente para un politopo abstracto . La figura de vértice de un n -politopo abstracto dado en un vértice V dado es el conjunto de todas las caras abstractas que contienen V , incluido el propio V. Más formalmente, es la sección abstracta.

F _n / V = ​​{ F | V ≤ F ≤ F _n }

donde F _n es la cara máxima, es decir, la cara n nocional que contiene todas las demás caras. Nótese que cada cara i , i  ≥ 0 del politopo original se convierte en una cara ( i  − 1) de la figura del vértice.

A diferencia del caso de los politopos euclidianos, un politopo abstracto con facetas y figuras de vértices regulares puede o no ser regular en sí mismo; por ejemplo, la pirámide cuadrada, cuyas facetas y figuras de vértices son polígonos abstractos regulares.

La figura clásica del vértice será, sin embargo, una realización de la abstracta.

La forma tradicional de construir un polígono regular, o cualquier otra figura en el plano, es con regla y compás . Construir algunos polígonos regulares de esta manera es muy simple (el más fácil es quizás el triángulo equilátero), algunos son más complejos y otros son imposibles ("no construibles"). Los polígonos regulares más simples que son imposibles de construir son los polígonos de n lados con n igual a 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21,...

En este sentido, la constructibilidad se refiere únicamente a construcciones ideales con herramientas ideales. Por supuesto, se pueden construir aproximaciones razonablemente precisas mediante una variedad de métodos, mientras que las construcciones teóricamente posibles pueden resultar imprácticas.

Los Elementos de Euclides ofrecieron construcciones equivalentes a las que se pueden hacer con regla y compás para los cinco sólidos platónicos. ^[3] Sin embargo, la cuestión meramente práctica de cómo se podría trazar una línea recta en el espacio, incluso con una regla, podría llevarnos a preguntarnos qué significa exactamente "construir" un poliedro regular. (Por supuesto, podríamos plantearnos la misma pregunta sobre los polígonos.)

La palabra inglesa "construct" tiene la connotación de construir sistemáticamente lo construido. La forma más común de construir un poliedro regular es mediante un desarrollo desdoblado . Para obtener un desarrollo desdoblado de un poliedro, se toma la superficie del poliedro y se la corta a lo largo de los bordes suficientes para que la superficie pueda quedar plana. Esto da un plano para el desarrollo del poliedro desplegado. Dado que los sólidos platónicos solo tienen triángulos, cuadrados y pentágonos como caras, y todos estos son construibles con una regla y un compás, existen métodos con regla y compás para dibujar estos desarrollos desdoblados. Lo mismo se aplica a los poliedros estrellados, aunque aquí debemos tener cuidado de hacer el desarrollo solo para la superficie exterior visible.

Si se dibuja esta red sobre cartón o material plegable similar (por ejemplo, chapa metálica), se puede recortar, doblar por los bordes no cortados, unir por los bordes cortados correspondientes y formar así el poliedro para el que se diseñó la red. Para un poliedro dado pueden existir muchas redes desplegables. Por ejemplo, hay 11 para el cubo y más de 900.000 para el dodecaedro. ^[4]

Numerosos juguetes infantiles, generalmente destinados a adolescentes o preadolescentes, permiten experimentar con polígonos regulares y poliedros. Por ejemplo, klikko ofrece juegos de triángulos, cuadrados, pentágonos y hexágonos de plástico que se pueden unir de borde a borde de una gran cantidad de formas diferentes. Un niño que juegue con un juguete de este tipo podría redescubrir los sólidos platónicos (o los sólidos de Arquímedes ), especialmente si recibe un poco de orientación de un adulto con conocimientos.

En teoría, se puede utilizar casi cualquier material para construir poliedros regulares. ^[5] Pueden tallarse en madera, modelarse con alambre o formarse con vidrieras. La imaginación es el límite.

En dimensiones superiores, resulta más difícil decir qué se entiende por "construir" los objetos. Es evidente que en un universo tridimensional es imposible construir un modelo físico de un objeto que tenga cuatro o más dimensiones. Existen varios enfoques que se suelen adoptar para solucionar este problema.

El primer enfoque, adecuado para cuatro dimensiones, utiliza la estereografía de cuatro dimensiones. ^[1] La profundidad en una tercera dimensión se representa con un desplazamiento relativo horizontal, la profundidad en una cuarta dimensión con un desplazamiento relativo vertical entre las imágenes izquierda y derecha de la estereografía.

El segundo enfoque consiste en incrustar los objetos de dimensiones superiores en el espacio tridimensional, utilizando métodos análogos a las formas en que se dibujan los objetos tridimensionales en el plano. Por ejemplo, las redes desplegables mencionadas en la sección anterior tienen equivalentes de dimensiones superiores. ^[6] Uno podría incluso imaginar construir un modelo de esta red desplegable, como uno dibuja la red desplegable de un poliedro en una hoja de papel. Lamentablemente, nunca podríamos hacer el plegado necesario de la estructura tridimensional para obtener el politopo de cuatro dimensiones debido a las limitaciones del universo físico. Otra forma de "dibujar" las formas de dimensiones superiores en tres dimensiones es mediante algún tipo de proyección, por ejemplo, el análogo de la proyección ortográfica o en perspectiva . El famoso libro de Coxeter sobre politopos (Coxeter 1973) tiene algunos ejemplos de tales proyecciones ortográficas. ^[7] Nótese que sumergir incluso policoras de cuatro dimensiones directamente en dos dimensiones es bastante confuso. Más fáciles de entender son los modelos tridimensionales de las proyecciones. Ocasionalmente se encuentran modelos similares en museos de ciencias o en departamentos de matemáticas de universidades (como el de la Universidad Libre de Bruselas ).

La intersección de un politopo regular de cuatro (o más) dimensiones con un hiperplano tridimensional será un politopo (no necesariamente regular). Si el hiperplano se mueve a través de la forma, las secciones tridimensionales se pueden combinar y animar para formar una especie de objeto de cuatro dimensiones, donde la cuarta dimensión se toma como tiempo. De esta manera, podemos ver (si no comprender completamente) la estructura cuatridimensional completa de los politopos regulares de cuatro dimensiones, a través de dichas secciones transversales recortadas. Esto es análogo a la forma en que una tomografía computarizada vuelve a ensamblar imágenes bidimensionales para formar una representación tridimensional de los órganos que se escanean. Lo ideal sería un holograma animado de algún tipo, sin embargo, incluso una animación simple como la que se muestra ya puede brindar una idea limitada de la estructura del politopo.

Otra forma en que un observador tridimensional puede comprender la estructura de un politopo de cuatro dimensiones es "sumergiéndose" en el objeto, tal vez a través de alguna forma de tecnología de realidad virtual . Para entender cómo podría funcionar esto, imagine lo que uno vería si el espacio estuviera lleno de cubos. El observador estaría dentro de uno de los cubos y podría ver cubos delante, detrás, encima, debajo, a la izquierda y a la derecha de sí mismo. Si uno pudiera viajar en estas direcciones, podría explorar la matriz de cubos y comprender su estructura geométrica. Una matriz infinita de cubos no es un politopo en el sentido tradicional. De hecho, es una teselación del espacio tridimensional ( euclidiano ). Sin embargo, un 4-politopo puede considerarse una teselación de un espacio tridimensional no euclidiano , es decir, una teselación de la superficie de una esfera de cuatro dimensiones (un mosaico esférico de cuatro dimensiones ).

Localmente, este espacio parece ser el que conocemos y, por lo tanto, en principio, se podría programar un sistema de realidad virtual para permitir la exploración de estas "teselaciones", es decir, de los politopos regulares de cuatro dimensiones. El departamento de matemáticas de la UIUC tiene varias imágenes de lo que se vería si se insertara en una teselación de espacio hiperbólico con dodecaedros. Una teselación de este tipo constituye un ejemplo de un politopo regular abstracto infinito.

Normalmente, en el caso de politopos regulares abstractos, un matemático considera que el objeto está "construido" si se conoce la estructura de su grupo de simetría . Esto se debe a un teorema importante en el estudio de los politopos regulares abstractos, que proporciona una técnica que permite construir el politopo regular abstracto a partir de su grupo de simetría de una manera estándar y sencilla.

Para ver ejemplos de polígonos en la naturaleza, consulte:

Cada uno de los sólidos platónicos se presenta de forma natural en una forma u otra:

• Lista de politopos regulares
• Johnson sólido
• Bartel Leendert van der Waerden

• Coxeter, HSM (1935), "La enumeración completa de grupos finitos de la forma ", J. London Math. Soc. , 10 (1): 21–25, doi :10.1112/jlms/s1-10.37.21${\displaystyle r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1}$
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• Atlas de pequeños politopos regulares: lista de politopos regulares abstractos.