Grupo de mentiras simples

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Grupos de Lie y álgebras de Lie
Grupos clásicos GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) O( n ) ortogonal SO( n ) ortogonal especial Unitario U( n ) SU unitario especial ( n ) Sp( n ) simpléctico
Grupos de mentiras simples Clásico Un Bn En No Excepcional G2​ F4​ E6​ E7​ E8​
Otros grupos de Lie Círculo Lorentz Poincaré Grupo conforme Difeomorfismo Bucle Euclidiano
Álgebras de Lie Correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie Mapa exponencial Representación adjunta Forma de matar Índice Álgebra de Lie simple Álgebra de bucles Álgebra de Lie afín
Álgebra de Lie semisimple Diagramas de Dynkin Subálgebra de Cartan Sistema de raíces Grupo Weyl Forma real Complejización Álgebra de Lie dividida Álgebra de Lie compacta
Teoría de la representación Representación del grupo Lie Representación del álgebra de Lie Teoría de la representación de álgebras de Lie semisimples Representaciones de grupos de Lie clásicos Teorema del peso máximo Teorema de Borel-Weil-Bott
Grupos de Lie en física Física de partículas y teoría de la representación Representaciones del grupo de Lorentz Representaciones del grupo de Poincaré Representaciones del grupo galileano
Científicos mentira de sofo Henri Poincaré El asesinato de Wilhelm Elie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish Chandra Armand Borel
Glosario Tabla de grupos de Lie
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En matemáticas, un grupo de Lie simple es un grupo de Lie no abeliano conexo G que no tiene subgrupos normales conexos no triviales . La lista de grupos de Lie simples se puede utilizar para leer la lista de álgebras de Lie simples y espacios simétricos de Riemann .

Junto con el grupo de Lie conmutativo de los números reales, , y el de los números complejos de magnitud unitaria, U(1) (el círculo unitario), los grupos de Lie simples dan los "bloques" atómicos que forman todos los grupos de Lie conexos (de dimensión finita) mediante la operación de extensión de grupo . Muchos grupos de Lie que se encuentran comúnmente son simples o están "cerca" de ser simples: por ejemplo, el llamado " grupo lineal especial " SL( n , ) de matrices n por n con determinante igual a 1 es simple para todo n impar  > 1, cuando es isomorfo al grupo lineal especial proyectivo .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

La primera clasificación de grupos de Lie simples fue realizada por Wilhelm Killing y luego fue perfeccionada por Élie Cartan . La clasificación final se conoce como clasificación de Killing-Cartan.

Lamentablemente, no existe una definición universalmente aceptada de un grupo de Lie simple. En particular, no siempre se define como un grupo de Lie simple como un grupo abstracto. Los autores difieren en si un grupo de Lie simple tiene que ser conexo, si se permite que tenga un centro no trivial o si es un grupo de Lie simple.${\displaystyle \mathbb {R} }$

La definición más común es que un grupo de Lie es simple si es conexo, no abeliano y cada subgrupo normal conexo cerrado es la identidad o el grupo completo. En particular, se permite que los grupos simples tengan un centro no trivial, pero no son simples.${\displaystyle \mathbb {R} }$

En este artículo se enumeran los grupos de Lie simples conexos con centro trivial. Una vez conocidos estos, los que tienen centro no trivial son fáciles de enumerar de la siguiente manera. Cualquier grupo de Lie simple con centro trivial tiene un recubrimiento universal , cuyo centro es el grupo fundamental del grupo de Lie simple. Los grupos de Lie simples correspondientes con centro no trivial se pueden obtener como cocientes de este recubrimiento universal por un subgrupo del centro.

Una definición equivalente de un grupo de Lie simple se desprende de la correspondencia de Lie : Un grupo de Lie conexo es simple si su álgebra de Lie es simple . Un punto técnico importante es que un grupo de Lie simple puede contener subgrupos normales discretos . Por esta razón, la definición de un grupo de Lie simple no es equivalente a la definición de un grupo de Lie que es simple como un grupo abstracto .

Los grupos de Lie simples incluyen muchos grupos de Lie clásicos , que proporcionan una base teórica de grupos para la geometría esférica , la geometría proyectiva y geometrías relacionadas en el sentido del programa de Erlangen de Felix Klein . En el curso de la clasificación de los grupos de Lie simples surgió que también existen varias posibilidades excepcionales que no corresponden a ninguna geometría familiar. Estos grupos excepcionales dan cuenta de muchos ejemplos y configuraciones especiales en otras ramas de las matemáticas, así como en la física teórica contemporánea .

Como contraejemplo, el grupo lineal general no es ni simple ni semisimple . Esto se debe a que los múltiplos de la identidad forman un subgrupo normal no trivial, evadiendo así la definición. De manera equivalente, el álgebra de Lie correspondiente tiene una forma degenerada de Killing , porque los múltiplos de la identidad se asignan al elemento cero del álgebra. Por lo tanto, el álgebra de Lie correspondiente tampoco es ni simple ni semisimple. Otro contraejemplo son los grupos ortogonales especiales en dimensión par. Estos tienen la matriz en el centro , y este elemento está conectado por trayectorias al elemento identidad, y por lo tanto estos grupos evaden la definición. Ambos son grupos reductivos .${\displaystyle -I}$

Un grupo de Lie semisimple es un grupo de Lie conexo de modo que su único subgrupo normal abeliano conexo cerrado es el subgrupo trivial. Todo grupo de Lie simple es semisimple. De manera más general, cualquier producto de grupos de Lie simples es semisimple, y cualquier cociente de un grupo de Lie semisimple por un subgrupo cerrado es semisimple. Todo grupo de Lie semisimple se puede formar tomando un producto de grupos de Lie simples y cociente por un subgrupo de su centro. En otras palabras, todo grupo de Lie semisimple es un producto central de grupos de Lie simples. Los grupos de Lie semisimples son exactamente los grupos de Lie cuyas álgebras de Lie son álgebras de Lie semisimples .

El álgebra de Lie de un grupo de Lie simple es un álgebra de Lie simple. Se trata de una correspondencia biunívoca entre grupos de Lie simples conexos con centro trivial y álgebras de Lie simples de dimensión mayor que 1. (Los autores difieren en cuanto a si el álgebra de Lie unidimensional debe considerarse simple).

Sobre los números complejos las álgebras de Lie semisimples se clasifican por sus diagramas de Dynkin , de tipo "ABCDEFG". Si L es un álgebra de Lie simple real, su complejización es un álgebra de Lie compleja simple, a menos que L ya sea la complejización de un álgebra de Lie, en cuyo caso la complejización de L es un producto de dos copias de L. Esto reduce el problema de clasificar las álgebras de Lie simples reales al de encontrar todas las formas reales de cada álgebra de Lie simple compleja (es decir, álgebras de Lie reales cuya complejización es el álgebra de Lie compleja dada). Siempre hay al menos 2 de tales formas: una forma partida y una forma compacta, y suele haber algunas otras. Las diferentes formas reales corresponden a las clases de automorfismos de orden como máximo 2 del álgebra de Lie compleja.

Los espacios simétricos se clasifican de la siguiente manera.

En primer lugar, la cobertura universal de un espacio simétrico sigue siendo simétrica, por lo que podemos reducirla al caso de espacios simétricos simplemente conexos. (Por ejemplo, la cobertura universal de un plano proyectivo real es una esfera).

En segundo lugar, el producto de espacios simétricos es simétrico, por lo que también podemos clasificar los irreducibles simplemente conexos (donde irreducibles significa que no pueden escribirse como un producto de espacios simétricos más pequeños).

Los espacios simétricos irreducibles simplemente conexos son la recta real, y exactamente dos espacios simétricos correspondientes a cada grupo de Lie simple no compacto G , uno compacto y otro no compacto. El no compacto es una cobertura del cociente de G por un subgrupo compacto maximalista H , y el compacto es una cobertura del cociente de la forma compacta de G por el mismo subgrupo H . Esta dualidad entre espacios simétricos compactos y no compactos es una generalización de la bien conocida dualidad entre geometría esférica e hiperbólica.

Un espacio simétrico con una estructura compleja compatible se llama hermítico. Los espacios simétricos hermíticos irreducibles, compactos y simplemente conexos se dividen en 4 familias infinitas, con 2 familias excepcionales restantes, y cada una de ellas tiene un dual no compacto. Además, el plano complejo también es un espacio simétrico hermítico; esto da la lista completa de espacios simétricos hermíticos irreducibles.

Las cuatro familias son los tipos A III, B I y D I para p = 2 , D III y C I, y las dos excepcionales son los tipos E III y E VII de dimensiones complejas 16 y 27.

${\displaystyle \mathbb {R,C,H,O} }$  representan números reales, números complejos, cuaterniones y octoniones .

En símbolos como E ₆ ⁻²⁶ para los grupos excepcionales, el exponente −26 es la firma de una forma bilineal simétrica invariante que es definida negativamente en el subgrupo compacto maximalista. Es igual a la dimensión del grupo menos el doble de la dimensión de un subgrupo compacto maximalista.

El grupo fundamental que figura en la tabla siguiente es el grupo fundamental del grupo simple con centro trivial. Otros grupos simples con la misma álgebra de Lie corresponden a subgrupos de este grupo fundamental (módulo de la acción del grupo de automorfismos externos).

Los grupos de Lie simples están completamente clasificados. La clasificación suele indicarse en varios pasos, a saber:

• Clasificación de álgebras de Lie simples y complejas La clasificación de álgebras de Lie simples sobre los números complejos mediante diagramas de Dynkin .
• Clasificación de álgebras de Lie reales simples Cada álgebra de Lie compleja simple tiene varias formas reales , clasificadas por decoraciones adicionales de su diagrama de Dynkin llamadas diagramas de Satake , en honor a Ichirô Satake .
• Clasificación de grupos de Lie simples sin centro Para cada álgebra de Lie simple (real o compleja) , existe un único grupo de Lie simple "sin centro" cuya álgebra de Lie es y que tiene centro trivial .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Clasificación de grupos de Lie simples

Se puede demostrar que el grupo fundamental de cualquier grupo de Lie es un grupo conmutativo discreto . Dado un subgrupo (no trivial) del grupo fundamental de algún grupo de Lie , se puede utilizar la teoría de espacios de recubrimiento para construir un nuevo grupo con en su centro. Ahora bien, cualquier grupo de Lie (real o complejo) se puede obtener aplicando esta construcción a grupos de Lie sin centro. Nótese que los grupos de Lie reales obtenidos de esta manera podrían no ser formas reales de ningún grupo complejo. Un ejemplo muy importante de un grupo real de este tipo es el grupo metapléctico , que aparece en la teoría de la representación de dimensión infinita y en la física. Cuando se toma como grupo fundamental completo, el grupo de Lie resultante es la cobertura universal del grupo de Lie sin centro , y es simplemente conexo. En particular, cada álgebra de Lie (real o compleja) también corresponde a un único grupo de Lie conexo y simplemente conexo con esa álgebra de Lie, llamada el "grupo de Lie simplemente conexo" asociado a${\displaystyle K\subset \pi _{1}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}^{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K\subset \pi _{1}(G)}$${\displaystyle {\tilde {G}}^{K=\pi _{1}(G)}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

Cada álgebra de Lie compleja simple tiene una forma real única cuyo grupo de Lie sin centro correspondiente es compacto . Resulta que el grupo de Lie simplemente conexo en estos casos también es compacto. Los grupos de Lie compactos tienen una teoría de representación particularmente manejable debido al teorema de Peter-Weyl . Al igual que las álgebras de Lie complejas simples, los grupos de Lie compactos sin centro se clasifican mediante diagramas de Dynkin (clasificados por primera vez por Wilhelm Killing y Élie Cartan ).

Para las series infinitas (A, B, C, D) de diagramas de Dynkin, un grupo de Lie compacto conexo asociado a cada diagrama de Dynkin puede describirse explícitamente como un grupo matricial, y el correspondiente grupo de Lie compacto sin centro se describe como el cociente de un subgrupo de matrices escalares. Para los de tipo A y C podemos encontrar representaciones matriciales explícitas del correspondiente grupo de Lie simplemente conexo como grupos matriciales.

Un _r tiene como grupo compacto simplemente conexo asociado el grupo unitario especial SU ( r + 1) y como grupo compacto sin centro asociado el grupo unitario proyectivo PU( r + 1) .

B _r tiene como grupos compactos sin centro asociados los grupos ortogonales especiales impares SO ( 2 r + 1) . Sin embargo, este grupo no está simplemente conexo: su cobertura universal (doble) es el grupo de espín .

C _r tiene como grupo simplemente conexo asociado el grupo de matrices simplécticas unitarias Sp ( r ) y como grupo sin centro asociado el grupo de Lie PSp( r ) = Sp( r )/{I, −I} de matrices simplécticas unitarias proyectivas. Los grupos simplécticos tienen una doble cobertura por el grupo metapléctico .

D _r tiene como grupo compacto asociado los grupos ortogonales especiales pares SO(2 r ) y como grupo compacto asociado sin centro el grupo ortogonal especial proyectivo PSO(2 r ) = SO(2 r )/{I, −I}. Al igual que con la serie B, SO(2 r ) no está simplemente conexo; su recubrimiento universal es nuevamente el grupo de espín , pero este último nuevamente tiene un centro (cf. su artículo).

El diagrama D ₂ son dos nodos aislados, lo mismo que A ₁ ∪ A ₁ , y esta coincidencia corresponde al homomorfismo de la función de recubrimiento de SU(2) × SU(2) a SO(4) dado por la multiplicación de cuaterniones ; ver cuaterniones y rotación espacial . Por lo tanto, SO(4) no es un grupo simple. Además, el diagrama D ₃ es el mismo que A ₃ , lo que corresponde a un homomorfismo de la función de recubrimiento de SU(4) a SO(6).

Además de las cuatro familias A _i , B _i , C _i y D _i anteriores, existen cinco diagramas de Dynkin excepcionales denominados G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ y E ₈ ; estos diagramas de Dynkin excepcionales también tienen asociados grupos compactos simplemente conexos y sin centro. Sin embargo, los grupos asociados a las familias excepcionales son más difíciles de describir que los asociados a las familias infinitas, en gran medida porque sus descripciones hacen uso de objetos excepcionales . Por ejemplo, el grupo asociado a G ₂ es el grupo de automorfismos de los octoniones , y el grupo asociado a F ₄ es el grupo de automorfismos de cierta álgebra de Albert .

Véase también E _{7 + 1 ⁄ 2} .

	Dimensión	Grupo de automorfismos externos	Dimensión del espacio simétrico	Espacio simétrico	Observaciones
${\displaystyle \mathbb {R} }$(Abeliano)	1	${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$	1	${\displaystyle \mathbb {R} }$	†

^† El grupono es "simple" como grupo abstracto y, según la mayoría de las definiciones (pero no todas), no es un grupo de Lie simple. Además, la mayoría de los autores no consideran su álgebra de Lie como un álgebra de Lie simple. Se incluye aquí para que la lista de "espacios simétricos simplemente conexos irreducibles" esté completa. Nótese quees el único espacio simétrico no compacto sin un dual compacto (aunque tiene un cociente compacto S ¹ ).${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

La siguiente tabla enumera algunos grupos de Lie con álgebras de Lie simples de pequeña dimensión. Todos los grupos de una línea dada tienen la misma álgebra de Lie. En el caso de dimensión 1, los grupos son abelianos y no simples.

Oscuro	Grupos		Espacio simétrico	Compacto dual	Rango	Oscuro
1	ℝ, S 1 = U(1) = SO 2 (ℝ) = Espín(2)	Abeliano	Línea real		0	1
3	S 3 = Sp(1) = SU(2) = Espín(3), SO 3 (ℝ) = PSU(2)	Compacto
3	SL2 (ℝ) = Sp2 ( ℝ ), SO2,1 ( ℝ)	Dividida, hermítica, hiperbólica	Plano hiperbólico${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$	Esfera S 2	1	2
6	SL2 (ℂ) = Sp2 ( ℂ), SO3,1 ( ℝ), SO3 ( ℂ )	Complejo	Espacio hiperbólico${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$	Esfera S 3	1	3
8	SL 3 (ℝ)	Dividir	Estructuras euclidianas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	Estructuras reales en${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	2	5
8	SU(3)	Compacto
8	SU(1,2)	Hermítico, cuasi-dividido, cuaterniónico	Plano hiperbólico complejo	Plano proyectivo complejo	1	4
10	Sp(2) = Espín(5), SO 5 (ℝ)	Compacto
10	SO 4,1 (ℝ), Sp 2,2 (ℝ)	Hiperbólico, cuaterniónico	Espacio hiperbólico${\displaystyle \mathbb {H} ^{4}}$	Esfera S 4	1	4
10	SO 3,2 (ℝ), Sp 4 (ℝ)	Dividir, hermitiano	Espacio de la mitad superior de Siegel	Estructuras complejas en${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$	2	6
14	G2​	Compacto
14	G2​	Dividido, cuaterniónico	Subálgebras cuaterniónicas no divisionales de octoniones no divisionales	Subálgebras cuaterniónicas de octoniones	2	8
15	SU(4) = Espín(6), SO 6 (ℝ)	Compacto
15	SL 4 (ℝ), SO 3,3 (ℝ)	Dividir	ℝ 3 en ℝ 3,3	G de Grassman (3,3)	3	9
15	SU(3,1)	Hermitiano	Espacio hiperbólico complejo	Espacio proyectivo complejo	1	6
15	SU(2,2), SO4,2 ( ℝ)	Hermítico, cuasi-dividido, cuaterniónico	ℝ 2 en ℝ 2,4	G de Grassman (2,4)	2	8
15	SL 2 (ℍ), SO 5,1 (ℝ)	Hiperbólico	Espacio hiperbólico${\displaystyle \mathbb {H} ^{5}}$	Esfera S 5	1	5
16	SL 3 (ℂ)	Complejo		SU(3)	2	8
20	SO 5 (ℂ), Sp 4 (ℂ)	Complejo		Girar 5 (ℝ)	2	10
21	SO 7 (ℝ)	Compacto
21	SO 6,1 (ℝ)	Hiperbólico	Espacio hiperbólico${\displaystyle \mathbb {H} ^{6}}$	Esfera S 6
21	SO 5,2 (ℝ)	Hermitiano
21	SO 4,3 (ℝ)	Dividido, cuaterniónico
21	Sp(3)	Compacto
21	Sp 6 (ℝ)	Dividido, hermitiano
21	Sp 4,2 (ℝ)	Cuaterniónico
24	SU(5)	Compacto
24	SL 5 (ℝ)	Dividir
24	SU 4,1	Hermitiano
24	Su 3,2	Hermitiano, cuaterniónico
28	SO 8 (ℝ)	Compacto
28	SO 7,1 (ℝ)	Hiperbólico	Espacio hiperbólico${\displaystyle \mathbb {H} ^{7}}$	Esfera S 7
28	SO 6,2 (ℝ)	Hermitiano
28	SO 5,3 (ℝ)	Cuasi-división
28	SO 4,4 (ℝ)	Dividido, cuaterniónico
28	SO ∗ 8 (ℝ)	Hermitiano
28	sol 2 (ℂ)	Complejo
30	SL 4 (ℂ)	Complejo

Un grupo de enlaces simples es un grupo de Lie cuyo diagrama de Dynkin solo contiene enlaces simples y, por lo tanto, todas las raíces no nulas del álgebra de Lie correspondiente tienen la misma longitud. Los grupos de las series A, D y E están todos enlazados de manera simple, pero ningún grupo de los tipos B, C, F o G está enlazado de manera simple.

• Matriz de Cartan
• Matriz de Coxeter
• Grupo Weyl
• Grupo Coxeter
• Álgebra de Kac-Moody
• Teoría de catástrofes
• Tabla de grupos de Lie
• Clasificación de álgebras de Lie reales de baja dimensión

• Jacobson, Nathan (1971). Álgebras de Lie excepcionales . CRC Press. ISBN 0-8247-1326-5.
• Fulton, William ; Harris, Joe (2004). Teoría de la representación: un primer curso . Springer. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-1-4612-0979-9.

• Besse, variedades de Einstein ISBN 0-387-15279-2 
• Helgason, Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos . ISBN 0-8218-2848-7 
• Fuchs y Schweigert, Simetrías, álgebras de Lie y representaciones: un curso de posgrado para físicos. Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-54119-0