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Un campo eléctrico (a veces llamado campo E ^[1] ) es el campo físico que rodea a las partículas cargadas eléctricamente . Las partículas cargadas ejercen fuerzas de atracción entre sí cuando sus cargas son opuestas y se repelen entre sí cuando sus cargas son iguales. Debido a que estas fuerzas se ejercen mutuamente, deben estar presentes dos cargas para que se produzcan. El campo eléctrico de una sola carga (o grupo de cargas) describe su capacidad para ejercer tales fuerzas sobre otro objeto cargado. Estas fuerzas se describen mediante la ley de Coulomb , que dice que cuanto mayor sea la magnitud de las cargas, mayor será la fuerza, y cuanto mayor sea la distancia entre ellas, más débil será la fuerza. Por lo tanto, podemos decir informalmente que cuanto mayor sea la carga de un objeto, más fuerte será su campo eléctrico. De manera similar, un campo eléctrico es más fuerte cerca de los objetos cargados y más débil más lejos. Los campos eléctricos se originan a partir de cargas eléctricas y corrientes eléctricas variables en el tiempo . Los campos eléctricos y los campos magnéticos son manifestaciones del campo electromagnético . El electromagnetismo es una de las cuatro interacciones fundamentales de la naturaleza.

Los campos eléctricos son importantes en muchas áreas de la física y se aprovechan en la tecnología eléctrica. Por ejemplo, en la física atómica y la química , la interacción en el campo eléctrico entre el núcleo atómico y los electrones es la fuerza que mantiene unidas a estas partículas en los átomos. De manera similar, la interacción en el campo eléctrico entre átomos es la fuerza responsable de los enlaces químicos que dan lugar a las moléculas .

El campo eléctrico se define como un campo vectorial que asocia a cada punto del espacio la fuerza por unidad de carga ejercida sobre una carga de prueba infinitesimal en reposo en ese punto. ^{[2] [3] [4]} La unidad del SI para el campo eléctrico es el voltio por metro (V/m), que es igual al newton por culombio (N/C). ^[5]

El campo eléctrico se define en cada punto del espacio como la fuerza que experimentaría una carga de prueba estacionaria infinitesimalmente pequeña en ese punto dividida por la carga. ^{[6] : 469–70} El campo eléctrico se define en términos de fuerza , y la fuerza es un vector (es decir, que tiene magnitud y dirección ), por lo que se deduce que un campo eléctrico puede describirse mediante un campo vectorial . ^{[6] : 469–70} El campo eléctrico actúa entre dos cargas de manera similar a como actúa el campo gravitacional entre dos masas , ya que ambos obedecen una ley del cuadrado inverso con la distancia. ^[7] Esta es la base de la ley de Coulomb , que establece que, para cargas estacionarias, el campo eléctrico varía con la carga fuente y varía inversamente con el cuadrado de la distancia desde la fuente. Esto significa que si la carga fuente se duplicara, el campo eléctrico se duplicaría, y si te alejas el doble de la fuente, el campo en ese punto sería solo una cuarta parte de su fuerza original.

El campo eléctrico puede visualizarse con un conjunto de líneas cuya dirección en cada punto es la misma que la del campo, un concepto introducido por Michael Faraday , ^[8] cuyo término ' líneas de fuerza ' todavía se utiliza a veces. Esta ilustración tiene la propiedad útil de que, cuando se dibuja de modo que cada línea represente la misma cantidad de flujo , la intensidad del campo es proporcional a la densidad de las líneas. ^[9] Las líneas de campo debidas a cargas estacionarias tienen varias propiedades importantes, entre ellas que siempre se originan a partir de cargas positivas y terminan en cargas negativas, entran en todos los buenos conductores en ángulos rectos y nunca se cruzan ni se cierran sobre sí mismas. ^{[6] : 479} Las líneas de campo son un concepto representativo; el campo en realidad permea todo el espacio intermedio entre las líneas. Se pueden dibujar más o menos líneas dependiendo de la precisión con la que se desee representar el campo. ^[8] El estudio de los campos eléctricos creados por cargas estacionarias se llama electrostática .

La ley de Faraday describe la relación entre un campo magnético variable en el tiempo y el campo eléctrico. Una forma de enunciar la ley de Faraday es que el rizo del campo eléctrico es igual a la derivada temporal negativa del campo magnético. ^{[10] : 327} En ausencia de un campo magnético variable en el tiempo, el campo eléctrico se denomina, por tanto, conservativo (es decir, libre de rizo). ^{[10] : 24, 90–91} Esto implica que hay dos tipos de campos eléctricos: campos electrostáticos y campos que surgen de campos magnéticos variables en el tiempo. ^{[10] : 305–307} Aunque la naturaleza libre de rizo del campo eléctrico estático permite un tratamiento más simple utilizando electrostática, los campos magnéticos variables en el tiempo se tratan generalmente como un componente de un campo electromagnético unificado . El estudio de los campos magnéticos y eléctricos que cambian con el tiempo se denomina electrodinámica .

Los campos eléctricos son causados ​​por cargas eléctricas , descritas por la ley de Gauss , ^[11] y campos magnéticos variables en el tiempo , descritos por la ley de inducción de Faraday . ^[12] Juntas, estas leyes son suficientes para definir el comportamiento del campo eléctrico. Sin embargo, dado que el campo magnético se describe como una función del campo eléctrico, las ecuaciones de ambos campos están acopladas y juntas forman las ecuaciones de Maxwell que describen ambos campos como una función de cargas y corrientes .

En el caso especial de un estado estable (cargas y corrientes estacionarias), el efecto inductivo de Maxwell-Faraday desaparece. Las dos ecuaciones resultantes (la ley de Gauss y la ley de Faraday sin término de inducción ), tomadas en conjunto, son equivalentes a la ley de Coulomb , que establece que una partícula con carga eléctrica en la posición ejerce una fuerza sobre una partícula con carga en la posición de: ^[13] donde${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0}$${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle q_{0}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$$${\displaystyle \mathbf {F} _{01}={\frac {q_{1}q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{2}}={\frac {q_{1}q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\mathbf {r} _{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{3}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{01}}$es la fuerza sobre la partícula cargada causada por la partícula cargada .${\displaystyle q_{0}}$${\displaystyle q_{1}}$
• ε ₀ es la permitividad del espacio libre .
• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{01}}$es un vector unitario dirigido desde a .${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{01}}$es el vector de desplazamiento de a .${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$

Nótese que debe reemplazarse por , permitividad , cuando las cargas están en medios no vacíos. Cuando las cargas y tienen el mismo signo, esta fuerza es positiva, dirigida en dirección opuesta a la otra carga, lo que indica que las partículas se repelen entre sí. Cuando las cargas tienen signos diferentes, la fuerza es negativa, lo que indica que las partículas se atraen. Para facilitar el cálculo de la fuerza de Coulomb sobre cualquier carga en la posición, esta expresión se puede dividir dejando una expresión que solo depende de la otra carga (la carga fuente ) ^{[14] [4]} donde ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle q_{0}}$${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle q_{0}}$$${\displaystyle \mathbf {E} _{1}(\mathbf {r} _{0})={\frac {\mathbf {F} _{01}}{q_{0}}}={\frac {q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{2}}={\frac {q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\mathbf {r} _{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{3}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}(\mathbf {r} _{0})}$es el componente del campo eléctrico en debido a .${\displaystyle q_{0}}$${\displaystyle q_{1}}$

Este es el campo eléctrico en el punto debido a la carga puntual ; es una función de valor vectorial igual a la fuerza de Coulomb por unidad de carga que experimentaría una carga puntual positiva en la posición . Dado que esta fórmula da la magnitud y dirección del campo eléctrico en cualquier punto del espacio (excepto en la ubicación de la carga misma, , donde se vuelve infinita), define un campo vectorial . De la fórmula anterior se puede ver que el campo eléctrico debido a una carga puntual se dirige en todas partes lejos de la carga si es positiva, y hacia la carga si es negativa, y su magnitud disminuye con el cuadrado inverso de la distancia desde la carga.${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$

La fuerza de Coulomb sobre una carga de magnitud en cualquier punto del espacio es igual al producto de la carga por el campo eléctrico en ese punto. La unidad SI del campo eléctrico es el newton por culombio (N/C), o voltio por metro (V/m); en términos de las unidades básicas del SI es kg⋅m⋅s ⁻³ ⋅A ⁻¹ .${\displaystyle q}$$${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} .}$$

Debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell , los campos eléctricos satisfacen el principio de superposición , que establece que el campo eléctrico total, en un punto, debido a un conjunto de cargas es igual a la suma vectorial de los campos eléctricos en ese punto debido a las cargas individuales. ^[4] Este principio es útil para calcular el campo creado por múltiples cargas puntuales. Si las cargas son estacionarias en el espacio en los puntos , en ausencia de corrientes, el principio de superposición dice que el campo resultante es la suma de los campos generados por cada partícula como se describe en la ley de Coulomb: donde ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{n}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} )=\mathbf {E} _{1}(\mathbf {r} )+\mathbf {E} _{2}(\mathbf {r} )+\dots +\mathbf {E} _{n}(\mathbf {r} )={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{\mathbf {r} _{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{3}}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{i}}$es el vector unitario en la dirección de punto a punto${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$es el vector de desplazamiento de punto a punto .${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$

El principio de superposición permite calcular el campo eléctrico debido a una distribución de densidad de carga . Al considerar la carga en cada pequeño volumen de espacio en el punto como una carga puntual, el campo eléctrico resultante, , en el punto se puede calcular como donde ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')dv}$${\displaystyle dv}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle d\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle d\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}' \over {|\mathbf {r} '|}^{2}}dv={\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}dv}$$

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}'}$es el vector unitario que apunta desde a .${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \mathbf {r} }$
• ${\displaystyle \mathbf {r} '}$es el vector de desplazamiento de a .${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \mathbf {r} }$

El campo total se obtiene sumando las contribuciones de todos los incrementos de volumen integrando la densidad de carga sobre el volumen :${\displaystyle V}$$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint _{V}\,\rho (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}dv}$$

Se siguen ecuaciones similares para una carga superficial con densidad de carga superficial en la superficie y para cargas lineales con densidad de carga lineal en la línea.${\displaystyle \sigma (\mathbf {r} ')}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iint _{S}\,\sigma (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}da,}$$ ${\displaystyle \lambda (\mathbf {r} ')}$${\displaystyle L}$$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{L}\,\lambda (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}d\ell .}$$

Si un sistema es estático, de modo que los campos magnéticos no varían con el tiempo, entonces, por la ley de Faraday, el campo eléctrico no tiene rizos . En este caso, se puede definir un potencial eléctrico , es decir, una función tal que . ^[15] Esto es análogo al potencial gravitatorio . La diferencia entre el potencial eléctrico en dos puntos del espacio se denomina diferencia de potencial (o voltaje) entre los dos puntos.${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi }$

En general, sin embargo, el campo eléctrico no se puede describir independientemente del campo magnético. Dado el potencial vectorial magnético , A , definido de modo que ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$ , todavía se puede definir un potencial eléctrico tal que: donde es el gradiente del potencial eléctrico y es la derivada parcial de A con respecto al tiempo.${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}$$${\displaystyle \nabla \varphi }$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

La ley de inducción de Faraday se puede recuperar tomando el rotacional de esa ecuación ^[16] que justifica, a posteriori, la forma anterior para E .$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {A} )}{\partial t}}=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},}$$

Las ecuaciones del electromagnetismo se describen mejor en una descripción continua. Sin embargo, a veces las cargas se describen mejor como puntos discretos; por ejemplo, algunos modelos pueden describir los electrones como fuentes puntuales donde la densidad de carga es infinita en una sección infinitesimal del espacio.

Una carga ubicada en se puede describir matemáticamente como una densidad de carga ⁠ ⁠ , donde se utiliza la función delta de Dirac (en tres dimensiones). Por el contrario, una distribución de carga se puede aproximar mediante muchas cargas puntuales pequeñas.${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}$

Los campos electrostáticos son campos eléctricos que no cambian con el tiempo. Dichos campos están presentes cuando los sistemas de materia cargada están estacionarios o cuando las corrientes eléctricas no cambian. En ese caso, la ley de Coulomb describe completamente el campo. ^[17]

La ley de Coulomb, que describe la interacción de cargas eléctricas: es similar a la ley de gravitación universal de Newton : (donde ).$${\displaystyle \mathbf {F} =q\left({\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {\hat {r}} }{|\mathbf {r} |^{2}}}\right)=q\mathbf {E} }$$$${\displaystyle \mathbf {F} =m\left(-GM{\frac {\mathbf {\hat {r}} }{|\mathbf {r} |^{2}}}\right)=m\mathbf {g} }$$${\textstyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {\frac {r}{|r|}} }$

Esto sugiere similitudes entre el campo eléctrico E y el campo gravitacional g , o sus potenciales asociados. A la masa a veces se la denomina "carga gravitacional". ^[18]

Tanto las fuerzas electrostáticas como las gravitacionales son centrales , conservativas y obedecen a una ley del cuadrado inverso .

Un campo uniforme es aquel en el que el campo eléctrico es constante en cada punto. Se puede aproximar colocando dos placas conductoras paralelas entre sí y manteniendo un voltaje (diferencia de potencial) entre ellas; es solo una aproximación debido a los efectos de contorno (cerca del borde de los planos, el campo eléctrico se distorsiona porque el plano no continúa). Suponiendo planos infinitos, la magnitud del campo eléctrico E es: donde Δ V es la diferencia de potencial entre las placas y d es la distancia que separa las placas. El signo negativo surge cuando las cargas positivas se repelen, por lo que una carga positiva experimentará una fuerza que se aleja de la placa cargada positivamente, en la dirección opuesta a aquella en la que aumenta el voltaje. En aplicaciones micro y nano, por ejemplo en relación con los semiconductores, una magnitud típica de un campo eléctrico es del orden de$${\displaystyle E=-{\frac {\Delta V}{d}},}$$10 ⁶  V⋅m ⁻¹ , que se consigue aplicando un voltaje del orden de 1 voltio entre conductores espaciados 1 μm entre sí.

Los campos electromagnéticos son campos eléctricos y magnéticos que pueden cambiar con el tiempo, por ejemplo, cuando las cargas están en movimiento. Las cargas en movimiento producen un campo magnético de acuerdo con la ley circuital de Ampère ( con la adición de Maxwell ), que, junto con otras ecuaciones de Maxwell, define el campo magnético, , en términos de su rotacional: donde es la densidad de corriente , es la permeabilidad al vacío y es la permitividad del vacío .${\displaystyle \mathbf {B} }$$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right),}$$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

Tanto la densidad de corriente eléctrica como la derivada parcial del campo eléctrico con respecto al tiempo contribuyen a la curvatura del campo magnético. Además, la ecuación de Maxwell-Faraday establece que estas representan dos de las cuatro ecuaciones de Maxwell y vinculan intrincadamente los campos eléctrico y magnético, lo que da como resultado el campo electromagnético . Las ecuaciones representan un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales parciales multidimensionales acopladas que, cuando se resuelven para un sistema, describen el comportamiento combinado de los campos electromagnéticos. En general, la fuerza experimentada por una carga de prueba en un campo electromagnético está dada por la ley de fuerza de Lorentz :$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$$$${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

La energía total por unidad de volumen almacenada por el campo electromagnético es ^[19] donde ε es la permitividad del medio en el que existe el campo, su permeabilidad magnética y E y B son los vectores del campo eléctrico y magnético.$${\displaystyle u_{\text{EM}}={\frac {\varepsilon }{2}}|\mathbf {E} |^{2}+{\frac {1}{2\mu }}|\mathbf {B} |^{2}}$$${\displaystyle \mu }$

Como los campos E y B están acoplados, sería engañoso dividir esta expresión en contribuciones "eléctricas" y "magnéticas". En particular, un campo electrostático en cualquier marco de referencia dado se transforma en general en un campo con un componente magnético en un marco de referencia en movimiento relativo. En consecuencia, la descomposición del campo electromagnético en un componente eléctrico y magnético es específica del marco de referencia, y lo mismo ocurre con la energía asociada.

La energía total U _EM almacenada en el campo electromagnético en un volumen dado V es$${\displaystyle U_{\text{EM}}={\frac {1}{2}}\int _{V}\left(\varepsilon |\mathbf {E} |^{2}+{\frac {1}{\mu }}|\mathbf {B} |^{2}\right)dV\,.}$$

En presencia de materia, es útil extender la noción de campo eléctrico a tres campos vectoriales: ^[20] donde P es la polarización eléctrica – la densidad de volumen de los momentos dipolares eléctricos , y D es el campo de desplazamiento eléctrico . Dado que E y P se definen por separado, esta ecuación se puede utilizar para definir D . La interpretación física de D no es tan clara como E (efectivamente el campo aplicado al material) o P (campo inducido debido a los dipolos en el material), pero aún sirve como una simplificación matemática conveniente, ya que las ecuaciones de Maxwell se pueden simplificar en términos de cargas y corrientes libres .$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$$

Los campos E y D están relacionados por la permitividad del material, ε . ^{[21] [20]}

Para materiales lineales, homogéneos e isótropos , E y D son proporcionales y constantes en toda la región, no hay dependencia de la posición: $${\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} )=\varepsilon \mathbf {E} (\mathbf {r} ).}$$

Para materiales no homogéneos, existe una dependencia de la posición en todo el material: ^[22]$${\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} )=\varepsilon (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$$

Para los materiales anisotrópicos, los campos E y D no son paralelos, y por lo tanto E y D están relacionados por el tensor de permitividad (un campo tensorial de segundo orden ), en forma de componentes:$${\displaystyle D_{i}=\varepsilon _{ij}E_{j}}$$

En el caso de medios no lineales, E y D no son proporcionales. Los materiales pueden tener distintos grados de linealidad, homogeneidad e isotropía.

La invariancia de la forma de las ecuaciones de Maxwell bajo la transformación de Lorentz se puede utilizar para derivar el campo eléctrico de una carga puntual en movimiento uniforme. La carga de una partícula se considera invariante en el marco, como lo respalda la evidencia experimental. ^[23] Alternativamente, el campo eléctrico de cargas puntuales en movimiento uniforme se puede derivar de la transformación de Lorentz de cuatro fuerzas experimentadas por cargas de prueba en el marco de reposo de la fuente dada por la ley de Coulomb y asignando campo eléctrico y campo magnético por su definición dada por la forma de fuerza de Lorentz . ^[24] Sin embargo, la siguiente ecuación solo es aplicable cuando no hay aceleración involucrada en la historia de la partícula donde se puede considerar la ley de Coulomb o se pueden usar argumentos de simetría para resolver las ecuaciones de Maxwell de una manera simple. El campo eléctrico de una carga puntual que se mueve uniformemente viene dado por: ^[25] donde es la carga de la fuente puntual, es el vector de posición desde la fuente puntual hasta el punto en el espacio, es la relación entre la velocidad observada de la partícula de carga y la velocidad de la luz y es el ángulo entre y la velocidad observada de la partícula cargada. $${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}\mathbf {r} ,}$$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {r} }$

La ecuación anterior se reduce a la dada por la ley de Coulomb para velocidades no relativistas de la carga puntual. La simetría esférica no se satisface debido a la ruptura de la simetría en el problema por la especificación de la dirección de la velocidad para el cálculo del campo. Para ilustrar esto, las líneas de campo de cargas en movimiento a veces se representan como líneas radiales desigualmente espaciadas que aparecerían igualmente espaciadas en un marco de referencia en movimiento conjunto. ^[23]

La teoría especial de la relatividad impone el principio de localidad , que requiere que la causa y el efecto sean eventos separados en el tiempo donde la eficacia causal no viaja más rápido que la velocidad de la luz . ^{[26] Se encuentra que} las leyes de Maxwell confirman esta visión ya que las soluciones generales de los campos se dan en términos de tiempo retardado que indica que las perturbaciones electromagnéticas viajan a la velocidad de la luz . El tiempo avanzado, que también proporciona una solución para la ley de Maxwell, se ignora como una solución no física.

Para el movimiento de una partícula cargada , considerando por ejemplo el caso de una partícula en movimiento con el campo eléctrico descrito anteriormente que se detiene bruscamente, los campos eléctricos en puntos alejados de ella no revierten inmediatamente a los dados clásicamente para una carga estacionaria. Al detenerse, el campo alrededor de los puntos estacionarios comienza a revertir al estado esperado y este efecto se propaga hacia afuera a la velocidad de la luz mientras que las líneas de campo eléctrico alejadas de este continuarán apuntando radialmente hacia una supuesta carga en movimiento. Esta partícula virtual nunca estará fuera del rango de propagación de la perturbación en el campo electromagnético , ya que las partículas cargadas están restringidas a tener velocidades más lentas que la de la luz, lo que hace imposible construir una superficie gaussiana en esta región que viole la ley de Gauss . Otra dificultad técnica que apoya esto es que las partículas cargadas que viajan más rápido o igual a la velocidad de la luz ya no tienen un tiempo retardado único. Como las líneas de campo eléctrico son continuas, se genera un pulso electromagnético de radiación que se conecta en el límite de esta perturbación que viaja hacia afuera a la velocidad de la luz . ^[27] En general, cualquier carga puntual en aceleración irradia ondas electromagnéticas ; sin embargo, en sistemas de cargas es posible una aceleración no radiante .

Para cargas puntuales que se mueven arbitrariamente, la propagación de campos potenciales como los campos de calibre de Lorenz a la velocidad de la luz debe tenerse en cuenta utilizando el potencial de Liénard-Wiechert . ^[28] Dado que los potenciales satisfacen las ecuaciones de Maxwell , los campos derivados para la carga puntual también satisfacen las ecuaciones de Maxwell . El campo eléctrico se expresa como: ^[29] donde es la carga de la fuente puntual, es el tiempo retardado o el tiempo en el que se originó la contribución de la fuente al campo eléctrico, es el vector de posición de la partícula, es un vector unitario que apunta desde la partícula cargada al punto en el espacio, es la velocidad de la partícula dividida por la velocidad de la luz, y es el factor de Lorentz correspondiente . El tiempo retardado se da como solución de:$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\mathbf {t} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})}{\gamma ^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} _{s}\times {\big (}(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})\times {\dot {{\boldsymbol {\beta }}_{s}}}{\big )}}{c(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t=t_{r}}}$$${\displaystyle q}$${\textstyle {t_{r}}}$${\textstyle {r}_{s}(t)}$${\textstyle {n}_{s}(\mathbf {r} ,t)}$${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)}$${\textstyle \gamma (t)}$${\displaystyle t_{r}=\mathbf {t} -{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|}{c}}}$

La unicidad de la solución para para dado , y es válida para partículas cargadas que se mueven a una velocidad menor que la de la luz. Se sabe que la radiación electromagnética de cargas aceleradas es causada por el término dependiente de la aceleración en el campo eléctrico a partir del cual se obtiene la corrección relativista para la fórmula de Larmor . ^[29]${\textstyle {t_{r}}}$${\displaystyle \mathbf {t} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle r_{s}(t)}$

Existe otro conjunto de soluciones para la ecuación de Maxwell de la misma forma pero para tiempo avanzado en lugar de tiempo retardado dado como solución de:${\textstyle {t_{a}}}$

${\displaystyle t_{a}=\mathbf {t} +{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{a})|}{c}}}$

Dado que la interpretación física de esto indica que el campo eléctrico en un punto está gobernado por el estado de la partícula en un punto del tiempo en el futuro, se considera una solución no física y, por lo tanto, se descuida. Sin embargo, ha habido teorías que exploran las soluciones temporales avanzadas de las ecuaciones de Maxwell , como la teoría de absorción de Feynman-Wheeler .

La ecuación anterior, aunque es coherente con la de cargas puntuales en movimiento uniforme así como con su límite no relativista, no está corregida para efectos mecánicos cuánticos.

Configuración de carga	Cifra	Campo eléctrico
Alambre infinito		${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}x}}{\hat {\mathbf {x} }},}$ donde es la densidad de carga lineal uniforme.${\displaystyle \lambda }$
Superficie infinitamente grande		${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}{\hat {\mathbf {x} }},}$ donde es la densidad de carga superficial uniforme.${\displaystyle \sigma }$
Volumen cilíndrico infinitamente largo		${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}x}}{\hat {\mathbf {x} }},}$ donde es la densidad de carga lineal uniforme.${\displaystyle \lambda }$
Volumen esférico		${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}x^{2}}}{\hat {\mathbf {x} }},}$ fuera de la esfera, donde está la carga total distribuida uniformemente en el volumen.${\displaystyle Q}$	${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {Qr}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$ dentro de la esfera, donde está la carga total distribuida uniformemente en el volumen.${\displaystyle Q}$
Superficie esférica		${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}x^{2}}}{\hat {\mathbf {x} }},}$ fuera de la esfera, donde está la carga total distribuida uniformemente en la superficie.${\displaystyle Q}$	${\displaystyle \mathbf {E} =0,}$ dentro de la esfera para una distribución uniforme de la carga.
Anillo cargado		${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {Qx}{4\pi \varepsilon _{0}(R^{2}+x^{2})^{3/2}}}{\hat {\mathbf {x} }},}$ en el eje, donde está la carga total distribuida uniformemente en el anillo.${\displaystyle Q}$
Disco cargado		${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}\left[1-{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+R^{2}}}}\right]{\hat {\mathbf {x} }},}$ en el eje, donde es la densidad de carga superficial uniforme.${\displaystyle \sigma }$
Dipolo eléctrico		${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {\mathbf {p} }{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}},}$ en el plano ecuatorial, donde es el momento dipolar eléctrico.${\displaystyle \mathbf {p} }$	${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {\mathbf {p} }{2\pi \varepsilon _{0}x^{3}}},}$ en el eje (dado que ), donde también puede ser negativo para indicar la posición en la dirección opuesta en el eje, y es el momento dipolar eléctrico.${\displaystyle x\gg d}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {p} }$

El campo eléctrico infinitamente cercano a una superficie conductora en equilibrio electrostático que tiene densidad de carga en ese punto se debe a que las cargas solo se forman en la superficie y la superficie a escala infinitesimal se asemeja a un plano 2D infinito. En ausencia de campos externos, los conductores esféricos exhiben una distribución de carga uniforme en la superficie y, por lo tanto, tienen el mismo campo eléctrico que el de la distribución uniforme de la superficie esférica.${\displaystyle \sigma }$${\textstyle {\frac {\sigma }{\varepsilon _{0}}}{\hat {\mathbf {x} }}}$

• Electromagnetismo clásico
• Electromagnetismo relativista
• Electricidad
• Historia de la teoría electromagnética
• Campo electromagnético
• Magnetismo
• Tubo Teltron
• Teledeltos , un papel conductor que puede utilizarse como un ordenador analógico simple para modelar campos

• Purcell, Edward; Morin, David (2013). Electricidad y magnetismo (3.ª ed.). Cambridge University Press, Nueva York. ISBN 978-1-107-01402-2.
• Browne, Michael (2011). Física para la ingeniería y la ciencia (2.ª ed.). McGraw-Hill, Schaum, Nueva York. ISBN 978-0-07-161399-6.

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• Campo eléctrico en “Electricidad y magnetismo”, R Nave – Hiperfísica , Universidad Estatal de Georgia
• Conferencias de Frank Wolfs en la Universidad de Rochester , capítulos 23 y 24
• Campos Archivado el 27 de mayo de 2010 en Wayback Machine – un capítulo de un libro de texto en línea