Potencial de Liénard-Wiechert

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Covariant formulation Electromagnetic tensor Electromagnetism and special relativity Four-current Four-potential Mathematical descriptions Maxwell equations in curved spacetime Relativistic electromagnetism Stress–energy tensor
Scientists Ampère Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Helmholtz Henry Hertz Hopkinson Jefimenko Joule Kelvin Kirchhoff Larmor Lenz Liénard Lorentz Maxwell Neumann Ohm Ørsted Poisson Poynting Ritchie Savart Singer Steinmetz Tesla Thomson Volta Weber Wiechert
v t e

Los potenciales de Liénard-Wiechert describen el efecto electromagnético clásico de una carga eléctrica puntual en movimiento en términos de un potencial vectorial y un potencial escalar en el calibre de Lorenz . Provienen directamente de las ecuaciones de Maxwell y describen el campo electromagnético completo, relativistamente correcto y variable en el tiempo para una carga puntual en movimiento arbitrario, pero no están corregidos para los efectos mecánicos cuánticos . La radiación electromagnética en forma de ondas se puede obtener a partir de estos potenciales. Estas expresiones fueron desarrolladas en parte por Alfred-Marie Liénard en 1898 ^[1] e independientemente por Emil Wiechert en 1900. ^{[2] [3]}

El tiempo retardado se define, en el contexto de distribuciones de cargas y corrientes, como

${\displaystyle t_{r}(\mathbf {r} ,\mathbf {r_{s}} ,t)=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|,}$

donde es el punto de observación, y es el punto observado sujeto a las variaciones de las cargas y corrientes de la fuente. Para una carga puntual en movimiento cuya trayectoria dada es , ya no es fija, sino que se convierte en una función del tiempo retardado en sí. En otras palabras, siguiendo la trayectoria de se obtiene la ecuación implícita ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {r} _{s}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {r_{s}} (t)}$${\displaystyle \mathbf {r_{s}} }$${\displaystyle q}$

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|,}$

que proporciona el tiempo retardado en función del tiempo actual (y de la trayectoria dada): ${\displaystyle t_{r}}$

${\displaystyle t_{r}=t_{r}(\mathbf {r} ,t)}$.

Los potenciales de Liénard-Wiechert (campo de potencial escalar) y (campo de potencial vectorial) son, para una carga puntual fuente en la posición que viaja con velocidad :${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {r} _{s}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{s}}$

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}}$

y

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}c}{4\pi }}\left({\frac {q{\boldsymbol {\beta }}_{s}}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}={\frac {{\boldsymbol {\beta }}_{s}(t_{r})}{c}}\varphi (\mathbf {r} ,t)}$

dónde:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)={\frac {\mathbf {v} _{s}(t)}{c}}}$es la velocidad de la fuente expresada como una fracción de la velocidad de la luz;
• ${\displaystyle {|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}$es la distancia desde la fuente;
• ${\displaystyle \mathbf {n} _{s}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}}$es el vector unitario que apunta en la dirección desde la fuente y,
• El símbolo significa que las cantidades dentro del paréntesis deben evaluarse en el tiempo retardado .${\displaystyle (\cdots )_{t_{r}}}$${\displaystyle t_{r}=t_{r}(\mathbf {r} ,t)}$

Esto también se puede escribir de forma covariante , donde el potencial electromagnético de cuatro en es: ^[4]${\displaystyle X^{\mu }=(t,x,y,z)}$

${\displaystyle A^{\mu }(X)=-{\frac {\mu _{0}qc}{4\pi }}\left({\frac {U^{\mu }}{R_{\nu }U^{\nu }}}\right)_{t_{r}}}$

donde y es la posición de la fuente y es su cuarta velocidad.${\displaystyle R^{\mu }=X^{\mu }-R_{\rm {s}}^{\mu }}$${\displaystyle R_{\rm {s}}^{\mu }}$${\displaystyle U^{\mu }=dX^{\mu }/d\tau }$

Podemos calcular los campos eléctricos y magnéticos directamente a partir de los potenciales utilizando las definiciones: y$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$$$${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$$

El cálculo no es trivial y requiere una serie de pasos. Los campos eléctrico y magnético son (en forma no covariante): y donde , y (el factor de Lorentz ).$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})}{\gamma ^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} _{s}\times {\big (}(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})\times {\dot {{\boldsymbol {\beta }}_{s}}}{\big )}}{c(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}}$$$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {qc({\boldsymbol {\beta }}_{s}\times \mathbf {n} _{s})}{\gamma ^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} _{s}\times {\Big (}\mathbf {n} _{s}\times {\big (}(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})\times {\dot {{\boldsymbol {\beta }}_{s}}}{\big )}{\Big )}}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}={\frac {\mathbf {n} _{s}(t_{r})}{c}}\times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}$$${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)={\frac {\mathbf {v} _{s}(t)}{c}}}$${\textstyle \mathbf {n} _{s}(t)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t)|}}}$${\textstyle \gamma (t)={\frac {1}{\sqrt {1-|{\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)|^{2}}}}}$

Obsérvese que la parte del primer término del campo eléctrico actualiza la dirección del campo hacia la posición instantánea de la carga, si esta continúa moviéndose a velocidad constante . Este término está relacionado con la parte "estática" del campo electromagnético de la carga.${\displaystyle \mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}}$${\displaystyle c{\boldsymbol {\beta }}_{s}}$

El segundo término, que está relacionado con la radiación electromagnética por la carga en movimiento, requiere aceleración de la carga y si esta es cero, el valor de este término es cero y la carga no irradia (emite radiación electromagnética). Este término requiere además que un componente de la aceleración de la carga esté en una dirección transversal a la línea que conecta la carga y el observador del campo . La dirección del campo asociada con este término radiativo es hacia la posición completamente retardada en el tiempo de la carga (es decir, donde estaba la carga cuando fue acelerada).${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}$

Los potenciales escalares y vectoriales satisfacen la ecuación de onda electromagnética no homogénea donde las fuentes se expresan con las densidades de carga y corriente y la ley de Ampère-Maxwell es:${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{{\partial } \over \partial t}\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-{\rho \over \varepsilon _{0}}\,,}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} \over \partial t^{2}}-\nabla \left({1 \over c^{2}}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\mu _{0}\mathbf {J} \,.}$$

Dado que los potenciales no son únicos, sino que tienen libertad de calibración , estas ecuaciones se pueden simplificar mediante la fijación de calibración . Una opción común es la condición de calibración de Lorenz :$${\displaystyle {1 \over c^{2}}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} =0}$$

Entonces las ecuaciones de onda no homogéneas se desacoplan y se vuelven simétricas en los potenciales:$${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\varphi \over \partial t^{2}}=-{\rho \over \varepsilon _{0}}\,,}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} \over \partial t^{2}}=-\mu _{0}\mathbf {J} \,.}$$

En general, las soluciones retardadas para los potenciales escalares y vectoriales (unidades SI) son y$${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} '+\varphi _{0}(\mathbf {r} ,t)}$$$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} '+\mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} ,t)}$$

donde es el tiempo retardado y y satisfacen la ecuación de onda homogénea sin fuentes ni condiciones de contorno. En el caso de que no haya límites que rodeen las fuentes, entonces y .${\textstyle t_{r}'=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}$${\displaystyle \varphi _{0}(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \varphi _{0}(\mathbf {r} ,t)=0}$${\displaystyle \mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} ,t)=0}$

Para una carga puntual en movimiento cuya trayectoria está dada en función del tiempo por , las densidades de carga y de corriente son las siguientes:${\displaystyle \mathbf {r} _{s}(t')}$

$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ',t')=q\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))}$$$${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t')=q\mathbf {v} _{s}(t')\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))}$$

donde es la función delta de Dirac tridimensional y es la velocidad de la carga puntual.${\displaystyle \delta ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{s}(t')}$

Sustituyendo en las expresiones para el potencial se obtiene$${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {q\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t_{r}'))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} '}$$$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {q\mathbf {v} _{s}(t_{r}')\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t_{r}'))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} '}$$

Estas integrales son difíciles de evaluar en su forma actual, por lo que las reescribiremos reemplazándolas con e integrando sobre la distribución delta :${\displaystyle t_{r}'}$${\displaystyle t'}$${\displaystyle \delta (t'-t_{r}')}$$${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iint {\frac {q\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\delta (t'-t_{r}')\,dt'\,d^{3}\mathbf {r} '}$$$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iint {\frac {q\mathbf {v} _{s}(t')\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\delta (t'-t_{r}')\,dt'\,d^{3}\mathbf {r} '}$$

Intercambiamos el orden de integración:$${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iint {\frac {\delta (t'-t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}q\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))\,d^{3}\mathbf {r} 'dt'}$$$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iint {\frac {\delta (t'-t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}q\mathbf {v} _{s}(t')\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))\,d^{3}\mathbf {r} 'dt'}$$

La función delta selecciona lo que nos permite realizar la integración interna con facilidad. Tenga en cuenta que es una función de , por lo que esta integración también corrige .${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} _{s}(t')}$${\displaystyle t_{r}'}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\textstyle t_{r}'=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|}$$${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int q{\frac {\delta (t'-t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|}}dt'}$$$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int q\mathbf {v} _{s}(t'){\frac {\delta (t'-t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|}}\,dt'}$$

El tiempo retardado es una función del punto de campo y la trayectoria de la fuente , y por lo tanto depende de . Por lo tanto, para evaluar esta integral, necesitamos la identidad donde cada uno es un cero de . Debido a que solo hay un tiempo retardado para cualquier coordenada espacio-temporal y trayectoria de la fuente dadas , esto se reduce a: donde y se evalúan en el tiempo retardado , y hemos usado la identidad con . Observe que el tiempo retardado es la solución de la ecuación . Finalmente, la función delta selecciona , y que son los potenciales de Liénard–Wiechert.${\displaystyle t_{r}'}$${\displaystyle (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {r} _{s}(t')}$${\displaystyle t'}$$${\displaystyle \delta (f(t'))=\sum _{i}{\frac {\delta (t'-t_{i})}{|f'(t_{i})|}}}$$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle t_{r}}$${\displaystyle (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {r} _{s}(t')}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta (t'-t_{r}')=&{\frac {\delta (t'-t_{r})}{{\frac {\partial }{\partial t'}}(t'-t_{r}')|_{t'=t_{r}}}}={\frac {\delta (t'-t_{r})}{{\frac {\partial }{\partial t'}}(t'-(t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|))|_{t'=t_{r}}}}\\&={\frac {\delta (t'-t_{r})}{1+{\frac {1}{c}}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t'))/|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|\cdot (-\mathbf {v} _{s}(t'))|_{t'=t_{r}}}}\\&={\frac {\delta (t'-t_{r})}{1-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s})/|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{s}=\mathbf {v} _{s}/c}$${\displaystyle \mathbf {r} _{s}}$${\displaystyle t_{r}}$${\displaystyle |\mathbf {x} |'={\hat {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {x} '}$${\displaystyle t_{r}}$${\textstyle t_{r}=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|}$${\displaystyle t'=t_{r}}$$${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(1-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s})/|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|)}}\right)_{t_{r}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}}$$$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {q\mathbf {v} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(1-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s})/|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|)}}\right)_{t_{r}}={\frac {\mu _{0}c}{4\pi }}\left({\frac {q{\boldsymbol {\beta }}_{s}}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}}$$

Para calcular las derivadas de y es conveniente calcular primero las derivadas del tiempo retardado. Tomando las derivadas de ambos lados de su ecuación definitoria (recordando que ): Derivando con respecto a t,${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {r_{s}} =\mathbf {r_{s}} (t_{r})}$$${\displaystyle t_{r}+{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |=t}$$$${\displaystyle {\frac {dt_{r}}{dt}}+{\frac {1}{c}}{\frac {dt_{r}}{dt}}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}=1}$$

$${\displaystyle {\frac {dt_{r}}{dt}}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)=1}$$

$${\displaystyle {\frac {dt_{r}}{dt}}={\frac {1}{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}}$$

De manera similar, al tomar el gradiente con respecto a y utilizar la regla de la cadena multivariable se obtiene${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}t_{r}+{\frac {1}{c}}{\boldsymbol {\nabla }}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |=0}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}t_{r}+{\frac {1}{c}}\left({\boldsymbol {\nabla }}t_{r}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}+\mathbf {n} _{s}\right)=0}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}t_{r}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)=-\mathbf {n} _{s}/c}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}t_{r}=-{\frac {\mathbf {n} _{s}/c}{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}}$$

Resulta que

$${\displaystyle {\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt}}={\frac {dt_{r}}{dt}}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}={\frac {-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}c}{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |={\boldsymbol {\nabla }}t_{r}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}+\mathbf {n} _{s}={\frac {\mathbf {n} _{s}}{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}}$$

Estos se pueden utilizar para calcular las derivadas del potencial vectorial y las expresiones resultantes son

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left[(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})\right]\\=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left[|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right]\\=&-{\frac {qc}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}+{\beta _{s}}^{2}-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} =&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}-\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big )}\\=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\cdot \\&\left[(\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})-{\beta }_{s}^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})-{\beta }_{s}^{2}\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}+\left((\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)(\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})+{\big (}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big )}(\mathbf {n} _{s}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)\right]\\=&{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[\beta _{s}^{2}-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\end{aligned}}}$$

Estos muestran que se satisface el calibre de Lorenz, es decir que .${\textstyle {\frac {d\varphi }{dt}}+c^{2}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} =0}$

De manera similar se calcula:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\varphi =-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[\mathbf {n} _{s}\left(1-{\beta _{s}}^{2}+(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)-{\boldsymbol {\beta }}_{s}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})\right]}$$

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {A} }{dt}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[{\boldsymbol {\beta }}_{s}\left(\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}-{\beta _{s}}^{2}+(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)+|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |{\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})/c\right]}$$

Al observar que para cualquier vector , , : La expresión para el campo eléctrico mencionado anteriormente se convierte en que se ve fácilmente que es igual a${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {w} }$$${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} }$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=&{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}}}\cdot \\&\left[\left(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)(1-{\beta _{s}}^{2})+|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(\mathbf {n} _{s}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})-|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|{\big (}\mathbf {n} _{s}\cdot (\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}){\big )}{\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\end{aligned}}}$$${\displaystyle -{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -{\frac {d\mathbf {A} }{dt}}}$

De manera similar se da la expresión del campo magnético mencionado anteriormente: Los términos fuente , , y deben evaluarse en el tiempo retardado.${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {B} }=&{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} \\[1ex]=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}-\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big )}\\=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\cdot \\&\qquad \left[(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})-({\boldsymbol {\beta }}_{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})-{\beta }_{s}^{2}\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}+\left((\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})+{\big (}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big )}(\mathbf {n} _{s}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)\right]\\=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}}}\cdot \\&\qquad \left[\left(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)(1-{\beta _{s}}^{2})+|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(\mathbf {n} _{s}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})+|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|{\big (}\mathbf {n} _{s}\cdot (\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}){\big )}\mathbf {n} _{s}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\\[1ex]=&{\frac {\mathbf {n} _{s}}{c}}\times \mathbf {E} \end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {r} _{s}}$${\displaystyle \mathbf {n} _{s}}$${\displaystyle \mathbf {\beta } _{s}}$

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El estudio de la electrodinámica clásica fue fundamental para el desarrollo de la teoría de la relatividad por parte de Albert Einstein . El análisis del movimiento y la propagación de las ondas electromagnéticas condujo a la descripción del espacio y el tiempo según la relatividad especial . La formulación de Liénard-Wiechert es una importante plataforma de lanzamiento para un análisis más profundo de las partículas relativistas en movimiento.

La descripción de Liénard-Wiechert es precisa para una partícula grande que se mueve independientemente (es decir, el tratamiento es "clásico" y la aceleración de la carga se debe a una fuerza independiente del campo electromagnético). La formulación de Liénard-Wiechert siempre proporciona dos conjuntos de soluciones: los campos avanzados son absorbidos por las cargas y los campos retardados son emitidos. Schwarzschild y Fokker consideraron el campo avanzado de un sistema de cargas en movimiento y el campo retardado de un sistema de cargas que tienen la misma geometría y cargas opuestas. La linealidad de las ecuaciones de Maxwell en el vacío permite sumar ambos sistemas, de modo que las cargas desaparecen: Este truco permite que las ecuaciones de Maxwell se vuelvan lineales en la materia. Multiplicar los parámetros eléctricos de ambos problemas por constantes reales arbitrarias produce una interacción coherente de la luz con la materia que generaliza la teoría de Einstein ^[5] que ahora se considera como la teoría fundadora de los láseres: no es necesario estudiar un gran conjunto de moléculas idénticas para obtener una amplificación coherente en el modo obtenido por multiplicaciones arbitrarias de campos avanzados y retardados. Para calcular la energía es necesario utilizar los campos absolutos que incluyen el campo del punto cero; de lo contrario, aparece un error, por ejemplo en el conteo de fotones.

Es importante tener en cuenta el campo de punto cero descubierto por Planck ^[6] . Este reemplaza el coeficiente "A" de Einstein y explica que el electrón clásico es estable en las órbitas clásicas de Rydberg. Además, al introducir las fluctuaciones del campo de punto cero se produce la corrección de Willis E. Lamb de los niveles del átomo de H.

La electrodinámica cuántica ayudó a conciliar el comportamiento radiativo con las limitaciones cuánticas. Introduce la cuantificación de los modos normales del campo electromagnético en resonadores ópticos supuestamente perfectos.

La fuerza sobre una partícula en una ubicación dada r y tiempo t depende de una manera complicada de la posición de las partículas fuente en un tiempo anterior t _r debido a la velocidad finita, c , a la que viaja la información electromagnética. Una partícula en la Tierra "ve" una partícula cargada acelerarse en la Luna como esta aceleración ocurrió hace 1,5 segundos, y la aceleración de una partícula cargada en el Sol como ocurrió hace 500 segundos. Este tiempo anterior en el que ocurre un evento tal que una partícula en la ubicación r "ve" este evento en un tiempo posterior t se llama tiempo retardado , t _r . El tiempo retardado varía con la posición; por ejemplo, el tiempo retardado en la Luna es 1,5 segundos antes del tiempo actual y el tiempo retardado en el Sol es 500 s antes del tiempo actual en la Tierra. El tiempo retardado t _r = t _r ( r , t ) se define implícitamente por

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {R(t_{r})}{c}}}$

donde es la distancia de la partícula a la fuente en el tiempo retardado. Solo los efectos de las ondas electromagnéticas dependen completamente del tiempo retardado.${\displaystyle R(t_{r})}$

Una característica novedosa del potencial de Liénard-Wiechert se observa en la descomposición de sus términos en dos tipos de términos de campo (ver más abajo), de los cuales sólo uno depende completamente del tiempo retardado. El primero de ellos es el término de campo eléctrico estático (o magnético) que depende sólo de la distancia a la carga en movimiento y no depende en absoluto del tiempo retardado, si la velocidad de la fuente es constante. El otro término es dinámico, en el sentido de que requiere que la carga en movimiento se acelere con un componente perpendicular a la línea que conecta la carga y el observador y no aparece a menos que la fuente cambie de velocidad. Este segundo término está relacionado con la radiación electromagnética.

El primer término describe los efectos de campo cercano de la carga, y su dirección en el espacio se actualiza con un término que corrige cualquier movimiento de velocidad constante de la carga en su campo estático distante, de modo que el campo estático distante aparece a distancia de la carga, sin aberración de la luz o corrección del tiempo de luz . Este término, que corrige los retrasos de retardo temporal en la dirección del campo estático, es requerido por la invariancia de Lorentz. Una carga que se mueve con una velocidad constante debe aparecer a un observador distante exactamente de la misma manera que una carga estática aparece a un observador en movimiento, y en el último caso, la dirección del campo estático debe cambiar instantáneamente, sin retraso temporal. Por lo tanto, los campos estáticos (el primer término) apuntan exactamente a la verdadera posición instantánea (no retardada) del objeto cargado si su velocidad no ha cambiado durante el retraso temporal retardado. Esto es cierto sobre cualquier distancia que separe los objetos.

El segundo término, sin embargo, que contiene información sobre la aceleración y otro comportamiento único de la carga que no se puede eliminar cambiando el marco de Lorentz (marco de referencia inercial del observador), depende completamente de la dirección de la posición retardada en el tiempo de la fuente. Por lo tanto, la radiación electromagnética (descrita por el segundo término) siempre parece provenir de la dirección de la posición de la carga emisora ​​en el tiempo retardado . Solo este segundo término describe la transferencia de información sobre el comportamiento de la carga, que ocurre (irradia desde la carga) a la velocidad de la luz. A distancias "lejanas" (más largas que varias longitudes de onda de radiación), la dependencia 1/R de este término hace que los efectos de campo electromagnético (el valor de este término de campo) sean más potentes que los efectos de campo "estáticos", que se describen por el campo 1/R ² del primer término (estático) y, por lo tanto, decaen más rápidamente con la distancia desde la carga.

No se garantiza que el tiempo retardado exista en general. Por ejemplo, si, en un sistema de referencia dado, se acaba de crear un electrón, entonces en este mismo momento otro electrón aún no siente en absoluto su fuerza electromagnética. Sin embargo, bajo ciertas condiciones, siempre existe un tiempo retardado. Por ejemplo, si la carga fuente ha existido durante una cantidad ilimitada de tiempo, durante el cual siempre ha viajado a una velocidad que no exceda , entonces existe un tiempo retardado válido . Esto se puede ver considerando la función . En el momento actual ; . La derivada está dada por${\displaystyle v_{M}<c}$${\displaystyle t_{r}}$${\displaystyle f(t')=|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|-c(t-t')}$${\displaystyle t'=t}$${\displaystyle f(t')=|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|-c(t-t')=|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|\geq 0}$${\displaystyle f'(t')}$

${\displaystyle f'(t')={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|}}\cdot (-\mathbf {v} _{s}(t'))+c\geq c-\left|{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|}}\right|\,|\mathbf {v} _{s}(t')|=c-|\mathbf {v} _{s}(t')|\geq c-v_{M}>0}$

Por el teorema del valor medio , . Al hacer que sea suficientemente grande, puede volverse negativo, es decir , en algún punto en el pasado, . Por el teorema del valor intermedio , existe un intermedio con , la ecuación definitoria del tiempo retardado. Intuitivamente, a medida que la carga fuente se mueve hacia atrás en el tiempo, la sección transversal de su cono de luz en el tiempo presente se expande más rápido de lo que puede retroceder, por lo que eventualmente debe alcanzar el punto . Esto no es necesariamente cierto si se permite que la velocidad de la carga fuente sea arbitrariamente cercana a , es decir , si para cualquier velocidad dada hubo algún tiempo en el pasado cuando la carga se movía a esta velocidad. En este caso, la sección transversal del cono de luz en el tiempo presente se aproxima al punto a medida que el observador viaja hacia atrás en el tiempo, pero no necesariamente lo alcanza.${\displaystyle f(t-\Delta t)\leq f(t)-f'(t)\Delta t\leq f(t)-(c-v_{M})\Delta t}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle f(t')<0}$${\displaystyle t_{r}}$${\displaystyle f(t_{r})=0}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle v<c}$${\displaystyle \mathbf {r} }$

Para un punto y trayectoria dados de la fuente puntual , hay como máximo un valor del tiempo retardado , es decir , un valor tal que . Esto se puede realizar suponiendo que hay dos tiempos retardados y , con . Entonces, y . Restando se obtiene por la desigualdad triangular . A menos que , esto implica que la velocidad media de la carga entre y es , lo cual es imposible. La interpretación intuitiva es que uno solo puede "ver" la fuente puntual en una ubicación/tiempo a la vez a menos que viaje al menos a la velocidad de la luz a otra ubicación. A medida que la fuente avanza en el tiempo, la sección transversal de su cono de luz en el tiempo actual se contrae más rápido de lo que la fuente puede acercarse, por lo que nunca puede volver a intersecar el punto.${\displaystyle (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {r} _{s}(t')}$${\displaystyle t_{r}}$${\displaystyle t_{r}}$${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|=c(t-t_{r})}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle t_{2}}$${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{1})|=c(t-t_{1})}$${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{2})|=c(t-t_{2})}$$${\displaystyle c(t_{2}-t_{1})=|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{1})|-|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{2})|\leq |\mathbf {r} _{s}(t_{2})-\mathbf {r} _{s}(t_{1})|}$$${\displaystyle t_{2}=t_{1}}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle t_{2}}$${\displaystyle |\mathbf {r} _{s}(t_{2})-\mathbf {r} _{s}(t_{1})|/(t_{2}-t_{1})\geq c}$${\displaystyle \mathbf {r} }$

La conclusión es que, bajo ciertas condiciones, el tiempo retardado existe y es único.

• Las ecuaciones de Maxwell que rigen el electromagnetismo clásico
• Electromagnetismo clásico para la teoría más amplia que rodea este análisis.
• Electromagnetismo relativista
• La relatividad especial , que fue una consecuencia directa de estos análisis
• Fórmula de Rydberg para la descripción cuántica de la radiación electromagnética debida a los electrones orbitales atómicos
• Ecuaciones de Jefimenko
• Fórmula de Larmor
• Fuerza de Abraham-Lorentz
• Ecuación de onda electromagnética no homogénea
• Teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman también conocida como teoría simétrica temporal de Wheeler-Feynman
• Paradoja de una carga en un campo gravitacional
• La teoría de la gravitación de Whitehead

• Las conferencias de Feynman sobre física, vol. II, cap. 21: Soluciones de las ecuaciones de Maxwell con corrientes y cargas