Tensor de energía y tensión electromagnética
Tipo de tensor de tensión-energía
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En física relativista , el tensor de tensión-energía electromagnética es la contribución al tensor de tensión-energía debido al campo electromagnético . [1] El tensor de tensión-energía describe el flujo de energía y momento en el espacio-tiempo . El tensor de tensión-energía electromagnética contiene el negativo del tensor de tensión de Maxwell clásico que gobierna las interacciones electromagnéticas.

Definición

Unidades del SI

En el espacio libre y en el espacio-tiempo plano, el tensor de tensión-energía electromagnética en unidades del SI es [1]

T μ ν = 1 μ 0 [ F μ α F ν α − 1 4 η μ ν F α β F α β ] . {\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.}

donde es el tensor electromagnético y donde es el tensor métrico de Minkowski de signatura métrica (− + + +) y se utiliza la convención de suma de Einstein sobre índices repetidos. Al utilizar la métrica con signatura (+ − − −) , el segundo término de la expresión a la derecha del signo igual tendrá signo opuesto. F μ ν {\displaystyle F^{\mu \nu }} η μ ν {\displaystyle \eta _{\mu \nu }}

Explícitamente en forma matricial:

T μ ν = [ 1 2 ( ϵ 0 E 2 + 1 μ 0 B 2 ) 1 c S x 1 c S y 1 c S z 1 c S x − σ xx − σ xy − σ xz 1 c S y − σ yx − σ yy − σ yz 1 c S z − σ zx − σ zy − σ zz ] , {\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}},}

dónde

S = 1 μ 0 E × B , {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,}

es el vector de Poynting ,

σ i j = ϵ 0 E i E j + 1 μ 0 B i B j − 1 2 ( ϵ 0 E 2 + 1 μ 0 B 2 ) δ i j {\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}}

es el tensor de tensión de Maxwell y c es la velocidad de la luz . Por lo tanto, se expresa y mide en unidades de presión del SI ( pascales ). T μ ν {\displaystyle T^{\mu \nu }}

Convenciones de unidades CGS

La permitividad del espacio libre y la permeabilidad del espacio libre en unidades cgs-gaussianas son

ϵ 0 = 1 4 π , μ 0 = 4 π {\displaystyle \epsilon _{0}={\frac {1}{4\pi }},\quad \mu _{0}=4\pi \,}

entonces:

T μ ν = 1 4 π [ F μ α F ν α − 1 4 η μ ν F α β F α β ] . {\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.}

y en forma matricial explícita:

T μ ν = [ 1 8 π ( E 2 + B 2 ) 1 c S x 1 c S y 1 c S z 1 c S x − σ xx − σ xy − σ xz 1 c S y − σ yx − σ yy − σ yz 1 c S z − σ zx − σ zy − σ zz ] {\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}}}

donde el vector de Poynting se convierte en:

S = c 4 π E × B . {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .}

El tensor de tensión-energía de un campo electromagnético en un medio dieléctrico es menos comprendido y es objeto de la controversia no resuelta de Abraham-Minkowski . [2]

El elemento del tensor de tensión-energía representa el flujo del componente μ del tetramomento del campo electromagnético, , que pasa por un hiperplano ( es constante). Representa la contribución del electromagnetismo a la fuente del campo gravitacional (curvatura del espacio-tiempo) en la relatividad general . T μ ν {\displaystyle T^{\mu \nu }\!} P μ {\displaystyle P^{\mu }\!} x ν {\displaystyle x^{\nu }}

Propiedades algebraicas

El tensor de tensión-energía electromagnética tiene varias propiedades algebraicas:

  • Es un tensor simétrico : T μ ν = T ν μ {\displaystyle T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }}
  • El tensor no tiene trazas : T ν α {\displaystyle T^{\nu }{}_{\alpha }} T α α = 0. {\displaystyle T^{\alpha }{}_{\alpha }=0.}
    Prueba

    Empezando con T μ μ = η μ ν T μ ν {\displaystyle T_{\mu }^{\mu }=\eta _{\mu \nu }T^{\mu \nu }}

    Utilizando la forma explícita del tensor, T μ μ = 1 4 π [ η μ ν F μ α F ν α − η μ ν η μ ν 1 4 F α β F α β ] {\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[\eta _{\mu \nu }F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-\eta _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]}

    Bajando los índices y aprovechando el hecho de que η μ ν η μ ν = δ μ μ {\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\eta _{\mu \nu }=\delta _{\mu }^{\mu }} T μ μ = 1 4 π [ F μ α F μ α − δ μ μ 1 4 F α β F α β ] {\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-\delta _{\mu }^{\mu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]}

    Luego, usando , δ μ μ = 4 {\displaystyle \delta _{\mu }^{\mu }=4} T μ μ = 1 4 π [ F μ α F μ α − F α β F α β ] {\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]}

    Tenga en cuenta que en el primer término, μ y α son solo índices ficticios, por lo que los etiquetamos como α y β respectivamente. T α α = 1 4 π [ F α β F α β − F α β F α β ] = 0 {\displaystyle T_{\alpha }^{\alpha }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]=0}

  • La densidad de energía es positiva-definida : T 00 ≥ 0 {\displaystyle T^{00}\geq 0}

La simetría del tensor es como la de un tensor general de tensión-energía en la relatividad general . La traza del tensor de energía-momento es un escalar de Lorentz ; el campo electromagnético (y en particular las ondas electromagnéticas) no tiene una escala de energía invariante de Lorentz , por lo que su tensor de energía-momento debe tener una traza que se desvanece. Esta ausencia de traza se relaciona finalmente con la falta de masa del fotón . [3]

Leyes de conservación

El tensor de tensión-energía electromagnética permite escribir de forma compacta las leyes de conservación del momento lineal y la energía en electromagnetismo. La divergencia del tensor de tensión-energía es:

∂ ν T μ ν + η μ ρ f ρ = 0 {\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\eta ^{\mu \rho }\,f_{\rho }=0\,}

¿Dónde está la fuerza de Lorentz (4D) por unidad de volumen sobre la materia ? f ρ {\displaystyle f_{\rho }}

Esta ecuación es equivalente a las siguientes leyes de conservación 3D

∂ u e m ∂ t + ∇ ⋅ S + J ⋅ E = 0 ∂ p e m ∂ t − ∇ ⋅ σ + ρ E + J × B = 0   ⇔   ϵ 0 μ 0 ∂ S ∂ t − ∇ ⋅ σ + f = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u_{\mathrm {em} }}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {p} _{\mathrm {em} }}{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \cdot \sigma +\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} &=0\ \Leftrightarrow \ \epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}-\nabla \cdot \mathbf {\sigma } +\mathbf {f} =0\end{aligned}}}

describiendo respectivamente el flujo de densidad de energía electromagnética

u e m = ϵ 0 2 E 2 + 1 2 μ 0 B 2 {\displaystyle u_{\mathrm {em} }={\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\,}

y densidad de momento electromagnético

p e m = S c 2 {\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {em} }={\mathbf {S} \over {c^{2}}}}

donde J es la densidad de corriente eléctrica , ρ la densidad de carga eléctrica y es la densidad de fuerza de Lorentz. f {\displaystyle \mathbf {f} }

Véase también

Referencias

  1. ^ ab Gravitación, JA Wheeler, C. Misner, KS Thorne, WH Freeman & Co, 1973, ISBN  0-7167-0344-0
  2. ^ Sin embargo, véase Pfeifer et al., Rev. Mod. Phys. 79, 1197 (2007)
  3. ^ Garg, Anupam. Electromagnetismo clásico en pocas palabras , pág. 564 (Princeton University Press, 2012).
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