Las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo

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Formulación covariante Tensor electromagnético Electromagnetismo y relatividad especial Cuatro corrientes Cuatro potenciales Descripciones matemáticas Ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo Electromagnetismo relativista Tensor de estrés-energía
Científicos Amperio Biot Culombio David Einstein Faraday Fizeau Gauss Lado pesado Helmholtz Enrique Hertz Hopkinson Jefimenko Joule Kelvin Kirchhoff Larmor Lenz Liénard Lorentz Maxwell Neumann Ohm Ørsted Pescado Poynting Ritchie Sabor Cantante Piedras preciosas Tesla Thomson Vuelta Weber Wiechert
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En física , las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo gobiernan la dinámica del campo electromagnético en el espacio-tiempo curvo (donde la métrica puede no ser la métrica de Minkowski ) o donde se utiliza un sistema de coordenadas arbitrario (no necesariamente cartesiano ). Estas ecuaciones pueden verse como una generalización de las ecuaciones de Maxwell del vacío que normalmente se formulan en las coordenadas locales del espacio-tiempo plano . Pero debido a que la relatividad general dicta que la presencia de campos electromagnéticos (o energía / materia en general) induce curvatura en el espacio-tiempo, ^[1] las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo plano deben verse como una aproximación conveniente.

Cuando se trabaja en presencia de materia en masa, distinguir entre cargas eléctricas libres y ligadas puede facilitar el análisis. Cuando se hace la distinción, se las llama ecuaciones de Maxwell macroscópicas . Sin esta distinción, a veces se las llama ecuaciones de Maxwell " microscópicas " para contrastar.

El campo electromagnético admite una descripción geométrica independiente de las coordenadas, y las ecuaciones de Maxwell expresadas en términos de estos objetos geométricos son las mismas en cualquier espacio-tiempo, curvo o no. Asimismo, se realizan las mismas modificaciones a las ecuaciones del espacio plano de Minkowski cuando se utilizan coordenadas locales que no son rectilíneas. Por ejemplo, las ecuaciones de este artículo se pueden utilizar para escribir las ecuaciones de Maxwell en coordenadas esféricas . Por estas razones, puede ser útil pensar en las ecuaciones de Maxwell en el espacio de Minkowski como un caso especial de la formulación general.

En la relatividad general , el tensor métrico ya no es una constante (como en Ejemplos de tensor métrico ) sino que puede variar en el espacio y el tiempo, y las ecuaciones del electromagnetismo en el vacío se vuelven ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\alpha \beta }&=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha },\\{\mathcal {D}}^{\mu \nu }&={\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}},\\J^{\mu }&=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu },\\f_{\mu }&=F_{\mu \nu }\,J^{\nu },\end{aligned}}}$

donde es la densidad de la fuerza de Lorentz , es la inversa del tensor métrico , y es el determinante del tensor métrico. Nótese que y son tensores (ordinarios), mientras que , , y son densidades tensoriales de peso +1. A pesar del uso de derivadas parciales , estas ecuaciones son invariantes bajo transformaciones arbitrarias de coordenadas curvilíneas. Por lo tanto, si uno reemplaza las derivadas parciales con derivadas covariantes , los términos adicionales introducidos de esta manera se cancelarían (ver Covarianza manifiesta § Ejemplo ).${\displaystyle f_{\mu }}$${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$${\displaystyle g}$${\displaystyle A_{\alpha }}$${\displaystyle F_{\alpha \beta }}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$${\displaystyle J^{\nu }}$${\displaystyle f_{\mu }}$

El potencial electromagnético es un vector covariante A _α , que es la primitiva indefinida del electromagnetismo. Al ser un vector covariante, sus componentes se transforman de un sistema de coordenadas a otro según

${\displaystyle {\bar {A}}_{\beta }({\bar {x}})={\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }(x).}$

El campo electromagnético es un tensor antisimétrico covariante de grado 2, que puede definirse en términos del potencial electromagnético por$${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }.}$$

Para ver que esta ecuación es invariante, transformamos las coordenadas como se describe en el tratamiento clásico de los tensores :$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {F}}_{\alpha \beta }&={\frac {\partial {\bar {A}}_{\beta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}-{\frac {\partial {\bar {A}}_{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }\right)-{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }\right)\\&={\frac {\partial ^{2}x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }+{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}-{\frac {\partial ^{2}x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }-{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\&={\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}-{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\\&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}-{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\right)\\&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}F_{\delta \gamma }.\end{aligned}}}$$

Esta definición implica que el campo electromagnético satisface la ley de inducción de Faraday y la ley de magnetismo de Gauss . Esto se ve en$${\displaystyle \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=0,}$$$${\displaystyle \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=\partial _{\lambda }\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\lambda }\partial _{\nu }A_{\mu }+\partial _{\mu }\partial _{\nu }A_{\lambda }-\partial _{\mu }\partial _{\lambda }A_{\nu }+\partial _{\nu }\partial _{\lambda }A_{\mu }-\partial _{\nu }\partial _{\mu }A_{\lambda }=0.}$$

Por lo tanto, el lado derecho de esa ley de Maxwell es idénticamente cero, lo que significa que la teoría clásica del campo EM no deja espacio para que los monopolos magnéticos o las corrientes de los mismos actúen como fuentes del campo.

Aunque parece haber 64 ecuaciones en Faraday-Gauss, en realidad se reduce a solo cuatro ecuaciones independientes. Usando la antisimetría del campo electromagnético, se puede reducir a una identidad (0 = 0) o hacer redundantes todas las ecuaciones excepto aquellas en las que { λ , μ , ν } sea {1, 2, 3}, {2, 3, 0}, {3, 0, 1} o {0, 1, 2}.

La ecuación de Faraday-Gauss se escribe a veces de la siguiente manera: un punto y coma indica una derivada covariante, una coma indica una derivada parcial y los corchetes indican antisimetrización (consulte el cálculo de Ricci para conocer la notación). La derivada covariante del campo electromagnético es donde Γ ^α _βγ es el símbolo de Christoffel , que es simétrico en sus índices inferiores.$${\displaystyle F_{[\mu \nu ;\lambda ]}=F_{[\mu \nu ,\lambda ]}={\frac {1}{6}}(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }-\partial _{\lambda }F_{\nu \mu }-\partial _{\mu }F_{\lambda \nu }-\partial _{\nu }F_{\mu \lambda })={\frac {1}{3}}(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu })=0,}$$$${\displaystyle F_{\alpha \beta ;\gamma }=F_{\alpha \beta ,\gamma }-{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \gamma }F_{\mu \beta }-{\Gamma ^{\mu }}_{\beta \gamma }F_{\alpha \mu },}$$

El campo de desplazamiento eléctrico D y el campo magnético auxiliar H forman una densidad tensorial de rango 2 contravariante antisimétrica de peso +1. En el vacío, esto se da por

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}.}$

Esta ecuación es el único lugar donde la métrica (y por lo tanto la gravedad) entra en la teoría del electromagnetismo. Además, la ecuación es invariante ante un cambio de escala, es decir, multiplicar la métrica por una constante no tiene efecto sobre esta ecuación. En consecuencia, la gravedad solo puede afectar al electromagnetismo modificando la velocidad de la luz en relación con el sistema de coordenadas global que se esté utilizando. La luz solo se desvía por la gravedad porque es más lenta cerca de cuerpos masivos. Por lo tanto, es como si la gravedad aumentara el índice de refracción del espacio cerca de cuerpos masivos.

De manera más general, en materiales donde el tensor de magnetización - polarización no es cero, tenemos

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }.}$

La ley de transformación para el desplazamiento electromagnético es

${\displaystyle {\bar {\mathcal {D}}}^{\mu \nu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}\,{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right],}$

donde se utiliza el determinante jacobiano . Si se utiliza el tensor de magnetización-polarización, tiene la misma ley de transformación que el desplazamiento electromagnético.

La corriente eléctrica es la divergencia del desplazamiento electromagnético. En el vacío,

${\displaystyle J^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }.}$

Si se utiliza magnetización-polarización, esto solo da la porción libre de la corriente.

${\displaystyle J_{\text{free}}^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }.}$

Esto incorpora la ley de Ampere y la ley de Gauss .

En cualquier caso, el hecho de que el desplazamiento electromagnético sea antisimétrico implica que la corriente eléctrica se conserva automáticamente:

${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }=0,}$

porque las derivadas parciales conmutan .

La definición de corriente eléctrica de Ampere-Gauss no es suficiente para determinar su valor porque no se le ha asignado un valor al potencial electromagnético (del que se derivó en última instancia). En cambio, el procedimiento habitual consiste en igualar la corriente eléctrica a alguna expresión en términos de otros campos, principalmente el electrón y el protón, y luego calcular el desplazamiento electromagnético, el campo electromagnético y el potencial electromagnético.

La corriente eléctrica es una densidad vectorial contravariante y como tal se transforma de la siguiente manera:

${\displaystyle {\bar {J}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right].}$

Verificación de esta ley de transformación:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {J}}^{\mu }&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\left({\bar {\mathcal {D}}}^{\mu \nu }\right)\\[6pt]&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\right)\\[6pt]&={\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\\[6pt]&={\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\beta }\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]&=0+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]&={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\left({\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right).\end{aligned}}}$$

Así que todo lo que queda es demostrar que

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}=0,}$

que es una versión de un teorema conocido (ver Funciones inversas y diferenciación § Derivadas superiores ).$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }\partial x^{\sigma }}}+{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\right)\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left(\mathbf {4} \right)\\[6pt]{}={}&0.\end{aligned}}}$$

La densidad de la fuerza de Lorentz es una densidad vectorial covariante dada por$${\displaystyle f_{\mu }=F_{\mu \nu }J^{\nu }.}$$

La fuerza sobre una partícula de prueba sujeta únicamente a la gravedad y al electromagnetismo es donde p _α es el 4-momento lineal de la partícula, t es cualquier coordenada de tiempo que parametriza la línea del mundo de la partícula, Γ ^β _αγ es el símbolo de Christoffel (campo de fuerza gravitacional), y q es la carga eléctrica de la partícula.$${\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{dt}}=\Gamma _{\alpha \gamma }^{\beta }p_{\beta }{\frac {dx^{\gamma }}{dt}}+qF_{\alpha \gamma }{\frac {dx^{\gamma }}{dt}},}$$

Esta ecuación es invariante ante un cambio en la coordenada temporal; simplemente multiplíquela por y utilice la regla de la cadena . También es invariante ante un cambio en el sistema de coordenadas x .${\displaystyle dt/d{\bar {t}}}$

Usando la ley de transformación para el símbolo de Christoffel, obtenemos$${\displaystyle {\bar {\Gamma }}_{\alpha \gamma }^{\beta }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\epsilon }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\zeta }}{\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\Gamma _{\delta \zeta }^{\epsilon }+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d{\bar {p}}_{\alpha }}{dt}}-{\bar {\Gamma }}_{\alpha \gamma }^{\beta }{\bar {p}}_{\beta }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}-q{\bar {F}}_{\alpha \gamma }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}\\[6pt]{}={}&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}p_{\delta }\right)-\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\theta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\iota }}{\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\Gamma _{\delta \iota }^{\theta }+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\right){\frac {\partial x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}p_{\epsilon }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\gamma }}{\partial x^{\zeta }}}{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}-q{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}F_{\delta \zeta }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {dp_{\delta }}{dt}}-\Gamma _{\delta \zeta }^{\epsilon }p_{\epsilon }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}-qF_{\delta \zeta }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\right)+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\right)p_{\delta }-\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\right){\frac {\partial x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}p_{\epsilon }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\gamma }}{\partial x^{\zeta }}}{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\\[6pt]{}={}&0+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\right)p_{\delta }-{\frac {\partial ^{2}x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}p_{\epsilon }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}\\[6pt]{}={}&0.\end{aligned}}}$$

En el vacío, la densidad lagrangiana para la electrodinámica clásica (en julios por metro cúbico) es una densidad escalar donde$${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\,F_{\alpha \beta }\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}+A_{\alpha }\,J^{\alpha },}$$$${\displaystyle F^{\alpha \beta }=g^{\alpha \gamma }F_{\gamma \delta }g^{\delta \beta }.}$$

La 4-corriente debe entenderse como una abreviatura de muchos términos que expresan las corrientes eléctricas de otros campos cargados en términos de sus variables.

Si separamos las corrientes libres de las corrientes ligadas, el Lagrangiano se convierte en$${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\,F_{\alpha \beta }\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}+A_{\alpha }\,J_{\text{free}}^{\alpha }+{\frac {1}{2}}\,F_{\alpha \beta }\,{\mathcal {M}}^{\alpha \beta }.}$$

Como parte del término fuente en las ecuaciones de campo de Einstein , el tensor de tensión-energía electromagnética es un tensor simétrico covariante que utiliza una métrica con signatura (−, +, +, +). Si se utiliza la métrica con signatura (+, −, −, −), la expresión para tendrá signo opuesto. El tensor de tensión-energía no tiene trazas: porque el electromagnetismo se propaga a la velocidad invariante local y es invariante conforme. ^{[ cita requerida ]}$${\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \nu }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }F_{\sigma \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \rho }g^{\rho \sigma }\right),}$$${\displaystyle T_{\mu \nu }}$$${\displaystyle T_{\mu \nu }g^{\mu \nu }=0}$$

En la expresión para la conservación de la energía y el momento lineal, el tensor de tensión-energía electromagnética se representa mejor como una densidad de tensor mixta.$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }=T_{\mu \gamma }g^{\gamma \nu }{\frac {\sqrt {-g}}{c}}.}$$

A partir de las ecuaciones anteriores, se puede demostrar que donde el punto y coma indica una derivada covariante .$${\displaystyle {{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{;\nu }+f_{\mu }=0,}$$

Esto se puede reescribir como que la disminución de la energía electromagnética es la misma que el trabajo realizado por el campo electromagnético sobre el campo gravitacional más el trabajo realizado sobre la materia (a través de la fuerza de Lorentz), y de manera similar, la tasa de disminución del momento lineal electromagnético es la fuerza electromagnética ejercida sobre el campo gravitacional más la fuerza de Lorentz ejercida sobre la materia.$${\displaystyle -{{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{,\nu }=-\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }{\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }+f_{\mu },}$$

Derivación de la ley de conservación:$${\displaystyle {\begin{aligned}{{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{;\nu }+f_{\mu }&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha ;\nu }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma }g^{\gamma \nu }+F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma ;\nu }g^{\gamma \nu }-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu }^{\nu }F_{\sigma \alpha ;\nu }g^{\alpha \beta }F_{\beta \rho }g^{\rho \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma ;\nu }g^{\gamma \nu }{\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\alpha \nu }-{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\left(-F_{\nu \mu ;\alpha }-F_{\alpha \nu ;\mu }\right)F^{\alpha \nu }-{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \nu ;\alpha }F^{\alpha \nu }-F_{\alpha \nu ;\mu }F^{\alpha \nu }+{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\sigma \alpha }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\nu \alpha }-{\frac {1}{2}}F_{\alpha \nu ;\mu }F^{\alpha \nu }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(-F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\alpha \nu }+{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}},\end{aligned}}}$$

que es cero porque es el negativo de sí mismo (ver las cuatro líneas más arriba).

La ecuación de onda electromagnética no homogénea en términos del tensor de campo se modifica de la forma de relatividad especial a ^[2]

${\displaystyle \Box F_{ab}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ F_{ab;}{}^{d}{}_{d}=-2R_{acbd}F^{cd}+R_{ae}F^{e}{}_{b}-R_{be}F^{e}{}_{a}+J_{a;b}-J_{b;a},}$

donde R _acbd es la forma covariante del tensor de Riemann , y es una generalización del operador d'Alembertiano para derivadas covariantes.${\displaystyle \Box }$

${\displaystyle \Box A^{a}={{A^{a;}}^{b}}_{b}.}$

Las ecuaciones de fuente de Maxwell se pueden escribir en términos del potencial 4 [ref. 2 ^{[ aclaración necesaria ]} , pág. 569] como

${\displaystyle \Box A^{a}-{A^{b;a}}_{b}=-\mu _{0}J^{a}}$

o, suponiendo la generalización del calibre de Lorenz en el espacio-tiempo curvo,

${\displaystyle {\begin{aligned}{A^{a}}_{;a}&=0,\\\Box A^{a}&=-\mu _{0}J^{a}+{R^{a}}_{b}A^{b},\end{aligned}}}$

¿Dónde está el tensor de curvatura de Ricci ?${\displaystyle R_{ab}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {R^{s}}_{asb}}$

Esta es la misma forma de la ecuación de onda que en el espacio-tiempo plano, excepto que las derivadas se reemplazan por derivadas covariantes y hay un término adicional proporcional a la curvatura. La ecuación de onda en esta forma también tiene cierta semejanza con la fuerza de Lorentz en el espacio-tiempo curvo, donde A ^a desempeña el papel de la posición 4.

Para el caso de una firma métrica en la forma (+, −, −, −) , en el artículo se lleva a cabo la derivación de la ecuación de onda en el espacio-tiempo curvo. ^{[ cita requerida ]}

Cuando las ecuaciones de Maxwell se tratan de una manera independiente del fondo , es decir, cuando la métrica del espacio-tiempo se toma como una variable dinámica que depende del campo electromagnético, entonces la ecuación de onda electromagnética y las ecuaciones de Maxwell son no lineales. Esto se puede ver al notar que el tensor de curvatura depende del tensor de tensión-energía a través de la ecuación de campo de Einstein.

${\displaystyle G_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{ab},}$

dónde

${\displaystyle G_{ab}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}}$

es el tensor de Einstein , G es la constante de gravitación newtoniana , g _ab es el tensor métrico y R ( curvatura escalar ) es la traza del tensor de curvatura de Ricci. El tensor de tensión-energía está compuesto por la tensión-energía de las partículas, pero también por la tensión-energía del campo electromagnético. Esto genera la no linealidad.

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En la formulación geométrica diferencial del campo electromagnético, el tensor de Faraday antisimétrico puede considerarse como la 2-forma de Faraday . En esta perspectiva, una de las dos ecuaciones de Maxwell es ${\displaystyle \mathbf {F} }$

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0,}$

donde es el operador de derivada exterior . Esta ecuación es completamente independiente de coordenadas y métricas y dice que el flujo electromagnético a través de una superficie bidimensional cerrada en el espacio-tiempo es topológico, más precisamente, depende solo de su clase de homología (una generalización de la forma integral de la ley de Gauss y la ecuación de Maxwell-Faraday, ya que la clase de homología en el espacio de Minkowski es automáticamente 0). Por el lema de Poincaré , esta ecuación implica (al menos localmente) que existe una 1-forma que satisface${\displaystyle \mathrm {d} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} .}$

La otra ecuación es

${\displaystyle \mathrm {d} {\star }\mathbf {F} =\mathbf {J} .}$

En este contexto, es la forma 3 actual (o, más precisamente, la forma 3 retorcida), y la estrella denota el operador de estrella de Hodge . La dependencia de la ecuación de Maxwell de la métrica del espacio-tiempo radica en el operador de estrella de Hodge de las formas 2, que es conformemente invariante . Escrita de esta manera, la ecuación de Maxwell es la misma en cualquier espacio-tiempo, manifiestamente invariante en cuanto a coordenadas y conveniente de usar (incluso en el espacio de Minkowski o en el espacio y tiempo euclidianos, especialmente con coordenadas curvilíneas).${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \star }$${\displaystyle \star }$

Una interpretación geométrica alternativa es que la 2-forma de Faraday es (hasta un factor ) la 2-forma de curvatura de una conexión U (1) en un haz U (1) principal cuyas secciones representan campos cargados. La conexión es muy parecida al potencial vectorial, ya que cada conexión puede escribirse como para una conexión "base" , y${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle F(\nabla )}$ ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \nabla =\nabla _{0}+iA}$${\displaystyle \nabla _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} _{0}+\mathrm {d} \mathbf {A} .}$

En esta perspectiva, la "ecuación" de Maxwell es una identidad matemática conocida como la identidad de Bianchi . La ecuación es la única ecuación con algún contenido físico en esta formulación. Este punto de vista es particularmente natural cuando se consideran los campos cargados o la mecánica cuántica. Puede interpretarse como que, al igual que la gravedad puede entenderse como el resultado de la necesidad de una conexión a vectores de transporte paralelos en diferentes puntos, los fenómenos electromagnéticos o efectos cuánticos más sutiles como el efecto Aharonov-Bohm pueden entenderse como el resultado de la necesidad de una conexión a campos cargados de transporte paralelos o secciones de onda en diferentes puntos. De hecho, al igual que el tensor de Riemann es la holonomía de la conexión de Levi-Civita a lo largo de una curva cerrada infinitesimal, la curvatura de la conexión es la holonomía de la conexión U(1).${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$${\displaystyle \mathrm {d} {\star }\mathbf {F} =\mathbf {J} }$

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• Solución de electrovacío
• Paradoja de la radiación de partículas cargadas en un campo gravitacional

• Einstein, A. (1961). Relatividad: teoría especial y general . Nueva York: Crown. ISBN 0-517-02961-8.
• Misner, Charles W .; Thorne, Kip S .; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman . ISBN. 0-7167-0344-0.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975). Teoría clásica de campos (cuarta edición revisada en inglés). Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7.
• Feynman, RP ; Moringo, FB; Wagner, WG (1995). Feynman Lectures on Gravitation [Conferencias de Feynman sobre gravitación] , Addison-Wesley , ISBN. 0-201-62734-5.

• Campos electromagnéticos en espacios-tiempos curvos