Ley de Biot-Savart

Artículos sobre
Electromagnetismo
Electricidad Magnetismo Óptica Historia Computacional Libros de texto Fenómenos
Electrostática Densidad de carga Conductor Ley de Coulomb Electreto Carga eléctrica Dipolo eléctrico Campo eléctrico Flujo eléctrico Potencial eléctrico Descarga electrostática Inducción electrostática Ley de Gauss Aislante Permitividad Polarización Energía potencial Electricidad estática Triboelectricidad
Magnetostática Ley de Ampère Ley de Biot-Savart Ley magnética de Gauss Dipolo magnético Campo magnético Flujo magnético Potencial escalar magnético Potencial vectorial magnético Magnetización Permeabilidad Regla de la mano derecha
Electrodinámica Radiación de frenado Radiación ciclotrónica Corriente de desplazamiento Corriente de Foucault Campo electromagnético Inducción electromagnética Pulso electromagnético Radiación electromagnética Ley de Faraday Ecuaciones de Jefimenko Fórmula de Larmor Ley de Lenz Potencial de Liénard-Wiechert Ecuaciones de Londres Fuerza de Lorentz Ecuaciones de Maxwell Tensor de Maxwell Vector de Poynting Radiación de sincrotrón
Red eléctrica Corriente alterna Capacidad Densidad de corriente Corriente continua Corriente eléctrica Energía eléctrica Electrólisis Fuerza electromotriz Impedancia Inductancia Calentamiento Joule Leyes de Kirchhoff Análisis de red Ley de Ohm Circuito paralelo Resistencia Cavidades resonantes Circuito en serie Voltaje Vatio Guías de ondas
Magnetic circuit AC motor DC motor Electric machine Electric motor Gyrator–capacitor Induction motor Linear motor Magnetomotive force Permeance Reluctance (complex) Reluctance (real) Rotor Stator Transformer
Covariant formulation Electromagnetic tensor Electromagnetism and special relativity Four-current Four-potential Mathematical descriptions Maxwell equations in curved spacetime Relativistic electromagnetism Stress–energy tensor
Scientists Ampère Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Helmholtz Henry Hertz Hopkinson Jefimenko Joule Kelvin Kirchhoff Larmor Lenz Liénard Lorentz Maxwell Neumann Ohm Ørsted Poisson Poynting Ritchie Savart Singer Steinmetz Tesla Thomson Volta Weber Wiechert
v t e

En física , específicamente en electromagnetismo, la ley de Biot-Savart ( /ˈb iːoʊsəˈvɑːr / o / ˈb j oʊsəˈvɑːr / ) [ 1 ] es una ecuación que describe el campo ^magnético generado por una corriente eléctrica constante . Relaciona el campo magnético con la magnitud , dirección , longitud y proximidad de la corriente eléctrica .

La ley de Biot-Savart es fundamental para la magnetostática . Es válida en la aproximación magnetostática y es consistente tanto con la ley circuital de Ampère como con la ley de Gauss para el magnetismo . ^[2] Cuando la magnetostática no se aplica, la ley de Biot-Savart debe reemplazarse por las ecuaciones de Jefimenko . La ley recibe su nombre de Jean-Baptiste Biot y Félix Savart , quienes descubrieron esta relación en 1820.

En las siguientes ecuaciones, se supone que el medio no es magnético (por ejemplo, el vacío). Esto permite una derivación directa del campo magnético B , mientras que el vector fundamental aquí es H . ^[3]

La ley de Biot-Savart ^{[4] : ​​Sec 5-2-1} se utiliza para calcular la densidad de flujo magnético resultante B en la posición r en el espacio 3D generada por una corriente filamentosa I (por ejemplo, debido a un cable). Una corriente constante (o estacionaria) es un flujo continuo de cargas que no cambia con el tiempo y la carga no se acumula ni se agota en ningún punto. La ley es un ejemplo físico de una integral de línea , que se evalúa sobre el camino C en el que fluyen las corrientes eléctricas (por ejemplo, el cable). La ecuación en unidades del SI teslas (T) es ^[5]

donde es un vector a lo largo de la trayectoria cuya magnitud es la longitud del elemento diferencial del cable en la dirección de la corriente convencional , es un punto en la trayectoria , y es el vector de desplazamiento completo desde el elemento del cable ( ) en el punto hasta el punto en el que se está calculando el campo ( ), y μ ₀ es la constante magnética . Alternativamente: donde es el vector unitario de . Los símbolos en negrita denotan cantidades vectoriales .${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbf {r'} =\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}}$${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r'} |^{2}}}}$$${\displaystyle \mathbf {{\hat {r}}'} }$${\displaystyle \mathbf {r'} }$

La integral suele darse alrededor de una curva cerrada , ya que las corrientes eléctricas estacionarias solo pueden circular por caminos cerrados cuando estos están acotados. Sin embargo, la ley también se aplica a cables infinitamente largos (este concepto se utilizó en la definición de la unidad SI de corriente eléctrica, el amperio , hasta el 20 de mayo de 2019).

Para aplicar la ecuación, se elige arbitrariamente el punto en el espacio donde se debe calcular el campo magnético ( ). Manteniendo ese punto fijo, se calcula la integral de línea sobre la trayectoria de la corriente eléctrica para encontrar el campo magnético total en ese punto. La aplicación de esta ley se basa implícitamente en el principio de superposición de campos magnéticos, es decir, el hecho de que el campo magnético es una suma vectorial del campo creado por cada sección infinitesimal del cable individualmente. ^[6]${\displaystyle \mathbf {r} }$

Por ejemplo, considere el campo magnético de un bucle de radio que transporta una corriente Para un punto a una distancia a lo largo de la línea central del bucle, el vector del campo magnético en ese punto es: donde es el vector unitario de a lo largo de la línea central del bucle (y se toma el bucle centrado en el origen). ^{[4] : Sec 5-2, Eqn (25)} Los bucles como el descrito aparecen en dispositivos como la bobina de Helmholtz , el solenoide y el sistema de propulsión de la nave espacial Magsail . El cálculo del campo magnético en puntos fuera de la línea central requiere matemáticas más complejas que involucran integrales elípticas que requieren solución numérica o aproximaciones. ^[7]${\displaystyle R}$${\displaystyle I.}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \mathbf {B} ={\mu _{0}IR^{2} \over 2(x^{2}+R^{2})^{3/2}}{\hat {\mathbf {x} }},}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$

Las formulaciones dadas anteriormente funcionan bien cuando se puede aproximar la corriente como si circulara por un cable infinitamente estrecho. Si el conductor tiene cierto espesor, la formulación adecuada de la ley de Biot-Savart (de nuevo en unidades del SI ) es:

donde es el vector desde dV hasta el punto de observación , es el elemento de volumen y es el vector de densidad de corriente en ese volumen (en el SI en unidades de A/m ² ).${\displaystyle \mathbf {r'} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle dV}$${\displaystyle \mathbf {J} }$

En términos de vector unitario${\displaystyle \mathbf {{\hat {r}}'} }$$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}\ dV{\frac {\mathbf {J} \times \mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}}$$

En el caso especial de una corriente constante uniforme I , el campo magnético es , es decir, la corriente puede sacarse de la integral.${\displaystyle \mathbf {B} }$$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int _{C}{\frac {d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {r'} }{|\mathbf {r'} |^{3}}}}$$

En el caso de una partícula con carga puntual q que se mueve a una velocidad constante v , las ecuaciones de Maxwell dan la siguiente expresión para el campo eléctrico y el campo magnético: ^[8] donde$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{\left(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{3/2}}}{\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}\\[1ex]\mathbf {H} &=\mathbf {v} \times \mathbf {D} \\[1ex]\mathbf {B} &={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} '}$es el vector unitario que apunta desde la posición actual (no retardada) de la partícula hasta el punto en el que se está midiendo el campo,
• ${\displaystyle \beta =v/c}$es la velocidad en unidades de y${\displaystyle c}$
• θ es el ángulo entre y . Alternativamente, estos pueden derivarse considerando la transformación de Lorentz de la fuerza de Coulomb (en forma de cuatro fuerzas ) en el marco inercial de la carga fuente. ^[9]${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {r} '}$

Cuando v ² ≪ c ² , el campo eléctrico y el campo magnético se pueden aproximar como ^[8]$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}}$$$${\displaystyle \mathbf {B} ={\mu _{0} \over 4\pi }q{\mathbf {v} \times {\hat {\mathbf {r} }}' \over |\mathbf {r} '|^{2}}}$$

Estas ecuaciones fueron derivadas por primera vez por Oliver Heaviside en 1888. Algunos autores ^{[10] [11]} denominan a la ecuación anterior "ley de Biot-Savart para una carga puntual" debido a su gran parecido con la ley de Biot-Savart estándar. Sin embargo, este lenguaje es engañoso ya que la ley de Biot-Savart se aplica solo a corrientes constantes y una carga puntual que se mueve en el espacio no constituye una corriente constante. ^[12]${\displaystyle \mathbf {B} }$

La ley de Biot-Savart se puede utilizar en el cálculo de respuestas magnéticas incluso a nivel atómico o molecular, por ejemplo, blindajes químicos o susceptibilidades magnéticas , siempre que la densidad de corriente pueda obtenerse a partir de un cálculo o teoría mecánico cuántico.

La ley de Biot-Savart también se utiliza en la teoría aerodinámica para calcular la velocidad inducida por las líneas de vórtice .

En la aplicación aerodinámica , los roles de la vorticidad y la corriente se invierten en comparación con la aplicación magnética.

En el artículo de Maxwell de 1861 'Sobre las líneas físicas de fuerza', ^[13] la intensidad del campo magnético H se equiparó directamente con la vorticidad pura (espín), mientras que B era una vorticidad ponderada que se ponderaba por la densidad del mar de vórtices. Maxwell consideró que la permeabilidad magnética μ era una medida de la densidad del mar de vórtices. De ahí la relación,

Corriente de inducción magnética

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} }$$era esencialmente una analogía rotacional con la relación de corriente eléctrica lineal,

Corriente de convección eléctrica

$${\displaystyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} ,}$$donde ρ es la densidad de carga eléctrica.

B fue visto como una especie de corriente magnética de vórtices alineados en sus planos axiales, siendo H la velocidad circunferencial de los vórtices.

La ecuación de la corriente eléctrica puede considerarse como una corriente convectiva de carga eléctrica que implica un movimiento lineal. Por analogía, la ecuación magnética es una corriente inductiva que implica un espín. No hay movimiento lineal en la corriente inductiva a lo largo de la dirección del vector B. La corriente inductiva magnética representa líneas de fuerza. En particular, representa líneas de fuerza de la ley del cuadrado inverso.

En aerodinámica, las corrientes de aire inducidas forman anillos solenoidales alrededor de un eje de vórtice. Se puede hacer una analogía según la cual el eje de vórtice desempeña el papel que desempeña la corriente eléctrica en el magnetismo . Esto hace que las corrientes de aire de la aerodinámica (campo de velocidad del fluido) tengan el papel equivalente del vector de inducción magnética B en el electromagnetismo.

En electromagnetismo, las líneas B forman anillos solenoidales alrededor de la corriente eléctrica fuente, mientras que en aerodinámica, las corrientes de aire (velocidad) forman anillos solenoidales alrededor del eje del vórtice fuente.

Por lo tanto, en el electromagnetismo, el vórtice desempeña el papel de "efecto", mientras que en la aerodinámica, el vórtice desempeña el papel de "causa". Sin embargo, cuando observamos las líneas B de forma aislada, vemos exactamente el escenario aerodinámico, ya que B es el eje del vórtice y H es la velocidad circunferencial, como en el artículo de Maxwell de 1861.

En dos dimensiones , para una línea de vórtice de longitud infinita, la velocidad inducida en un punto está dada por donde Γ es la fuerza del vórtice y r es la distancia perpendicular entre el punto y la línea de vórtice. Esto es similar al campo magnético producido en un plano por un alambre delgado y recto de longitud infinita que se extiende perpendicularmente al plano.$${\displaystyle v={\frac {\Gamma }{2\pi r}}}$$

Este es un caso límite de la fórmula para segmentos de vórtice de longitud finita (similar a un alambre finito): donde A y B son los ángulos (con signo) entre el punto y los dos extremos del segmento.$${\displaystyle v={\frac {\Gamma }{4\pi r}}\left[\cos A-\cos B\right]}$$

En una situación magnetostática , el campo magnético B calculado a partir de la ley de Biot-Savart siempre satisfará la ley de Gauss para el magnetismo y la ley circuital de Ampère : ^[14]

En una situación no magnetostática, la ley de Biot-Savart deja de ser verdadera (es reemplazada por las ecuaciones de Jefimenko ), mientras que la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Maxwell-Ampère siguen siendo verdaderas.

Inicialmente, la ley de Biot-Savart fue descubierta experimentalmente, luego esta ley fue derivada de diferentes maneras teóricamente. En The Feynman Lectures on Physics , al principio, se enfatiza la similitud de las expresiones para el potencial eléctrico fuera de la distribución estática de cargas y el potencial vectorial magnético fuera del sistema de corrientes distribuidas continuamente, y luego se calcula el campo magnético a través del rizo a partir del potencial vectorial. ^[15] Otro enfoque implica una solución general de la ecuación de onda no homogénea para el potencial vectorial en el caso de corrientes constantes. ^[16] El campo magnético también se puede calcular como consecuencia de las transformaciones de Lorentz para la fuerza electromagnética que actúa desde una partícula cargada sobre otra partícula. ^[17] Otras dos formas de derivar la ley de Biot-Savart incluyen: 1) La transformación de Lorentz de los componentes del tensor electromagnético desde un marco de referencia móvil, donde solo hay un campo eléctrico de alguna distribución de cargas, en un marco de referencia estacionario, en el que estas cargas se mueven. 2) la utilización del método de potenciales retardados .

• André-Marie Ampère
• James Clerk Maxwell
• Pierre-Simon Laplace

• Lagrangiano de Darwin

• Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Feynman, Richard (2005). Las conferencias Feynman sobre física (2.ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-9045-2.

• Electricidad y física moderna (2.ª edición), GAG Bennet, Edward Arnold (Reino Unido), 1974, ISBN 0-7131-2459-8 
• Principios esenciales de física, PM Whelan, MJ Hodgeson, 2.ª edición, 1978, John Murray, ISBN 0-7195-3382-1 
• El manual de Cambridge de fórmulas de física, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 . 
• Física para científicos e ingenieros: Física moderna (sexta edición), PA Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN 0-7167-8964-7 
• Encyclopaedia of Physics (segunda edición), RG Lerner , GL Trigg, editores VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• Enciclopedia de Física McGraw Hill (2.ª edición), CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3 

• Medios relacionados con la ley Biot-Savart en Wikimedia Commons
• MISN-0-125 La ley de Ampère–Laplace–Biot–Savart por Orilla McHarris y Peter Signell para el Proyecto PHYSNET.