Ecuaciones de Jefimenko

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En electromagnetismo , las ecuaciones de Jefimenko (nombradas en honor a Oleg D. Jefimenko ) dan el campo eléctrico y el campo magnético debido a una distribución de cargas eléctricas y corriente eléctrica en el espacio, que tiene en cuenta el retardo de propagación ( tiempo retardado ) de los campos debido a la velocidad finita de la luz y los efectos relativistas. Por lo tanto, pueden usarse para cargas y corrientes en movimiento . Son las soluciones particulares de las ecuaciones de Maxwell para cualquier distribución arbitraria de cargas y corrientes. ^[1]

Las ecuaciones de Jefimenko dan el campo eléctrico E y el campo magnético B producidos por una distribución de carga o corriente arbitraria, de densidad de carga ρ y densidad de corriente J : ^[2]

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\rho (\mathbf {r} ',t_{r})+{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]dV',}$$$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\times \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})+{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}\times {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]dV',}$$

donde r ′ es un punto en la distribución de carga , r es un punto en el espacio y es el tiempo retardado . Existen expresiones similares para D y H. ^[3 ]$${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}$$

Estas ecuaciones son la generalización dependiente del tiempo de la ley de Coulomb y la ley de Biot-Savart a la electrodinámica , que originalmente eran verdaderas solo para campos electrostáticos y magnetostáticos y corrientes constantes.

Las ecuaciones de Jefimenko se pueden encontrar ^[2] a partir de los potenciales retardados φ y A : que son las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en la formulación de potencial , luego sustituyendo en las definiciones de los potenciales electromagnéticos mismos: y usando la relación reemplaza los potenciales φ y A por los campos E y B .$${\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}dV',\\&\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\dfrac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}dV',\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$$$${\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$$

La fórmula de Heaviside-Feynman , también conocida como fórmula de Jefimenko-Feynman, puede verse como la versión de carga eléctrica puntual de las ecuaciones de Jefimenko. En realidad, se puede deducir (no trivialmente) de ellas usando funciones de Dirac o usando los potenciales de Liénard-Wiechert . ^[4] Se conoce principalmente por The Feynman Lectures on Physics , donde se usó para introducir y describir el origen de la radiación electromagnética . ^[5] La fórmula proporciona una generalización natural de la ley de Coulomb para los casos en que la carga fuente se está moviendo: Aquí, y son los campos eléctrico y magnético respectivamente, es la carga eléctrica, es la permitividad del vacío (constante del campo eléctrico) y es la velocidad de la luz . El vector es un vector unitario que apunta desde el observador a la carga y es la distancia entre el observador y la carga. Dado que el campo electromagnético se propaga a la velocidad de la luz, ambas cantidades se evalúan en el tiempo retardado .$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {-q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {\mathbf {e} _{r'}}{r'^{2}}}+{\frac {r'}{c}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {e} _{r'}}{r'^{2}}}\right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {e} _{r'}\right]}$$$${\displaystyle \mathbf {B} =-\mathbf {e} _{r'}\times {\frac {\mathbf {E} }{c}}}$$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle q}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbf {e} _{r'}}$${\displaystyle r'}$${\displaystyle t-r'/c}$

El primer término de la fórmula para representa la ley de Coulomb para el campo eléctrico estático. El segundo término es la derivada temporal del primer término coulombiano multiplicado por que es el tiempo de propagación del campo eléctrico. Heurísticamente, esto puede considerarse como un "intento" de la naturaleza de predecir cuál sería el campo actual mediante una extrapolación lineal al tiempo actual. ^[5] El último término, proporcional a la segunda derivada del vector de dirección unitario , es sensible al movimiento de carga perpendicular a la línea de visión. Se puede demostrar que el campo eléctrico generado por este término es proporcional a , donde es la aceleración transversal en el tiempo retardado. Como disminuye solo con la distancia en comparación con el comportamiento coulombiano estándar, este término es responsable de la radiación electromagnética de largo alcance causada por la carga acelerada.${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle {\frac {r'}{c}}}$ ${\displaystyle e_{r'}}$${\displaystyle a_{t}/r'}$${\displaystyle a_{t}}$${\displaystyle 1/r'}$${\displaystyle 1/r'^{2}}$

La fórmula de Heaviside-Feynman se puede derivar de las ecuaciones de Maxwell utilizando la técnica del potencial retardado . Permite, por ejemplo, la derivación de la fórmula de Larmor para la potencia de radiación total de la carga acelerada.

Existe una interpretación generalizada de las ecuaciones de Maxwell que indica que los campos eléctricos y magnéticos que varían espacialmente pueden hacer que cada uno de ellos cambie en el tiempo, dando lugar así a una onda electromagnética que se propaga ^[6] ( electromagnetismo ). Sin embargo, las ecuaciones de Jefimenko muestran un punto de vista alternativo. ^[7] Jefimenko dice: "...ni las ecuaciones de Maxwell ni sus soluciones indican la existencia de vínculos causales entre los campos eléctricos y magnéticos. Por lo tanto, debemos concluir que un campo electromagnético es una entidad dual que siempre tiene un componente eléctrico y uno magnético simultáneamente creados por sus fuentes comunes: cargas y corrientes eléctricas variables en el tiempo". ^[8]

Como señaló McDonald, ^[9] las ecuaciones de Jefimenko parecen aparecer por primera vez en 1962 en la segunda edición del libro de texto clásico de Panofsky y Phillips . ^[10] David Griffiths , sin embargo, aclara que "la declaración explícita más antigua de la que tengo conocimiento fue de Oleg Jefimenko, en 1966" y caracteriza las ecuaciones en el libro de texto de Panofsky y Phillips como solo "expresiones estrechamente relacionadas". ^[2] Según Andrew Zangwill, las ecuaciones análogas a las de Jefimenko pero en el dominio de frecuencia de Fourier fueron derivadas por primera vez por George Adolphus Schott en su tratado Radiación electromagnética (University Press, Cambridge, 1912). ^[11]

Las características esenciales de estas ecuaciones se observan fácilmente, y es que los lados derechos implican un tiempo "retardado", lo que refleja la "causalidad" de las expresiones. En otras palabras, el lado izquierdo de cada ecuación es en realidad "causado" por el lado derecho, a diferencia de las expresiones diferenciales normales para las ecuaciones de Maxwell, donde ambos lados ocurren simultáneamente. En las expresiones típicas para las ecuaciones de Maxwell no hay duda de que ambos lados son iguales entre sí, pero como señala Jefimenko, "... dado que cada una de estas ecuaciones conecta cantidades simultáneas en el tiempo, ninguna de estas ecuaciones puede representar una relación causal". ^[12]

• Potencial de Liénard-Wiechert