Vector de Poynting

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Scientists Ampère Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Helmholtz Henry Hertz Hopkinson Jefimenko Joule Kelvin Kirchhoff Larmor Lenz Liénard Lorentz Maxwell Neumann Ohm Ørsted Poisson Poynting Ritchie Savart Singer Steinmetz Tesla Thomson Volta Weber Wiechert
v t e

En física , el vector de Poynting (o vector de Umov–Poynting ) representa el flujo de energía direccional (la transferencia de energía por unidad de área, por unidad de tiempo) o flujo de potencia de un campo electromagnético . La unidad SI del vector de Poynting es el vatio por metro cuadrado (W/m2 ⁾ ; kg/s3 ^en unidades SI básicas. Recibe su nombre en honor a su descubridor John Henry Poynting , quien lo derivó por primera vez en 1884. ^{[1] : 132} A Nikolay Umov también se le atribuye la formulación del concepto. ^[2] Oliver Heaviside también lo descubrió de forma independiente en la forma más general que reconoce la libertad de añadir el rizo de un campo vectorial arbitrario a la definición. ^[3] El vector de Poynting se utiliza en toda la electromagnetismo junto con el teorema de Poynting , la ecuación de continuidad que expresa la conservación de la energía electromagnética , para calcular el flujo de potencia en campos electromagnéticos.

En el artículo original de Poynting y en la mayoría de los libros de texto, el vector de Poynting se define como el producto vectorial ^{[4] [5] [6]} donde las letras en negrita representan vectores y${\displaystyle \mathbf {S} }$$${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} ,}$$

• E es el vector del campo eléctrico ;
• H es el vector de campo auxiliar del campo magnético o campo magnetizante .

Esta expresión a menudo se denomina forma de Abraham y es la más utilizada. ^[7] El vector de Poynting generalmente se denota por S o N.

En términos simples, el vector de Poynting S representa la dirección y la velocidad de transferencia de energía, es decir, potencia , debido a los campos electromagnéticos en una región del espacio que puede estar vacía o no. Más rigurosamente, es la cantidad que debe usarse para que el teorema de Poynting sea válido. El teorema de Poynting dice esencialmente que la diferencia entre la energía electromagnética que entra en una región y la energía electromagnética que sale de una región debe ser igual a la energía convertida o disipada en esa región, es decir, convertida en una forma diferente de energía (a menudo calor). Entonces, si uno acepta la validez de la descripción del vector de Poynting de la transferencia de energía electromagnética, entonces el teorema de Poynting es simplemente una declaración de la conservación de la energía .

Si la energía electromagnética no se gana ni se pierde en otras formas de energía dentro de alguna región (por ejemplo, energía mecánica o calor), entonces la energía electromagnética se conserva localmente dentro de esa región, lo que produce una ecuación de continuidad como un caso especial del teorema de Poynting: donde es la densidad de energía del campo electromagnético. Esta condición frecuente se cumple en el siguiente ejemplo simple en el que se calcula el vector de Poynting y se ve que es consistente con el cálculo habitual de potencia en un circuito eléctrico.$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} =-{\frac {\partial u}{\partial t}}}$$${\displaystyle u}$

Aunque los problemas en electromagnetismo con geometrías arbitrarias son notoriamente difíciles de resolver, podemos encontrar una solución relativamente simple en el caso de transmisión de energía a través de una sección de cable coaxial analizada en coordenadas cilíndricas como se muestra en el diagrama adjunto. Podemos aprovechar la simetría del modelo: no depende de θ (simetría circular) ni de Z (posición a lo largo del cable). El modelo (y la solución) pueden considerarse simplemente como un circuito de CC sin dependencia del tiempo, pero la siguiente solución se aplica igualmente bien a la transmisión de energía de radiofrecuencia, siempre que estemos considerando un instante de tiempo (durante el cual el voltaje y la corriente no cambian), y sobre un segmento suficientemente corto de cable (mucho más pequeño que una longitud de onda, de modo que estas cantidades no dependan de Z ).

El cable coaxial se especifica como que tiene un conductor interno de radio R ₁ y un conductor externo cuyo radio interno es R ₂ (su espesor más allá de R ₂ no afecta el siguiente análisis). Entre R ₁ y R ₂ el cable contiene un material dieléctrico ideal de permitividad relativa ε _r y asumimos conductores que no son magnéticos (por lo que μ = μ ₀ ) y sin pérdidas (conductores perfectos), todos los cuales son buenas aproximaciones al cable coaxial del mundo real en situaciones típicas.

El conductor central se mantiene a un voltaje V y atrae una corriente I hacia la derecha, por lo que esperamos un flujo de potencia total de P = V · I de acuerdo con las leyes básicas de la electricidad . Sin embargo, al evaluar el vector de Poynting, podemos identificar el perfil del flujo de potencia en términos de los campos eléctricos y magnéticos dentro del cable coaxial. Los campos eléctricos son, por supuesto, cero dentro de cada conductor, pero entre los conductores ( ) la simetría dicta que están estrictamente en la dirección radial y se puede demostrar (usando la ley de Gauss ) que deben obedecer la siguiente forma: W se puede evaluar integrando el campo eléctrico de a que debe ser el negativo del voltaje V : de modo que:${\displaystyle R_{1}<r<R_{2}}$$${\displaystyle E_{r}(r)={\frac {W}{r}}}$$${\displaystyle r=R_{2}}$${\displaystyle R_{1}}$$${\displaystyle -V=\int _{R_{2}}^{R_{1}}{\frac {W}{r}}dr=-W\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)}$$$${\displaystyle W={\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}}$$

El campo magnético, nuevamente por simetría, solo puede ser distinto de cero en la dirección θ , es decir, un campo vectorial que gira alrededor del conductor central en cada radio entre R ₁ y R ₂ . Dentro de los propios conductores, el campo magnético puede ser cero o no, pero esto no es de interés ya que el vector de Poynting en estas regiones es cero debido a que el campo eléctrico es cero. Fuera de todo el cable coaxial, el campo magnético es idénticamente cero ya que los caminos en esta región encierran una corriente neta de cero (+ I en el conductor central y − I en el conductor exterior), y nuevamente el campo eléctrico es cero allí de todos modos. Usando la ley de Ampère en la región de R ₁ a R ₂ , que encierra la corriente + I en el conductor central pero sin contribución de la corriente en el conductor exterior, encontramos en el radio r : Ahora, a partir de un campo eléctrico en la dirección radial y un campo magnético tangencial, el vector de Poynting, dado por el producto vectorial de estos, solo es distinto de cero en la dirección Z , a lo largo de la dirección del cable coaxial en sí, como esperaríamos. Nuevamente, solo una función de r , podemos evaluar S (r): donde W se da anteriormente en términos del voltaje del conductor central V . La potencia total que fluye por el cable coaxial se puede calcular integrando sobre toda la sección transversal A del cable entre los conductores:$${\displaystyle {\begin{aligned}I=\oint _{C}\mathbf {H} \cdot ds&=2\pi rH_{\theta }(r)\\H_{\theta }(r)&={\frac {I}{2\pi r}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle S_{z}(r)=E_{r}(r)H_{\theta }(r)={\frac {W}{r}}{\frac {I}{2\pi r}}={\frac {W\,I}{2\pi r^{2}}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{tot}}&=\iint _{\mathbf {A} }S_{z}(r,\theta )\,dA=\int _{R_{2}}^{R_{1}}2\pi rdrS_{z}(r)\\&=\int _{R_{2}}^{R_{1}}{\frac {W\,I}{r}}dr=W\,I\,\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right).\end{aligned}}}$$

Sustituyendo la solución anterior por la constante W, encontramos: es decir, la potencia obtenida al integrar el vector de Poynting sobre una sección transversal del cable coaxial es exactamente igual al producto del voltaje y la corriente, tal como se habría calculado para la potencia entregada utilizando las leyes básicas de la electricidad.$${\displaystyle P_{\mathrm {tot} }=I\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right){\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}=V\,I}$$

Otros ejemplos similares en los que el resultado P = V · I se puede calcular analíticamente son: la línea de transmisión de placas paralelas, ^[8] utilizando coordenadas cartesianas , y la línea de transmisión de dos cables, ^[9] utilizando coordenadas cilíndricas bipolares .

En la versión "microscópica" de las ecuaciones de Maxwell, esta definición debe ser reemplazada por una definición en términos del campo eléctrico E y la densidad de flujo magnético B (descrita más adelante en el artículo).

También es posible combinar el campo de desplazamiento eléctrico D con el flujo magnético B para obtener la forma Minkowski del vector de Poynting, o utilizar D y H para construir otra versión. La elección ha sido controvertida: Pfeifer et al. ^[10] resumen y hasta cierto punto resuelven la disputa de un siglo entre los defensores de las formas Abraham y Minkowski (véase la controversia Abraham-Minkowski ).

El vector de Poynting representa el caso particular de un vector de flujo de energía para la energía electromagnética. Sin embargo, cualquier tipo de energía tiene su dirección de movimiento en el espacio, así como su densidad, por lo que los vectores de flujo de energía también se pueden definir para otros tipos de energía, por ejemplo, para la energía mecánica . El vector de Umov-Poynting ^[11] descubierto por Nikolay Umov en 1874 describe el flujo de energía en medios líquidos y elásticos de una manera completamente generalizada.

El vector de Poynting aparece en el teorema de Poynting (ver ese artículo para la derivación), una ley de conservación de energía: donde J _f es la densidad de corriente de cargas libres y u es la densidad de energía electromagnética para materiales lineales, no dispersivos , dada por donde$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J_{\mathrm {f} }} \cdot \mathbf {E} ,}$$$${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)\!,}$$

• E es el campo eléctrico;
• D es el campo de desplazamiento eléctrico;
• B es la densidad de flujo magnético;
• H es el campo magnetizante. ^{[12] : 258–260}

El primer término en el lado derecho representa el flujo de energía electromagnética en un volumen pequeño, mientras que el segundo término resta el trabajo realizado por el campo sobre las corrientes eléctricas libres, que de ese modo sale de la energía electromagnética como disipación , calor, etc. En esta definición, las corrientes eléctricas ligadas no se incluyen en este término y, en cambio, contribuyen a S y u .

Para materiales lineales, no dispersivos e isótropos (para simplificar), las relaciones constitutivas se pueden escribir como donde$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} ,}$$

• ε es la permitividad del material;
• μ es la permeabilidad del material. ^{[12] : 258–260}

Aquí ε y μ son constantes escalares de valor real independientes de la posición, la dirección y la frecuencia.

En principio, esto limita el teorema de Poynting en esta forma a campos en el vacío y materiales lineales no dispersivos ^{[ aclaración necesaria ]} . Una generalización a materiales dispersivos es posible bajo ciertas circunstancias a costa de términos adicionales. ^{[12] : 262–264}

Una consecuencia de la fórmula de Poynting es que para que el campo electromagnético realice trabajo, deben estar presentes tanto el campo magnético como el eléctrico. El campo magnético por sí solo o el campo eléctrico por sí solo no pueden realizar ningún trabajo. ^[13]

En una onda plana electromagnética que se propaga en un medio isótropo sin pérdidas, el vector de Poynting instantáneo siempre apunta en la dirección de propagación mientras oscila rápidamente en magnitud. Esto se puede ver de manera sencilla dado que en una onda plana, la magnitud del campo magnético H ( r , t ) está dada por la magnitud del vector de campo eléctrico E ( r , t ) dividido por η , la impedancia intrínseca del medio de transmisión: donde | A | representa la norma vectorial de A . Dado que E y H forman ángulos rectos entre sí, la magnitud de su producto vectorial es el producto de sus magnitudes. Sin pérdida de generalidad, tomemos X como la dirección del campo eléctrico e Y como la dirección del campo magnético. El vector de Poynting instantáneo, dado por el producto vectorial de E y H, estará entonces en la dirección Z positiva :$${\displaystyle |\mathbf {H} |={\frac {|\mathbf {E} |}{\eta }},}$$

$${\displaystyle \left|{\mathsf {S_{z}}}\right|=\left|{\mathsf {E_{x}}}{\mathsf {H_{y}}}\right|={\frac {\left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}}{\eta }}.}$$

Para encontrar la potencia promediada en el tiempo en la onda plana es necesario promediar sobre el período de la onda (la frecuencia inversa de la onda): donde E _rms es la raíz cuadrada media (RMS) de la amplitud del campo eléctrico. En el caso importante de que E ( t ) varíe sinusoidalmente a alguna frecuencia con amplitud pico E _pico , E _rms es , con el vector de Poynting promedio dado por: Esta es la forma más común para el flujo de energía de una onda plana, ya que las amplitudes de campo sinusoidal se expresan con mayor frecuencia en términos de sus valores pico, y los problemas complicados normalmente se resuelven considerando solo una frecuencia a la vez. Sin embargo, la expresión que utiliza E _rms es totalmente general, y se aplica, por ejemplo, en el caso de ruido cuya amplitud RMS se puede medir pero donde la amplitud "pico" no tiene sentido. En el espacio libre, la impedancia intrínseca η viene dada simplemente por la impedancia del espacio libre η ₀ ≈ 377 Ω. En dieléctricos no magnéticos (como todos los materiales transparentes a frecuencias ópticas) con una constante dieléctrica especificada ε _r , o en óptica con un material cuyo índice de refracción , la impedancia intrínseca se encuentra como:$${\displaystyle \left\langle {\mathsf {S_{z}}}\right\rangle ={\frac {\left\langle \left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}\right\rangle }{\eta }}={\frac {\mathsf {E_{\text{rms}}^{2}}}{\eta }},}$$${\displaystyle {\mathsf {E_{peak}}}/{\sqrt {2}}}$$${\displaystyle \left\langle {\mathsf {S_{z}}}\right\rangle ={\frac {\mathsf {E_{peak}^{2}}}{2\eta }}.}$$   ${\displaystyle {\mathsf {n}}={\sqrt {\epsilon _{r}}}}$$${\displaystyle \eta ={\frac {\eta _{0}}{\sqrt {\epsilon _{r}}}}.}$$

En óptica, el valor del flujo radiado que atraviesa una superficie, es decir, el componente promedio del vector de Poynting en la dirección normal a esa superficie, se conoce técnicamente como irradiancia , y más a menudo simplemente como intensidad (un término algo ambiguo).

La versión "microscópica" (diferencial) de las ecuaciones de Maxwell admite únicamente los campos fundamentales E y B , sin un modelo incorporado de medios materiales. Se utilizan únicamente la permitividad y la permeabilidad del vacío, y no hay D ni H . Cuando se utiliza este modelo, el vector de Poynting se define como donde$${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,}$$

• μ ₀ es la permeabilidad al vacío ;
• E es el vector del campo eléctrico;
• B es el flujo magnético.

Esta es en realidad la expresión general del vector de Poynting ^{[ dudoso – discutir ]} . ^[14] La forma correspondiente del teorema de Poynting es donde J es la densidad de corriente total y la densidad de energía u está dada por donde ε ₀ es la permitividad del vacío . Se puede derivar directamente de las ecuaciones de Maxwell en términos de carga y corriente totales y la ley de fuerza de Lorentz solamente.$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,}$$ $${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\varepsilon _{0}|\mathbf {E} |^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}|\mathbf {B} |^{2}\right)\!,}$$

Las dos definiciones alternativas del vector de Poynting son iguales en el vacío o en materiales no magnéticos, donde B = μ ₀ H . En todos los demás casos, difieren en que S = (1/ μ ₀ ) E × B y las u correspondientes son puramente radiativas, ya que el término de disipación − J ⋅ E cubre la corriente total, mientras que la definición E × H tiene contribuciones de corrientes ligadas que luego se excluyen del término de disipación. ^[15]

Dado que solo los campos microscópicos E y B aparecen en la derivación de S = (1/ μ ₀ ) E × B y la densidad de energía, se evitan las suposiciones sobre cualquier material presente. El vector de Poynting y el teorema y la expresión para la densidad de energía son universalmente válidos en el vacío y en todos los materiales. ^[15]

La forma anterior del vector de Poynting representa el flujo de potencia instantáneo debido a los campos eléctricos y magnéticos instantáneos . Más comúnmente, los problemas en electromagnetismo se resuelven en términos de campos que varían sinusoidalmente a una frecuencia específica. Los resultados se pueden aplicar de manera más general, por ejemplo, al representar la radiación incoherente como una superposición de dichas ondas a diferentes frecuencias y con amplitudes fluctuantes.

Por lo tanto, no estaríamos considerando las E ( t ) y H ( t ) instantáneas utilizadas anteriormente, sino más bien una amplitud (vectorial) compleja para cada una que describe la fase (así como la amplitud) de una onda coherente utilizando la notación fasorial . Estos vectores de amplitud complejos no son funciones del tiempo, ya que se entiende que se refieren a oscilaciones a lo largo de todo el tiempo. Se entiende que un fasor como E _m significa un campo que varía sinusoidalmente cuya amplitud instantánea E ( t ) sigue la parte real de E _m  e ^jωt donde ω es la frecuencia (radianes) de la onda sinusoidal que se está considerando.

En el dominio del tiempo, se verá que el flujo de potencia instantáneo fluctuará a una frecuencia de 2 ω . Pero lo que normalmente interesa es el flujo de potencia promedio en el que no se consideran esas fluctuaciones. En la siguiente operación matemática, esto se logra integrando durante un ciclo completo T = 2 π / ω . La siguiente cantidad, también denominada "vector de Poynting", se expresa directamente en términos de los fasores como:

$${\displaystyle \mathbf {S} _{\mathrm {m} }={\tfrac {1}{2}}\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*},}$$

donde ^∗ denota el conjugado complejo. El flujo de potencia promediado en el tiempo (según el vector de Poynting instantáneo promediado durante un ciclo completo, por ejemplo) está dado por la parte real de S _m . La parte imaginaria suele ignorarse, sin embargo, significa "potencia reactiva", como la interferencia debida a una onda estacionaria o al campo cercano de una antena. En una sola onda electromagnética plana (en lugar de una onda estacionaria que puede describirse como dos ondas de este tipo que viajan en direcciones opuestas), E y H están exactamente en fase, por lo que S _m es simplemente un número real según la definición anterior.

La equivalencia de Re( S _m ) al promedio temporal del vector de Poynting instantáneo S se puede demostrar de la siguiente manera.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {S} (t)&=\mathbf {E} (t)\times \mathbf {H} (t)\\&=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\times \operatorname {Re} \!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\times {\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-2j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}\right)\!.\end{aligned}}}$$

El promedio del vector de Poynting instantáneo S a lo largo del tiempo viene dado por:$${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbf {S} (t)\,dt={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\!\left[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times {\mathbf {H} _{\mathrm {m} }}e^{2j\omega t}\right)\right]dt.}$$

El segundo término es el componente de doble frecuencia que tiene un valor promedio de cero, por lo que encontramos:$${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle =\operatorname {Re} \!\left({\tfrac {1}{2}}{\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {S} _{\mathrm {m} }\right)}$$

Según algunas convenciones, el factor 1/2 en la definición anterior puede omitirse. Se requiere la multiplicación por 1/2 para describir correctamente el flujo de potencia, ya que las magnitudes de E _m y H _m se refieren a los campos de pico de las cantidades oscilantes. Si, en cambio, los campos se describen en términos de sus valores cuadráticos medios (RMS) (que son cada uno más pequeños por el factor ), entonces el flujo de potencia promedio correcto se obtiene sin multiplicación por 1/2.${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$

Si un conductor tiene una resistencia significativa, entonces, cerca de la superficie de ese conductor, el vector de Poynting se inclinaría hacia el conductor y chocaría contra él. ^{[9] : figs.7,8} Una vez que el vector de Poynting entra en el conductor, se dobla en una dirección que es casi perpendicular a la superficie. ^{[16] : 61} Esto es una consecuencia de la ley de Snell y de la velocidad muy lenta de la luz dentro de un conductor. Se puede dar la definición y el cálculo de la velocidad de la luz en un conductor. ^{[17] : 402} Dentro del conductor, el vector de Poynting representa el flujo de energía del campo electromagnético hacia el cable, produciendo un calentamiento Joule resistivo en el cable. Para una derivación que comienza con la ley de Snell, consulte Reitz página 454. ^{[18] : 454}

La densidad del momento lineal del campo electromagnético es S / c ² donde S es la magnitud del vector de Poynting y c es la velocidad de la luz en el espacio libre. La presión de radiación ejercida por una onda electromagnética sobre la superficie de un objetivo está dada por$${\displaystyle P_{\mathrm {rad} }={\frac {\langle S\rangle }{\mathrm {c} }}.}$$

El vector de Poynting aparece en el teorema de Poynting solo a través de su divergencia ∇ ⋅ S , es decir, solo se requiere que la integral de superficie del vector de Poynting alrededor de una superficie cerrada describa el flujo neto de energía electromagnética hacia dentro o hacia fuera del volumen encerrado. Esto significa que agregar un campo vectorial solenoidal (uno con divergencia cero) a S dará como resultado otro campo que satisface esta propiedad requerida de un campo vectorial de Poynting según el teorema de Poynting. Dado que la divergencia de cualquier rizo es cero , se puede agregar el rizo de cualquier campo vectorial al vector de Poynting y el campo vectorial resultante S ′ seguirá satisfaciendo el teorema de Poynting.

Sin embargo, aunque el vector de Poynting se formuló originalmente solo para el teorema de Poynting en el que solo aparece su divergencia, resulta que la elección anterior de su forma es única. ^{[12] : 258–260, 605–612} La siguiente sección da un ejemplo que ilustra por qué no es aceptable agregar un campo solenoidal arbitrario a E × H .

La consideración del vector de Poynting en campos estáticos muestra la naturaleza relativista de las ecuaciones de Maxwell y permite una mejor comprensión del componente magnético de la fuerza de Lorentz , q ( v × B ) . Para ilustrarlo, se considera la imagen adjunta, que describe el vector de Poynting en un condensador cilíndrico, que se encuentra en un campo H (apuntando hacia la página) generado por un imán permanente. Aunque solo hay campos eléctricos y magnéticos estáticos, el cálculo del vector de Poynting produce un flujo circular en el sentido de las agujas del reloj de energía electromagnética, sin principio ni fin.

Aunque el flujo de energía circulante puede parecer poco físico, su existencia es necesaria para mantener la conservación del momento angular . El momento de una onda electromagnética en el espacio libre es igual a su potencia dividida por c , la velocidad de la luz. Por lo tanto, el flujo circular de energía electromagnética implica un momento angular . ^[19] Si uno conectara un cable entre las dos placas del condensador cargado, entonces habría una fuerza de Lorentz en ese cable mientras el condensador se descarga debido a la corriente de descarga y al campo magnético cruzado; esa fuerza sería tangencial al eje central y, por lo tanto, agregaría momento angular al sistema. Ese momento angular coincidiría con el momento angular "oculto", revelado por el vector de Poynting, que circulaba antes de que se descargara el condensador.

• Vector de onda

Wikiquote tiene citas relacionadas con Vector de Poynting .

Wikiversidad tiene una lección sobre el teorema de Poynting

• Becker, Richard (1982). Campos electromagnéticos e interacciones (1.ª ed.). Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-64290-1.
• Edminister, Joseph; Nahvi, Mahmood (2013). Electromagnetismo (4.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-183149-9.