Tensor de tensión de Maxwell

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v t e

El tensor de tensión de Maxwell (llamado así por James Clerk Maxwell ) es un tensor simétrico de segundo orden en tres dimensiones que se utiliza en el electromagnetismo clásico para representar la interacción entre las fuerzas electromagnéticas y el momento mecánico . En situaciones sencillas, como una carga puntual que se mueve libremente en un campo magnético homogéneo, es fácil calcular las fuerzas sobre la carga a partir de la ley de fuerza de Lorentz . Cuando la situación se vuelve más complicada, este procedimiento ordinario puede volverse poco práctico, con ecuaciones que abarcan varias líneas. Por lo tanto, es conveniente recopilar muchos de estos términos en el tensor de tensión de Maxwell y utilizar la aritmética tensorial para encontrar la respuesta al problema en cuestión.

En la formulación relativista del electromagnetismo, los nueve componentes del tensor de tensión de Maxwell aparecen, negados, como componentes del tensor electromagnético de tensión-energía , que es el componente electromagnético del tensor total de tensión-energía . Este último describe la densidad y el flujo de energía y momento en el espacio-tiempo .

Como se describe a continuación, la fuerza electromagnética se escribe en términos de y . Utilizando el cálculo vectorial y las ecuaciones de Maxwell , se busca la simetría en los términos que contienen y , y la introducción del tensor de tensión de Maxwell simplifica el resultado.${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$

Ecuaciones de Maxwell en unidades del SI en el vacío
(como referencia)

Nombre	Forma diferencial
Ley de Gauss (en el vacío)	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$
Ley de Gauss para el magnetismo	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} =0}$
Ecuación de Maxwell-Faraday (ley de inducción de Faraday)	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$
Ley circuital de Ampère (en el vacío) (con corrección de Maxwell)	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ }$

En la relación anterior para la conservación del momento, es la densidad de flujo de momento y juega un papel similar al del teorema de Poynting .${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle \mathbf {S} }$

La derivación anterior supone un conocimiento completo de y (tanto de cargas y corrientes libres como acotadas). Para el caso de materiales no lineales (como el hierro magnético con una curva BH), se debe utilizar el tensor de tensión de Maxwell no lineal. ^[1]${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbf {J} }$

En física , el tensor de tensión de Maxwell es el tensor de tensión de un campo electromagnético . Como se dedujo anteriormente, viene dado por:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}}$,

donde es la constante eléctrica y es la constante magnética , es el campo eléctrico , es el campo magnético y es la delta de Kronecker . Con magnitudes gaussianas , viene dada por:${\displaystyle \epsilon _{0}}$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \delta _{ij}}$

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\left(E^{2}+H^{2}\right)\delta _{ij}\right)}$,

¿Dónde está el campo magnetizante ?${\displaystyle \mathbf {H} }$

Una forma alternativa de expresar este tensor es:

${\displaystyle {\overset {\leftrightarrow }{\boldsymbol {\sigma }}}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \right]}$

donde es el producto diádico , y el último tensor es la díada unitaria:${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle \mathbb {I} \equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\left(\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat {x}} +\mathbf {\hat {y}} \otimes \mathbf {\hat {y}} +\mathbf {\hat {z}} \otimes \mathbf {\hat {z}} \right)}$

El elemento del tensor de tensión de Maxwell tiene unidades de momento por unidad de área por unidad de tiempo y da el flujo de momento paralelo al eje ésimo que cruza una superficie normal al eje ésimo (en la dirección negativa) por unidad de tiempo.${\displaystyle ij}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

Estas unidades también pueden verse como unidades de fuerza por unidad de área (presión negativa), y el elemento del tensor también puede interpretarse como la fuerza paralela al eje th que sufre una superficie normal al eje th por unidad de área. De hecho, los elementos diagonales dan la tensión (tracción) que actúa sobre un elemento de área diferencial normal al eje correspondiente. A diferencia de las fuerzas debidas a la presión de un gas ideal, un elemento de área en el campo electromagnético también siente una fuerza en una dirección que no es normal al elemento. Esta cizalladura está dada por los elementos no diagonales del tensor de tensión.${\displaystyle ij}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

Recientemente se ha demostrado que el tensor de tensión de Maxwell es la parte real de un tensor de tensión electromagnético complejo más general cuya parte imaginaria explica las fuerzas electrodinámicas reactivas. ^[2]

Si el campo es solo magnético (lo que es en gran medida cierto en los motores, por ejemplo), algunos de los términos desaparecen y la ecuación en unidades del SI se convierte en:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{ij}\,.}$

Para objetos cilíndricos, como el rotor de un motor, esto se simplifica aún más:

${\displaystyle \sigma _{rt}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{r}B_{t}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{rt}\,.}$

donde es la fuerza cortante en la dirección radial (hacia afuera del cilindro) y es la fuerza cortante en la dirección tangencial (alrededor del cilindro). Es la fuerza tangencial que hace girar el motor. es la densidad de flujo en la dirección radial y es la densidad de flujo en la dirección tangencial.${\displaystyle r}$${\displaystyle t}$${\displaystyle B_{r}}$${\displaystyle B_{t}}$

En electrostática no están presentes los efectos del magnetismo. En este caso el campo magnético se anula, es decir , y obtenemos el tensor de tensión de Maxwell electrostático . Se da en forma de componentes por${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {0} }$

${\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\delta _{ij}}$

y en forma simbólica por

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\varepsilon _{0}\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} -{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {I} }$

donde está el tensor identidad apropiado generalmente .${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle {\big (}}$${\displaystyle 3\times 3{\big )}}$

Los valores propios del tensor de tensión de Maxwell vienen dados por:

${\displaystyle \{\lambda \}=\left\{-\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right),~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)^{2}+{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)^{2}}}\right\}}$

Estos valores propios se obtienen aplicando iterativamente el lema del determinante matricial , junto con la fórmula de Sherman-Morrison .

Observando que la matriz de ecuación característica, , se puede escribir como${\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } }$

${\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}$

dónde

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)}$

Nosotros nos pusimos

${\displaystyle \mathbf {U} =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}$

Aplicando el lema del determinante matricial una vez, esto nos da

${\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\det {\left(\mathbf {U} \right)}}$

Al aplicarlo nuevamente se obtiene:

${\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\left(1-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }{\lambda +V}}\right)\left(-\lambda -V\right)^{3}}$

Del último multiplicando en el lado derecho, vemos inmediatamente que es uno de los valores propios.${\displaystyle \lambda =-V}$

Para encontrar la inversa de , utilizamos la fórmula de Sherman-Morrison:${\displaystyle \mathbf {U} }$

${\displaystyle \mathbf {U} ^{-1}=-\left(\lambda +V\right)^{-1}-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}{\left(\lambda +V\right)^{2}-\left(\lambda +V\right)\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }}}$

Factorizando un término en el determinante, nos queda encontrar los ceros de la función racional:${\displaystyle \left(-\lambda -V\right)}$

${\displaystyle \left(-\left(\lambda +V\right)-{\frac {\epsilon _{0}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}{\mu _{0}\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}}\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}$

Por lo tanto, una vez que resolvamos

${\displaystyle -\left(\lambda +V\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}E^{2}\right)-{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}=0}$

obtenemos los otros dos valores propios.

• Cálculo de Ricci
• Densidad de energía de los campos eléctricos y magnéticos.
• Vector de Poynting
• Tensor de energía y tensión electromagnética
• Presión magnética
• Tensión magnética

• David J. Griffiths , "Introducción a la electrodinámica", págs. 351-352, Benjamin Cummings Inc., 2008
• John David Jackson, "Electrodinámica clásica, 3.ª edición", John Wiley & Sons, Inc., 1999
• Richard Becker, "Campos electromagnéticos e interacciones", Dover Publications Inc., 1964