Campo tensorial

En matemáticas y física , un campo tensorial es una función que asigna un tensor a cada punto de una región de un espacio matemático (normalmente un espacio o variedad euclidiana ) o del espacio físico . Los campos tensoriales se utilizan en geometría diferencial , geometría algebraica , relatividad general , en el análisis de tensiones y deformaciones en objetos materiales y en numerosas aplicaciones en las ciencias físicas . Como un tensor es una generalización de un escalar (un número puro que representa un valor, por ejemplo la velocidad) y un vector (una magnitud y una dirección, como la velocidad), un campo tensorial es una generalización de un campo escalar y un campo vectorial que asigna, respectivamente, un escalar o un vector a cada punto del espacio. Si un tensor A se define en un conjunto de campos vectoriales X(M) sobre un módulo M , llamamos a A un campo tensorial en M. ^[1] Muchas estructuras matemáticas llamadas "tensores" también son campos tensoriales. Por ejemplo, el tensor de curvatura de Riemann es un campo tensorial ya que asocia un tensor a cada punto de una variedad de Riemann , que es un espacio topológico .

Sea M una variedad , por ejemplo el plano euclidiano R ⁿ .

Definición. Un campo tensorial de tipo ( p , q ) es una sección

${\displaystyle T\ \en \ \Gamma (M,V^{\otimes p}\otimes (V^{*})^{\otimes q})}$

donde V es un fibrado vectorial en M , V ^* es su dual y ⊗ es el producto tensorial de los fibrados vectoriales.

De manera equivalente, es una colección de elementos T _x ∈ V _x ^⊗p ⊗ ( V _x ^* ) ^⊗q para todos los puntos x ∈ M , ordenados en una función suave T : M → V ^⊗p ⊗ ( V ^* ) ^⊗q . Los elementos T _x se denominan tensores .

A menudo tomamos V = TM como el fibrado tangente de M.

De manera intuitiva, un campo vectorial se visualiza mejor como una "flecha" unida a cada punto de una región, con longitud y dirección variables. Un ejemplo de un campo vectorial en un espacio curvo es un mapa meteorológico que muestra la velocidad horizontal del viento en cada punto de la superficie de la Tierra.

Consideremos ahora campos más complicados. Por ejemplo, si la variedad es riemanniana, entonces tiene un campo métrico , de modo que dados dos vectores cualesquiera en el punto , su producto interno es . El campo podría darse en forma matricial, pero depende de una elección de coordenadas. En cambio, podría darse como un elipsoide de radio 1 en cada punto, que no tiene coordenadas. Aplicado a la superficie de la Tierra, esto es la indicatriz de Tissot .${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización v,w}$${\estilo de visualización x}$$Estilo de visualización g_{x}(v,w)}$${\estilo de visualización g}$

En general, queremos especificar los campos tensoriales de una manera independiente de las coordenadas: deberían existir independientemente de la latitud y la longitud, o cualquier "proyección cartográfica" particular que estemos usando para introducir coordenadas numéricas.

Siguiendo a Schouten (1951) y McConnell (1957), el concepto de tensor se basa en un concepto de marco de referencia (o sistema de coordenadas ), que puede ser fijo (en relación con algún marco de referencia de fondo), pero que en general puede permitirse que varíe dentro de alguna clase de transformaciones de estos sistemas de coordenadas. ^[2]

Por ejemplo, las coordenadas que pertenecen al espacio de coordenadas reales n -dimensional pueden estar sujetas a transformaciones afines arbitrarias : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle x^{k}\mapsto A_{j}^{k}x^{j}+a^{k}}$

(con índices n -dimensionales, suma implicada ). Un vector covariante, o covector, es un sistema de funciones que se transforma bajo esta transformación afín por la regla${\displaystyle v_{k}}$

${\displaystyle v_{k}\mapsto v_{i}A_{k}^{i}.}$

La lista de vectores base de coordenadas cartesianas se transforma como un covector, ya que bajo la transformación afín . Un vector contravariante es un sistema de funciones de las coordenadas que, bajo tal transformación afín, sufre una transformación${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{k}\mapsto A_{k}^{i}\mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle v^{k}}$

${\displaystyle v^{k}\mapsto (A^{-1})_{j}^{k}v^{j}.}$

Este es precisamente el requisito necesario para asegurar que la cantidad sea un objeto invariante que no dependa del sistema de coordenadas elegido. De manera más general, un tensor de valencia ( p , q ) tiene p índices inferiores y q índices superiores, siendo la ley de transformación${\displaystyle v^{k}\mathbf {e} _{k}}$

${\displaystyle {T_{i_{1}\cdots i_{p}}}^{j_{1}\cdots j_{q}}\mapsto A_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots A_{i_{p}}^{i'_{p}}{T_{i'_{1}\cdots i'_{p}}}^{j'_{1}\cdots j'_{q}}(A^{-1})_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots (A^{-1})_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

El concepto de un campo tensorial puede obtenerse especializando las transformaciones de coordenadas permitidas para que sean suaves (o diferenciables , analíticas , etc.). Un campo covectorial es una función de las coordenadas que se transforma por el jacobiano de las funciones de transición (en la clase dada). De la misma manera, un campo vectorial contravariante se transforma por el jacobiano inverso.${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle v^{k}}$

Un fibrado tensorial es un fibrado de fibras donde la fibra es un producto tensorial de cualquier número de copias del espacio tangente y/o del espacio cotangente del espacio base, que es una variedad. Como tal, la fibra es un espacio vectorial y el fibrado tensorial es un tipo especial de fibrado vectorial .

El fibrado vectorial es una idea natural de "espacio vectorial que depende de manera continua (o uniforme) de parámetros", siendo los parámetros los puntos de una variedad M . Por ejemplo, un espacio vectorial de una dimensión que depende de un ángulo podría parecerse a una cinta de Möbius o, alternativamente, a un cilindro . Dado un fibrado vectorial V sobre M , el concepto de campo correspondiente se denomina sección del fibrado: para m que varía sobre M , una elección de fibrado vectorial

v _m en V _m ,

donde V _m es el espacio vectorial "en" m .

Dado que el concepto de producto tensorial es independiente de cualquier elección de base, tomar el producto tensorial de dos fibrados vectoriales en M es una rutina. Comenzando con el fibrado tangente (el fibrado de espacios tangentes ), todo el aparato explicado en el tratamiento sin componentes de los tensores se lleva a cabo de manera rutinaria, nuevamente independientemente de las coordenadas, como se mencionó en la introducción.

Por lo tanto, podemos dar una definición de campo tensorial , es decir, como una sección de algún fibrado tensorial . (Hay fibrados vectoriales que no son fibrados tensoriales: la banda de Möbius, por ejemplo). Esto es entonces contenido geométrico garantizado, ya que todo se ha hecho de manera intrínseca. Más precisamente, un campo tensorial asigna a cualquier punto dado de la variedad un tensor en el espacio.

${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*},}$

donde V es el espacio tangente en ese punto y V ^∗ es el espacio cotangente . Véase también fibrado tangente y fibrado cotangente .

Dados dos fibrados tensoriales E → M y F → M , una función lineal A : Γ( E ) → Γ( F ) del espacio de secciones de E a secciones de F puede considerarse en sí misma como una sección tensorial de si y solo si satisface A ( fs ) = fA ( s ), para cada sección s en Γ( E ) y cada función suave f en M . Por lo tanto, una sección tensorial no es solo una función lineal en el espacio vectorial de secciones, sino una función C ^∞ ( M )-lineal en el módulo de secciones. Esta propiedad se utiliza para comprobar, por ejemplo, que aunque la derivada de Lie y la derivada covariante no son tensores, los tensores de torsión y de curvatura construidos a partir de ellas sí lo son.${\displaystyle \scriptstyle E^{*}\otimes F}$

La notación para campos tensoriales a veces puede ser confusamente similar a la notación para espacios tensoriales. Por lo tanto, el fibrado tangente TM = T ( M ) a veces podría escribirse como

${\displaystyle T_{0}^{1}(M)=T(M)=TM}$

para enfatizar que el fibrado tangente es el espacio de rango de los campos tensoriales (es decir, campos vectoriales) (1,0) en la variedad M. Esto no debe confundirse con la notación de apariencia muy similar

${\displaystyle T_{0}^{1}(V)}$;

en el último caso, solo tenemos un espacio tensorial, mientras que en el primero, tenemos un espacio tensorial definido para cada punto en la variedad M.

A veces se utilizan letras rizadas (escritura) para indicar el conjunto de campos tensoriales infinitamente diferenciables en M . Por lo tanto,

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}^{m}(M)}$

son las secciones del fibrado tensorial ( m , n ) en M que son infinitamente diferenciables. Un campo tensorial es un elemento de este conjunto.

Hay otra forma más abstracta (pero a menudo útil) de caracterizar los campos tensoriales en una variedad M , que convierte a los campos tensoriales en tensores honestos (es decir, aplicaciones multilineales simples ), aunque de un tipo diferente (aunque esta no es la razón por la que a menudo se dice "tensor" cuando en realidad se quiere decir "campo tensor"). Primero, podemos considerar el conjunto de todos los campos vectoriales suaves (C ^{∞ ) en} M , (ver la sección sobre notación anterior) como un espacio único: un módulo sobre el anillo de funciones suaves, C ^∞ ( M ), por multiplicación escalar puntual. Las nociones de multilinealidad y productos tensoriales se extienden fácilmente al caso de módulos sobre cualquier anillo conmutativo .${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M):={\mathcal {T}}_{0}^{1}(M)}$

Como ejemplo motivador, considere el espacio de campos covectoriales suaves ( 1-formas ), también un módulo sobre las funciones suaves. Estas actúan sobre campos vectoriales suaves para producir funciones suaves mediante evaluación puntual, es decir, dado un campo covectorial ω y un campo vectorial X , definimos${\displaystyle \Omega ^{1}(M)={\mathcal {T}}_{1}^{0}(M)}$

${\displaystyle {\tilde {\omega }}(X)(p):=\omega (p)(X(p)).}$

Debido a la naturaleza puntual de todo lo involucrado, la acción de sobre X es una función C ^∞ ( M )-lineal, es decir,${\displaystyle {\tilde {\omega }}}$

${\displaystyle {\tilde {\omega }}(fX)(p)=\omega (p)((fX)(p))=\omega (p)(f(p)X(p))=f(p)\omega (p)(X(p))=(f\omega )(p)(X(p))=(f{\tilde {\omega }})(X)(p)}$

para cualquier p en M y función suave f . Por lo tanto, podemos considerar los campos covectoriales no solo como secciones del fibrado cotangente, sino también aplicaciones lineales de campos vectoriales en funciones. Mediante la construcción doble-dual, los campos vectoriales pueden expresarse de manera similar como aplicaciones de campos covectoriales en funciones (es decir, podríamos comenzar "de manera nativa" con campos covectoriales y trabajar a partir de allí).

En un completo paralelo a la construcción de tensores simples ordinarios (¡no campos tensoriales!) en M como mapas multilineales en vectores y covectores, podemos considerar campos tensoriales generales ( k , l ) en M como mapas C ^∞ ( M )-multilineales definidos en k copias de y l copias de en C ^∞ ( M ).${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$

Ahora bien, dada cualquier aplicación arbitraria T de un producto de k copias de y l copias de en C ^∞ ( M ), resulta que surge de un cuerpo tensorial en M si y sólo si es multilineal sobre C ^∞ ( M ). Es decir, -módulo de cuerpos tensoriales de tipo sobre M es canónicamente isomorfo a -módulo de - formas multilineales${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle (k,l)}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

${\displaystyle \underbrace {\Omega ^{1}(M)\times \ldots \times \Omega ^{1}(M)} _{l\ \mathrm {times} }\times \underbrace {{\mathfrak {X}}(M)\times \ldots \times {\mathfrak {X}}(M)} _{k\ \mathrm {times} }\to C^{\infty }(M).}$^[3]

Este tipo de multilinealidad expresa implícitamente el hecho de que en realidad estamos tratando con un objeto definido puntualmente, es decir, un campo tensorial, en oposición a una función que, incluso cuando se evalúa en un solo punto, depende de todos los valores de los campos vectoriales y las 1-formas simultáneamente.

Un ejemplo frecuente de aplicación de esta regla general es mostrar que la conexión de Levi-Civita , que es una aplicación de campos vectoriales suaves que toma un par de campos vectoriales a un campo vectorial, no define un campo tensorial en M. Esto se debe a que solo es -lineal en Y (en lugar de la linealidad completa de C ^∞ ( M ), satisface la regla de Leibniz, )). Sin embargo, debe enfatizarse que, aunque no es un campo tensorial, todavía califica como un objeto geométrico con una interpretación libre de componentes.${\displaystyle (X,Y)\mapsto \nabla _{X}Y}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nabla _{X}(fY)=(Xf)Y+f\nabla _{X}Y}$

El tensor de curvatura se analiza en geometría diferencial y el tensor de tensión-energía es importante en física, y estos dos tensores están relacionados por la teoría de la relatividad general de Einstein .

En el electromagnetismo , los campos eléctricos y magnéticos se combinan en un campo tensor electromagnético .

Vale la pena señalar que las formas diferenciales , utilizadas para definir la integración en variedades, son un tipo de campo tensorial.

En física teórica y otros campos, las ecuaciones diferenciales planteadas en términos de campos tensoriales proporcionan una forma muy general de expresar relaciones que son tanto de naturaleza geométrica (garantizada por la naturaleza tensorial) como vinculadas convencionalmente al cálculo diferencial . Incluso para formular tales ecuaciones se requiere una noción nueva, la derivada covariante . Esta maneja la formulación de la variación de un campo tensorial a lo largo de un campo vectorial . La noción original de cálculo diferencial absoluto , que más tarde se llamó cálculo tensorial , condujo al aislamiento del concepto geométrico de conexión .

Una extensión de la idea del campo tensorial incorpora un fibrado lineal adicional L en M . Si W es el fibrado producto tensorial de V con L , entonces W es un fibrado de espacios vectoriales de la misma dimensión que V . Esto permite definir el concepto de densidad tensorial , un tipo "retorcido" de campo tensorial. Una densidad tensorial es el caso especial donde L es el fibrado de densidades en una variedad , es decir, el fibrado determinante del fibrado cotangente . (Para ser estrictamente precisos, también se debe aplicar el valor absoluto a las funciones de transición ; esto hace poca diferencia para una variedad orientable ). Para una explicación más tradicional, consulte el artículo sobre densidad tensorial .

Una característica del fibrado de densidades (de nuevo asumiendo orientabilidad) L es que L ^s está bien definido para valores de números reales de s ; esto se puede leer a partir de las funciones de transición, que toman valores reales estrictamente positivos. Esto significa, por ejemplo, que podemos tomar una semidensidad , el caso donde s = ⁠1/2⁠ . En general, podemos tomar secciones de W , el producto tensorial de V con L ^s , y considerar campos de densidad tensorial con peso s .

Las semidensidades se aplican en áreas tales como la definición de operadores integrales en variedades y la cuantificación geométrica .

Cuando M es un espacio euclidiano y todos los campos se toman como invariantes por las traslaciones de los vectores de M , volvemos a una situación en la que un campo tensorial es sinónimo de un tensor "que se encuentra en el origen". Esto no causa gran daño y se utiliza a menudo en aplicaciones. En lo que respecta a las densidades de tensores, sí que marca una diferencia. El fibrado de densidades no se puede definir seriamente "en un punto"; y por lo tanto, una limitación del tratamiento matemático contemporáneo de los tensores es que las densidades de tensores se definen de manera indirecta.

Como explicación avanzada del concepto de tensor , se puede interpretar la regla de la cadena en el caso multivariable, tal como se aplica a los cambios de coordenadas, también como el requisito de conceptos autoconsistentes de tensor que dan lugar a campos tensoriales.

De manera abstracta, podemos identificar la regla de la cadena como un cociclo 1. Proporciona la consistencia necesaria para definir el fibrado tangente de manera intrínseca. Los otros fibrados vectoriales de tensores tienen cociclos comparables, que surgen de la aplicación de propiedades funcionales de construcciones tensoriales a la propia regla de la cadena; por eso también son conceptos intrínsecos (léase, "naturales").

Lo que suele denominarse enfoque "clásico" de los tensores intenta interpretar esto al revés, y por lo tanto es un enfoque heurístico, post hoc, en lugar de uno verdaderamente fundacional. Implícito en la definición de los tensores por cómo se transforman bajo un cambio de coordenadas está el tipo de autoconsistencia que expresa el cociclo. La construcción de densidades de tensores es una "torsión" a nivel de cociclo. Los geómetras no han tenido ninguna duda sobre la naturaleza geométrica de las cantidades tensoriales ; este tipo de argumento de descendencia justifica de manera abstracta toda la teoría.

El concepto de un campo tensorial se puede generalizar considerando objetos que se transforman de manera diferente. Un objeto que se transforma como un campo tensorial ordinario bajo transformaciones de coordenadas, excepto que también se multiplica por el determinante del jacobiano de la transformación de coordenadas inversa a la w ésima potencia, se llama densidad tensorial con peso w . ^[4] Invariablemente, en el lenguaje del álgebra multilineal, uno puede pensar en las densidades tensoriales como mapas multilineales que toman sus valores en un fibrado de densidad como el espacio (unidimensional) de n -formas (donde n es la dimensión del espacio), en lugar de tomar sus valores solo en R . Los "pesos" más altos entonces solo corresponden a tomar productos tensoriales adicionales con este espacio en el rango.

Un caso especial son las densidades escalares. Las 1-densidades escalares son especialmente importantes porque tiene sentido definir su integral sobre una variedad. Aparecen, por ejemplo, en la acción de Einstein-Hilbert en la relatividad general. El ejemplo más común de una 1-densidad escalar es el elemento de volumen , que en presencia de un tensor métrico g es la raíz cuadrada de su determinante en coordenadas, denotado . El tensor métrico es un tensor covariante de orden 2, y por lo tanto su determinante escala por el cuadrado de la transición de coordenadas:${\displaystyle {\sqrt {\det g}}}$

${\displaystyle \det(g')=\left(\det {\frac {\partial x}{\partial x'}}\right)^{2}\det(g),}$

cual es la ley de transformación para una densidad escalar de peso +2.

En términos más generales, cualquier densidad tensorial es el producto de un tensor ordinario con una densidad escalar del peso apropiado. En el lenguaje de los fibrados vectoriales , el fibrado determinante del fibrado tangente es un fibrado lineal que puede usarse para 'retorcer' otros fibrados w veces. Si bien localmente la ley de transformación más general puede usarse para reconocer estos tensores, surge una pregunta global, que refleja que en la ley de transformación se puede escribir el determinante jacobiano o su valor absoluto. Las potencias no integrales de las funciones de transición (positivas) del fibrado de densidades tienen sentido, de modo que el peso de una densidad, en ese sentido, no está restringido a valores enteros. La restricción a cambios de coordenadas con determinante jacobiano positivo es posible en variedades orientables , porque hay una forma global consistente de eliminar los signos menos; pero, por lo demás, el fibrado lineal de densidades y el fibrado lineal de n -formas son distintos. Para obtener más información sobre el significado intrínseco, consulte densidad en una variedad .

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