Campo vectorial

En cálculo vectorial y física , un campo vectorial es una asignación de un vector a cada punto en un espacio , más comúnmente el espacio euclidiano . ^[1] Un campo vectorial en un plano se puede visualizar como una colección de flechas con magnitudes y direcciones dadas, cada una unida a un punto en el plano. Los campos vectoriales se utilizan a menudo para modelar, por ejemplo, la velocidad y la dirección de un fluido en movimiento a lo largo del espacio tridimensional , como el viento , o la intensidad y la dirección de alguna fuerza , como la fuerza magnética o gravitacional , a medida que cambia de un punto a otro.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Los elementos del cálculo diferencial e integral se extienden naturalmente a los campos vectoriales. Cuando un campo vectorial representa una fuerza , la integral de línea de un campo vectorial representa el trabajo realizado por una fuerza que se mueve a lo largo de una trayectoria y, según esta interpretación, la conservación de la energía se presenta como un caso especial del teorema fundamental del cálculo . Los campos vectoriales pueden considerarse útiles como la representación de la velocidad de un flujo en movimiento en el espacio y esta intuición física conduce a nociones como la divergencia (que representa la tasa de cambio del volumen de un flujo) y el rizo (que representa la rotación de un flujo).

Un campo vectorial es un caso especial de una función con valores vectoriales , cuya dimensión del dominio no tiene relación con la dimensión de su rango; por ejemplo, el vector de posición de una curva espacial se define solo para un subconjunto más pequeño del espacio ambiente. Del mismo modo, n coordenadas , un campo vectorial en un dominio en un espacio euclidiano n -dimensional se puede representar como una función con valores vectoriales que asocia una n -tupla de números reales a cada punto del dominio. Esta representación de un campo vectorial depende del sistema de coordenadas, y existe una ley de transformación bien definida ( covarianza y contravarianza de vectores ) al pasar de un sistema de coordenadas a otro.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Los campos vectoriales se suelen analizar en subconjuntos abiertos del espacio euclidiano, pero también tienen sentido en otros subconjuntos como las superficies , donde asocian una flecha tangente a la superficie en cada punto (un vector tangente ). De manera más general, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables , que son espacios que se parecen al espacio euclidiano en escalas pequeñas, pero que pueden tener una estructura más complicada en escalas mayores. En este contexto, un campo vectorial da un vector tangente en cada punto de la variedad (es decir, una sección del fibrado tangente a la variedad). Los campos vectoriales son un tipo de campo tensorial .

Dado un subconjunto S de R ⁿ , un campo vectorial se representa mediante una función vectorial V : S → R ⁿ en coordenadas cartesianas estándar ( x ₁ , …, x _n ) . Si cada componente de V es continuo, entonces V es un campo vectorial continuo. Es común centrarse en campos vectoriales suaves , lo que significa que cada componente es una función suave (diferenciable cualquier número de veces). Un campo vectorial se puede visualizar como la asignación de un vector a puntos individuales dentro de un espacio n -dimensional. ^[1]

Una notación estándar es escribir para los vectores unitarios en las direcciones de coordenadas. En estos términos, cada campo vectorial uniforme en un subconjunto abierto de puede escribirse como${\displaystyle {\frac {\parcial }{\parcial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\parcial }{\parcial x_{n}}}}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle {\mathbf {R}}^{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}V_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$

para algunas funciones suaves en . ^[2] La razón de esta notación es que un campo vectorial determina una función lineal desde el espacio de funciones suaves hacia sí mismo, , dada al diferenciar en la dirección del campo vectorial.${\displaystyle V_{1},\ldots,V_{n}}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle V\colon C^{\infty }(S)\to C^{\infty }(S)}$

Ejemplo : El campo vectorial describe una rotación en sentido antihorario alrededor del origen en . Para demostrar que la función es rotacionalmente invariante, calcule:${\displaystyle -x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}$

${\displaystyle {\bigg (}-x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\bigg )}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=-x_{2}(2x_{1})+x_{1}(2x_{2})=0.}$

Dados los campos vectoriales V , W definidos en S y una función suave f definida en S , las operaciones de multiplicación escalar y adición vectorial, convierten los campos vectoriales suaves en un módulo sobre el anillo de funciones suaves, donde la multiplicación de funciones se define puntualmente.$${\displaystyle (fV)(p):=f(p)V(p)}$$$${\displaystyle (V+W)(p):=V(p)+W(p),}$$

En física, un vector se distingue además por cómo cambian sus coordenadas cuando se mide el mismo vector con respecto a un sistema de coordenadas de fondo diferente. Las propiedades de transformación de los vectores distinguen a un vector como una entidad geométricamente distinta de una simple lista de escalares o de un covector .

Así, supongamos que ( x ₁ , ..., x _n ) es una elección de coordenadas cartesianas, en función de las cuales las componentes del vector V son y supongamos que ( y ₁ , ..., y _n ) son n funciones de las x _i que definen un sistema de coordenadas diferente. Entonces, se requiere que las componentes del vector V en las nuevas coordenadas satisfagan la ley de transformación$${\displaystyle V_{x}=(V_{1,x},\dots ,V_{n,x})}$$

$${\displaystyle V_{i,y}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{j}}}V_{j,x}.}$$

( 1 )

Una ley de transformación de este tipo se denomina contravariante . Una ley de transformación similar caracteriza a los campos vectoriales en física: específicamente, un campo vectorial es una especificación de n funciones en cada sistema de coordenadas sujeto a la ley de transformación ( 1 ) que relaciona los diferentes sistemas de coordenadas.

De este modo, los campos vectoriales se contrastan con los campos escalares , que asocian un número o escalar a cada punto del espacio, y también se contrastan con listas simples de campos escalares, que no se transforman ante cambios de coordenadas.

Dada una variedad diferenciable , un campo vectorial en es una asignación de un vector tangente a cada punto en . ^[2] Más precisamente, un campo vectorial es una aplicación de en el fibrado tangente de modo que es la aplicación identidad donde denota la proyección de a . En otras palabras, un campo vectorial es una sección del fibrado tangente .${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle F}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$${\displaystyle p\circ F}$${\displaystyle p}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle M}$

Una definición alternativa: Un campo vectorial suave en una variedad es una función lineal tal que es una derivación : para todo . ^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X:C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X(fg)=fX(g)+X(f)g}$${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M)}$

Si la variedad es suave o analítica —es decir, el cambio de coordenadas es suave (analítico)— entonces se puede entender la noción de campos vectoriales suaves (analíticos). La colección de todos los campos vectoriales suaves en una variedad suave se denota a menudo por o (especialmente cuando se piensa en los campos vectoriales como secciones ); la colección de todos los campos vectoriales suaves también se denota por (a fraktur "X").${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Gamma (TM)}$${\displaystyle C^{\infty }(M,TM)}$${\textstyle {\mathfrak {X}}(M)}$

• Un campo vectorial para el movimiento del aire en la Tierra asociará para cada punto de la superficie terrestre un vector con la velocidad y dirección del viento para ese punto. Esto se puede dibujar utilizando flechas para representar el viento; la longitud ( magnitud ) de la flecha será una indicación de la velocidad del viento. Un "alto" en el mapa de presión barométrica habitual actuaría entonces como una fuente (las flechas apuntan hacia afuera), y un "bajo" sería un sumidero (las flechas apuntan hacia adentro), ya que el aire tiende a moverse desde áreas de alta presión a áreas de baja presión.
• Campo de velocidad de un fluido en movimiento . En este caso, a cada punto del fluido se le asocia un vector de velocidad .
• Las líneas de corriente, las líneas de trazo y las líneas de trayectoria son tres tipos de líneas que se pueden crear a partir de campos vectoriales (dependientes del tiempo). Son:
  • líneas de raya: la línea producida por partículas que pasan a través de un punto fijo específico durante varios tiempos
  • líneas de trayectoria: muestran la trayectoria que seguiría una partícula dada (de masa cero).
  • líneas de corriente (o líneas de campo): la trayectoria de una partícula influenciada por el campo instantáneo (es decir, la trayectoria de una partícula si el campo se mantiene fijo).
• Campos magnéticos . Las líneas de campo se pueden revelar utilizando pequeñas limaduras de hierro .
• Las ecuaciones de Maxwell nos permiten utilizar un conjunto dado de condiciones iniciales y de contorno para deducir, para cada punto en el espacio euclidiano , una magnitud y dirección para la fuerza experimentada por una partícula de prueba cargada en ese punto; el campo vectorial resultante es el campo eléctrico .
• Un campo gravitatorio generado por cualquier objeto masivo también es un campo vectorial. Por ejemplo, los vectores del campo gravitatorio de un cuerpo con simetría esférica apuntarían todos hacia el centro de la esfera y la magnitud de los vectores se reduciría a medida que aumenta la distancia radial desde el cuerpo.

Los campos vectoriales se pueden construir a partir de campos escalares utilizando el operador de gradiente (denotado por del : ∇). ^[4]

Un campo vectorial V definido en un conjunto abierto S se denomina campo de gradiente o campo conservativo si existe una función de valor real (un campo escalar) f en S tal que$${\displaystyle V=\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).}$$

El flujo asociado se llamaflujo de gradiente , y se utiliza en el método dedescenso de gradiente.

La integral de trayectoria a lo largo de cualquier curva cerrada γ ( γ (0) = γ (1)) en un campo conservativo es cero:$${\displaystyle \oint _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\oint _{\gamma }\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =f(\gamma (1))-f(\gamma (0)).}$$

Un campo vectorial C ^{∞ sobre} R ⁿ \ {0} se denomina campo central si donde O( n , R ) es el grupo ortogonal . Decimos que los campos centrales son invariantes ante transformaciones ortogonales alrededor de 0.$${\displaystyle V(T(p))=T(V(p))\qquad (T\in \mathrm {O} (n,\mathbb {R} ))}$$

El punto 0 se llama centro del campo.

Dado que las transformaciones ortogonales son en realidad rotaciones y reflexiones, las condiciones de invariancia significan que los vectores de un campo central siempre están dirigidos hacia o desde 0; esta es una definición alternativa (y más simple). Un campo central es siempre un campo de gradiente, ya que al definirlo en un semieje e integrarlo se obtiene un antigradiente.

Una técnica común en física es integrar un campo vectorial a lo largo de una curva , también llamada determinación de su integral de línea . Intuitivamente, esto es sumar todos los componentes vectoriales en línea con las tangentes a la curva, expresados ​​como sus productos escalares. Por ejemplo, dada una partícula en un campo de fuerza (por ejemplo, la gravitación), donde cada vector en algún punto del espacio representa la fuerza que actúa allí sobre la partícula, la integral de línea a lo largo de una determinada trayectoria es el trabajo realizado sobre la partícula, cuando viaja a lo largo de esta trayectoria. Intuitivamente, es la suma de los productos escalares del vector de fuerza y ​​el pequeño vector tangente en cada punto a lo largo de la curva.

La integral de línea se construye de forma análoga a la integral de Riemann y existe si la curva es rectificable (tiene longitud finita) y el campo vectorial es continuo.

Dado un campo vectorial V y una curva γ , parametrizada por t en [ a , b ] (donde a y b son números reales ), la integral de línea se define como$${\displaystyle \int _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{a}^{b}V(\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t.}$$

Para mostrar la topología del campo vectorial se puede utilizar la convolución integral de línea .

La divergencia de un campo vectorial en el espacio euclidiano es una función (o campo escalar). En tres dimensiones, la divergencia se define por$${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}},}$$

con la obvia generalización a dimensiones arbitrarias. La divergencia en un punto representa el grado en el que un pequeño volumen alrededor del punto es una fuente o un sumidero para el flujo vectorial, un resultado que se precisa mediante el teorema de divergencia .

La divergencia también se puede definir en una variedad riemanniana , es decir, una variedad con una métrica riemanniana que mide la longitud de los vectores.

El rotacional es una operación que toma un campo vectorial y produce otro campo vectorial. El rotacional se define solo en tres dimensiones, pero algunas propiedades del rotacional se pueden capturar en dimensiones superiores con la derivada exterior . En tres dimensiones, se define por$${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}-\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}.}$$

El rizo mide la densidad del momento angular del flujo vectorial en un punto, es decir, la cantidad de movimiento del flujo alrededor de un eje fijo. Esta descripción intuitiva se hace precisa mediante el teorema de Stokes .

El índice de un campo vectorial es un número entero que ayuda a describir su comportamiento en torno a un cero aislado (es decir, una singularidad aislada del campo). En el plano, el índice toma el valor −1 en una singularidad de silla, pero +1 en una singularidad de fuente o sumidero.

Sea n la dimensión de la variedad en la que se define el campo vectorial. Tómese una superficie cerrada (homeomorfa a la (n-1)-esfera) S alrededor del cero, de modo que ningún otro cero se encuentre en el interior de S. Se puede construir una función desde esta esfera hasta una esfera unitaria de dimensión n  − 1 dividiendo cada vector en esta esfera por su longitud para formar un vector de longitud unitaria, que es un punto en la esfera unitaria S ^{n −1} . Esto define una función continua desde S hasta S ^{n −1} . El índice del campo vectorial en el punto es el grado de esta función. Se puede demostrar que este entero no depende de la elección de S y, por lo tanto, depende solo del propio campo vectorial.

El índice no está definido en ningún punto no singular (es decir, un punto donde el vector no es cero). Es igual a +1 alrededor de una fuente y, de manera más general, igual a (−1) ^k alrededor de una silla que tiene k dimensiones de contracción y n − k dimensiones de expansión.

El índice del campo vectorial en su totalidad se define cuando tiene un número finito de ceros. En este caso, todos los ceros están aislados y el índice del campo vectorial se define como la suma de los índices en todos los ceros.

Para una esfera ordinaria (bidimensional) en un espacio tridimensional, se puede demostrar que el índice de cualquier campo vectorial en la esfera debe ser 2. Esto demuestra que cada uno de esos campos vectoriales debe tener un cero. Esto implica el teorema de la bola peluda .

Para un campo vectorial en una variedad compacta con un número finito de ceros, el teorema de Poincaré-Hopf establece que el índice del campo vectorial es la característica de Euler de la variedad .

Michael Faraday , en su concepto de líneas de fuerza , enfatizó que el campo en sí mismo debería ser un objeto de estudio, lo que se ha convertido en toda la física en la forma de teoría de campos .

Además del campo magnético, otros fenómenos que fueron modelados por Faraday incluyen el campo eléctrico y el campo de luz .

En las últimas décadas, muchas formulaciones fenomenológicas de dinámicas irreversibles y ecuaciones de evolución en física, desde la mecánica de fluidos y sólidos complejos hasta la cinética química y la termodinámica cuántica, han convergido hacia la idea geométrica de "ascenso de entropía más pronunciado" o "flujo de gradiente" como un marco de modelado universal consistente que garantiza la compatibilidad con la segunda ley de la termodinámica y extiende resultados bien conocidos de equilibrio cercano, como la reciprocidad de Onsager, al reino del no equilibrio lejano. ^[5]

Consideremos el flujo de un fluido a través de una región del espacio. En cualquier momento dado, cualquier punto del fluido tiene una velocidad particular asociada a él; por lo tanto, existe un campo vectorial asociado a cualquier flujo. Lo inverso también es cierto: es posible asociar un flujo a un campo vectorial que tenga ese campo vectorial como su velocidad.

Dado un campo vectorial definido en , se definen curvas en tales que para cada uno en un intervalo ,${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle t}$${\displaystyle I}$$${\displaystyle \gamma '(t)=V(\gamma (t))\,.}$$

Por el teorema de Picard-Lindelöf , si Lipschitz es continua, existe una curva única para cada punto en de modo que, para algún ,${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle \gamma _{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \varepsilon >0}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{x}(0)&=x\\\gamma '_{x}(t)&=V(\gamma _{x}(t))\qquad \forall t\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\subset \mathbb {R} .\end{aligned}}}$$

Las curvas se denominan curvas integrales o trayectorias (o, con menos frecuencia, líneas de flujo) del campo vectorial y se dividen en clases de equivalencia . No siempre es posible extender el intervalo a toda la línea de números reales . El flujo puede, por ejemplo, alcanzar el borde de en un tiempo finito. En dos o tres dimensiones, se puede visualizar el campo vectorial como si diera lugar a un flujo en . Si dejamos caer una partícula en este flujo en un punto, se moverá a lo largo de la curva en el flujo dependiendo del punto inicial . Si es un punto estacionario de (es decir, el campo vectorial es igual al vector cero en el punto ), entonces la partícula permanecerá en .${\displaystyle \gamma _{x}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (-\varepsilon ,+\varepsilon )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \gamma _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle V}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

Las aplicaciones típicas son la trayectoria en fluidos , el flujo geodésico y los subgrupos de un parámetro y el mapa exponencial en grupos de Lie .

Por definición, un campo vectorial en se llama completo si cada una de sus curvas de flujo existe para siempre. ^[6] En particular, los campos vectoriales con soporte compacto en una variedad son completos. Si es un campo vectorial completo en , entonces el grupo de un parámetro de difeomorfismos generado por el flujo a lo largo existe para siempre; se describe mediante una aplicación suave${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathbf {R} \times M\to M.}$

En una variedad compacta sin borde, todo campo vectorial liso es completo. Un ejemplo de un campo vectorial incompleto en la recta real viene dado por . Para, la ecuación diferencial , con condición inicial , tiene como única solución si (y para todos los si ). Por lo tanto, para , no está definida en por lo que no puede definirse para todos los valores de .${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle V(x)=x^{2}}$${\textstyle x'(t)=x^{2}}$${\displaystyle x(0)=x_{0}}$${\textstyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$${\displaystyle x_{0}\neq 0}$${\displaystyle x(t)=0}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle x_{0}\neq 0}$${\displaystyle x(t)}$${\textstyle t={\frac {1}{x_{0}}}}$${\displaystyle t}$

Los flujos asociados a dos campos vectoriales no necesitan conmutar entre sí. Su incapacidad para conmutar se describe mediante el corchete de Lie de dos campos vectoriales, que es nuevamente un campo vectorial. El corchete de Lie tiene una definición simple en términos de la acción de los campos vectoriales sobre funciones suaves :${\displaystyle f}$

${\displaystyle [X,Y](f):=X(Y(f))-Y(X(f)).}$

Dada una función suave entre variedades, , la derivada es una función inducida en los fibrados tangentes , . Dados los campos vectoriales y , decimos que está relacionada con si la ecuación se cumple.${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle f_{*}:TM\to TN}$${\displaystyle V:M\to TM}$${\displaystyle W:N\to TN}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W\circ f=f_{*}\circ V}$

Si está -relacionado con , , entonces el corchete de Lie está -relacionado con .${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle W_{i}}$${\displaystyle i=1,2}$${\displaystyle [V_{1},V_{2}]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [W_{1},W_{2}]}$

Reemplazar vectores por p -vectores ( p -ésima potencia exterior de los vectores) produce p -campos vectoriales; tomar el espacio dual y las potencias exteriores produce k -formas diferenciales , y combinarlas produce campos tensoriales generales .

Algebraicamente, los campos vectoriales pueden caracterizarse como derivaciones del álgebra de funciones suaves sobre la variedad, lo que lleva a definir un campo vectorial sobre un álgebra conmutativa como una derivación sobre el álgebra, que se desarrolla en la teoría del cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas .

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• Hubbard, JH ; Hubbard, BB (1999). Cálculo vectorial, álgebra lineal y formas diferenciales. Un enfoque unificado . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-657446-7.
• Warner, Frank (1983) [1971]. Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie . Nueva York-Berlín: Springer-Verlag. ISBN. 0-387-90894-3.
• Boothby, William (1986). Introducción a las variedades diferenciables y a la geometría de Riemann . Matemáticas puras y aplicadas, volumen 120 (segunda edición). Orlando, FL: Academic Press. ISBN 0-12-116053-X.

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Campos vectoriales .

• Editor de campos vectoriales en línea
• "Campo vectorial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Campo vectorial — Mathworld
• Campo vectorial — PlanetMath
• Visor de campo magnético 3D
• Campos vectoriales y líneas de campo
• Simulación de campos vectoriales Una aplicación interactiva para mostrar los efectos de los campos vectoriales