Energía potencial eléctrica

La fuerza electrostática F que actúa sobre una carga q se puede escribir en términos del campo eléctrico E como$${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} ,}$$

Por definición, el cambio en la energía potencial electrostática, U _E , de una carga puntual q que se ha movido desde la posición de referencia r _ref a la posición r en presencia de un campo eléctrico E es el negativo del trabajo realizado por la fuerza electrostática para llevarla desde la posición de referencia r _ref a esa posición r .

$${\displaystyle U_{E}(r)-U_{E}(r_{\rm {ref}})=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{r}_{\rm {ref}}}^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} .}$$

dónde:

• r = posición en el espacio 3d de la carga q , usando coordenadas cartesianas r = ( x , y , z ), tomando la posición de la carga Q en r = (0,0,0), el escalar r = | r | es la norma del vector de posición,
• d s = vector de desplazamiento diferencial a lo largo de una trayectoria C que va desde r _ref hasta r ,
• ${\displaystyle W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}}$es el trabajo realizado por la fuerza electrostática para llevar la carga desde la posición de referencia r _ref a r ,

Generalmente U _E se establece en cero cuando r _ref es infinito: entonces$${\displaystyle U_{E}(r_{\rm {ref}}=\infty )=0}$$$${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }$$

Cuando el rizo ∇ × E es cero, la integral de línea anterior no depende de la trayectoria específica C elegida, sino solo de sus puntos finales. Esto sucede en campos eléctricos invariantes en el tiempo. Cuando se habla de energía potencial electrostática, siempre se supone que los campos eléctricos son invariantes en el tiempo, por lo que, en este caso, el campo eléctrico es conservativo y se puede utilizar la ley de Coulomb.

Usando la ley de Coulomb , se sabe que la fuerza electrostática F y el campo eléctrico E creados por una carga puntual discreta Q están dirigidos radialmente desde Q. Por la definición del vector de posición r y el vector de desplazamiento s , se deduce que r y s también están dirigidos radialmente desde Q. Por lo tanto, E y d deben ser paralelos:

$${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =|\mathbf {E} |\cdot |\mathrm {d} \mathbf {s} |\cos(0)=E\mathrm {d} s}$$

Usando la ley de Coulomb, el campo eléctrico está dado por

$${\displaystyle |\mathbf {E} |=E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{s^{2}}}}$$

y la integral se puede evaluar fácilmente:

$${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-\int _{\infty }^{r}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{s^{2}}}{\rm {d}}s={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}=k_{e}{\frac {qQ}{r}}}$$

La energía potencial electrostática U _E almacenada en un sistema de dos cargas es igual a la energía potencial electrostática de una carga en el potencial electrostático generado por la otra. Es decir, si la carga q ₁ genera un potencial electrostático V ₁ , que es función de la posición r , entonces$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2}).}$$

Haciendo el mismo cálculo con respecto a la otra carga, obtenemos$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1}).}$$

La energía potencial electrostática es compartida mutuamente por y , por lo que la energía total almacenada es${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{2}}$$${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\left[q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2})+q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1})\right]}$$

Esto se puede generalizar para decir que la energía potencial electrostática U _E almacenada en un sistema de n cargas q ₁ , q ₂ , …, q _n en las posiciones r ₁ , r ₂ , …, r _n respectivamente, es:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}V(\mathbf {r} _{i}).}$$

Utilizando la fórmula dada en ( 1 ), la energía potencial electrostática del sistema de las tres cargas será entonces:$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\left[Q_{1}V(\mathbf {r} _{1})+Q_{2}V(\mathbf {r} _{2})+Q_{3}V(\mathbf {r} _{3})\right]}$$

Donde es el potencial eléctrico en r ₁ creado por las cargas Q ₂ y Q ₃ , es el potencial eléctrico en r ₂ creado por las cargas Q ₁ y Q ₃ , y es el potencial eléctrico en r ₃ creado por las cargas Q ₁ y Q ₂ . Los potenciales son:${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})}$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})}$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})}$

$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})=V_{2}(\mathbf {r} _{1})+V_{3}(\mathbf {r} _{1})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{13}}}}$$$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})=V_{1}(\mathbf {r} _{2})+V_{3}(\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{23}}}}$$$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})=V_{1}(\mathbf {r} _{3})+V_{2}(\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{32}}}}$$

Donde r _ij es la distancia entre la carga Q _i y Q _j .

Si sumamos todo:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}+{\frac {Q_{3}Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {Q_{3}Q_{2}}{r_{32}}}\right]}$$

Finalmente obtenemos que la energía potencial electrostática almacenada en el sistema de tres cargas:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}$$

Se puede tomar la ecuación de la energía potencial electrostática de una distribución de carga continua y expresarla en términos del campo electrostático .

Dado que la ley de Gauss para el campo electrostático en forma diferencial establece dónde$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {E} }$es el vector del campo eléctrico
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad de carga total incluidas las cargas dipolares unidas en un material
• ${\displaystyle dV}$es un elemento de volumen
• ${\displaystyle \Phi }$es el potencial eléctrico
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la permitividad del espacio libre ,

entonces,$${\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)\Phi (r)\,dV\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\varepsilon _{0}(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathbf {E} })\Phi \,dV\end{aligned}}}$$

Entonces, ahora usamos la siguiente identidad del vector de divergencia

$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} {B})=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})}$$

tenemos

$${\displaystyle U={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \Phi )dV-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(\mathbf {\nabla } \Phi )\cdot \mathbf {E} dV}$$

utilizando el teorema de divergencia y tomando el área como infinita donde , y utilizando${\displaystyle \Phi (\infty )=0}$${\displaystyle \nabla \Phi =-\mathbf {E} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\overbrace {{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{{}_{\text{ of space}}^{\text{boundary}}}\Phi \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } ^{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(-\mathbf {E} )\cdot \mathbf {E} \,dV\\&=\int \limits _{\text{all space}}{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,dV.\end{aligned}}}$$

Entonces, la densidad de energía, o energía por unidad de volumen del campo electrostático es:${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$

$${\displaystyle u_{e}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}$$

Se pueden ensamblar cargas en un capacitor en incrementos infinitesimales, de modo que la cantidad de trabajo realizado para ensamblar cada incremento en su ubicación final se puede expresar como${\displaystyle dq\to 0}$

$${\displaystyle W_{q}=V\,dq={\frac {q}{C}}dq.}$$

El trabajo total realizado para cargar completamente el capacitor de esta manera es entonces donde es la carga total del capacitor. Este trabajo se almacena como energía potencial electrostática, por lo tanto,$${\displaystyle W=\int dW=\int _{0}^{Q}V\,dq={\frac {1}{C}}\int _{0}^{Q}q\,dq={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$$${\displaystyle Q}$$${\displaystyle W=U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$$

Cabe destacar que esta expresión solo es válida si , lo que se cumple para sistemas con muchas cargas, como condensadores grandes que tienen electrodos metálicos. Para sistemas con pocas cargas, la naturaleza discreta de la carga es importante. La energía total almacenada en un condensador con pocas cargas es que se obtiene mediante un método de ensamblaje de cargas que utiliza el incremento de carga física más pequeño , donde es la unidad elemental de carga y donde es el número total de cargas en el condensador.${\displaystyle dq\to 0}$$${\displaystyle U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}}$$${\displaystyle \Delta q=e}$${\displaystyle e}$${\displaystyle Q=Ne}$${\displaystyle N}$