Ley de Gauss para el magnetismo

Ley fundamental del magnetismo clásico

En física , la ley de Gauss para el magnetismo es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell que sustentan la electrodinámica clásica . Establece que el campo magnético $B$ tiene divergencia igual a cero, ^[1] en otras palabras, que es un campo vectorial solenoidal . Es equivalente a la afirmación de que los monopolos magnéticos no existen. ^[2] En lugar de "cargas magnéticas", la entidad básica del magnetismo es el dipolo magnético . (Si alguna vez se encontraran monopolos, la ley tendría que modificarse, como se explica a continuación).

La ley de Gauss para el magnetismo se puede escribir en dos formas: una forma diferencial y una forma integral . Estas formas son equivalentes debido al teorema de divergencia .

El nombre "ley de Gauss para el magnetismo" ^[1] no se utiliza de forma universal. La ley también se denomina "ausencia de polos magnéticos libres ". ^[2] También se la conoce como "requisito de transversalidad" ^[3] porque, para las ondas planas, exige que la polarización sea transversal a la dirección de propagación.

Forma diferencial

La forma diferencial de la ley de Gauss para el magnetismo es:

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

donde $\nabla \cdot$ denota divergencia y $B$ es el campo magnético .

Forma integral

Definición de superficie cerrada.
**Izquierda:** Algunos ejemplos de superficies cerradas incluyen la superficie de una esfera, la superficie de un toro y la superficie de un cubo. El flujo magnético a través de cualquiera de estas superficies es cero.
**Derecha:** Algunos ejemplos de superficies no cerradas incluyen la superficie del disco , la superficie cuadrada o la superficie del hemisferio. Todas tienen límites (líneas rojas) y no encierran completamente un volumen 3D. El flujo magnético a través de estas superficies *no es necesariamente cero* .

La forma integral de la ley de Gauss para el magnetismo establece:

$\Phi _{B}=$ $\unión$ $\scriptstyle S$ $\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$

donde $S$ es cualquier superficie cerrada (ver imagen a la derecha), es el flujo magnético a través de $S$ , y $d$ $S$ es un vector , cuya magnitud es el área de una pieza infinitesimal de la superficie $S$ , y cuya dirección es la normal de la superficie que apunta hacia afuera (ver integral de superficie para más detalles). $\Phi _{B}$

La ley de Gauss para el magnetismo establece que el flujo magnético neto a través de una superficie cerrada es igual a cero.

Las formas integral y diferencial de la ley de Gauss para el magnetismo son matemáticamente equivalentes, debido al teorema de divergencia . Dicho esto, una u otra podría ser más conveniente para usar en un cálculo particular.

La ley en esta forma establece que para cada elemento de volumen en el espacio, hay exactamente el mismo número de "líneas de campo magnético" que entran y salen del volumen. No se puede acumular una "carga magnética" total en ningún punto del espacio. Por ejemplo, el polo sur del imán es exactamente tan fuerte como el polo norte, y no se permiten polos sur flotantes sin polos norte que los acompañen (monopolos magnéticos). Por el contrario, esto no es cierto para otros campos, como los campos eléctricos o los campos gravitatorios , donde la carga eléctrica total o la masa pueden acumularse en un volumen de espacio.

Potencial vectorial

Debido al teorema de descomposición de Helmholtz , la ley de Gauss para el magnetismo es equivalente a la siguiente afirmación: ^[4]^[5]

Existe un campo vectorial

A

tal que

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .

El campo vectorial $A$ se llama potencial vectorial magnético .

Nótese que hay más de un $A$ posible que satisface esta ecuación para un campo $B$ dado . De hecho, hay infinitos: cualquier campo de la forma $\nabla ϕ$ se puede agregar a $A$ para obtener una opción alternativa para $A$ , por la identidad (ver Identidades del cálculo vectorial ): ya que el rotacional de un gradiente es el campo vectorial cero : $\nabla \times \mathbf {A} =\nabla \times (\mathbf {A} +\nabla \phi )$ $\nabla \times \nabla \phi ={\boldsymbol {0}}$

Esta arbitrariedad en $A$ se llama libertad de calibre .

Líneas de campo

El campo magnético $B$ se puede representar mediante líneas de campo (también llamadas líneas de flujo ), es decir, un conjunto de curvas cuya dirección corresponde a la dirección de $B$ y cuya densidad de área es proporcional a la magnitud de $B.$ La ley de Gauss para el magnetismo es equivalente a la afirmación de que las líneas de campo no tienen ni principio ni fin: cada una forma un bucle cerrado, se enrolla eternamente sin volver a unirse exactamente consigo misma o se extiende hasta el infinito.

Incorporación de monopolos magnéticos

Si se descubrieran monopolos magnéticos , la ley de Gauss para el magnetismo afirmaría que la divergencia de $B$ sería proporcional a la densidad de carga magnética $ρ m$ , de forma análoga a la ley de Gauss para el campo eléctrico. Para una densidad de carga magnética neta cero ( $ρ m = 0$ ), el resultado es la forma original de la ley de Gauss para el magnetismo.

La fórmula modificada para su uso con el SI no es estándar y depende de la elección de la ecuación definitoria para la carga magnética y la corriente; en una variación, la carga magnética tiene unidades de webers , en otra tiene unidades de amperios - metros .

Sistema	Ecuación
SI ( convención de Weber ) ^[6]	$\nabla \cdot \mathbf {B} =\rho _{\mathrm {m} }$
SI ( convención amperio - metro ) ^[7]	$\nabla \cdot \mathbf {B} =\mu _{0}\rho _{\mathrm {m} }$
CGS-Gaussiano ^[8]	$\nabla \cdot \mathbf {B} =4\pi \rho _{\mathrm {m} }$

donde $μ 0$ es la permeabilidad al vacío .

Hasta el momento, los ejemplos de monopolos magnéticos han sido objeto de disputas en una búsqueda exhaustiva, ^[9] aunque algunos artículos informan ejemplos que coinciden con ese comportamiento. ^[10]

Historia

Esta idea de la inexistencia de los monopolos magnéticos surgió en 1269 de la mano de Petrus Peregrinus de Maricourt . Su trabajo influyó mucho en William Gilbert , cuya obra de 1600 De Magnete difundió aún más la idea. A principios del siglo XIX, Michael Faraday reintrodujo esta ley, que posteriormente se incorporó a las ecuaciones del campo electromagnético de James Clerk Maxwell .

Cálculo numérico

En el cálculo numérico , la solución numérica puede no satisfacer la ley de Gauss para el magnetismo debido a los errores de discretización de los métodos numéricos. Sin embargo, en muchos casos, por ejemplo, para la magnetohidrodinámica , es importante preservar la ley de Gauss para el magnetismo de manera precisa (hasta la precisión de la máquina). La violación de la ley de Gauss para el magnetismo en el nivel discreto introducirá una fuerte fuerza no física. En vista de la conservación de la energía, la violación de esta condición conduce a una integral de energía no conservativa, y el error es proporcional a la divergencia del campo magnético. ^[11]

Hay varias formas de preservar la ley de Gauss para el magnetismo en métodos numéricos, incluidas las técnicas de limpieza de divergencia, ^[12] el método de transporte restringido, ^[13] las formulaciones basadas en potencial ^[14] y los métodos de elementos finitos basados en complejos de De Rham ^[15]^[16] donde se construyen algoritmos estables y que preservan la estructura en mallas no estructuradas con formas diferenciales de elementos finitos.

Véase también

Referencias

^ ab Chow, Tai L. (2006). Teoría electromagnética: una perspectiva moderna. Jones y Bartlett . pág. 134. ISBN 0-7637-3827-1.
^ ab Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). Wiley . pág. 237. ISBN 0-471-30932-X.
^ Joannopoulos, John D.; Johnson, Steve G.; Winn, Joshua N.; Meade, Robert D. (2008). Cristales fotónicos: moldeando el flujo de luz (2.ª ed.). Princeton University Press . p. 9. ISBN 978-0-691-12456-8.
^ Schilders, WHA; et al. (2005). Manual de análisis numérico. Elsevier Science. pág. 13. ISBN 978-0-444-51375-5.^{[ enlace muerto permanente ]}
^ Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). Wiley . pág. 180. ISBN 0-471-30932-X.
^ Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). Wiley . pág. 273, ecuación 6.150.
^ Véase, por ejemplo, la ecuación 4 en Nowakowski, M.; Kelkar, NG (2005). "Ley de Faraday en presencia de monopolos magnéticos". Europhysics Letters . 71 (3): 346. arXiv : physics/0508099 . Bibcode :2005EL.....71..346N. doi :10.1209/epl/i2004-10545-2. S2CID 17729781.
^ Moulin, F. (2001). "Monopolos magnéticos y fuerza de Lorentz". Il Nuovo Cimento B . 116 (8): 869–877. arXiv : math-ph/0203043 . Código Bibliográfico :2001NCimB.116..869M.
^ Monopolos magnéticos, informe del grupo de datos de partículas , actualizado en agosto de 2015 por D. Milstead y EJ Weinberg. "Hasta la fecha no se han confirmado observaciones de partículas exóticas que posean carga magnética".
^ Castelnovo, C.; Moessner, R.; Sondhi, SL (3 de enero de 2008). "Monopolos magnéticos en hielo de espín". Nature. 451 (7174): 42–45. arXiv:0710.5515. Bibcode:2008Natur.451...42C. doi:10.1038/nature06433. PMID 18172493. S2CID 2399316.
^ Brackbill, JU; Barnes, DC (mayo de 1980). "El efecto de ∇ · B distinto de cero en la solución numérica de las ecuaciones magnetohidrodinámicas". Journal of Computational Physics . 35 (3): 426–430. Bibcode :1980JCoPh..35..426B. doi :10.1016/0021-9991(80)90079-0.
^ Tóth, Gábor (1 de julio de 2000). "La restricción ∇·B=0 en códigos magnetohidrodinámicos de captura de choque". Journal of Computational Physics . 161 (2): 605–652. Bibcode :2000JCoPh.161..605T. doi :10.1006/jcph.2000.6519. ISSN 0021-9991. S2CID 122112157.
^ Hernquist, Lars; Vogelsberger, Mark; Mocz, Philip (21 de julio de 2014). "Un esquema de transporte restringido para MHD en mallas estáticas y móviles no estructuradas". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 442 (1): 43–55. arXiv : 1402.5963 . Bibcode :2014MNRAS.442...43M. doi : 10.1093/mnras/stu865 . ISSN 0035-8711.
^ Jardin, Stephen (2010). Métodos computacionales en física del plasma (1.ª ed.). Boca Raton: CRC Press. ISBN 9780429075537.
^ Hu, Kaibo; Ma, Yicong; Xu, Jinchao (1 de febrero de 2017). "Métodos de elementos finitos estables que preservan ∇·B=0 exactamente para modelos MHD". Matemáticas numéricas . 135 (2): 371–396. doi :10.1007/s00211-016-0803-4. ISSN 0945-3245. S2CID 30546761.
^ Ma, Yicong; Hu, Kaibo; Hu, Xiaozhe; Xu, Jinchao (julio de 2016). "Preacondicionadores robustos para modelos MHD incompresibles". Journal of Computational Physics . 316 : 721–746. arXiv : 1503.02553 . Código Bibliográfico :2016JCoPh.316..721M. doi :10.1016/j.jcp.2016.04.019. S2CID 7777728.

Enlaces externos

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[Chow-1] Chow, Tai L. (2006). Teoría electromagnética: una perspectiva moderna. Jones y Bartlett . pág. 134. ISBN 0-7637-3827-1.

[Jackson-2] Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). Wiley . pág. 237. ISBN 0-471-30932-X.

[Joannopoulos-3] Joannopoulos, John D.; Johnson, Steve G.; Winn, Joshua N.; Meade, Robert D. (2008). Cristales fotónicos: moldeando el flujo de luz (2.ª ed.). Princeton University Press . p. 9. ISBN 978-0-691-12456-8.

[4] Schilders, WHA; et al. (2005). Manual de análisis numérico. Elsevier Science. pág. 13. ISBN 978-0-444-51375-5.^{[ enlace muerto permanente ]}

[5] Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). Wiley . pág. 180. ISBN 0-471-30932-X.

[6] Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). Wiley . pág. 273, ecuación 6.150.

[7] Véase, por ejemplo, la ecuación 4 en Nowakowski, M.; Kelkar, NG (2005). "Ley de Faraday en presencia de monopolos magnéticos". Europhysics Letters . 71 (3): 346. arXiv : physics/0508099 . Bibcode :2005EL.....71..346N. doi :10.1209/epl/i2004-10545-2. S2CID 17729781.

[8] Moulin, F. (2001). "Monopolos magnéticos y fuerza de Lorentz". Il Nuovo Cimento B . 116 (8): 869–877. arXiv : math-ph/0203043 . Código Bibliográfico :2001NCimB.116..869M.

[9] Monopolos magnéticos, informe del grupo de datos de partículas , actualizado en agosto de 2015 por D. Milstead y EJ Weinberg. "Hasta la fecha no se han confirmado observaciones de partículas exóticas que posean carga magnética".

[10] Castelnovo, C.; Moessner, R.; Sondhi, SL (3 de enero de 2008). "Monopolos magnéticos en hielo de espín". Nature. 451 (7174): 42–45. arXiv:0710.5515. Bibcode:2008Natur.451...42C. doi:10.1038/nature06433. PMID 18172493. S2CID 2399316.

[11] Brackbill, JU; Barnes, DC (mayo de 1980). "El efecto de ∇ · B distinto de cero en la solución numérica de las ecuaciones magnetohidrodinámicas". Journal of Computational Physics . 35 (3): 426–430. Bibcode :1980JCoPh..35..426B. doi :10.1016/0021-9991(80)90079-0.

[12] Tóth, Gábor (1 de julio de 2000). "La restricción ∇·B=0 en códigos magnetohidrodinámicos de captura de choque". Journal of Computational Physics . 161 (2): 605–652. Bibcode :2000JCoPh.161..605T. doi :10.1006/jcph.2000.6519. ISSN 0021-9991. S2CID 122112157.

[13] Hernquist, Lars; Vogelsberger, Mark; Mocz, Philip (21 de julio de 2014). "Un esquema de transporte restringido para MHD en mallas estáticas y móviles no estructuradas". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 442 (1): 43–55. arXiv : 1402.5963 . Bibcode :2014MNRAS.442...43M. doi : 10.1093/mnras/stu865 . ISSN 0035-8711.

[14] Jardin, Stephen (2010). Métodos computacionales en física del plasma (1.ª ed.). Boca Raton: CRC Press. ISBN 9780429075537.

[15] Hu, Kaibo; Ma, Yicong; Xu, Jinchao (1 de febrero de 2017). "Métodos de elementos finitos estables que preservan ∇·B=0 exactamente para modelos MHD". Matemáticas numéricas . 135 (2): 371–396. doi :10.1007/s00211-016-0803-4. ISSN 0945-3245. S2CID 30546761.

[16] Ma, Yicong; Hu, Kaibo; Hu, Xiaozhe; Xu, Jinchao (julio de 2016). "Preacondicionadores robustos para modelos MHD incompresibles". Journal of Computational Physics . 316 : 721–746. arXiv : 1503.02553 . Código Bibliográfico :2016JCoPh.316..721M. doi :10.1016/j.jcp.2016.04.019. S2CID 7777728.