Corriente de desplazamiento

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En electromagnetismo , la densidad de corriente de desplazamiento es la cantidad ∂ D /∂ t que aparece en las ecuaciones de Maxwell y que se define en términos de la tasa de cambio de D , el campo eléctrico de desplazamiento . La densidad de corriente de desplazamiento tiene las mismas unidades que la densidad de corriente eléctrica y es una fuente del campo magnético , al igual que la corriente real. Sin embargo, no es una corriente eléctrica de cargas en movimiento, sino un campo eléctrico que varía con el tiempo . En los materiales físicos (a diferencia del vacío), también hay una contribución del ligero movimiento de las cargas ligadas a los átomos, llamada polarización dieléctrica .

La idea fue concebida por James Clerk Maxwell en su artículo de 1861 On Physical Lines of Force, Part III en relación con el desplazamiento de partículas eléctricas en un medio dieléctrico . Maxwell añadió la corriente de desplazamiento al término de corriente eléctrica en la ley circuital de Ampère . En su artículo de 1865 A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, Maxwell utilizó esta versión modificada de la ley circuital de Ampère para derivar la ecuación de onda electromagnética . Esta derivación ahora se acepta generalmente como un hito histórico en física en virtud de unir la electricidad, el magnetismo y la óptica en una sola teoría unificada. El término de corriente de desplazamiento ahora se considera una adición crucial que completó las ecuaciones de Maxwell y es necesario para explicar muchos fenómenos, en particular la existencia de ondas electromagnéticas .

El campo de desplazamiento eléctrico se define como:

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \ ,}$$

dónde:

• ε ₀ es la permitividad del espacio libre;
• E es la intensidad del campo eléctrico ; y
• P es la polarización del medio.

Diferenciando esta ecuación respecto del tiempo se define la densidad de corriente de desplazamiento , que por tanto tiene dos componentes en un dieléctrico : ^[1] (véase también la sección "corriente de desplazamiento" del artículo " densidad de corriente ").

$${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {D} }=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\,.}$$

El primer término del lado derecho está presente en el medio material y en el espacio libre. No proviene necesariamente de ningún movimiento real de carga, pero sí tiene un campo magnético asociado, al igual que una corriente debido al movimiento de carga. Algunos autores aplican el nombre de corriente de desplazamiento al primer término por sí solo. ^[2]

El segundo término del lado derecho, llamado densidad de corriente de polarización, proviene del cambio en la polarización de las moléculas individuales del material dieléctrico. La polarización se produce cuando, bajo la influencia de un campo eléctrico aplicado , las cargas en las moléculas se han movido desde una posición de cancelación exacta. Las cargas positivas y negativas en las moléculas se separan, lo que provoca un aumento en el estado de polarización P . Un estado cambiante de polarización corresponde al movimiento de carga y, por lo tanto, es equivalente a una corriente, de ahí el término "corriente de polarización". Por lo tanto,

$${\displaystyle I_{\mathrm {D} }=\iint _{S}\mathbf {J} _{\mathrm {D} }\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} =\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} ={\frac {\partial }{\partial t}}\iint _{S}\mathbf {D} \cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} ={\frac {\partial \Phi _{\mathrm {D} }}{\partial t}}\,.}$$

Esta polarización es la corriente de desplazamiento tal como la concibió originalmente Maxwell. Maxwell no hizo ningún tratamiento especial del vacío, tratándolo como un medio material. Para Maxwell, el efecto de P era simplemente cambiar la permitividad relativa ε _r en la relación D = ε ₀ ε _r E .

A continuación se explica la justificación moderna de la corriente de desplazamiento.

En el caso de un material dieléctrico muy simple la relación constitutiva se cumple:

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \,\mathbf {E} ~,}$$

donde la permitividad es el producto de:${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}\,\varepsilon _{\mathrm {r} }}$

• ε ₀ , la permitividad del espacio libre , o la constante eléctrica ; y
• ε _r , la permitividad relativa del dieléctrico.

En la ecuación anterior, el uso de ε tiene en cuenta la polarización (si la hay) del material dieléctrico.

El valor escalar de la corriente de desplazamiento también puede expresarse en términos de flujo eléctrico :

$${\displaystyle I_{\mathrm {D} }=\varepsilon \,{\frac {\,\partial \Phi _{\mathrm {E} }\,}{\partial t}}~.}$$

Las formas en términos de ε escalar son correctas solo para materiales isotrópicos lineales . Para materiales no isotrópicos lineales, ε se convierte en una matriz ; incluso de manera más general, ε puede reemplazarse por un tensor , que puede depender del propio campo eléctrico o puede exhibir dependencia de la frecuencia (de ahí la dispersión ).

Para un dieléctrico isótropo lineal, la polarización P viene dada por:

$${\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{\mathrm {e} }\,\mathbf {E} =\varepsilon _{0}(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1)\,\mathbf {E} ~,}$$

donde χ _e se conoce como la susceptibilidad del dieléctrico a los campos eléctricos. Nótese que

$${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{\mathrm {r} }\,\varepsilon _{0}=\left(1+\chi _{\mathrm {e} }\right)\,\varepsilon _{0}~.}$$

Se deducen algunas implicaciones de la corriente de desplazamiento que concuerdan con la observación experimental y con los requisitos de consistencia lógica de la teoría del electromagnetismo.

Un ejemplo que ilustra la necesidad de la corriente de desplazamiento surge en relación con los condensadores sin medio entre las placas. Considere el condensador de carga de la figura. El condensador está en un circuito que hace que aparezcan cargas iguales y opuestas en la placa izquierda y la placa derecha, cargando el condensador y aumentando el campo eléctrico entre sus placas. No se transporta ninguna carga real a través del vacío entre sus placas. No obstante, existe un campo magnético entre las placas como si también estuviera presente una corriente allí. Una explicación es que una corriente de desplazamiento I _D "fluye" en el vacío, y esta corriente produce el campo magnético en la región entre las placas de acuerdo con la ley de Ampère : ^{[3] [4]}

$${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {B} \cdot \operatorname {d} \!{\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I_{\mathrm {D} }~,}$$

dónde

• ${\displaystyle \oint _{C}}$es la integral de línea cerrada alrededor de alguna curva cerrada C ;
• ${\displaystyle \mathbf {B} }$es el campo magnético medido en teslas ;
• ${\displaystyle \operatorname {\cdot } ~}$es el producto escalar del vector ;
• ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$es un elemento de línea vectorial infinitesimal a lo largo de la curva C , es decir, un vector con magnitud igual al elemento de longitud de C , y dirección dada por la tangente a la curva C ;
• ${\displaystyle \mu _{0}\,}$es la constante magnética , también llamada permeabilidad del espacio libre; y
• ${\displaystyle I_{\mathrm {D} }\,}$es la corriente de desplazamiento neta que pasa a través de una pequeña superficie delimitada por la curva C.

El campo magnético entre las placas es el mismo que el que hay fuera de las placas, por lo que la corriente de desplazamiento debe ser la misma que la corriente de conducción en los cables, es decir,

$${\displaystyle I_{\mathrm {D} }=I\,,}$$

lo que extiende la noción de corriente más allá de un mero transporte de carga.

A continuación, esta corriente de desplazamiento está relacionada con la carga del condensador. Considere la corriente en la superficie cilíndrica imaginaria que se muestra alrededor de la placa izquierda. Una corriente, digamos I , pasa hacia afuera a través de la superficie izquierda L del cilindro, pero ninguna corriente de conducción (ningún transporte de cargas reales) cruza la superficie derecha R. Observe que el campo eléctrico E entre las placas aumenta a medida que se carga el condensador. Es decir, de una manera descrita por la ley de Gauss , suponiendo que no hay dieléctrico entre las placas:

$${\displaystyle Q(t)=\varepsilon _{0}\oint _{S}\mathbf {E} (t)\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} \,,}$$

donde S se refiere a la superficie cilíndrica imaginaria. Suponiendo un condensador de placas paralelas con un campo eléctrico uniforme y despreciando los efectos de franjas alrededor de los bordes de las placas, de acuerdo con la ecuación de conservación de carga

$${\displaystyle I=-{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}=-\varepsilon _{0}\oint _{S}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} =S\,\varepsilon _{0}{\Biggl .}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}{\Biggr |}_{R}~,}$$

donde el primer término tiene un signo negativo porque la carga sale de la superficie L (la carga está disminuyendo), el último término tiene un signo positivo porque el vector unitario de la superficie R es de izquierda a derecha mientras que la dirección del campo eléctrico es de derecha a izquierda, S es el área de la superficie R. El campo eléctrico en la superficie L es cero porque la superficie L está en el exterior del capacitor. Bajo el supuesto de una distribución uniforme del campo eléctrico dentro del capacitor, la densidad de corriente de desplazamiento J _D se encuentra dividiendo por el área de la superficie:

$${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {D} }={\frac {\mathbf {I} _{\mathrm {D} }}{S}}={\frac {\mathbf {I} }{S}}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}~,}$$

donde I es la corriente que sale de la superficie cilíndrica (que debe ser igual a I _D ) y J _D es el flujo de carga por unidad de área hacia la superficie cilíndrica a través de la cara R .

Combinando estos resultados, el campo magnético se encuentra utilizando la forma integral de la ley de Ampère con una elección arbitraria de contorno siempre que el término de densidad de corriente de desplazamiento se agregue a la densidad de corriente de conducción (la ecuación de Ampère-Maxwell): ^[5]

$${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \operatorname {d} \!{\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\int _{S}\left(\mathbf {J} +\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} \,.}$$

Esta ecuación dice que la integral del campo magnético B alrededor del borde de una${\displaystyle \partial S}$ superficie S es igual a la corriente integrada J a través de cualquier superficie con el mismo borde, más el término de corriente de desplazamiento a través${\displaystyle \varepsilon _{0}\partial \mathbf {E} /\partial t}$ de cualquier superficie.

Como se muestra en la figura de la derecha, la corriente que atraviesa la superficie S ₁ es completamente corriente de conducción. Aplicando la ecuación de Ampère-Maxwell a la superficie S ₁ se obtiene:

$${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}}~.}$$

Sin embargo, la corriente que atraviesa la superficie S ₂ es completamente una corriente de desplazamiento. Aplicando esta ley a la superficie S ₂ , que está limitada exactamente por la misma curva ⁠ ⁠${\displaystyle \partial S}$ , pero se encuentra entre las placas, se produce:

$${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}I_{\mathrm {D} }}{2\pi r}}~.}$$

Cualquier superficie S ₁ que intersecta el cable tiene corriente I pasando a través de ella, por lo que la ley de Ampère proporciona el campo magnético correcto. Sin embargo, se podría dibujar una segunda superficie S ₂ limitada por el mismo borde ⁠ ⁠${\displaystyle \partial S}$ que pase entre las placas del condensador, por lo que no tendría corriente pasando a través de ella. Sin el término de corriente de desplazamiento, la ley de Ampère daría un campo magnético cero para esta superficie. Por lo tanto, sin el término de corriente de desplazamiento, la ley de Ampère da resultados inconsistentes, el campo magnético dependería de la superficie elegida para la integración. Por lo tanto, el término de corriente de desplazamiento ⁠ ⁠${\displaystyle \varepsilon _{0}\partial \mathbf {E} /\partial t}$ es necesario como un segundo término fuente que da el campo magnético correcto cuando la superficie de integración pasa entre las placas del condensador. Debido a que la corriente aumenta la carga en las placas del condensador, el campo eléctrico entre las placas aumenta y la tasa de cambio del campo eléctrico da el valor correcto para el campo B encontrado anteriormente.

En un tono más matemático, se pueden obtener los mismos resultados a partir de las ecuaciones diferenciales subyacentes. Consideremos, para simplificar, un medio no magnético donde la permeabilidad magnética relativa es la unidad y la complicación de la corriente de magnetización (corriente ligada) está ausente, de modo que y . La corriente que sale de un volumen debe ser igual a la tasa de disminución de la carga en un volumen. En forma diferencial, esta ecuación de continuidad se convierte en:${\displaystyle \mathbf {M} =0}$${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }}$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} _{\mathrm {f} }=-{\frac {\partial \rho _{\mathrm {f} }}{\partial t}}\,,}$$

donde el lado izquierdo es la divergencia de la densidad de corriente libre y el lado derecho es la tasa de disminución de la densidad de carga libre. Sin embargo, la ley de Ampère en su forma original establece:

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} _{\mathrm {f} }\,,}$$

lo que implica que la divergencia del término actual se desvanece, contradiciendo la ecuación de continuidad. (La desaparición de la divergencia es resultado de la identidad matemática que establece que la divergencia de un rizo es siempre cero). Este conflicto se elimina mediante la adición de la corriente de desplazamiento, como entonces: ^{[6] [7]}

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\left(\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)\,,}$$

y

$${\displaystyle \nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=0=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {D} \right)\,,}$$

lo cual está de acuerdo con la ecuación de continuidad debido a la ley de Gauss :

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {f} }\,.}$$

La corriente de desplazamiento añadida también conduce a la propagación de ondas al tomar el rizo de la ecuación del campo magnético. ^[8]

$${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {D} }=\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,.}$$

Sustituyendo esta forma por J en la ley de Ampère , y asumiendo que no hay densidad de corriente libre o limitada que contribuya a J :

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} _{\mathrm {D} }\,,}$$

con el resultado:

$${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {E} \,.}$$

Sin embargo,$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} \,,}$$

conduciendo a la ecuación de onda : ^[9]$${\displaystyle -\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=\nabla ^{2}\mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {B} \,,}$$

donde se hace uso de la identidad vectorial que se cumple para cualquier campo vectorial V ( r , t ) :

$${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} \,,}$$

y el hecho de que la divergencia del campo magnético es cero. Se puede hallar una ecuación de onda idéntica para el campo eléctrico tomando el rotacional :

$${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {B} =-\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {J} +\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {E} \right)\,.}$$

Si J , P y ρ son cero, el resultado es:

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} \,.}$$

El campo eléctrico se puede expresar en la forma general:

$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,}$$

donde φ es el potencial eléctrico (que puede elegirse para satisfacer la ecuación de Poisson ) y A es un potencial vectorial (es decir, potencial vectorial magnético , que no debe confundirse con área de superficie, ya que A se denota en otra parte). El componente ∇ φ en el lado derecho es el componente de la ley de Gauss, y este es el componente que es relevante para el argumento de conservación de carga anterior. El segundo término en el lado derecho es el relevante para la ecuación de onda electromagnética, porque es el término que contribuye al rizo de E. Debido a la identidad vectorial que dice que el rizo de un gradiente es cero, ∇ φ no contribuye a ∇× E.

La corriente de desplazamiento de Maxwell fue postulada en la parte III de su artículo de 1861 'On Physical Lines of Force'. Pocos temas en la física moderna han causado tanta confusión y malentendidos como el de la corriente de desplazamiento. ^[10] Esto se debe en parte al hecho de que Maxwell utilizó un mar de vórtices moleculares en su derivación, mientras que los libros de texto modernos operan sobre la base de que la corriente de desplazamiento puede existir en el espacio libre. La derivación de Maxwell no está relacionada con la derivación moderna para la corriente de desplazamiento en el vacío, que se basa en la coherencia entre la ley circuital de Ampère para el campo magnético y la ecuación de continuidad para la carga eléctrica.

El propósito de Maxwell lo enuncia él mismo en (Parte I, pág. 161):

Propongo ahora examinar los fenómenos magnéticos desde un punto de vista mecánico y determinar qué tensiones o movimientos de un medio son capaces de producir los fenómenos mecánicos observados.

Tiene cuidado de señalar que el tratamiento es de analogía:

El autor de este método de representación no intenta explicar el origen de las fuerzas observadas por los efectos debidos a estas deformaciones en el sólido elástico, sino que hace uso de las analogías matemáticas de los dos problemas para ayudar a la imaginación en el estudio de ambos.

En la parte III, en relación a la corriente de desplazamiento, dice

Concebí la materia giratoria como la sustancia de ciertas células, divididas unas de otras por paredes celulares compuestas de partículas que son muy pequeñas comparadas con las células, y que es por los movimientos de estas partículas y su acción tangencial sobre la sustancia de las células, que la rotación se comunica de una célula a otra.

Es evidente que Maxwell se refería a la magnetización, aunque la misma introducción habla claramente de polarización dieléctrica.

Maxwell comparó la velocidad de la electricidad medida por Wilhelm Eduard Weber y Rudolf Kohlrausch (310.000 km/s) con la velocidad de la luz determinada por el experimento de Fizeau (315.000 km/s). Basándose en la misma velocidad, concluyó que «la luz está formada por ondulaciones transversales en el mismo medio que es la causa de los fenómenos eléctricos y magnéticos». ^[11]

Pero aunque las citas anteriores apuntan hacia una explicación magnética para la corriente de desplazamiento, por ejemplo, basada en la divergencia de la ecuación de rizo anterior, la explicación de Maxwell en última instancia enfatizó la polarización lineal de los dieléctricos:

Este desplazamiento... es el comienzo de una corriente... La cantidad de desplazamiento depende de la naturaleza del cuerpo y de la fuerza electromotriz, de modo que si h es el desplazamiento, R la fuerza electromotriz y E un coeficiente que depende de la naturaleza del dieléctrico:

$${\displaystyle R=-4\pi \mathrm {E} ^{2}h\,;}$$y si r es el valor de la corriente eléctrica debido al desplazamiento Estas relaciones son independientes de cualquier teoría sobre el mecanismo de los dieléctricos; pero cuando encontramos que la fuerza electromotriz produce desplazamiento eléctrico en un dieléctrico, y cuando encontramos que el dieléctrico se recupera de su estado de desplazamiento eléctrico... no podemos evitar considerar los fenómenos como los de un cuerpo elástico, que cede a una presión y recupera su forma cuando se elimina la presión.$${\displaystyle r={\frac {dh}{dt}}\,,}$$

—  Sobre las líneas físicas de fuerza , Parte III, La teoría de los vórtices moleculares aplicada a la electricidad estática , págs. 14-15

Con algunos cambios de símbolos (y unidades) combinados con los resultados deducidos en la sección § Corriente en capacitores ( r → J , R → − E , y la constante material E ⁻² → 4π ε _r ε ₀ estas ecuaciones toman la forma familiar entre un capacitor de placas paralelas con campo eléctrico uniforme y descuidando los efectos de franjas alrededor de los bordes de las placas:

$${\displaystyle J={\frac {d}{dt}}{\frac {1}{4\pi \mathrm {E} ^{2}}}E={\frac {d}{dt}}\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}E={\frac {d}{dt}}D\,.}$$

Cuando se trató de derivar la ecuación de onda electromagnética a partir de la corriente de desplazamiento en su artículo de 1865 ' Una teoría dinámica del campo electromagnético ', solucionó el problema de la divergencia no nula asociada con la ley de Gauss y el desplazamiento dieléctrico eliminando el término de Gauss y derivando la ecuación de onda exclusivamente para el vector del campo magnético solenoidal.

El énfasis de Maxwell en la polarización desvió la atención hacia el circuito de condensadores eléctricos y condujo a la creencia común de que Maxwell concibió la corriente de desplazamiento para mantener la conservación de la carga en un circuito de condensadores eléctricos. Hay una variedad de nociones debatibles sobre el pensamiento de Maxwell, que van desde su supuesto deseo de perfeccionar la simetría de las ecuaciones de campo hasta el deseo de lograr compatibilidad con la ecuación de continuidad. ^{[12] [13]}

• Ecuación de onda electromagnética
• Ley circuital de Ampère
• Capacidad

• Sobre las líneas de fuerza de Faraday Artículo de Maxwell de 1855
• Sobre las líneas físicas de fuerza Artículo de Maxwell de 1861
• Una teoría dinámica del campo electromagnético Artículo de Maxwell de 1864

• AM Bork Maxwell, Corriente de desplazamiento y simetría (1963)
• AM Bork Maxwell y la ecuación de onda electromagnética (1967)

• Medios relacionados con Corriente de desplazamiento en Wikimedia Commons