Formulación de la integral de trayectoria

Parte de una serie de artículos sobre
Mecánica cuántica
${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ Ecuación de Schrödinger
Introducción Glosario Historia
Fondo Mecánica clásica Antigua teoría cuántica Notación de corchetes Hamiltoniano Interferencia
Fundamentos Complementariedad Decoherencia Enredo Nivel de energía Medición No localidad Número cuántico Estado Superposición Simetría Túnel Incertidumbre Función de onda Colapsar
Experimentos Desigualdad de Bell Desigualdad de CHSH Davisson-Germer Doble rendija Elitzur–Vaidman Franck-Hertz Desigualdad de Leggett Desigualdad de Leggett-Garg Mach–Zehnder Corchete Borrador cuántico Elección retrasada El gato de Schrödinger Stern-Gerlach La elección retrasada de Wheeler
Formulaciones Descripción general Heisenberg Interacción Matriz Espacio de fases Schrödinger Sum-over-histories (path integral)
Equations Dirac Klein–Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretations Bayesian Consistent histories Copenhagen de Broglie–Bohm Ensemble Hidden-variable Local Superdeterminism Many-worlds Objective-collapse Quantum logic Relational Transactional Von Neumann–Wigner
Advanced topics Relativistic quantum mechanics Quantum field theory Quantum information science Quantum computing Quantum chaos EPR paradox Density matrix Scattering theory Quantum statistical mechanics Quantum machine learning
Scientists Aharonov Bell Bethe Blackett Bloch Bohm Bohr Born Bose de Broglie Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Lamb Landau Laue Moseley Millikan Onnes Pauli Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Simmons Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

La formulación de la integral de trayectoria es una descripción de la mecánica cuántica que generaliza el principio de acción estacionaria de la mecánica clásica . Reemplaza la noción clásica de una trayectoria clásica única para un sistema con una suma, o integral funcional , sobre una infinidad de trayectorias posibles desde el punto de vista de la mecánica cuántica para calcular una amplitud cuántica .

Esta formulación ha demostrado ser crucial para el desarrollo posterior de la física teórica , porque la covarianza manifiesta de Lorentz (los componentes de tiempo y espacio de las cantidades entran en las ecuaciones de la misma manera) es más fácil de lograr que en el formalismo del operador de la cuantización canónica . A diferencia de los métodos anteriores, la integral de trayectoria permite cambiar fácilmente las coordenadas entre descripciones canónicas muy diferentes del mismo sistema cuántico. Otra ventaja es que en la práctica es más fácil adivinar la forma correcta del lagrangiano de una teoría, que entra naturalmente en las integrales de trayectoria (para interacciones de un cierto tipo, estas son el espacio de coordenadas o integrales de trayectoria de Feynman ), que el hamiltoniano . Las posibles desventajas del enfoque incluyen que la unitaridad (esto está relacionado con la conservación de la probabilidad; las probabilidades de todos los resultados físicamente posibles deben sumar uno) de la matriz S es oscura en la formulación. El enfoque de la integral de trayectoria ha demostrado ser equivalente a los otros formalismos de la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos. De este modo, al derivar un enfoque del otro, desaparecen los problemas asociados con uno u otro enfoque (como lo ejemplifican la covarianza o unitaridad de Lorentz). ^[1]

La integral de trayectoria también relaciona los procesos cuánticos y estocásticos , y esto proporcionó la base para la gran síntesis de la década de 1970, que unificó la teoría cuántica de campos con la teoría estadística de campos de un campo fluctuante cerca de una transición de fase de segundo orden . La ecuación de Schrödinger es una ecuación de difusión con una constante de difusión imaginaria, y la integral de trayectoria es una continuación analítica de un método para sumar todos los posibles recorridos aleatorios . ^[2]

La integral de trayectoria ha tenido un impacto en una amplia gama de ciencias, incluidas la física de polímeros , la teoría cuántica de campos, la teoría de cuerdas y la cosmología . En física, es la base de la teoría de calibres reticulares y la cromodinámica cuántica . ^[3] Se la ha denominado la "fórmula más poderosa de la física", ^[4] y Stephen Wolfram también la ha declarado como el "constructo matemático fundamental de la mecánica cuántica moderna y la teoría cuántica de campos". ^[5]

La idea básica de la formulación de la integral de trayectoria se remonta a Norbert Wiener , quien introdujo la integral de Wiener para resolver problemas de difusión y movimiento browniano . ^[6] Esta idea se extendió al uso del lagrangiano en mecánica cuántica por Paul Dirac , cuyo artículo de 1933 dio origen a la formulación de la integral de trayectoria. ^{[7] [8] [9] [3]} El método completo fue desarrollado en 1948 por Richard Feynman . ^[10] Algunos preliminares se elaboraron anteriormente en su trabajo de doctorado bajo la supervisión de John Archibald Wheeler . La motivación original surgió del deseo de obtener una formulación mecánico-cuántica para la teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman utilizando un lagrangiano (en lugar de un hamiltoniano ) como punto de partida.

En mecánica cuántica, al igual que en mecánica clásica, el hamiltoniano es el generador de traslaciones temporales. Esto significa que el estado en un tiempo ligeramente posterior difiere del estado en el tiempo actual por el resultado de actuar con el operador hamiltoniano (multiplicado por la unidad imaginaria negativa , − i ). Para estados con una energía definida, esto es un enunciado de la relación de De Broglie entre frecuencia y energía, y la relación general es consistente con eso más el principio de superposición .

El hamiltoniano en mecánica clásica se deriva de un lagrangiano , que es una cantidad más fundamental en el contexto de la relatividad especial . El hamiltoniano indica cómo avanzar en el tiempo, pero el tiempo es diferente en diferentes marcos de referencia . El lagrangiano es un escalar de Lorentz , mientras que el hamiltoniano es el componente temporal de un cuatrivector . Por lo tanto, el hamiltoniano es diferente en diferentes marcos, y este tipo de simetría no es evidente en la formulación original de la mecánica cuántica.

El hamiltoniano es una función de la posición y el momento en un momento dado, y determina la posición y el momento un poco después. El lagrangiano es una función de la posición ahora y de la posición un poco después (o, de manera equivalente para separaciones de tiempo infinitesimales, es una función de la posición y la velocidad). La relación entre los dos es mediante una transformación de Legendre , y la condición que determina las ecuaciones clásicas del movimiento (las ecuaciones de Euler-Lagrange ) es que la acción tenga un extremo.

En mecánica cuántica, la transformada de Legendre es difícil de interpretar, porque el movimiento no sigue una trayectoria definida. En mecánica clásica, con discretización en el tiempo, la transformada de Legendre se convierte en

${\displaystyle \varepsilon H=p(t){\big (}q(t+\varepsilon )-q(t){\big )}-\varepsilon L}$

y

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}},}$

donde la derivada parcial con respecto a mantiene q ( t + ε ) fijo. La transformada de Legendre inversa es${\displaystyle {\dot {q}}}$

${\displaystyle \varepsilon L=\varepsilon p{\dot {q}}-\varepsilon H,}$

dónde

${\displaystyle {\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}},}$

y la derivada parcial ahora es con respecto a p en q fijo .

En mecánica cuántica, el estado es una superposición de diferentes estados con diferentes valores de q o diferentes valores de p , y las cantidades p y q pueden interpretarse como operadores no conmutativos. El operador p solo es definido en estados que son indefinidos con respecto a q . Por lo tanto, consideremos dos estados separados en el tiempo y que actúen con el operador correspondiente al lagrangiano:

${\displaystyle e^{i{\big [}p{\big (}q(t+\varepsilon )-q(t){\big )}-\varepsilon H(p,q){\big ]}}.}$

Si las multiplicaciones implícitas en esta fórmula se reinterpretan como multiplicaciones de matrices , el primer factor es

${\displaystyle e^{-ipq(t)},}$

y si esto también se interpreta como una multiplicación de matrices, la suma de todos los estados se integra en todos los q ( t ) , y por lo tanto se necesita la transformada de Fourier en q ( t ) para cambiar la base a p ( t ) . Esa es la acción en el espacio de Hilbert: cambiar la base a p en el tiempo t .

A continuación viene

${\displaystyle e^{-i\varepsilon H(p,q)},}$

o evolucionar un tiempo infinitesimal hacia el futuro .

Finalmente, el último factor en esta interpretación es

${\displaystyle e^{ipq(t+\varepsilon )},}$

lo que significa cambiar la base a q en un momento posterior .

Esto no es muy diferente de la evolución temporal ordinaria: el factor H contiene toda la información dinámica, empuja el estado hacia adelante en el tiempo. La primera parte y la última parte son simplemente transformadas de Fourier para cambiar de una base p intermedia a una base q pura .

Otra forma de decir esto es que, dado que el hamiltoniano es naturalmente una función de p y q , la exponenciación de esta cantidad y el cambio de base de p a q en cada paso permite que el elemento de matriz de H se exprese como una función simple a lo largo de cada trayectoria. Esta función es el análogo cuántico de la acción clásica. Esta observación se debe a Paul Dirac . ^[11]

Dirac señaló además que se podría elevar al cuadrado el operador de evolución temporal en la representación S :

${\displaystyle e^{i\varepsilon S},}$

y esto da el operador de evolución temporal entre el tiempo t y el tiempo t + 2 ε . Mientras que en la representación H la cantidad que se suma sobre los estados intermedios es un elemento matricial oscuro, en la representación S se reinterpreta como una cantidad asociada al camino. En el límite en que se toma una gran potencia de este operador, se reconstruye la evolución cuántica completa entre dos estados, el temprano con un valor fijo de q (0) y el posterior con un valor fijo de q ( t ) . El resultado es una suma sobre caminos con una fase, que es la acción cuántica.

De manera crucial, Dirac identificó el efecto del límite clásico en la forma cuántica del principio de acción:

...vemos que el integrando en (11) debe ser de la forma e ^{iF / h} , donde F es una función de q _T , q ₁ , q ₂ , … q _m , q _t , que permanece finita cuando h tiende a cero. Imaginemos ahora que uno de los q intermedios , digamos q _k , varía continuamente mientras que los otros son fijos. Debido a la pequeñez de h , tendremos entonces en general que F / h varía extremadamente rápido. Esto significa que e ^{iF / h} variará periódicamente con una frecuencia muy alta alrededor del valor cero, como resultado de lo cual su integral será prácticamente cero. La única parte importante en el dominio de integración de q _k es entonces aquella para la cual una variación comparativamente grande en q _k produce solo una variación muy pequeña en F . Esta parte es la vecindad de un punto para el cual F es estacionario con respecto a pequeñas variaciones en q _k . Podemos aplicar este argumento a cada una de las variables de integración... y obtener el resultado de que la única parte importante en el dominio de integración es aquella para la cual F es estacionaria para pequeñas variaciones en todos los q intermedios . ... Vemos que F tiene como análogo clásico ∫^yo
_​ L dt , que es simplemente la función de acción, que la mecánica clásica requiere que sea estacionaria para pequeñas variaciones en todos los q intermedios . Esto muestra la forma en que la ecuación (11) se convierte en resultados clásicos cuando h se vuelve extremadamente pequeña.

—  Dirac (1933), pág. 69

Es decir, en el límite de acción que es grande en comparación con la constante de Planck ħ –el límite clásico– la integral de trayectoria está dominada por soluciones que están en la vecindad de los puntos estacionarios de la acción. La trayectoria clásica surge naturalmente en el límite clásico.

El trabajo de Dirac no proporcionó una prescripción precisa para calcular la suma de trayectorias y no demostró que se pudiera recuperar la ecuación de Schrödinger o las relaciones de conmutación canónicas a partir de esta regla. Esto lo hizo Feynman.

Feynman demostró que la acción cuántica de Dirac era, para la mayoría de los casos de interés, simplemente igual a la acción clásica, discretizada adecuadamente. Esto significa que la acción clásica es la fase adquirida por la evolución cuántica entre dos puntos finales fijos. Propuso recuperar toda la mecánica cuántica a partir de los siguientes postulados:

1. La probabilidad de un evento está dada por el módulo al cuadrado de un número complejo llamado "amplitud de probabilidad".
2. La amplitud de probabilidad se obtiene sumando las contribuciones de todas las rutas en el espacio de configuración.
3. La contribución de una trayectoria es proporcional a e ^{iS / ħ} , donde S es la acción dada por la integral de tiempo del Lagrangiano a lo largo de la trayectoria.

Para hallar la amplitud de probabilidad total para un proceso dado, se suma o integra la amplitud del tercer postulado sobre el espacio de todos los caminos posibles del sistema entre los estados inicial y final, incluyendo aquellos que son absurdos según los estándares clásicos. Al calcular la amplitud de probabilidad para que una sola partícula pase de una coordenada espacio-temporal a otra, es correcto incluir caminos en los que la partícula describe elaboradas curvas en espiral , curvas en las que la partícula sale disparada al espacio exterior y vuelve a volar, etcétera. La integral de camino asigna a todas estas amplitudes el mismo peso pero varía la fase o argumento del número complejo . Las contribuciones de caminos muy diferentes de la trayectoria clásica pueden suprimirse mediante interferencias (véase más abajo).

Feynman demostró que esta formulación de la mecánica cuántica es equivalente al enfoque canónico de la mecánica cuántica cuando el hamiltoniano es, como máximo, cuadrático en el momento. Una amplitud calculada según los principios de Feynman también obedecerá a la ecuación de Schrödinger para el hamiltoniano correspondiente a la acción dada.

La formulación de la integral de trayectorias de la teoría cuántica de campos representa la amplitud de transición (que corresponde a la función de correlación clásica ) como una suma ponderada de todas las historias posibles del sistema desde el estado inicial hasta el final. Un diagrama de Feynman es una representación gráfica de una contribución perturbativa a la amplitud de transición.

Un método común para obtener la fórmula de la integral de trayectoria consiste en dividir el intervalo de tiempo en fragmentos pequeños. Una vez hecho esto, la fórmula del producto de Trotter nos indica que se puede ignorar la no conmutatividad de los operadores de energía cinética y potencial.

Para una partícula en un potencial suave, la integral de trayectoria se aproxima mediante trayectorias en zigzag , que en una dimensión es un producto de integrales ordinarias. Para el movimiento de la partícula desde la posición x _a en el tiempo t _a hasta x _b en el tiempo t _b , la secuencia de tiempo

${\displaystyle t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}<t_{n+1}=t_{b}}$

se puede dividir en n + 1 segmentos más pequeños t _j − t _{j − 1} , donde j = 1, ..., n + 1 , de duración fija

${\displaystyle \varepsilon =\Delta t={\frac {t_{b}-t_{a}}{n+1}}.}$

Este proceso se llama segmentación temporal .

Se puede calcular una aproximación para la integral de trayectoria como proporcional a

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{a}}^{t_{b}}L{\big (}x(t),v(t){\big )}\,dt\right)\,dx_{0}\,\cdots \,dx_{n},}$

donde L ( x , v ) es el lagrangiano del sistema unidimensional con variable de posición x ( t ) y velocidad v = ẋ ( t ) considerados (ver más abajo), y dx _j corresponde a la posición en el j -ésimo paso de tiempo, si la integral de tiempo se aproxima mediante una suma de n términos. ^{[nb 1]}

En el límite n → ∞ , esto se convierte en una integral funcional , que, aparte de un factor no esencial, es directamente el producto de las amplitudes de probabilidad ⟨ x _b , t _b | x _a , t _a ⟩ (más precisamente, ya que se debe trabajar con un espectro continuo, las densidades respectivas) para encontrar la partícula mecánica cuántica en t _a en el estado inicial x _a y en t _b en el estado final x _b .

En realidad L es el Lagrangiano clásico del sistema unidimensional considerado,

${\displaystyle L(x,{\dot {x}})=T-V={\frac {1}{2}}m|{\dot {x}}|^{2}-V(x)}$

y el "zigzagueo" antes mencionado corresponde a la aparición de los términos

${\displaystyle \exp \left({\frac {i}{\hbar }}\varepsilon \sum _{j=1}^{n+1}L\left({\tilde {x}}_{j},{\frac {x_{j}-x_{j-1}}{\varepsilon }},j\right)\right)}$

en la suma de Riemann que aproxima la integral temporal, que finalmente se integran sobre x ₁ a x _n con la medida de integración dx ₁ ... dx _n , x̃ _j es un valor arbitrario del intervalo correspondiente a j , por ejemplo su centro ,xj + xj _{− 1​}/2⁠ .

Por lo tanto, a diferencia de la mecánica clásica, no sólo contribuye el camino estacionario, sino que en realidad también contribuyen todos los caminos virtuales entre el punto inicial y el final.

En términos de la función de onda en la representación de la posición, la fórmula de la integral de trayectoria se lee de la siguiente manera:

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,e^{iS[\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }}]}\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,}$

donde denota la integración sobre todas las trayectorias con y donde es un factor de normalización. Aquí está la acción, dada por${\displaystyle {\mathcal {D}}\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} (0)=x}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle S[\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }}]=\int dt\,L(\mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t))}$

La representación de la integral de trayectorias proporciona la amplitud cuántica para ir del punto x al punto y como una integral sobre todas las trayectorias. Para una acción de partícula libre (para simplificar, sea m = 1 , ħ = 1 )

${\displaystyle S=\int {\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t,}$

La integral se puede evaluar explícitamente.

Para ello, conviene empezar sin el factor i en la exponencial, de forma que las grandes desviaciones se supriman con números pequeños, no cancelando las contribuciones oscilatorias. La amplitud (o Kernel) se lee:

${\displaystyle K(x-y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\exp \left(-\int _{0}^{T}{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t\right)\,{\mathcal {D}}x.}$

Dividiendo la integral en porciones de tiempo:

${\displaystyle K(x-y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\prod _{t}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\left({\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}\right)^{2}\varepsilon \right)\,{\mathcal {D}}x,}$

donde D se interpreta como una colección finita de integraciones en cada múltiplo entero de ε . Cada factor en el producto es una gaussiana en función de x ( t + ε ) centrada en x ( t ) con varianza ε . Las integrales múltiples son una convolución repetida de esta gaussiana G _ε con copias de sí misma en tiempos adyacentes:

${\displaystyle K(x-y;T)=G_{\varepsilon }*G_{\varepsilon }*\cdots *G_{\varepsilon },}$

donde el número de convoluciones esyo/mi⁠ . El resultado es fácil de evaluar tomando la transformada de Fourier de ambos lados, de modo que las convoluciones se conviertan en multiplicaciones:

${\displaystyle {\tilde {K}}(p;T)={\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)^{T/\varepsilon }.}$

La transformada de Fourier de la gaussiana G es otra gaussiana de varianza recíproca:

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)=e^{-{\frac {\varepsilon p^{2}}{2}}},}$

y el resultado es

${\displaystyle {\tilde {K}}(p;T)=e^{-{\frac {Tp^{2}}{2}}}.}$

La transformada de Fourier da K , y es nuevamente una gaussiana con varianza recíproca:

${\displaystyle K(x-y;T)\propto e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{2T}}}.}$

La constante de proporcionalidad no está realmente determinada por el método de división temporal, solo se determina la relación de valores para diferentes opciones de punto final. La constante de proporcionalidad debe elegirse para garantizar que entre cada dos divisiones temporales la evolución temporal sea unitaria desde el punto de vista de la mecánica cuántica, pero una forma más esclarecedora de corregir la normalización es considerar la integral de trayectoria como una descripción de un proceso estocástico.

El resultado tiene una interpretación de probabilidad. La suma de todos los caminos del factor exponencial puede verse como la suma de cada camino de la probabilidad de seleccionar ese camino. La probabilidad es el producto de cada segmento de la probabilidad de seleccionar ese segmento, de modo que cada segmento se elige probabilísticamente de forma independiente. El hecho de que la respuesta sea una gaussiana que se extiende linealmente en el tiempo es el teorema del límite central , que puede interpretarse como la primera evaluación histórica de una integral de camino estadística.

La interpretación de la probabilidad proporciona una opción de normalización natural. La integral de trayectoria debe definirse de modo que

${\displaystyle \int K(x-y;T)\,dy=1.}$

Esta condición normaliza la gaussiana y produce un núcleo que obedece la ecuación de difusión:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}K(x;T)={\frac {\nabla ^{2}}{2}}K.}$

Para las integrales de trayectoria oscilatoria, aquellas con una i en el numerador, la división temporal produce gaussianas convolucionadas, igual que antes. Ahora, sin embargo, el producto de convolución es marginalmente singular, ya que requiere límites cuidadosos para evaluar las integrales oscilantes. Para que los factores queden bien definidos, la forma más fácil es agregar una pequeña parte imaginaria al incremento de tiempo ε . Esto está estrechamente relacionado con la rotación de Wick . Entonces, el mismo argumento de convolución que antes proporciona el núcleo de propagación:

${\displaystyle K(x-y;T)\propto e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2T}},}$

que, con la misma normalización que antes (no la normalización de suma de cuadrados – esta función tiene una norma divergente), obedece a una ecuación de Schrödinger libre:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}K(x;T)=i{\frac {\nabla ^{2}}{2}}K.}$

Esto significa que cualquier superposición de K s también obedecerá la misma ecuación, por linealidad. Definiendo

${\displaystyle \psi _{t}(y)=\int \psi _{0}(x)K(x-y;t)\,dx=\int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}^{x(t)=y}e^{iS}\,{\mathcal {D}}x,}$

entonces ψ _t obedece la ecuación libre de Schrödinger tal como lo hace K :

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{t}=-{\frac {\nabla ^{2}}{2}}\psi _{t}.}$

El lagrangiano para el oscilador armónico simple es ^[12]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.}$

Escriba su trayectoria x ( t ) como la trayectoria clásica más alguna perturbación, x ( t ) = x _c ( t ) + δx ( t ) y la acción como S = S _c + δS . La trayectoria clásica se puede escribir como

${\displaystyle x_{\text{c}}(t)=x_{i}{\frac {\sin \omega (t_{f}-t)}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}+x_{f}{\frac {\sin \omega (t-t_{i})}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}.}$

Esta trayectoria produce la acción clásica

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\text{c}}&=\int _{t_{i}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\,dt=\int _{t_{i}}^{t_{f}}\left({\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\,dt\\[6pt]&={\frac {1}{2}}m\omega \left({\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos \omega (t_{f}-t_{i})-2x_{i}x_{f}}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}\right)~.\end{aligned}}}$

A continuación, expanda la desviación de la trayectoria clásica como una serie de Fourier y calcule la contribución a la acción δS , que da

${\displaystyle S=S_{\text{c}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2}}a_{n}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(n\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right).}$

Esto significa que el propagador es

${\displaystyle {\begin{aligned}K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})&=Qe^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {j\pi }{\sqrt {2}}}\int da_{j}\exp {\left({\frac {i}{2\hbar }}a_{j}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(j\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right)\right)}\\[6pt]&=e^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}Q\prod _{j=1}^{\infty }\left(1-\left({\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{j\pi }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}}$

Para cierta normalización

${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar (t_{f}-t_{i})}}}~.}$

Utilizando la representación del producto infinito de la función sinc ,

${\displaystyle \prod _{j=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{j^{2}}}\right)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}},}$

El propagador se puede escribir como

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=Qe^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}}=e^{\frac {iS_{c}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega (t_{f}-t_{i})}}}.}$

Sea T = t _f − t _i . Se puede escribir este propagador en términos de estados propios de energía como

${\displaystyle {\begin{aligned}K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})&=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega T}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp {\left({\frac {i}{\hbar }}{\tfrac {1}{2}}m\omega {\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos \omega T-2x_{i}x_{f}}{\sin \omega T}}\right)}\\[6pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\exp {\left(-{\frac {iE_{n}T}{\hbar }}\right)}\psi _{n}(x_{f})\psi _{n}(x_{i})^{*}~.\end{aligned}}}$

Usando las identidades i sen ωT = ⁠1/2⁠ e ^iωT (1 − e ^{−2 iωT} ) y cos ωT = ⁠1/2⁠ e ^iωT (1 + e ^{−2 iωT} ) , esto equivale a

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\frac {-i\omega T}{2}}\left(1-e^{-2i\omega T}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\exp {\left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left(\left(x_{i}^{2}+x_{f}^{2}\right){\frac {1+e^{-2i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}-{\frac {4x_{i}x_{f}e^{-i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}\right)\right)}.}$

Se pueden absorber todos los términos después del primer e ^{− iωT /2} en R ( T ) , obteniendo así

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\frac {-i\omega T}{2}}\cdot R(T).}$

Finalmente, se puede expandir R ( T ) en potencias de e ^{− iωT} : Todos los términos en esta expansión se multiplican por el factor e ^{− iωT /2} en el frente, produciendo términos de la forma

${\displaystyle e^{\frac {-i\omega T}{2}}e^{-in\omega T}=e^{-i\omega T\left({\frac {1}{2}}+n\right)}\quad {\text{for }}n=0,1,2,\ldots .}$

La comparación con la expansión de estados propios anterior produce el espectro de energía estándar para el oscilador armónico simple,

${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega ~.}$

Sin embargo, la aproximación de Feynman en secciones temporales no existe para las integrales de trayectorias cuánticas-mecánicas más importantes de los átomos, debido a la singularidad del potencial de Coulomb .y ²/a⁠ en el origen. Solo después de reemplazar el tiempo t por otro parámetro pseudo-temporal dependiente de la trayectoria

${\displaystyle s=\int {\frac {dt}{r(t)}}}$

La singularidad se elimina y existe una aproximación dividida en el tiempo, que es exactamente integrable, ya que puede hacerse armónica mediante una simple transformación de coordenadas, como descubrieron en 1979 İsmail Hakkı Duru y Hagen Kleinert . ^[13] La combinación de una transformación de tiempo dependiente de la trayectoria y una transformación de coordenadas es una herramienta importante para resolver muchas integrales de trayectoria y se denomina genéricamente transformación de Duru–Kleinert .

La integral de trayectoria reproduce la ecuación de Schrödinger para el estado inicial y final incluso cuando hay un potencial. Esto se puede ver más fácilmente si se toma una integral de trayectoria para tiempos separados infinitesimalmente.

${\displaystyle \psi (y;t+\varepsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x;t)\int _{x(t)=x}^{x(t+\varepsilon )=y}e^{i\int _{t}^{t+\varepsilon }{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}-V(x){\bigr )}dt}Dx(t)\,dx\qquad (1)}$

Dado que la separación temporal es infinitesimal y las oscilaciones que se cancelan se vuelven severas para valores grandes de ẋ , la integral de trayectoria tiene más peso para y cerca de x . En este caso, hasta el orden más bajo, la energía potencial es constante y solo la contribución de la energía cinética es no trivial. (Esta separación de los términos de energía cinética y potencial en el exponente es esencialmente la fórmula del producto de Trotter ). El exponencial de la acción es

${\displaystyle e^{-i\varepsilon V(x)}e^{i{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\varepsilon }}$

El primer término rota la fase de ψ ( x ) localmente en una cantidad proporcional a la energía potencial. El segundo término es el propagador de partículas libres, que corresponde a i veces un proceso de difusión. Hasta el orden más bajo en ε son aditivos; en cualquier caso, se tiene con (1):

${\displaystyle \psi (y;t+\varepsilon )\approx \int \psi (x;t)e^{-i\varepsilon V(x)}e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2\varepsilon }}\,dx\,.}$

Como se mencionó, la propagación en ψ es difusiva a partir de la propagación de partículas libres, con una rotación infinitesimal adicional en fase que varía lentamente de un punto a otro a partir del potencial:

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\cdot \left({\tfrac {1}{2}}\nabla ^{2}-V(x)\right)\psi \,}$

y ésta es la ecuación de Schrödinger. La normalización de la integral de trayectoria debe fijarse exactamente de la misma manera que en el caso de la partícula libre. Un potencial continuo arbitrario no afecta la normalización, aunque los potenciales singulares requieren un tratamiento cuidadoso.

Dado que los estados obedecen a la ecuación de Schrödinger, la integral de trayectoria debe reproducir las ecuaciones de movimiento de Heisenberg para los promedios de las variables x y ẋ , pero es instructivo ver esto directamente. El enfoque directo muestra que los valores esperados calculados a partir de la integral de trayectoria reproducen los valores usuales de la mecánica cuántica.

Comience por considerar la integral de trayectoria con algún estado inicial fijo

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}e^{iS(x,{\dot {x}})}\,Dx\,}$

Ahora bien, x ( t ) en cada instante es una variable de integración independiente. Por lo tanto, es legítimo cambiar las variables en la integral mediante un desplazamiento: x ( t ) = u ( t ) + ε ( t ) donde ε ( t ) es un desplazamiento diferente en cada instante pero ε (0) = ε ( T ) = 0 , ya que los puntos finales no están integrados:

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}e^{iS(u+\varepsilon ,{\dot {u}}+{\dot {\varepsilon }})}\,Du\,}$

El cambio en la integral a partir del desplazamiento es, al primer orden infinitesimal en ε :

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}\left(\int {\frac {\partial S}{\partial u}}\varepsilon +{\frac {\partial S}{\partial {\dot {u}}}}{\dot {\varepsilon }}\,dt\right)e^{iS}\,Du\,}$

lo cual, integrando por partes en t , da:

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}-\left(\int \left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {u}}}}-{\frac {\partial S}{\partial u}}\right)\varepsilon (t)\,dt\right)e^{iS}\,Du\,}$

Pero esto fue sólo un cambio de variables de integración, que no cambia el valor de la integral para ninguna elección de ε ( t ) . La conclusión es que esta variación de primer orden es cero para un estado inicial arbitrario y en cualquier punto arbitrario en el tiempo:

${\displaystyle \left\langle \psi _{0}\left|{\frac {\delta S}{\delta x}}(t)\right|\psi _{0}\right\rangle =0}$

Esta es la ecuación de movimiento de Heisenberg.

Si la acción contiene términos que multiplican ẋ y x , en el mismo momento en el tiempo, las manipulaciones anteriores son solo heurísticas, porque las reglas de multiplicación para estas cantidades son tan no conmutativas en la integral de trayectoria como lo son en el formalismo del operador.

Si la variación de la acción excede ħ en muchos órdenes de magnitud, normalmente tenemos interferencia destructiva en otras partes que no sean las proximidades de las trayectorias que satisfacen la ecuación de Euler-Lagrange , que ahora se reinterpreta como la condición para la interferencia constructiva. Esto se puede demostrar utilizando el método de fase estacionaria aplicado al propagador. A medida que ħ disminuye, la exponencial en la integral oscila rápidamente en el dominio complejo para cualquier cambio en la acción. Por lo tanto, en el límite en el que ħ tiende a cero, solo los puntos donde la acción clásica no varía contribuyen al propagador.

La formulación de la integral de trayectoria no deja claro a primera vista que las cantidades x y p no conmutan. En la integral de trayectoria, estas son simplemente variables de integración y no tienen un orden obvio. Feynman descubrió que la no conmutatividad sigue estando presente. ^[14]

Para comprobarlo, consideremos la integral de trayectoria más sencilla, la caminata browniana. Esto todavía no es mecánica cuántica, por lo que en la integral de trayectoria la acción no se multiplica por i :

${\displaystyle S=\int \left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\,dt}$

La cantidad x ( t ) es fluctuante y la derivada se define como el límite de una diferencia discreta.

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

La distancia que recorre un paseo aleatorio es proporcional a √ t , de modo que:

${\displaystyle x(t+\varepsilon )-x(t)\approx {\sqrt {\varepsilon }}}$

Esto demuestra que el paseo aleatorio no es diferenciable, ya que la relación que define la derivada diverge con probabilidad uno.

La cantidad xẋ es ambigua, con dos posibles significados:

${\displaystyle [1]=x{\frac {dx}{dt}}=x(t){\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

${\displaystyle [2]=x{\frac {dx}{dt}}=x(t+\varepsilon ){\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

En cálculo elemental, ambos difieren solo en una cantidad que tiende a 0 cuando ε tiende a 0. Pero en este caso, la diferencia entre ambos no es 0:

${\displaystyle [2]-[1]={\frac {{\big (}x(t+\varepsilon )-x(t){\big )}^{2}}{\varepsilon }}\approx {\frac {\varepsilon }{\varepsilon }}}$

Dejar

${\displaystyle f(t)={\frac {{\big (}x(t+\varepsilon )-x(t){\big )}^{2}}{\varepsilon }}}$

Entonces f ( t ) es una cantidad estadística que fluctúa rápidamente, cuyo valor medio es 1, es decir, un "proceso gaussiano" normalizado. Las fluctuaciones de una cantidad de este tipo se pueden describir mediante un lagrangiano estadístico.

${\displaystyle {\mathcal {L}}=(f(t)-1)^{2}\,,}$

y las ecuaciones de movimiento para f derivadas de la extremación de la acción S correspondiente a L simplemente la igualan a 1. En física, una cantidad de este tipo es "igual a 1 como identidad de operador". En matemáticas, "converge débilmente a 1". En cualquier caso, es 1 en cualquier valor esperado, o cuando se promedia en cualquier intervalo, o para todo propósito práctico.

Definiendo el orden de tiempo como el orden del operador:

${\displaystyle [x,{\dot {x}}]=x{\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx}{dt}}x=1}$

Esto se llama lema de Itō en cálculo estocástico y relaciones de conmutación canónicas (euclidianas) en física.

Para una acción estadística general, un argumento similar muestra que

${\displaystyle \left[x,{\frac {\partial S}{\partial {\dot {x}}}}\right]=1}$

y en la mecánica cuántica, la unidad imaginaria adicional en la acción convierte esto en la relación de conmutación canónica,

${\displaystyle [x,p]=i}$

En el caso de una partícula en un espacio curvo, el término cinético depende de la posición y no se puede aplicar la división temporal mencionada anteriormente, ya que se trata de una manifestación del conocido problema de ordenación de operadores de la mecánica cuántica de Schrödinger. Sin embargo, se puede resolver este problema transformando la integral de trayectoria del espacio plano dividida temporalmente en un espacio curvo mediante una transformación de coordenadas multivalor (aquí se explica el mapeo no holonómico).

A veces (por ejemplo, una partícula que se mueve en un espacio curvo) también tenemos factores de teoría de la medida en la integral funcional:

${\displaystyle \int \mu [x]e^{iS[x]}\,{\mathcal {D}}x.}$

Este factor es necesario para restablecer la unitaridad.

Por ejemplo, si

${\displaystyle S=\int \left({\frac {m}{2}}g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-V(x)\right)\,dt,}$

Entonces significa que cada porción espacial se multiplica por la medida √ g . Esta medida no se puede expresar como una multiplicación funcional de la medida D x porque pertenecen a clases completamente diferentes.

Los elementos de la matriz del tipo toman la forma${\displaystyle \langle x_{f}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t')}F({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t')}|x_{i}\rangle }$

${\displaystyle \int _{x(0)=x_{i}}^{x(t)=x_{f}}{\mathcal {D}}[x]F(x(t'))e^{{\frac {i}{\hbar }}\int dtL(x(t),{\dot {x}}(t))}}$.

Esto se generaliza a múltiples operadores, por ejemplo

${\displaystyle \langle x_{f}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t_{1})}F_{1}({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t_{1}-t_{2})}F_{2}({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t_{2})}|x_{i}\rangle =\int _{x(0)=x_{i}}^{x(t)=x_{f}}{\mathcal {D}}[x]F_{1}(x(t_{1}))F_{2}(x(t_{2}))e^{{\frac {i}{\hbar }}\int dtL(x(t),{\dot {x}}(t))}}$,

y al valor de expectativa general

${\displaystyle \langle F\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}[\phi ]F(\phi )e^{{\frac {i}{\hbar }}S[\phi ]}}{\int {\mathcal {D}}[\phi ]e^{{\frac {i}{\hbar }}S[\phi ]}}}}$.

Es muy común en las integrales de trayectoria realizar una rotación de Wick de tiempos reales a imaginarios. En el contexto de la teoría cuántica de campos, la rotación de Wick cambia la geometría del espacio-tiempo de lorentziana a euclidiana; como resultado, las integrales de trayectoria rotadas por Wick a menudo se denominan integrales de trayectoria euclidianas.

Si reemplazamos por , el operador de evolución temporal se reemplaza por . (Este cambio se conoce como rotación de Wick ). Si repetimos la derivación de la fórmula de la integral de trayectoria en este contexto, obtenemos ^[15]${\displaystyle t}$${\displaystyle -it}$${\displaystyle e^{-it{\hat {H}}/\hbar }}$${\displaystyle e^{-t{\hat {H}}/\hbar }}$

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}e^{-S_{\mathrm {Euclidean} }(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }})/\hbar }\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,}$,

¿Dónde está la acción euclidiana, dada por${\displaystyle S_{\mathrm {Euclidean} }}$

${\displaystyle S_{\mathrm {Euclidean} }(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }})=\int \left[{\frac {m}{2}}|{\dot {\mathbf {x} }}(t)|^{2}+V(\mathbf {x} (t))\right]\,dt}$.

Obsérvese el cambio de signo entre esta acción y la normal, donde el término de energía potencial es negativo. (El término euclidiano proviene del contexto de la teoría cuántica de campos, donde el cambio de tiempo real a imaginario cambia la geometría del espacio-tiempo de lorentziana a euclidiana).

Ahora, la contribución de la energía cinética a la integral de trayectoria es la siguiente:

${\displaystyle {\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}f(\mathbf {x} )e^{-{\frac {m}{2}}\int |{\dot {\mathbf {x} }}|^{2}dt}\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,}$

donde incluye toda la dependencia restante del integrando con respecto a la trayectoria. Esta integral tiene una interpretación matemática rigurosa como integración con respecto a la medida de Wiener , denotada como . La medida de Wiener, construida por Norbert Wiener, proporciona una base rigurosa al modelo matemático de Einstein del movimiento browniano . El subíndice indica que la medida se sustenta en trayectorias con .${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mu _{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu _{x}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} (0)=x}$

Tenemos entonces una versión rigurosa de la integral de trayectoria de Feynman, conocida como fórmula de Feynman-Kac : ^[16]

${\displaystyle \psi (x,t)=\int e^{-\int V(\mathbf {x} (t))\,dt/\hbar }\,\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,d\mu _{x}(\mathbf {x} )}$,

donde ahora satisface la versión rotada por Wick de la ecuación de Schrödinger,${\displaystyle \psi (x,t)}$

${\displaystyle \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\hat {H}}\psi (x,t)}$.

Aunque la ecuación de Schrödinger rotada por Wick no tiene un significado físico directo, se pueden extraer propiedades interesantes del operador de Schrödinger estudiándolo. ^[17]${\displaystyle {\hat {H}}}$

Gran parte del estudio de las teorías cuánticas de campos desde la perspectiva de las integrales de trayectorias, tanto en la literatura matemática como en la física, se realiza en el contexto euclidiano, es decir, después de una rotación de Wick. En particular, hay varios resultados que muestran que si se puede construir una teoría de campos euclidiana con propiedades adecuadas, se puede deshacer la rotación de Wick para recuperar la teoría física lorentziana. ^[18] Por otro lado, es mucho más difícil dar un significado a las integrales de trayectorias (incluso a las integrales de trayectorias euclidianas) en la teoría cuántica de campos que en la mecánica cuántica. ^{[nb 2]}

La integral de trayectoria es simplemente la generalización de la integral anterior a todos los problemas mecánicos cuánticos.

${\displaystyle Z=\int e^{\frac {i{\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]}{\hbar }}\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \quad {\text{where }}{\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]=\int _{0}^{t_{f}}L[\mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t)]\,dt}$

es la acción del problema clásico en el que se investiga el camino que comienza en el tiempo t = 0 y termina en el tiempo t = t _f , y denota la medida de integración sobre todos los caminos. En el límite clásico, , el camino de acción mínima domina la integral, porque la fase de cualquier camino que se aleje de este fluctúa rápidamente y las diferentes contribuciones se cancelan. ^[19]${\displaystyle {\mathcal {D}}\mathbf {x} }$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]\gg \hbar }$

La conexión con la mecánica estadística se deduce de lo anterior. Considerando solo los caminos que comienzan y terminan en la misma configuración, se realiza la rotación de Wick it = ħβ , es decir, se hace que el tiempo sea imaginario y se integra sobre todas las posibles configuraciones de inicio y fin. La integral de camino rotada por Wick (descrita en la subsección anterior, con la acción ordinaria reemplazada por su contraparte "euclidiana") ahora se asemeja a la función de partición de la mecánica estadística definida en un conjunto canónico con temperatura inversa proporcional al tiempo imaginario, ⁠1/yo⁠ = ⁠yo k _B t/esEstrictamente hablando, sin embargo, esta es la función de partición para una teoría de campo estadística .

Es evidente que una analogía tan profunda entre la mecánica cuántica y la mecánica estadística no puede depender de la formulación. En la formulación canónica, se ve que el operador de evolución unitario de un estado está dado por

${\displaystyle |\alpha ;t\rangle =e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}|\alpha ;0\rangle }$

donde el estado α evoluciona desde el tiempo t = 0. Si uno hace una rotación de Wick aquí, y encuentra la amplitud para pasar de cualquier estado, volver al mismo estado en el tiempo (imaginario) iβ está dado por

${\displaystyle Z=\operatorname {Tr} \left[e^{-H\beta }\right]}$

que es precisamente la función de partición de la mecánica estadística para el mismo sistema a la temperatura citada anteriormente. Un aspecto de esta equivalencia también era conocido por Erwin Schrödinger , quien observó que la ecuación que lleva su nombre se parecía a la ecuación de difusión después de la rotación de Wick. Nótese, sin embargo, que la integral de trayectoria euclidiana en realidad tiene la forma de un modelo clásico de mecánica estadística.

Quantum field theory
Feynman diagram
History
Background Field theory Electromagnetism Weak force Strong force Quantum mechanics Special relativity General relativity Gauge theory Yang–Mills theory
Symmetries Symmetry in quantum mechanics C-symmetry P-symmetry T-symmetry Lorentz symmetry Poincaré symmetry Gauge symmetry Explicit symmetry breaking Spontaneous symmetry breaking Noether charge Topological charge
Tools Anomaly Background field method BRST quantization Correlation function Crossing Effective action Effective field theory Expectation value Feynman diagram Lattice field theory LSZ reduction formula Partition function Path Integral Formulation Propagator Quantization Regularization Renormalization Vacuum state Wick's theorem Wightman Axioms
Equations Dirac equation Klein–Gordon equation Proca equations Wheeler–DeWitt equation Bargmann–Wigner equations Schwinger-Dyson equation Renormalization group equation
Standard Model Quantum electrodynamics Electroweak interaction Quantum chromodynamics Higgs mechanism
Incomplete theories String theory Supersymmetry Technicolor Theory of everything Quantum gravity
Scientists Adler Anderson Anselm Bargmann Becchi Belavin Bell Berezin Bethe Bjorken Bleuer Bogoliubov Brodsky Brout Buchholz Cachazo Callan Coleman Connes Dashen DeWitt Dirac Doplicher Dyson Englert Faddeev Fadin Fayet Fermi Feynman Fierz Fock Frampton Fritzsch Fröhlich Fredenhagen Furry Glashow Gelfand Gell-Mann Glimm Goldstone Gribov Gross Gupta Guralnik Haag Heisenberg Hepp Higgs Hagen 't Hooft Iliopoulos Ivanenko Jackiw Jaffe Jona-Lasinio Jordan Jost Källén Kendall Kinoshita Klebanov Kontsevich Kreimer Kuraev Landau Lee Lehmann Leutwyler Lipatov Łopuszański Low Lüders Maiani Majorana Maldacena Migdal Mills Møller Naimark Nambu Neveu Nishijima Oehme Oppenheimer Osterwalder Parisi Pauli Peskin Plefka Polchinski Polyakov Pomeranchuk Popov Proca Rubakov Ruelle Salam Schrader Schwarz Schwinger Segal Seiberg Semenoff Shifman Shirkov Skyrme Sommerfield Stora Stueckelberg Sudarshan Symanzik Thirring Tomonaga Tyutin Vainshtein Veltman Virasoro Ward Weinberg Weisskopf Wentzel Wess Wetterich Weyl Wick Wightman Wigner Wilczek Wilson Witten Yang Yukawa Zamolodchikov Zamolodchikov Zee Zimmermann Zinn-Justin Zuber Zumino
v t e

Tanto el enfoque de Schrödinger como el de Heisenberg sobre la mecánica cuántica se centran en el tiempo y no se inscriben en el espíritu de la relatividad. Por ejemplo, el enfoque de Heisenberg requiere que los operadores de campo escalar obedezcan la relación de conmutación

${\displaystyle [\varphi (x),\partial _{t}\varphi (y)]=i\delta ^{3}(x-y)}$

para dos posiciones espaciales simultáneas x e y , y este no es un concepto relativistamente invariante. Los resultados de un cálculo son covariantes, pero la simetría no es evidente en las etapas intermedias. Si los cálculos de teoría de campos ingenuos no produjeran respuestas infinitas en el límite continuo , esto no habría sido un problema tan grande; solo habría sido una mala elección de coordenadas. Pero la falta de simetría significa que las cantidades infinitas deben eliminarse, y las malas coordenadas hacen que sea casi imposible eliminar la teoría sin estropear la simetría. Esto dificulta la extracción de las predicciones físicas, que requieren un procedimiento de limitación cuidadoso .

El problema de la simetría perdida también aparece en la mecánica clásica, donde la formulación hamiltoniana también singulariza superficialmente el tiempo. La formulación lagrangiana hace evidente la invariancia relativista. De la misma manera, la integral de trayectorias es manifiestamente relativista. Reproduce la ecuación de Schrödinger, las ecuaciones de movimiento de Heisenberg y las relaciones de conmutación canónicas y muestra que son compatibles con la relatividad. Extiende el álgebra de operadores de tipo Heisenberg a las reglas del producto de operadores , que son relaciones nuevas difíciles de ver en el antiguo formalismo.

Además, las distintas opciones de variables canónicas dan lugar a formulaciones aparentemente muy diferentes de la misma teoría. Las transformaciones entre las variables pueden ser muy complicadas, pero la integral de trayectorias las convierte en cambios razonablemente sencillos de las variables de integración. Por estas razones, la integral de trayectorias de Feynman ha dejado obsoletos en gran medida los formalismos anteriores.

El precio de una representación integral de trayectoria es que la unitaridad de una teoría ya no es evidente, pero se puede demostrar cambiando las variables a alguna representación canónica. La integral de trayectoria en sí misma también trata con espacios matemáticos más grandes de lo habitual, lo que requiere matemáticas más cuidadosas, no todas las cuales han sido completamente resueltas. Históricamente, la integral de trayectoria no fue aceptada de inmediato, en parte porque tomó muchos años incorporar los fermiones correctamente. Esto requirió que los físicos inventaran un objeto matemático completamente nuevo -la variable de Grassmann- que también permitía realizar cambios de variables de manera natural, así como permitir la cuantificación restringida .

Las variables de integración en la integral de trayectoria son sutilmente no conmutativas. El valor del producto de dos operadores de campo en lo que parece ser el mismo punto depende de cómo se ordenan los dos puntos en el espacio y el tiempo. Esto hace que algunas identidades ingenuas fallen .

En las teorías relativistas, existe una representación de partículas y de campos para cada teoría. La representación de campos es una suma de todas las configuraciones de campos, y la representación de partículas es una suma de diferentes trayectorias de partículas.

La formulación no relativista se da tradicionalmente en términos de trayectorias de partículas, no de campos. En este caso, la integral de trayectoria en las variables habituales, con condiciones de contorno fijas, da la amplitud de probabilidad de que una partícula vaya del punto x al punto y en el tiempo T :

${\displaystyle K(x,y;T)=\langle y;T\mid x;0\rangle =\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}e^{iS[x]}\,Dx.}$

Esto se llama propagador . Al superponer diferentes valores de la posición inicial x con un estado inicial arbitrario ψ ₀ ( x ) se construye el estado final:

${\displaystyle \psi _{T}(y)=\int _{x}\psi _{0}(x)K(x,y;T)\,dx=\int ^{x(T)=y}\psi _{0}(x(0))e^{iS[x]}\,Dx.}$

Para un sistema espacialmente homogéneo, donde K ( x , y ) es solo una función de ( x − y ) , la integral es una convolución , el estado final es el estado inicial convolucionado con el propagador:

${\displaystyle \psi _{T}=\psi _{0}*K(;T).}$

Para una partícula libre de masa m , el propagador se puede evaluar explícitamente a partir de la integral de trayectoria o observando que la ecuación de Schrödinger es una ecuación de difusión en tiempo imaginario y la solución debe ser una gaussiana normalizada:

${\displaystyle K(x,y;T)\propto e^{\frac {im(x-y)^{2}}{2T}}.}$

Tomando la transformada de Fourier en ( x − y ) se produce otra gaussiana:

${\displaystyle K(p;T)=e^{\frac {iTp^{2}}{2m}},}$

y en el espacio p el factor de proporcionalidad aquí es constante en el tiempo, como se verificará en un momento. La transformada de Fourier en el tiempo, extendiendo K ( p ; T ) a cero para tiempos negativos, da la función de Green, o el propagador del espacio de frecuencias:

${\displaystyle G_{\text{F}}(p,E)={\frac {-i}{E-{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+i\varepsilon }},}$

que es el recíproco del operador que aniquila la función de onda en la ecuación de Schrödinger, lo que no habría resultado correcto si el factor de proporcionalidad no fuera constante en la representación del espacio p .

El término infinitesimal en el denominador es un número positivo pequeño, lo que garantiza que la transformada de Fourier inversa en E será distinta de cero solo para tiempos futuros. Para tiempos pasados, el contorno de la transformada de Fourier inversa se cierra hacia valores de E donde no hay singularidad. Esto garantiza que K propague la partícula hacia el futuro y es la razón del subíndice "F" en G. El término infinitesimal puede interpretarse como una rotación infinitesimal hacia el tiempo imaginario.

También es posible reexpresar la evolución temporal no relativista en términos de propagadores que van hacia el pasado, ya que la ecuación de Schrödinger es reversible en el tiempo. El propagador del pasado es el mismo que el del futuro, excepto por la diferencia obvia de que se anula en el futuro, y en la gaussiana t se reemplaza por − t . En este caso, la interpretación es que estas son las cantidades para convolucionar la función de onda final de modo de obtener la función de onda inicial:

${\displaystyle G_{\text{B}}(p,E)={\frac {-i}{-E-{\frac {i{\vec {p}}^{2}}{2m}}+i\varepsilon }}.}$

Dado que el único cambio casi idéntico es el signo de E y ε , el parámetro E en la función de Green puede ser la energía si los caminos van hacia el futuro, o el negativo de la energía si los caminos van hacia el pasado.

En una teoría no relativista, el tiempo medido a lo largo de la trayectoria de una partícula en movimiento y el tiempo medido por un observador externo son los mismos. En la relatividad, esto ya no es así. En una teoría relativista, el propagador debería definirse como la suma de todas las trayectorias que recorren entre dos puntos en un tiempo propio fijo, medido a lo largo de la trayectoria (estas trayectorias describen la trayectoria de una partícula en el espacio y en el tiempo):

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{i\int _{0}^{\mathrm {T} }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}}}-\alpha \,d\tau }.}$

La integral anterior no es fácil de interpretar debido a la raíz cuadrada. Afortunadamente, existe un truco heurístico. La suma se encuentra sobre la longitud del arco relativista de la trayectoria de una cantidad oscilante y, al igual que la integral de trayectoria no relativista, se debe interpretar como ligeramente rotada hacia un tiempo imaginario. La función K ( x − y , τ ) se puede evaluar cuando la suma se encuentra sobre trayectorias en el espacio euclidiano:

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{-L}.}$

Esto describe una suma de todos los caminos de longitud Τ del exponencial de menos la longitud. A esto se le puede dar una interpretación de probabilidad. La suma de todos los caminos es un promedio de probabilidad sobre un camino construido paso a paso. El número total de pasos es proporcional a Τ , y cada paso es menos probable cuanto más largo es. Por el teorema del límite central , el resultado de muchos pasos independientes es una gaussiana de varianza proporcional a Τ :

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\mathrm {T} }}}.}$

La definición habitual del propagador relativista sólo pide la amplitud que debe tener el movimiento de x a y , después de sumar todos los tiempos propios posibles que podría tardar:

${\displaystyle K(x-y)=\int _{0}^{\infty }K(x-y,\mathrm {T} )W(\mathrm {T} )\,d\mathrm {T} ,}$

donde W (Τ) es un factor de peso, la importancia relativa de las trayectorias de diferentes tiempos propios. Por la simetría de traslación en el tiempo propio, este peso solo puede ser un factor exponencial y puede ser absorbido por la constante α :

${\displaystyle K(x-y)=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\mathrm {T} }}-\alpha \mathrm {T} }\,d\mathrm {T} .}$

Esta es la representación de Schwinger . Se puede realizar una transformada de Fourier sobre la variable ( x − y ) para cada valor de Τ por separado, y como cada contribución de Τ por separado es una gaussiana, se obtiene cuya transformada de Fourier es otra gaussiana con ancho recíproco. Por lo tanto, en el espacio p , el propagador se puede reexpresar de forma sencilla:

${\displaystyle K(p)=\int _{0}^{\infty }e^{-\mathrm {T} p^{2}-\mathrm {T} \alpha }\,d\mathrm {T} ={\frac {1}{p^{2}+\alpha }},}$

que es el propagador euclidiano de una partícula escalar. Al rotar p ₀ para que sea imaginario se obtiene el propagador relativista habitual, hasta un factor de − i y una ambigüedad, que se aclarará a continuación:

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p_{0}^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}.}$

Esta expresión se puede interpretar en el límite no relativista, donde es conveniente dividirla en fracciones parciales :

${\displaystyle 2p_{0}K(p)={\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}}+{\frac {i}{p_{0}+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}}.}$

Para los estados donde está presente una partícula no relativista, la función de onda inicial tiene una distribución de frecuencia concentrada cerca de p ₀ = m . Al realizar una convolución con el propagador, lo que en el espacio p simplemente significa multiplicar por el propagador, se suprime el segundo término y se mejora el primero. Para frecuencias cercanas a p ₀ = m , el primer término dominante tiene la forma

${\displaystyle 2mK_{\text{NR}}(p)={\frac {i}{(p_{0}-m)-{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}}}.}$

Ésta es la expresión de la función de Green no relativista de una partícula de Schrödinger libre.

El segundo término también tiene un límite no relativista, pero este límite se concentra en frecuencias negativas. El segundo polo está dominado por contribuciones de trayectorias en las que el tiempo propio y el tiempo de coordenadas están en sentido opuesto, lo que significa que el segundo término debe interpretarse como la antipartícula. El análisis no relativista muestra que con esta forma la antipartícula todavía tiene energía positiva.

La forma correcta de expresar esto matemáticamente es que, añadiendo un pequeño factor de supresión en el tiempo propio, el límite donde t → −∞ del primer término debe anularse, mientras que el límite t → +∞ del segundo término debe anularse. En la transformada de Fourier, esto significa desplazar ligeramente el polo en p ₀ , de modo que la transformada de Fourier inversa recoja un pequeño factor de decaimiento en una de las direcciones del tiempo:

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}+i\varepsilon }}+{\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}-i\varepsilon }}.}$

Sin estos términos, no se podría evaluar de forma inequívoca la contribución del polo al tomar la transformada inversa de Fourier de p ₀ . Los términos se pueden recombinar:

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }},}$

que, al factorizarse, produce términos infinitesimales de signo opuesto en cada factor. Esta es la forma matemáticamente precisa del propagador de partículas relativista, libre de cualquier ambigüedad. El término ε introduce una pequeña parte imaginaria en α = m ² , que en la versión de Minkowski es una pequeña supresión exponencial de trayectorias largas.

En el caso relativista, la representación de la integral de trayectorias de Feynman del propagador incluye trayectorias que van hacia atrás en el tiempo, que describen antipartículas. Las trayectorias que contribuyen al propagador relativista van hacia adelante y hacia atrás en el tiempo, y la interpretación de esto es que la amplitud para que una partícula libre viaje entre dos puntos incluye amplitudes para que la partícula fluctúe en una antipartícula, viaje hacia atrás en el tiempo y luego hacia adelante nuevamente.

A diferencia del caso no relativista, es imposible producir una teoría relativista de propagación de partículas locales sin incluir antipartículas. Todos los operadores diferenciales locales tienen inversas que no son cero fuera del cono de luz, lo que significa que es imposible evitar que una partícula viaje más rápido que la luz. Una partícula de este tipo no puede tener una función de Green que solo sea distinta de cero en el futuro en una teoría relativista invariante.

Sin embargo, la formulación de la integral de trayectorias también es extremadamente importante en la aplicación directa a la teoría cuántica de campos, en la que las "trayectorias" o historias que se consideran no son los movimientos de una sola partícula, sino las posibles evoluciones temporales de un campo sobre todo el espacio. La acción se denomina técnicamente una funcional del campo: S [ ϕ ] , donde el campo ϕ ( x ^μ ) es en sí mismo una función del espacio y el tiempo, y los corchetes son un recordatorio de que la acción depende de todos los valores del campo en todas partes, no solo de un valor particular. Una de esas funciones dadas ϕ ( x ^μ ) del espacio-tiempo se llama configuración de campo . En principio, uno integra la amplitud de Feynman sobre la clase de todas las configuraciones de campo posibles.

Gran parte del estudio formal de la QFT se dedica a las propiedades de la integral funcional resultante, y se han realizado muchos esfuerzos (aún no del todo exitosos) para lograr que estas integrales funcionales sean matemáticamente precisas.

Una integral funcional de este tipo es extremadamente similar a la función de partición de la mecánica estadística . De hecho, a veces se la denomina función de partición y las dos son esencialmente idénticas desde el punto de vista matemático, excepto por el factor i en el exponente del postulado 3 de Feynman. Continuar analíticamente la integral hasta una variable temporal imaginaria (denominada rotación de Wick ) hace que la integral funcional sea aún más parecida a una función de partición estadística y también elimina algunas de las dificultades matemáticas de trabajar con estas integrales.

En la teoría cuántica de campos , si la acción está dada por la función S de las configuraciones de campo (que solo depende localmente de los campos), entonces el valor esperado del vacío ordenado en el tiempo de la función polinomialmente acotada F , ⟨ F ⟩ , está dado por

${\displaystyle \langle F\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\varphi F[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}}{\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}}}.}$

El símbolo ∫ D ϕ es una forma concisa de representar la integral de dimensión infinita sobre todas las configuraciones de campo posibles en todo el espacio-tiempo. Como se indicó anteriormente, la integral de trayectoria sin adornos en el denominador garantiza una normalización adecuada.

Estrictamente hablando, la única pregunta que se puede hacer en física es: ¿Qué fracción de estados que satisfacen la condición A también satisfacen la condición B ? La respuesta a esto es un número entre 0 y 1, que se puede interpretar como una probabilidad condicional , escrita como P( B | A ) . En términos de integración de trayectorias, ya que P( B | A ) = ⁠P( A ∩ B ) / P( Un )⁠ , esto significa

${\displaystyle \operatorname {P} (B\mid A)={\frac {\sum _{F\subset A\cap B}\left|\int {\mathcal {D}}\varphi O_{\text{in}}[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}F[\varphi ]\right|^{2}}{\sum _{F\subset A}\left|\int {\mathcal {D}}\varphi O_{\text{in}}[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}F[\varphi ]\right|^{2}}},}$

donde la O funcional _en [ ϕ ] es la superposición de todos los estados entrantes que podrían llevar a los estados que nos interesan. En particular, este podría ser un estado correspondiente al estado del Universo justo después del Big Bang , aunque para el cálculo real esto se puede simplificar utilizando métodos heurísticos. Dado que esta expresión es un cociente de integrales de trayectoria, está normalizada naturalmente.

Dado que esta formulación de la mecánica cuántica es análoga al principio de acción clásico, se podría esperar que las identidades relativas a la acción en la mecánica clásica tuvieran contrapartes cuánticas derivables de una integral funcional. Esto suele suceder.

En el lenguaje del análisis funcional, podemos escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange como

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi }}=0}$

(el lado izquierdo es una derivada funcional ; la ecuación significa que la acción es estacionaria ante pequeños cambios en la configuración del campo). Los análogos cuánticos de estas ecuaciones se denominan ecuaciones de Schwinger-Dyson .

Si la medida funcional D ϕ resulta ser invariante en la traducción (asumiremos esto durante el resto de este artículo, aunque esto no se cumple, digamos, para los modelos sigma no lineales ), y si asumimos que después de una rotación de Wick

${\displaystyle e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]},}$

que ahora se convierte en

${\displaystyle e^{-H[\varphi ]}}$

para algún H , tiende a cero más rápido que un recíproco de cualquier polinomio para valores grandes de φ , entonces podemos integrar por partes (después de una rotación de Wick, seguida por una rotación de Wick de regreso) para obtener las siguientes ecuaciones de Schwinger-Dyson para la expectativa:

${\displaystyle \left\langle {\frac {\delta F[\varphi ]}{\delta \varphi }}\right\rangle =-i\left\langle F[\varphi ]{\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi }}\right\rangle }$

para cualquier función F acotada polinómicamente . En la notación de DeWitt esto se ve así: ^[20]

${\displaystyle \left\langle F_{,i}\right\rangle =-i\left\langle F{\mathcal {S}}_{,i}\right\rangle .}$

Estas ecuaciones son análogas a las ecuaciones EL dentro de la capa . El orden temporal se toma antes de las derivadas temporales dentro de S _{, i} .

Si J (llamado el campo fuente ) es un elemento del espacio dual de las configuraciones de campo (que tiene al menos una estructura afín debido a la suposición de la invariancia traslacional para la medida funcional), entonces el funcional generador Z de los campos fuente se define como

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}.}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle {\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[J]=i^{n}\,Z[J]\,\left\langle \varphi (x_{1})\cdots \varphi (x_{n})\right\rangle _{J},}$

o

${\displaystyle Z^{,i_{1}\cdots i_{n}}[J]=i^{n}Z[J]\left\langle \varphi ^{i_{1}}\cdots \varphi ^{i_{n}}\right\rangle _{J},}$

dónde

${\displaystyle \langle F\rangle _{J}={\frac {\int {\mathcal {D}}\varphi F[\varphi ]e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}}{\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}}}.}$

Básicamente, si D φ e ^{i S [ φ ]} se considera como una distribución funcional (esto no debería tomarse demasiado literalmente como una interpretación de la QFT , a diferencia de su análogo de mecánica estadística rotada por Wick , ¡porque aquí tenemos complicaciones de ordenamiento del tiempo !), entonces ⟨ φ ( x ₁ ) ... φ ( x _n )⟩ son sus momentos , y Z es su transformada de Fourier .

Si F es un funcional de φ , entonces para un operador K , F [ K ] se define como el operador que sustituye K por φ . Por ejemplo, si

${\displaystyle F[\varphi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\varphi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\varphi (x_{n}),}$