Grupo de renormalización

En física teórica , el término grupo de renormalización ( RG ) se refiere a un aparato formal que permite la investigación sistemática de los cambios de un sistema físico visto a diferentes escalas . En física de partículas , refleja los cambios en las leyes de fuerza subyacentes (codificadas en una teoría cuántica de campos ) a medida que varía la escala de energía en la que ocurren los procesos físicos, siendo las escalas de energía/momento y distancia de resolución efectivamente conjugadas bajo el principio de incertidumbre .

Un cambio de escala se denomina transformación de escala . El grupo de renormalización está íntimamente relacionado con la invariancia de escala y la invariancia conforme , simetrías en las que un sistema parece igual en todas las escalas ( autosimilitud ). ^[a]

A medida que varía la escala, es como si estuviéramos cambiando el poder de aumento de un microscopio teórico que observa el sistema. En las llamadas teorías renormalizables, el sistema a una escala determinada generalmente constará de copias autosimilares de sí mismo cuando se observe a una escala menor, con diferentes parámetros que describen los componentes del sistema. Los componentes, o variables fundamentales, pueden estar relacionados con átomos, partículas elementales, espines atómicos, etc. Los parámetros de la teoría suelen describir las interacciones de los componentes. Estos pueden ser acoplamientos variables que miden la intensidad de varias fuerzas, o los propios parámetros de masa. Los propios componentes pueden parecer compuestos de más de los mismos componentes a medida que se avanza a distancias más cortas.

Por ejemplo, en la electrodinámica cuántica (EDQ), un electrón parece estar compuesto de pares de electrones y positrones y de fotones, cuando se lo observa con mayor resolución y a distancias muy cortas. El electrón a distancias tan cortas tiene una carga eléctrica ligeramente diferente a la del electrón vestido que se observa a grandes distancias, y este cambio, o desplazamiento , en el valor de la carga eléctrica está determinado por la ecuación del grupo de renormalización.

La idea de las transformaciones de escala y la invariancia de escala es antigua en física: los argumentos de escala eran comunes para la escuela pitagórica , Euclides y hasta Galileo . ^[1] Se volvieron populares nuevamente a fines del siglo XIX, quizás el primer ejemplo sea la idea de viscosidad mejorada de Osborne Reynolds , como una forma de explicar la turbulencia.

El grupo de renormalización fue ideado inicialmente en física de partículas, pero hoy en día sus aplicaciones se extienden a la física del estado sólido , la mecánica de fluidos , la cosmología física e incluso la nanotecnología . Un artículo temprano ^[2] de Ernst Stueckelberg y André Petermann en 1953 anticipa la idea en la teoría cuántica de campos . Stueckelberg y Petermann abrieron el campo conceptualmente. Observaron que la renormalización exhibe un grupo de transformaciones que transfieren cantidades de los términos desnudos a los contratérminos. Introdujeron una función h ( e ) en electrodinámica cuántica (EDQ) , que ahora se llama función beta (ver más abajo).

Murray Gell-Mann y Francis E. Low restringieron la idea a las transformaciones de escala en QED en 1954, ^[3] que son las más significativas desde el punto de vista físico, y se centraron en las formas asintóticas del propagador de fotones a altas energías. Determinaron la variación del acoplamiento electromagnético en QED, apreciando la simplicidad de la estructura de escala de esa teoría. Así descubrieron que el parámetro de acoplamiento g ( μ ) en la escala de energía μ está efectivamente dado por la ecuación de grupo (traducción unidimensional)

${\displaystyle g(\mu )=G^{-1}\left(\left({\frac {\mu }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)}$

o equivalentemente, , para alguna función G (no especificada, actualmente llamada función de escala de Wegner ) y una constante d , en términos del acoplamiento g(M) en una escala de referencia M .${\displaystyle G\left(g(\mu )\right)=G(g(M))\left({\mu }/{M}\right)^{d}}$

Gell-Mann y Low se dieron cuenta en estos resultados que la escala efectiva puede tomarse arbitrariamente como μ y puede variar para definir la teoría en cualquier otra escala:

${\displaystyle g(\kappa )=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{\mu }}\right)^{d}G(g(\mu ))\right)=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)}$

La esencia del RG es esta propiedad de grupo: a medida que la escala μ varía, la teoría presenta una réplica autosimilar de sí misma, y ​​se puede acceder a cualquier escala de manera similar desde cualquier otra escala, por acción de grupo, una conjugación transitiva formal de acoplamientos ^[4] en el sentido matemático ( ecuación de Schröder ).

Sobre la base de esta ecuación de grupo (finita) y su propiedad de escala, Gell-Mann y Low pudieron entonces centrarse en las transformaciones infinitesimales e inventaron un método computacional basado en una función de flujo matemática ψ ( g ) = G d /(∂ G /∂ g ) del parámetro de acoplamiento g , que introdujeron. Al igual que la función h ( e ) de Stueckelberg y Petermann, su función determina el cambio diferencial del acoplamiento g ( μ ) con respecto a un pequeño cambio en la escala de energía μ a través de una ecuación diferencial, la ecuación del grupo de renormalización :

${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial g}{\partial \ln \mu }}=\psi (g)=\beta (g)}$

También se indica el nombre moderno, la función beta , introducida por C. Callan y K. Symanzik en 1970. ^[5] Dado que es una mera función de g , la integración en g de una estimación perturbativa de la misma permite la especificación de la trayectoria de renormalización del acoplamiento, es decir, su variación con la energía, efectivamente la función G en esta aproximación perturbativa. La predicción del grupo de renormalización (cf. trabajos de Stueckelberg–Petermann y Gell-Mann–Low) se confirmó 40 años después en los experimentos del acelerador LEP : la "constante" de estructura fina de QED se midió ^[6] y fue de aproximadamente 1 ⁄ 127 a energías cercanas a 200 GeV, en oposición al valor estándar de la física de baja energía de 1 ⁄ 137  . ^[b]

El grupo de renormalización surge de la renormalización de las variables cuánticas de campo, que normalmente tiene que abordar el problema de los infinitos en una teoría cuántica de campos. ^[c] Este problema de manejar sistemáticamente los infinitos de la teoría cuántica de campos para obtener cantidades físicas finitas fue resuelto para la QED por Richard Feynman , Julian Schwinger y Shin'ichirō Tomonaga , quienes recibieron el premio Nobel de 1965 por estas contribuciones. Ellos idearon efectivamente la teoría de la renormalización de masa y carga, en la que el infinito en la escala de momento es cortado por un regulador ultra grande , Λ. ^[d]

La dependencia de las magnitudes físicas, como la carga eléctrica o la masa del electrón, en la escala Λ está oculta, efectivamente intercambiada por las escalas de distancia más larga en las que se miden las magnitudes físicas y, como resultado, todas las magnitudes observables terminan siendo finitas, incluso para un Λ infinito. Gell-Mann y Low se dieron cuenta en estos resultados de que, infinitesimalmente, mientras que un cambio minúsculo en g es proporcionado por la ecuación RG anterior dado ψ( g ), la autosimilitud se expresa por el hecho de que ψ( g ) depende explícitamente solo del parámetro(s) de la teoría, y no de la escala μ . En consecuencia, la ecuación del grupo de renormalización anterior puede resolverse para ( G y, por lo tanto,) g ( μ ).

Una comprensión más profunda del significado físico y la generalización del proceso de renormalización, que va más allá del grupo de dilatación de las teorías renormalizables convencionales , considera métodos en los que aparecen simultáneamente escalas de longitudes muy diferentes. Proviene de la física de la materia condensada : el artículo de Leo P. Kadanoff en 1966 propuso el grupo de renormalización de "bloqueo-espín". ^[8] La "idea de bloqueo" es una forma de definir los componentes de la teoría a grandes distancias como agregados de componentes a distancias más cortas.

Este enfoque cubrió el punto conceptual y recibió plena sustancia computacional en las extensas e importantes contribuciones de Kenneth Wilson . El poder de las ideas de Wilson quedó demostrado por una solución iterativa de renormalización constructiva de un problema de larga data, el problema de Kondo , en 1975, ^[9] así como los desarrollos seminales anteriores de su nuevo método en la teoría de transiciones de fase de segundo orden y fenómenos críticos en 1971. ^{[10] [11] [12]} Recibió el premio Nobel por estas contribuciones decisivas en 1982. ^[13]

Mientras tanto, la RG en física de partículas había sido reformulada en términos más prácticos por Callan y Symanzik en 1970. ^{[5] [14]} También se encontró que la función beta anterior, que describe el parámetro de "funcionamiento del acoplamiento" con la escala, equivalía a la "anomalía de traza canónica", que representa la ruptura mecánico-cuántica de la simetría de escala (dilatación) en una teoría de campo. ^[e] Las aplicaciones de la RG a la física de partículas explotaron en número en la década de 1970 con el establecimiento del Modelo Estándar .

En 1973, ^{[15] [16]} se descubrió que una teoría de interacción de quarks coloreados, llamada cromodinámica cuántica , tenía una función beta negativa. Esto significa que un valor inicial de alta energía del acoplamiento dará como resultado un valor especial de μ en el que el acoplamiento explota (diverge). Este valor especial es la escala de las interacciones fuertes , μ = Λ _QCD y ocurre a unos 200 MeV. Por el contrario, el acoplamiento se debilita a energías muy altas ( libertad asintótica ), y los quarks se vuelven observables como partículas puntuales, en dispersión inelástica profunda , como anticipó la escala de Feynman-Bjorken. De este modo, la QCD se estableció como la teoría cuántica de campos que controla las interacciones fuertes de las partículas.

El espacio de momento RG también se convirtió en una herramienta muy desarrollada en la física del estado sólido, pero se vio obstaculizado por el uso extensivo de la teoría de perturbaciones, que impidió que la teoría tuviera éxito en sistemas fuertemente correlacionados. ^[f]

La simetría conforme está asociada con la desaparición de la función beta. Esto puede ocurrir de forma natural si una constante de acoplamiento es atraída, al desplazarse, hacia un punto fijo en el que β ( g ) = 0. En QCD, el punto fijo se produce a distancias cortas donde g → 0 y se denomina punto fijo ultravioleta ( trivial ) . Para los quarks pesados, como el quark top , el acoplamiento con el bosón de Higgs que da masa se dirige hacia un punto fijo infrarrojo fijo distinto de cero (no trivial) , predicho por primera vez por Pendleton y Ross (1981), ^[17] y CT Hill . ^[18] El acoplamiento de Yukawa del quark top se encuentra ligeramente por debajo del punto fijo infrarrojo del Modelo Estándar, lo que sugiere la posibilidad de nueva física adicional, como los bosones de Higgs pesados ​​secuenciales. ^{[ cita requerida ]}

En la teoría de cuerdas , la invariancia conforme de la lámina del mundo de cuerdas es una simetría fundamental: β = 0 es un requisito. Aquí, β es una función de la geometría del espacio-tiempo en el que se mueve la cuerda. Esto determina la dimensionalidad del espacio-tiempo de la teoría de cuerdas y hace cumplir las ecuaciones de la relatividad general de Einstein sobre la geometría. La RG es de importancia fundamental para la teoría de cuerdas y las teorías de gran unificación .

También es la idea clave moderna que subyace a los fenómenos críticos en la física de la materia condensada. ^[19] De hecho, el RG se ha convertido en una de las herramientas más importantes de la física moderna. ^[20] A menudo se utiliza en combinación con el método de Monte Carlo . ^[21]

Esta sección presenta pedagógicamente una imagen de RG que puede ser la más fácil de entender: el RG de giro en bloque, ideado por Leo P. Kadanoff en 1966. ^[8]

Consideremos un sólido 2D, un conjunto de átomos en una matriz cuadrada perfecta, como se muestra en la figura.

Supongamos que los átomos interactúan entre sí solo con sus vecinos más cercanos y que el sistema está a una temperatura dada T . La fuerza de su interacción se cuantifica mediante un cierto acoplamiento J . La física del sistema se describirá mediante una fórmula determinada, digamos el hamiltoniano H ( T , J ) .

Ahora proceda a dividir el sólido en bloques de cuadrados de 2×2; intentamos describir el sistema en términos de variables de bloque , es decir, variables que describen el comportamiento promedio del bloque. Supongamos además que, por alguna afortunada coincidencia, la física de las variables de bloque se describe mediante una fórmula del mismo tipo , pero con diferentes valores para T y J  : H ( T ′ , J ′ ) . (Esto no es exactamente cierto, en general, pero a menudo es una buena primera aproximación).

Tal vez el problema inicial era demasiado difícil de resolver, ya que había demasiados átomos. Ahora, en el problema renormalizado tenemos solo una cuarta parte de ellos. Pero ¿por qué detenernos ahora? Otra iteración del mismo tipo conduce a H ( T" , J" ) y solo a una dieciseisava parte de los átomos. Estamos aumentando la escala de observación con cada paso de RG.

Por supuesto, la mejor idea es iterar hasta que solo haya un bloque muy grande. Dado que la cantidad de átomos en cualquier muestra real de material es muy grande, esto es más o menos equivalente a encontrar el comportamiento de largo alcance de la transformación RG que tomó ( T , J ) → ( T ′ , J ′ ) y ( T ′ , J ′ ) → ( T" , J" ) . A menudo, cuando se itera muchas veces, esta transformación RG conduce a una cierta cantidad de puntos fijos .

Para ser más concretos, consideremos un sistema magnético (por ejemplo, el modelo de Ising ), en el que el acoplamiento J denota la tendencia de los espines vecinos a alinearse. La configuración del sistema es el resultado del equilibrio entre el término J ordenador y el efecto desordenador de la temperatura.

Para muchos modelos de este tipo hay tres puntos fijos:

1. T = 0 y J → ∞ . Esto significa que, en el tamaño más grande, la temperatura deja de ser importante, es decir, el factor desordenador desaparece. Por lo tanto, en grandes escalas, el sistema parece estar ordenado. Estamos en unafase ferromagnética .
2. T → ∞ y J → 0. Exactamente lo opuesto: aquí predomina la temperatura y el sistema está desordenado a grandes escalas.
3. Un punto no trivial entre ellos, T = T _c y J = J _c . En este punto, cambiar la escala no cambia la física, porque el sistema está en un estado fractal . Corresponde a la transición de fase de Curie , y también se denomina punto crítico .

Entonces, si nos dan un cierto material con valores dados de T y J , todo lo que tenemos que hacer para descubrir el comportamiento a gran escala del sistema es iterar el par hasta que encontremos el punto fijo correspondiente.

En términos más técnicos, supongamos que tenemos una teoría descrita por una determinada función de las variables de estado y un determinado conjunto de constantes de acoplamiento . Esta función puede ser una función de partición , una función de acción , un hamiltoniano , etc. Debe contener la descripción completa de la física del sistema.${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \{s_{i}\}}$${\displaystyle \{J_{k}\}}$

Ahora consideramos una cierta transformación de bloqueo de las variables de estado , el número de debe ser menor que el número de . Ahora intentemos reescribir la función solo en términos de . Si esto se puede lograr mediante un cierto cambio en los parámetros, , entonces se dice que la teoría es renormalizable .${\displaystyle \{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}}$${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$${\displaystyle \{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}}$

La mayoría de las teorías fundamentales de la física, como la electrodinámica cuántica , la cromodinámica cuántica y la interacción electrodébil , pero no la gravedad, son exactamente renormalizables. Asimismo, la mayoría de las teorías de la física de la materia condensada son aproximadamente renormalizables, desde la superconductividad hasta la turbulencia de fluidos.

El cambio de los parámetros se implementa mediante una determinada función beta: , que se dice que induce un flujo de grupo de renormalización (o flujo RG ) en el espacio . Los valores de bajo el flujo se denominan acoplamientos en marcha .${\displaystyle \{{\tilde {J}}_{k}\}=\beta (\{J_{k}\})}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J}$

Como se afirmó en la sección anterior, la información más importante en el flujo RG son sus puntos fijos . Los posibles estados macroscópicos del sistema, a gran escala, están dados por este conjunto de puntos fijos. Si estos puntos fijos corresponden a una teoría de campo libre, se dice que la teoría exhibe trivialidad cuántica , que posee lo que se llama un polo de Landau , como en la electrodinámica cuántica. Para una interacción φ ^{4 ,} Michael Aizenman demostró que esta teoría es de hecho trivial, para la dimensión espacio-temporal D ≥ 5. ^[22] Para D = 4, la trivialidad aún debe probarse rigurosamente, pero los cálculos de red han proporcionado una fuerte evidencia de esto. Este hecho es importante ya que la trivialidad cuántica se puede utilizar para limitar o incluso predecir parámetros como la masa del bosón de Higgs en escenarios de seguridad asintótica . Numerosos puntos fijos aparecen en el estudio de las teorías de Higgs de red , pero la naturaleza de las teorías cuánticas de campo asociadas con estos sigue siendo una pregunta abierta. ^[23]

Dado que las transformaciones RG en tales sistemas son con pérdida (es decir: el número de variables disminuye - ver como ejemplo en un contexto diferente, Compresión de datos con pérdida ), no es necesario que haya una inversa para una transformación RG dada. Por lo tanto, en tales sistemas con pérdida, el grupo de renormalización es, de hecho, un semigrupo , ya que la pérdida implica que no hay una inversa única para cada elemento.

Consideremos un determinado observable A de un sistema físico que experimenta una transformación RG. La magnitud del observable a medida que la escala de longitud del sistema pasa de pequeña a grande determina la importancia del o los observables para la ley de escala:

Se necesita un observable relevante para describir el comportamiento macroscópico del sistema; no se necesitan observables irrelevantes . Puede ser necesario o no tener en cuenta los observables marginales . Un hecho notable es que la mayoría de los observables son irrelevantes , es decir, la física macroscópica está dominada por solo unos pocos observables en la mayoría de los sistemas .

A modo de ejemplo, en física microscópica, para describir un sistema formado por un mol de átomos de carbono-12 necesitamos del orden de 10 ²³ (el número de Avogadro ) variables, mientras que para describirlo como un sistema macroscópico (12 gramos de carbono-12) sólo necesitamos unas pocas.

Antes del enfoque RG de Wilson, había un hecho empírico asombroso que explicar: la coincidencia de los exponentes críticos (es decir, los exponentes de la dependencia de temperatura reducida de varias cantidades cerca de una transición de fase de segundo orden ) en fenómenos muy dispares, como sistemas magnéticos, transición superfluida ( transición Lambda ), física de aleaciones, etc. Así que, en general, las características termodinámicas de un sistema cerca de una transición de fase dependen sólo de un pequeño número de variables , como la dimensionalidad y la simetría, pero son insensibles a los detalles de las propiedades microscópicas subyacentes del sistema.

Esta coincidencia de exponentes críticos para sistemas físicos aparentemente muy diferentes, llamada universalidad , se explica fácilmente utilizando el grupo de renormalización, al demostrar que las diferencias en los fenómenos entre los componentes individuales de escala fina están determinadas por observables irrelevantes , mientras que los observables relevantes son compartidos en común. Por lo tanto, muchos fenómenos macroscópicos pueden agruparse en un pequeño conjunto de clases de universalidad , especificadas por los conjuntos compartidos de observables relevantes. ^[g]

En la práctica, los grupos de renormalización se presentan en dos "tipos" principales. La imagen de Kadanoff explicada anteriormente se refiere principalmente a los llamados RG del espacio real .

Por otra parte, la RG en el espacio de momento tiene una historia más larga a pesar de su relativa sutileza. Se puede utilizar para sistemas en los que los grados de libertad se pueden expresar en términos de los modos de Fourier de un campo determinado. La transformación RG se lleva a cabo mediante la integración de un determinado conjunto de modos de alto momento (número de onda grande). Dado que los números de onda grandes están relacionados con escalas de longitud corta, la RG en el espacio de momento da como resultado un efecto de granulado grueso esencialmente análogo al de la RG en el espacio real.

La RG en el espacio de momento se realiza generalmente en una expansión de perturbación . La validez de dicha expansión se basa en que la física real de un sistema sea cercana a la de un sistema de campo libre . En este caso, se pueden calcular los observables sumando los términos principales en la expansión. Este enfoque ha demostrado ser exitoso para muchas teorías, incluida la mayoría de la física de partículas, pero falla para sistemas cuya física está muy alejada de cualquier sistema libre, es decir, sistemas con correlaciones fuertes.

Como ejemplo del significado físico de RG en la física de partículas, considere una descripción general de la renormalización de carga en la electrodinámica cuántica (QED). Supongamos que tenemos una carga puntual positiva de una cierta magnitud verdadera (o desnuda ). El campo electromagnético a su alrededor tiene una cierta energía y, por lo tanto, puede producir algunos pares virtuales electrón-positrón (por ejemplo). Aunque las partículas virtuales se aniquilan muy rápidamente, durante sus cortas vidas el electrón será atraído por la carga y el positrón será repelido. Dado que esto sucede uniformemente en todas partes cerca de la carga puntual, donde su campo eléctrico es suficientemente fuerte, estos pares crean efectivamente una pantalla alrededor de la carga cuando se ven desde lejos. La fuerza medida de la carga dependerá de qué tan cerca pueda acercarse nuestra sonda de medición a la carga puntual, evitando más de la pantalla de partículas virtuales cuanto más se acerque. De ahí una dependencia de una cierta constante de acoplamiento (aquí, la carga eléctrica) con la escala de distancia .

Las escalas de momento y longitud están relacionadas inversamente, según la relación de De Broglie : cuanto mayor sea la escala de energía o momento que podamos alcanzar, menor será la escala de longitud que podamos explorar y resolver. Por lo tanto, los practicantes de RG en el espacio de momento a veces afirman que integran momentos altos o energías altas de sus teorías.

Una ecuación de grupo de renormalización exacta ( ERGE ) es aquella que tiene en cuenta los acoplamientos irrelevantes . Existen varias formulaciones.

El ERGE de Wilson es el más simple conceptualmente, pero es prácticamente imposible de implementar. Transformada de Fourier en el espacio de momento después de que Wick rota en el espacio euclidiano . Insista en un límite de momento estricto , p ² ≤ Λ ² de modo que los únicos grados de libertad sean aquellos con momentos menores que Λ . La función de partición es

${\displaystyle Z=\int _{p^{2}\leq \Lambda ^{2}}{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda }[\phi ]\right].}$

Para cualquier Λ' positivo menor que Λ , defina S _Λ' (un funcional sobre configuraciones de campo φ cuya transformada de Fourier tiene soporte de momento dentro de p ² ≤ Λ' ² ) como

${\displaystyle \exp \left(-S_{\Lambda '}[\phi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda }[\phi ]\right].}$

Si S _Λ depende sólo de ϕ y no de las derivadas de ϕ , esto puede reescribirse como

${\displaystyle \exp \left(-S_{\Lambda '}[\phi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }\int d\phi (p)\exp \left[-S_{\Lambda }[\phi (p)]\right],}$

en el que queda claro que, puesto que sólo se integran funciones ϕ con soporte entre Λ' y Λ , el lado izquierdo puede seguir dependiendo de ϕ con soporte fuera de ese rango. Obviamente,

${\displaystyle Z=\int _{p^{2}\leq {\Lambda '}^{2}}{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda '}[\phi ]\right].}$

De hecho, esta transformación es transitiva . Si calculas S _{Λ ′} a partir de S _Λ y luego calculas S _{Λ ′ ′} a partir de S _{Λ ′ ′} , esto te da la misma acción wilsoniana que calcular S _Λ″ directamente a partir de S _Λ .

El ERGE de Polchinski implica un corte suave del regulador UV . Básicamente, la idea es una mejora con respecto al ERGE de Wilson. En lugar de un corte brusco del momento, utiliza un corte suave. Esencialmente, suprimimos en gran medida las contribuciones de los momentos mayores que Λ . Sin embargo, la suavidad del corte nos permite derivar una ecuación diferencial funcional en la escala de corte Λ . Al igual que en el enfoque de Wilson, tenemos una función de acción diferente para cada escala de energía de corte Λ . Se supone que cada una de estas acciones describe exactamente el mismo modelo, lo que significa que sus funciones de partición deben coincidir exactamente.

En otras palabras, (para un campo escalar real; las generalizaciones a otros campos son obvias),

${\displaystyle Z_{\Lambda }[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-S_{\Lambda }[\phi ]+J\cdot \phi \right)=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot R_{\Lambda }\cdot \phi -S_{{\text{int}}\,\Lambda }[\phi ]+J\cdot \phi \right)}$

y Z _Λ es realmente independiente de Λ ! Hemos utilizado la notación de DeWitt condensada aquí. También hemos dividido la acción desnuda S _Λ en una parte cinética cuadrática y una parte interactuante S _{int Λ} . Esta división ciertamente no es limpia. La parte "interactuante" también puede contener términos cinéticos cuadráticos. De hecho, si hay alguna renormalización de la función de onda , seguramente la habrá. Esto se puede reducir un poco introduciendo reescalamientos de campo. R _Λ es una función del momento p y el segundo término en el exponente es

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\phi }}^{*}(p)R_{\Lambda }(p){\tilde {\phi }}(p)}$

Cuando se expande.

Cuando , R _Λ ( p )/ p ² es esencialmente 1. Cuando , R _Λ ( p )/ p ² se vuelve muy muy grande y se acerca al infinito. R _Λ ( p )/ p ² es siempre mayor o igual a 1 y es suave. Básicamente, esto deja las fluctuaciones con momentos menores que el límite Λ inalteradas, pero suprime en gran medida las contribuciones de las fluctuaciones con momentos mayores que el límite. Obviamente, esto es una gran mejora con respecto a Wilson.${\displaystyle p\ll \Lambda }$${\displaystyle p\gg \Lambda }$

La condición de que

${\displaystyle {\frac {d}{d\Lambda }}Z_{\Lambda }=0}$

puede ser satisfecha por (pero no sólo por)

${\displaystyle {\frac {d}{d\Lambda }}S_{{\text{int}}\,\Lambda }={\frac {1}{2}}{\frac {\delta S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi }}\cdot \left({\frac {d}{d\Lambda }}R_{\Lambda }^{-1}\right)\cdot {\frac {\delta S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi }}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[{\frac {\delta ^{2}S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi \,\delta \phi }}\cdot R_{\Lambda }^{-1}\right].}$

Jacques Distler afirmó sin pruebas que esta ERGE no es correcta de manera no perturbativa . ^[24]

La acción promedio efectiva ERGE implica un corte suave del regulador IR. La idea es tener en cuenta todas las fluctuaciones hasta una escala IR k . La acción promedio efectiva será precisa para fluctuaciones con momentos mayores que k . A medida que se reduce el parámetro k , la acción promedio efectiva se aproxima a la acción efectiva que incluye todas las fluctuaciones cuánticas y clásicas. Por el contrario, para valores grandes de k, la acción promedio efectiva está cerca de la "acción desnuda". Por lo tanto, la acción promedio efectiva interpola entre la "acción desnuda" y la acción efectiva .

Para un campo escalar real , se agrega un corte IR

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\phi }}^{*}(p)R_{k}(p){\tilde {\phi }}(p)}$

a la acción S , donde R _k es una función tanto de k como de p tal que para , R _k (p) es muy pequeña y se acerca a 0 y para , . R _k es suave y no negativa. Su gran valor para momentos pequeños conduce a una supresión de su contribución a la función de partición, lo que es efectivamente lo mismo que descuidar las fluctuaciones a gran escala.${\displaystyle p\gg k}$${\displaystyle p\ll k}$${\displaystyle R_{k}(p)\gtrsim k^{2}}$

Se puede utilizar la notación deWitt condensada

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi }$

para este regulador IR.

Entonces,

${\displaystyle \exp \left(W_{k}[J]\right)=Z_{k}[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-S[\phi ]-{\frac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi +J\cdot \phi \right)}$

donde J es el campo fuente . La transformada de Legendre de W _k normalmente da la acción efectiva . Sin embargo, la acción con la que comenzamos es en realidad S[φ]+1/2 φ⋅R _k ⋅φ y, por lo tanto, para obtener la acción promedio efectiva, restamos 1/2 φ⋅R _k ⋅φ. En otras palabras,

${\displaystyle \phi [J;k]={\frac {\delta W_{k}}{\delta J}}[J]}$

se puede invertir para dar J _k [φ] y definimos la acción promedio efectiva Γ _k como

${\displaystyle \Gamma _{k}[\phi ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(-W\left[J_{k}[\phi ]\right]+J_{k}[\phi ]\cdot \phi \right)-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi .}$

Por eso,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dk}}\Gamma _{k}[\phi ]&=-{\frac {d}{dk}}W_{k}[J_{k}[\phi ]]-{\frac {\delta W_{k}}{\delta J}}\cdot {\frac {d}{dk}}J_{k}[\phi ]+{\frac {d}{dk}}J_{k}[\phi ]\cdot \phi -{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&=-{\frac {d}{dk}}W_{k}[J_{k}[\phi ]]-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&={\tfrac {1}{2}}\left\langle \phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \right\rangle _{J_{k}[\phi ];k}-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta J_{k}}{\delta \phi }}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]\\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta ^{2}\Gamma _{k}}{\delta \phi \delta \phi }}+R_{k}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]\end{aligned}}}$

de este modo

${\displaystyle {\frac {d}{dk}}\Gamma _{k}[\phi ]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta ^{2}\Gamma _{k}}{\delta \phi \delta \phi }}+R_{k}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]}$

es la ERGE, también conocida como ecuación de Wetterich . Como lo demuestra Morris, la acción efectiva Γ _k está simplemente relacionada con la acción efectiva de Polchinski S _int a través de una relación de transformada de Legendre. ^[25]

Como hay infinitas opciones de R _k , también hay infinitas ERGE de interpolación diferentes. La generalización a otros campos, como los campos espinoriales, es sencilla.

Aunque el ERGE de Polchinski y el ERGE de acción promedio efectiva parecen similares, se basan en filosofías muy diferentes. En el ERGE de acción promedio efectiva, la acción desnuda se deja sin cambios (y la escala de corte UV, si la hay, también se deja sin cambios), pero las contribuciones IR a la acción efectiva se suprimen, mientras que en el ERGE de Polchinski, la QFT se fija de una vez por todas, pero la "acción desnuda" se varía en diferentes escalas de energía para reproducir el modelo preespecificado. La versión de Polchinski es ciertamente mucho más cercana a la idea de Wilson en espíritu. Nótese que uno usa "acciones desnudas" mientras que el otro usa acciones efectivas (promedio).

El grupo de renormalización también se puede utilizar para calcular potenciales efectivos en órdenes superiores a 1 bucle. Este tipo de enfoque es particularmente interesante para calcular correcciones al mecanismo de Coleman-Weinberg ^[26] . Para ello, se debe escribir la ecuación del grupo de renormalización en términos del potencial efectivo. Para el caso del modelo:${\displaystyle \phi ^{4}}$

${\displaystyle \left(\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}+\beta _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}+\phi \gamma _{\phi }{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)V_{\text{eff}}=0.}$

Para determinar el potencial efectivo, es útil escribir como${\displaystyle V_{\text{eff}}}$

${\displaystyle V_{\text{eff}}={\frac {1}{4}}\phi ^{4}S_{\text{eff}}{\big (}\lambda ,L(\phi ){\big )},}$

¿Dónde está una serie de potencias en :${\displaystyle S_{\text{eff}}}$${\displaystyle L(\phi )=\log {\frac {\phi ^{2}}{\mu ^{2}}}}$

${\displaystyle S_{\text{eff}}=A+BL+CL^{2}+DL^{3}+\dots .}$

Utilizando el ansatz anterior , es posible resolver la ecuación del grupo de renormalización de forma perturbativa y encontrar el potencial efectivo hasta el orden deseado. En la referencia se muestra una explicación pedagógica de esta técnica. ^[27]

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