En matemáticas , una derivación es una función de un álgebra que generaliza ciertas características del operador derivada . En concreto, dada un álgebra A sobre un anillo o un cuerpo K , una K -derivación es una función K - lineal D : A → A que satisface la ley de Leibniz :
En términos más generales, si M es un A - bimódulo , una función K -lineal D : A → M que satisface la ley de Leibniz también se denomina derivación. La colección de todas las K -derivaciones de A respecto de sí misma se denota por Der K ( A ). La colección de K -derivaciones de A en un A -módulo M se denota por Der K ( A , M ) .
donde es el conmutador con respecto a . Un álgebra A equipada con una derivación distinguida d forma un álgebra diferencial , y es en sí misma un objeto de estudio significativo en áreas como la teoría diferencial de Galois .
Propiedades
Si A es una K -álgebra, para K un anillo, y D : A → A es una K -derivación, entonces
Si A tiene una unidad 1, entonces D (1) = D (1 2 ) = 2 D (1), de modo que D (1) = 0. Por lo tanto, por K -linealidad, D ( k ) = 0 para todo k ∈ K .
Si A es conmutativa, D ( x 2 ) = xD ( x ) + D ( x ) x = 2 xD ( x ), y D ( x n ) = nx n −1 D ( x ), por la regla de Leibniz.
De manera más general, para cualquier x 1 , x 2 , …, x n ∈ A , se deduce por inducción que
que es si para todo i , D ( x i ) conmuta con .
Para n > 1, D n no es una derivación, sino que satisface una regla de Leibniz de orden superior:
ya que se verifica fácilmente que el conmutador de dos derivaciones es nuevamente una derivación.
Existe un módulo A Ω A / K (llamado diferencial de Kähler ) con una derivación K d : A → Ω A / K a través del cual se factoriza cualquier derivación D : A → M. Es decir, para cualquier derivación D existe una función de módulo A φ con
La correspondencia es un isomorfismo de módulos A :
Si k ⊂ K es un subanillo , entonces A hereda una estructura de k -álgebra, por lo que hay una inclusión
ya que cualquier K -derivación es a fortiori una k -derivación.
Derivaciones graduadas
Dada un álgebra graduada A y una función lineal homogénea D de grado | D | en A , D es una derivación homogénea si
para cada elemento homogéneo a y cada elemento b de A para un factor conmutador ε = ±1 . Una derivación graduada es la suma de derivaciones homogéneas con el mismo ε .
Si ε = 1 , esta definición se reduce al caso habitual. Sin embargo, si ε = −1 , entonces