Imagen de Schrödinger

Parte de una serie de artículos sobre
Mecánica cuántica
${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ Ecuación de Schrödinger
Introducción Glosario Historia
Fondo Mecánica clásica Antigua teoría cuántica Notación de corchetes Hamiltoniano Interferencia
Fundamentos Complementariedad Decoherencia Enredo Nivel de energía Medición No localidad Número cuántico Estado Superposición Simetría Túnel Incertidumbre Función de onda Colapsar
Experimentos Desigualdad de Bell Desigualdad de CHSH Davisson-Germer Doble rendija Elitzur–Vaidman Franck-Hertz Desigualdad de Leggett Desigualdad de Leggett-Garg Mach–Zehnder Corchete Borrador cuántico Elección retrasada El gato de Schrödinger Stern-Gerlach (en inglés) La elección retrasada de Wheeler
Formulaciones Descripción general Heisenberg Interacción Matriz Espacio de fases Schrödinger Suma de historias (integral de trayectoria)
Ecuaciones Dirac Klein-Gordon Pablo Rydberg Schrödinger
Interpretaciones Bayesiano Historias consistentes Copenhague de Broglie–Bohm Conjunto Variable oculta Local Superdeterminismo Muchos mundos Colapso objetivo Lógica cuántica Relacional Transaccional De von Neumann-Wigner
Temas avanzados Mecánica cuántica relativista Teoría cuántica de campos Ciencia de la información cuántica Computación cuántica Caos cuántico Paradoja del EPR Matriz de densidad Teoría de la dispersión Mecánica estadística cuántica Aprendizaje automático cuántico
Científicos Aharonov Campana Bethe Negro Bloqueo Bóhm Bohr Born Bose de Broglie Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Lamb Landau Laue Moseley Millikan Onnes Pauli Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Simmons Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

En física , la imagen de Schrödinger o representación de Schrödinger es una formulación de la mecánica cuántica en la que los vectores de estado evolucionan en el tiempo, pero los operadores (observables y otros) son en su mayoría constantes con respecto al tiempo (una excepción es el hamiltoniano que puede cambiar si cambia el potencial). ^{[1] [2]} Esto difiere de la imagen de Heisenberg que mantiene los estados constantes mientras los observables evolucionan en el tiempo, y de la imagen de interacción en la que tanto los estados como los observables evolucionan en el tiempo. Las imágenes de Schrödinger y Heisenberg están relacionadas como transformaciones activas y pasivas y las relaciones de conmutación entre operadores se conservan en el paso entre las dos imágenes.${\displaystyle V}$

En la imagen de Schrödinger , el estado de un sistema evoluciona con el tiempo. La evolución de un sistema cuántico cerrado se produce mediante un operador unitario , el operador de evolución temporal . Para la evolución temporal desde un vector de estado en el tiempo t ₀ a un vector de estado en el tiempo t , el operador de evolución temporal se escribe comúnmente , y se tiene${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle }$${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$${\displaystyle U(t,t_{0})}$

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$

En el caso en que el hamiltoniano H del sistema no varíe con el tiempo, el operador de evolución temporal tiene la forma

${\displaystyle U(t,t_{0})=e^{-iH\cdot (t-t_{0})/\hbar },}$

donde el exponente se evalúa a través de su serie de Taylor .

La imagen de Schrödinger es útil cuando se trabaja con un hamiltoniano independiente del tiempo H ; es decir, .${\displaystyle \partial _{t}H=0}$

En mecánica cuántica elemental, el estado de un sistema mecánico cuántico se representa mediante una función de onda de valor complejo ψ ( x , t ) . De manera más abstracta, el estado puede representarse como un vector de estado, o ket , . Este ket es un elemento de un espacio de Hilbert , un espacio vectorial que contiene todos los estados posibles del sistema. Un operador mecánico cuántico es una función que toma un ket y devuelve algún otro ket .${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi '\rangle }$

Las diferencias entre las representaciones de la mecánica cuántica de Schrödinger y Heisenberg giran en torno a cómo tratar con sistemas que evolucionan en el tiempo: la naturaleza dependiente del tiempo del sistema debe ser soportada por alguna combinación de los vectores de estado y los operadores. Por ejemplo, un oscilador armónico cuántico puede estar en un estado para el cual el valor esperado del momento, , oscila sinusoidalmente en el tiempo. Uno puede entonces preguntarse si esta oscilación sinusoidal debería reflejarse en el vector de estado , el operador de momento , o ambos. Las tres opciones son válidas; la primera da la representación de Schrödinger, la segunda la representación de Heisenberg y la tercera la representación de interacción.${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle {\hat {p}}}$

El operador de evolución temporal U ( t , t ₀ ) se define como el operador que actúa sobre el ket en el tiempo t ₀ para producir el ket en algún otro tiempo t :$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$$

Para sujetadores , $${\displaystyle \langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}).}$$

Unitaridad

El operador de evolución temporal debe ser unitario , ya que la norma del estado ket no debe cambiar con el tiempo. Es decir, Por lo tanto,$${\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$$$${\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=I.}$$

Identidad

Cuando t  = t ₀ , U es el operador identidad , ya que$${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$$

Cierre

La evolución temporal desde t ₀ hasta t puede considerarse como una evolución temporal en dos etapas: primero desde t ₀ hasta un tiempo intermedio t ₁ y luego desde t ₁ hasta el tiempo final t . Por lo tanto,$${\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}).}$$

Eliminamos el índice t ₀ en el operador de evolución temporal con la convención de que t ₀ = 0 y lo escribimos como U ( t ). La ecuación de Schrödinger es donde H es el hamiltoniano . Ahora, utilizando el operador de evolución temporal U para escribir ,$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle ,}$$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle }$$${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)|\psi (0)\rangle =HU(t)|\psi (0)\rangle .}$$

Dado que es una ket constante (la ket de estado en t = 0 ), y dado que la ecuación anterior es verdadera para cualquier ket constante en el espacio de Hilbert, el operador de evolución temporal debe obedecer la ecuación${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}U(t)=HU(t).}$$

Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, la solución de la ecuación anterior es ^{[nota 1]}$${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }.}$$

Como H es un operador, esta expresión exponencial debe evaluarse mediante su serie de Taylor :$${\displaystyle e^{-iHt/\hbar }=1-{\frac {iHt}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Ht}{\hbar }}\right)^{2}+\cdots .}$$

Por lo tanto,$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}$$

Nótese que es un ket arbitrario. Sin embargo, si el ket inicial es un estado propio del hamiltoniano, con valor propio E :${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}$$

Los estados propios del hamiltoniano son estados estacionarios : solo adoptan un factor de fase global a medida que evolucionan con el tiempo.

Si el hamiltoniano depende del tiempo, pero los hamiltonianos en diferentes momentos conmutan, entonces el operador de evolución temporal se puede escribir como$${\displaystyle U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}$$

Si el hamiltoniano depende del tiempo, pero los hamiltonianos en diferentes momentos no conmutan, entonces el operador de evolución temporal se puede escribir como donde T es el operador de ordenación temporal , que a veces se conoce como la serie de Dyson , en honor a Freeman Dyson .$${\displaystyle U(t)=\mathrm {T} \exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}$$

La alternativa a la imagen de Schrödinger es cambiar a un sistema de referencia giratorio, que a su vez gira gracias al propagador. Como ahora el propio sistema de referencia asume la rotación ondulatoria, una función de estado no perturbada parece ser realmente estática. Esta es la imagen de Heisenberg .

Para un hamiltoniano independiente del tiempo H _S , donde H _0,S es el hamiltoniano libre,

Evolución de:	Imagen ( en a mi )
	Schrödinger (S)	Heisenberg (H)	Interacción (I)
Estado de Ket	${\displaystyle |\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle }$	constante	${\displaystyle |\psi _{\rm {I}}(t)\rangle =e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle }$
Observable	constante	${\displaystyle A_{\rm {H}}(t)=e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }}$	${\displaystyle A_{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }}$
Matriz de densidad	${\displaystyle \rho _{\rm {S}}(t)=e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(0)e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }}$	constante	${\displaystyle \rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(t)e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }}$

• Ecuación de Hamilton-Jacobi
• Imagen de interacción
• Imagen de Heisenberg
• Formulación del espacio de fases
• Punto de vista
• Formulación matemática de la mecánica cuántica
• Funcional de Schrödinger

• Cohen-Tannoudji, Claude ; Bernard Diu; Frank Laloe (1977). Mecánica cuántica (volumen uno) . París: Wiley. pp. 312–314. ISBN. 0-471-16433-X.
• Albert Messiah , 1966. Mecánica cuántica (Vol. I), traducción al inglés del francés de GM Temmer. North Holland, John Wiley & Sons.
• Merzbacher E. , Mecánica cuántica (3.ª ed., John Wiley 1998) pág. 430–1 ISBN 0-471-88702-1 
• LD Landau , EM Lifshitz (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista . Vol. 3 (3.ª ed.). Pergamon Press . ISBN. 978-0-08-020940-1.Copia en línea
• R. Shankar (1994); Principios de la mecánica cuántica , Plenum Press, ISBN 978-0-306-44790-7 . 
• JJ Sakurai (1993); Mecánica cuántica moderna (edición revisada), ISBN 978-0-201-53929-5 .