Ecuación de Langevin

En física, una ecuación de Langevin (nombrada en honor a Paul Langevin ) es una ecuación diferencial estocástica que describe cómo evoluciona un sistema cuando se lo somete a una combinación de fuerzas deterministas y fluctuantes ("aleatorias"). Las variables dependientes en una ecuación de Langevin son típicamente variables colectivas (macroscópicas) que cambian lentamente en comparación con las otras variables (microscópicas) del sistema. Las variables rápidas (microscópicas) son responsables de la naturaleza estocástica de la ecuación de Langevin. Una aplicación es el movimiento browniano , que modela el movimiento fluctuante de una pequeña partícula en un fluido.

La ecuación original de Langevin ^{[1] [2]} describe el movimiento browniano , el movimiento aparentemente aleatorio de una partícula en un fluido debido a colisiones con las moléculas del fluido,$${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=-\lambda \mathbf {v} +{\boldsymbol {\eta }}\left(t \bien).}$$

Aquí, es la velocidad de la partícula, es su coeficiente de amortiguamiento y es su masa. La fuerza que actúa sobre la partícula se escribe como una suma de una fuerza viscosa proporcional a la velocidad de la partícula ( ley de Stokes ) y un término de ruido que representa el efecto de las colisiones con las moléculas del fluido. La fuerza tiene una distribución de probabilidad gaussiana con función de correlación donde es la constante de Boltzmann , es la temperatura y es el i-ésimo componente del vector . La forma de función - de la correlación temporal significa que la fuerza en un momento no está correlacionada con la fuerza en cualquier otro momento. Esto es una aproximación: la fuerza aleatoria real tiene un tiempo de correlación distinto de cero que corresponde al tiempo de colisión de las moléculas. Sin embargo, la ecuación de Langevin se utiliza para describir el movimiento de una partícula "macroscópica" en una escala de tiempo mucho más larga, y en este límite la -correlación y la ecuación de Langevin se vuelven virtualmente exactas.${\displaystyle \mathbf {v}}$${\estilo de visualización \lambda}$${\estilo de visualización m}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\izquierda(t\derecha)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\izquierda(t\derecha)}$$${\displaystyle \left\langle \eta _{i}\left(t\right)\eta _{j}\left(t'\right)\right\rangle =2\lambda k_{\text{B}}T\delta _{i,j}\delta \left(tt'\right),}$$${\displaystyle k_{\text{B}}}$${\estilo de visualización T}$${\displaystyle \eta _{i}\left(t\right)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\izquierda(t\derecha)}$${\estilo de visualización \delta}$${\estilo de visualización t}$${\estilo de visualización \delta}$

Otra característica común de la ecuación de Langevin es la aparición del coeficiente de amortiguamiento en la función de correlación de la fuerza aleatoria, que en un sistema de equilibrio es una expresión de la relación de Einstein .${\estilo de visualización \lambda}$

Una fuerza fluctuante estrictamente correlacionada no es una función en el sentido matemático habitual e incluso la derivada no está definida en este límite. Este problema desaparece cuando la ecuación de Langevin se escribe en forma integral. ${\estilo de visualización \delta}$${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\izquierda(t\derecha)}$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {v} /\mathrm {d} t}$$${\displaystyle m\mathbf {v} =\int ^{t}\left(-\lambda \mathbf {v} +{\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)\right)\mathrm {d} t.}$$

Por lo tanto, la forma diferencial es sólo una abreviatura de su integral temporal. El término matemático general para las ecuaciones de este tipo es " ecuación diferencial estocástica ".

Otra ambigüedad matemática ocurre en las ecuaciones de Langevin con ruido multiplicativo, que se refiere a términos de ruido que se multiplican por una función no constante de las variables dependientes, por ejemplo, . Si un ruido multiplicativo es intrínseco al sistema, su definición es ambigua, ya que es igualmente válido interpretarlo según el esquema de Stratonovich o de Ito (véase cálculo de Itô ). Sin embargo, los observables físicos son independientes de la interpretación, siempre que esta última se aplique de forma consistente al manipular la ecuación. Esto es necesario porque las reglas simbólicas del cálculo difieren según el esquema de interpretación. Si el ruido es externo al sistema, la interpretación adecuada es la de Stratonovich. ^{[3] [4]}${\displaystyle \left|{\boldsymbol {v}}(t)\right|{\boldsymbol {\eta }}(t)}$

Existe una derivación formal de una ecuación genérica de Langevin a partir de la mecánica clásica. ^{[5] [6]} Esta ecuación genérica desempeña un papel central en la teoría de la dinámica crítica , ^[7] y otras áreas de la mecánica estadística del no equilibrio. La ecuación para el movimiento browniano anterior es un caso especial.

Un paso esencial en la derivación es la división de los grados de libertad en las categorías slow y fast . Por ejemplo, el equilibrio termodinámico local en un líquido se alcanza en unos pocos tiempos de colisión, pero lleva mucho más tiempo que las densidades de cantidades conservadas como la masa y la energía se relajen hasta el equilibrio. Por lo tanto, las densidades de cantidades conservadas, y en particular sus componentes de longitud de onda larga, son candidatos a variables lentas. Esta división se puede expresar formalmente con el operador de proyección de Zwanzig . ^[8] Sin embargo, la derivación no es completamente rigurosa desde una perspectiva de física matemática porque se basa en suposiciones que carecen de prueba rigurosa y, en cambio, solo se justifican como aproximaciones plausibles de sistemas físicos.

Denotemos las variables lentas. La ecuación genérica de Langevin se lee entonces${\displaystyle A=\{A_{i}\}}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A_{i}}{\mathrm {d} t}}=k_{\text{B}}T\sum \limits _{j}{\left[{A_{i},A_{j}}\right]{\frac {{\mathrm {d} }{\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}}-\sum \limits _{j}{\lambda _{i,j}\left(A\right){\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}+}\sum \limits _{j}{\frac {\mathrm {d} {\lambda _{i,j}\left(A\right)}}{\mathrm {d} A_{j}}}+\eta _{i}\left(t\right).}$$

La fuerza fluctuante obedece a una distribución de probabilidad gaussiana con función de correlación${\displaystyle \eta _{i}\left(t\right)}$$${\displaystyle \left\langle {\eta _{i}\left(t\right)\eta _{j}\left(t'\right)}\right\rangle =2\lambda _{i,j}\left(A\right)\delta \left(t-t'\right).}$$

Esto implica la relación de reciprocidad de Onsager para los coeficientes de amortiguamiento . La dependencia de es despreciable en la mayoría de los casos. El símbolo denota el hamiltoniano del sistema, donde es la distribución de probabilidad de equilibrio de las variables . Finalmente, es la proyección del corchete de Poisson de las variables lentas y sobre el espacio de las variables lentas.${\displaystyle \lambda _{i,j}=\lambda _{j,i}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathrm {d} \lambda _{i,j}/\mathrm {d} A_{j}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {H}}=-\ln \left(p_{0}\right)}$${\displaystyle p_{0}\left(A\right)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A_{j}}$

En el caso del movimiento browniano se tendría , o bien y . La ecuación de movimiento para es exacta: no hay fuerza fluctuante ni coeficiente de amortiguamiento .${\displaystyle {\mathcal {H}}=\mathbf {p} ^{2}/\left(2mk_{\text{B}}T\right)}$${\displaystyle A=\{\mathbf {p} \}}$${\displaystyle A=\{\mathbf {x} ,\mathbf {p} \}}$${\displaystyle [x_{i},p_{j}]=\delta _{i,j}}$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} /\mathrm {d} t=\mathbf {p} /m}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \eta _{x}}$${\displaystyle \lambda _{x,p}}$

Existe una estrecha analogía entre la partícula browniana paradigmática analizada anteriormente y el ruido de Johnson , el voltaje eléctrico generado por fluctuaciones térmicas en una resistencia. ^[9] El diagrama de la derecha muestra un circuito eléctrico que consta de una resistencia R y una capacitancia C. La variable lenta es el voltaje U entre los extremos de la resistencia. El hamiltoniano se lee y la ecuación de Langevin se convierte en${\displaystyle {\mathcal {H}}=E/k_{\text{B}}T=CU^{2}/(2k_{\text{B}}T)}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {U}{RC}}+\eta \left(t\right),\;\;\left\langle \eta \left(t\right)\eta \left(t'\right)\right\rangle ={\frac {2k_{\text{B}}T}{RC^{2}}}\delta \left(t-t'\right).}$$

Esta ecuación se puede utilizar para determinar la función de correlación que se convierte en ruido blanco (ruido de Johnson) cuando la capacitancia C se vuelve insignificantemente pequeña.$${\displaystyle \left\langle U\left(t\right)U\left(t'\right)\right\rangle ={\frac {k_{\text{B}}T}{C}}\exp \left(-{\frac {\left|t-t'\right|}{RC}}\right)\approx 2Rk_{\text{B}}T\delta \left(t-t'\right),}$$

La dinámica del parámetro de orden de una transición de fase de segundo orden se ralentiza cerca del punto crítico y se puede describir con una ecuación de Langevin. ^[7] El caso más simple es la clase de universalidad "modelo A" con un parámetro de orden escalar no conservado, realizado por ejemplo en ferroimanes axiales. Otras clases de universalidad (la nomenclatura es "modelo A",..., "modelo J") contienen un parámetro de orden difuso, parámetros de orden con varios componentes, otras variables críticas y/o contribuciones de los corchetes de Poisson. ^[7]${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\varphi {\left(\mathbf {x} ,t\right)}&=-\lambda {\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }}+\eta {\left(\mathbf {x} ,t\right)},\\[2ex]{\mathcal {H}}&=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}r_{0}\varphi ^{2}+u\varphi ^{4}+{\frac {1}{2}}\left(\nabla \varphi \right)^{2}\right],\\[2ex]\left\langle \eta {\left(\mathbf {x} ,t\right)}\,\eta {\left(\mathbf {x} ',t'\right)}\right\rangle &=2\lambda \,\delta {\left(\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right)}\;\delta {\left(t-t'\right)}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle m{\frac {dv}{dt}}=-\lambda v+\eta (t)-kx}$$

Una partícula en un fluido se describe mediante una ecuación de Langevin con una función de energía potencial, una fuerza de amortiguamiento y fluctuaciones térmicas dadas por el teorema de disipación de fluctuación . Si el potencial es cuadrático, las curvas de energía constante son elipses, como se muestra en la figura. Si hay disipación pero no ruido térmico, una partícula pierde continuamente energía al entorno, y su retrato de fase dependiente del tiempo (velocidad vs posición) corresponde a una espiral hacia adentro hacia la velocidad 0. Por el contrario, las fluctuaciones térmicas agregan continuamente energía a la partícula y evitan que alcance exactamente la velocidad 0. En cambio, el conjunto inicial de osciladores estocásticos se acerca a un estado estable en el que la velocidad y la posición se distribuyen de acuerdo con la distribución de Maxwell-Boltzmann . En el gráfico a continuación (figura 2), la distribución de velocidad de largo tiempo (azul) y las distribuciones de posición (naranja) en un potencial armónico ( ) se trazan con las probabilidades de Boltzmann para la velocidad (verde) y la posición (rojo). En particular, el comportamiento en el tiempo tardío representa el equilibrio térmico. ${\textstyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}}$

Considere una partícula libre de masa con ecuación de movimiento descrita por donde es la velocidad de la partícula, es la movilidad de la partícula y es una fuerza que fluctúa rápidamente cuyo promedio temporal se desvanece en una escala de tiempo característica de colisiones de partículas, es decir . La solución general de la ecuación de movimiento es donde es el tiempo de correlación del término de ruido. También se puede demostrar que la función de autocorrelación de la velocidad de la partícula está dada por ^[10] donde hemos utilizado la propiedad de que las variables y se vuelven no correlacionadas para separaciones de tiempo . Además, el valor de se establece para que sea igual a tal que obedezca el teorema de equipartición . Si el sistema está inicialmente en equilibrio térmico ya con , entonces para todo , lo que significa que el sistema permanece en equilibrio en todo momento.${\displaystyle m}$$${\displaystyle m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=-{\frac {\mathbf {v} }{\mu }}+{\boldsymbol {\eta }}(t),}$$${\displaystyle \mathbf {v} =d\mathbf {r} /dt}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}(t)=m\mathbf {a} (t)}$${\displaystyle t_{c}}$${\displaystyle {\overline {{\boldsymbol {\eta }}(t)}}=0}$$${\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {v} (0)e^{-t/\tau }+\int _{0}^{t}\mathbf {a} (t')e^{-(t-t')/\tau }dt',}$$${\displaystyle \tau =m\mu }$${\displaystyle \mathbf {v} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{vv}(t_{1},t_{2})&\equiv \langle \mathbf {v} (t_{1})\cdot \mathbf {v} (t_{2})\rangle \\&=v^{2}(0)e^{-(t_{1}+t_{2})/\tau }+\int _{0}^{t_{1}}\int _{0}^{t_{2}}R_{aa}(t_{1}',t_{2}')e^{-(t_{1}+t_{2}-t_{1}'-t_{2}')/\tau }dt_{1}'dt_{2}'\\&\simeq v^{2}(0)e^{-|t_{2}-t_{1}|/\tau }+\left[{\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}-v^{2}(0)\right]{\Big [}e^{-|t_{2}-t_{1}|/\tau }-e^{-(t_{1}+t_{2})/\tau }{\Big ]},\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {a} (t_{1}')}$${\displaystyle \mathbf {a} (t_{2}')}$${\displaystyle t_{2}'-t_{1}'\gg t_{c}}$${\textstyle \lim _{t\to \infty }\langle v^{2}(t)\rangle =\lim _{t\to \infty }R_{vv}(t,t)}$${\displaystyle 3k_{\text{B}}T/m}$${\displaystyle v^{2}(0)=3k_{\text{B}}T/m}$${\displaystyle \langle v^{2}(t)\rangle =3k_{\text{B}}T/m}$${\displaystyle t}$

La velocidad de la partícula browniana se puede integrar para obtener su trayectoria . Si inicialmente se encuentra en el origen con probabilidad 1, entonces el resultado es${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {v} (0)\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right)+\tau \int _{0}^{t}\mathbf {a} (t')\left[1-e^{-(t-t')/\tau }\right]dt'.}$$

Por lo tanto, el desplazamiento promedio tiene una asíntosis a medida que el sistema se relaja. El desplazamiento cuadrático medio se puede determinar de manera similar:${\textstyle \langle \mathbf {r} (t)\rangle =\mathbf {v} (0)\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right)}$${\displaystyle \mathbf {v} (0)\tau }$$${\displaystyle \langle r^{2}(t)\rangle =v^{2}(0)\tau ^{2}\left(1-e^{-t/\tau }\right)^{2}-{\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}\tau ^{2}\left(1-e^{-t/\tau }\right)\left(3-e^{-t/\tau }\right)+{\frac {6k_{\text{B}}T}{m}}\tau t.}$$

Esta expresión implica que , lo que indica que el movimiento de partículas brownianas en escalas de tiempo mucho más cortas que el tiempo de relajación del sistema es (aproximadamente) invariante en la inversión temporal . Por otra parte, , lo que indica un proceso irreversible y disipativo .${\displaystyle \langle r^{2}(t\ll \tau )\rangle \simeq v^{2}(0)t^{2}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \langle r^{2}(t\gg \tau )\rangle \simeq 6k_{\text{B}}T\tau t/m=6\mu k_{\text{B}}Tt=6Dt}$

Si el potencial externo es conservativo y el término de ruido deriva de un depósito en equilibrio térmico, entonces la solución a largo plazo de la ecuación de Langevin debe reducirse a la distribución de Boltzmann , que es la función de distribución de probabilidad para partículas en equilibrio térmico. En el caso especial de dinámica sobreamortiguada , la inercia de la partícula es despreciable en comparación con la fuerza de amortiguamiento, y la trayectoria se describe mediante la ecuación de Langevin sobreamortiguada donde es la constante de amortiguamiento. El término es ruido blanco, caracterizado por (formalmente, el proceso de Wiener ). Una forma de resolver esta ecuación es introducir una función de prueba y calcular su promedio. El promedio de debe ser independiente del tiempo para finito , lo que lleva a${\displaystyle x(t)}$$${\displaystyle \lambda {\frac {dx}{dt}}=-{\frac {\partial V(x)}{\partial x}}+\eta (t)\equiv -{\frac {\partial V(x)}{\partial x}}+{\sqrt {2\lambda k_{\text{B}}T}}{\frac {dB_{t}}{dt}},}$$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \eta (t)}$${\displaystyle \left\langle \eta (t)\eta (t')\right\rangle =2k_{\text{B}}T\lambda \delta (t-t')}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x(t))}$${\displaystyle x(t)}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle f(x(t))\right\rangle =0,}$$

El lema de Itô para el proceso de deriva-difusión de Itô dice que la diferencial de una función dos veces diferenciable f ( t , x ) está dada por ${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t}}$$${\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}.}$$

Aplicando esto al cálculo se obtiene ${\displaystyle \langle f(x(t))\rangle }$$${\displaystyle \left\langle -f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}+k_{\text{B}}Tf''(x)\right\rangle =0.}$$

Este promedio se puede escribir utilizando la función de densidad de probabilidad ; donde el segundo término se integró por partes (de ahí el signo negativo). Como esto es cierto para funciones arbitrarias , se deduce que recuperando así la distribución de Boltzmann${\displaystyle p(x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \left(-f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)+{k_{\text{B}}T}f''(x)p(x)\right)dx\\=&\int \left(-f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)-{k_{\text{B}}T}f'(x)p'(x)\right)dx\\=&\;0\end{aligned}}}$$${\displaystyle f}$$${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)+{k_{\text{B}}T}p'(x)=0,}$$$${\displaystyle p(x)\propto \exp \left({-{\frac {V(x)}{k_{\text{B}}T}}}\right).}$$

En algunas situaciones, lo que más interesa es el comportamiento promediado del ruido de la ecuación de Langevin, en lugar de la solución para realizaciones particulares del ruido. En esta sección se describen técnicas para obtener este comportamiento promediado que son distintas del cálculo estocástico inherente a la ecuación de Langevin, pero también equivalentes a él.

Una ecuación de Fokker-Planck es una ecuación determinista para la densidad de probabilidad dependiente del tiempo de las variables estocásticas . La ecuación de Fokker-Planck correspondiente a la ecuación genérica de Langevin descrita en este artículo es la siguiente: ^[11] La distribución de equilibrio es una solución estacionaria.${\displaystyle P\left(A,t\right)}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle {\frac {\partial P\left(A,t\right)}{\partial t}}=\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{i}}}\left(-k_{\text{B}}T\left[A_{i},A_{j}\right]{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{j}}}\right)P\left(A,t\right).}$$${\displaystyle P(A)=p_{0}(A)={\text{const}}\times \exp(-{\mathcal {H}})}$

La ecuación de Fokker-Planck para una partícula browniana subamortiguada se denomina ecuación de Klein-Kramers . ^{[12] [13]} Si las ecuaciones de Langevin se escriben como donde es el momento, entonces la ecuación de Fokker-Planck correspondiente es Aquí y son el operador de gradiente con respecto a r y p , y es el laplaciano con respecto a p .$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}&={\frac {\mathbf {p} }{m}}\\{\dot {\mathbf {p} }}&=-\xi \,\mathbf {p} -\nabla V(\mathbf {r} )+{\sqrt {2m\xi k_{\mathrm {B} }T}}{\boldsymbol {\eta }}(t),\qquad \langle {\boldsymbol {\eta }}^{\mathrm {T} }(t){\boldsymbol {\eta }}(t')\rangle =\mathbf {I} \delta (t-t')\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {p} }$$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\mathbf {p} \cdot \nabla _{\mathbf {r} }f=\xi \nabla _{\mathbf {p} }\cdot \left(\mathbf {p} \,f\right)+\nabla _{\mathbf {p} }\cdot \left(\nabla V(\mathbf {r} )\,f\right)+m\xi k_{\mathrm {B} }T\,\nabla _{\mathbf {p} }^{2}f}$$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }}$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {p} }}$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {p} }^{2}}$

En el espacio libre dimensional, correspondiente a on , esta ecuación se puede resolver utilizando transformadas de Fourier . Si la partícula se inicializa en con posición y momento , correspondientes a la condición inicial , entonces la solución es ^{[13] [14]} donde En tres dimensiones espaciales, el desplazamiento cuadrático medio es${\displaystyle d}$${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\text{constant}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \mathbf {p} '}$${\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,0)=\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} ')}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=&{\frac {1}{\left(2\pi \sigma _{X}\sigma _{P}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)^{d}}}\times \\&\quad \exp \left[-{\frac {1}{2(1-\beta ^{2})}}\left({\frac {|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X}|^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {|\mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P}|^{2}}{\sigma _{P}^{2}}}-{\frac {2\beta (\mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X})\cdot (\mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P})}{\sigma _{X}\sigma _{P}}}\right)\right]\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma _{X}^{2}={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m\xi ^{2}}}\left[1+2\xi t-\left(2-e^{-\xi t}\right)^{2}\right];\qquad \sigma _{P}^{2}=mk_{\mathrm {B} }T\left(1-e^{-2\xi t}\right)\\&\beta ={\frac {k_{\text{B}}T}{\xi \sigma _{X}\sigma _{P}}}\left(1-e^{-\xi t}\right)^{2}\\&{\boldsymbol {\mu }}_{X}=\mathbf {r} '+(m\xi )^{-1}\left(1-e^{-\xi t}\right)\mathbf {p} ';\qquad {\boldsymbol {\mu }}_{P}=\mathbf {p} 'e^{-\xi t}.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \langle \mathbf {r} (t)^{2}\rangle =\int f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\mathbf {r} ^{2}\,d\mathbf {r} d\mathbf {p} ={\boldsymbol {\mu }}_{X}^{2}+3\sigma _{X}^{2}}$$

Una integral de trayectoria equivalente a una ecuación de Langevin se puede obtener a partir de la ecuación de Fokker-Planck correspondiente o transformando la distribución de probabilidad gaussiana de la fuerza fluctuante en una distribución de probabilidad de las variables lentas, esquemáticamente . El determinante funcional y las sutilezas matemáticas asociadas desaparecen si la ecuación de Langevin se discretiza de la forma natural (causal), donde depende de pero no de . Resulta conveniente introducir variables de respuesta auxiliares . La integral de trayectoria equivalente a la ecuación genérica de Langevin se lee entonces ^[15] donde es un factor de normalización y La formulación de la integral de trayectoria permite el uso de herramientas de la teoría cuántica de campos , como los métodos de perturbación y de grupo de renormalización. Esta formulación se conoce normalmente como el formalismo de Martin-Siggia-Rose ^[16] o el formalismo de Janssen-De Dominicis ^{[15] [17]} en honor a sus desarrolladores. El formalismo matemático para esta representación se puede desarrollar en el espacio abstracto de Wiener .${\displaystyle P^{(\eta )}(\eta )\mathrm {d} \eta }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle P(A)\mathrm {d} A=P^{(\eta )}(\eta (A))\det(\mathrm {d} \eta /\mathrm {d} A)\mathrm {d} A}$${\displaystyle A(t+\Delta t)-A(t)}$${\displaystyle A(t)}$${\displaystyle A(t+\Delta t)}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}}$$${\displaystyle \int P(A,{\tilde {A}})\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} {\tilde {A}}=N\int \exp \left(L(A,{\tilde {A}})\right)\mathrm {d} A\,\mathrm {d} {\tilde {A}},}$$${\displaystyle N}$$${\displaystyle L(A,{\tilde {A}})=\int \sum _{i,j}\left\{{\tilde {A}}_{i}\lambda _{i,j}{\tilde {A}}_{j}-{\widetilde {A}}_{i}\left\{\delta _{i,j}{\frac {\mathrm {d} A_{j}}{\mathrm {d} t}}-k_{\text{B}}T\left[A_{i},A_{j}\right]{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} \lambda _{i,j}}{\mathrm {d} A_{j}}}\right\}\right\}\mathrm {d} t.}$$

• Teoría de Grote-Hynes
• Dinámica de Langevin
• Termodinámica estocástica

• WT Coffey ( Trinity College, Dublín , Irlanda) y Yu P. Kalmykov ( Université de Perpignan , Francia ), La ecuación de Langevin: con aplicaciones a problemas estocásticos en física, química e ingeniería eléctrica (tercera edición), Serie científica mundial en física química contemporánea – Vol 27.
• Reif, F. Fundamentos de física estadística y térmica , McGraw Hill, Nueva York, 1965. Véase la sección 15.5 Ecuación de Langevin
• R. Friedrich, J. Peinke y Ch. Renner. Cómo cuantificar las influencias deterministas y aleatorias en las estadísticas del mercado de divisas , Phys. Rev. Lett. 84, 5224–5227 (2000)
• LCG Rogers y D. Williams. Difusión, procesos de Markov y martingalas , Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Cambridge, reimpresión de la 2.ª edición (1994), 2000.