Polarización de fotones

La polarización de fotones es la descripción mecánica cuántica de la onda electromagnética plana sinusoidal polarizada clásica . Un fotón individual puede describirse como poseedor de polarización circular derecha o izquierda , o una superposición de las dos. De manera equivalente, un fotón puede describirse como poseedor de polarización lineal horizontal o vertical , o una superposición de las dos.

La descripción de la polarización de fotones contiene muchos de los conceptos físicos y gran parte de la maquinaria matemática de descripciones cuánticas más complejas, como la mecánica cuántica de un electrón en un pozo de potencial. La polarización es un ejemplo de un grado de libertad de qubit , que forma una base fundamental para la comprensión de fenómenos cuánticos más complicados. Gran parte de la maquinaria matemática de la mecánica cuántica, como los vectores de estado , las amplitudes de probabilidad , los operadores unitarios y los operadores hermíticos , surgen naturalmente de las ecuaciones clásicas de Maxwell en la descripción. El vector de estado de polarización cuántica para el fotón, por ejemplo, es idéntico al vector de Jones , que se usa generalmente para describir la polarización de una onda clásica . Los operadores unitarios surgen del requisito clásico de la conservación de la energía de una onda clásica que se propaga a través de medios sin pérdidas que alteran el estado de polarización de la onda. Los operadores hermíticos luego siguen para transformaciones infinitesimales de un estado de polarización clásica.

Muchas de las implicaciones de la maquinaria matemática se pueden verificar fácilmente de forma experimental. De hecho, muchos de los experimentos se pueden realizar con lentes de gafas de sol Polaroid .

La conexión con la mecánica cuántica se realiza a través de la identificación de un tamaño mínimo de paquete, llamado fotón , para la energía en el campo electromagnético. La identificación se basa en las teorías de Planck y la interpretación de esas teorías por parte de Einstein . El principio de correspondencia permite entonces la identificación del momento y el momento angular (llamado espín ), así como la energía, con el fotón.

Esta sección duplica el alcance de otros artículos , específicamente Soluciones de ondas planas sinusoidales de la ecuación de onda electromagnética . Analice este tema y ayude a introducir un estilo de resumen en la sección reemplazando la sección con un enlace y un resumen o dividiendo el contenido en un nuevo artículo. ( Julio de 2014 )

La onda está polarizada linealmente (o polarizada en el plano) cuando los ángulos de fase son iguales ,${\displaystyle \alpha _ {x}\,,\;\alpha _ {y}}$$${\displaystyle \alpha _{x}=\alpha _{y}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha .}$$

Esto representa una onda con fase polarizada en un ángulo respecto del eje x. En este caso el vector de Jones se puede escribir con una sola fase:${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \theta}$$${\displaystyle |\psi\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \exp \left(i\alpha _{x}\right)\\\sin \theta \exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle |\psi\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\exp \left(i\alpha \right).}$$

Los vectores de estado para polarización lineal en x o y son casos especiales de este vector de estado.

Si los vectores unitarios se definen de manera que y entonces el estado de polarización polarizado linealmente se puede escribir en la "base x–y" como$${\displaystyle |x\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle |y\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle |\psi\rangle =\cos\theta\exp\left(i\alpha \right)|x\rangle +\sin\theta\exp \left(i\alpha \right)|y\rangle =\psi _{x}|x\rangle +\psi _{y}|y\rangle .}$$

Si los ángulos de fase y difieren exactamente en y la amplitud x es igual a la amplitud y, la onda está polarizada circularmente . El vector de Jones se convierte entonces en donde el signo más indica polarización circular izquierda y el signo menos indica polarización circular derecha. En el caso de polarización circular, el vector de campo eléctrico de magnitud constante gira en el plano x–y.$estilo de visualización {\alpha _{x}}$${\displaystyle \alpha _{y}}$${\displaystyle \pi /2}$$${\displaystyle |\psi\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\\pm i\end{pmatrix}}\exp \left(i\alpha _{x}\right)}$$

Si los vectores unitarios se definen de manera que y entonces un estado de polarización arbitrario se puede escribir en la "base R–L" como donde y$${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\ fin {pmatriz}}}$$$${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle |\psi \rangle =\psi _{\rm {R}}|\mathrm {R} \rangle +\psi _{\rm {L}}|\mathrm {L} \rangle }$$$${\displaystyle \psi _{\rm {R}}=\langle \mathrm {R} |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\cos \theta \exp(i\alpha _{x})-i\sin \theta \exp(i\alpha _{y})\right)}$$$${\displaystyle \psi _{\rm {L}}=\langle \mathrm {L} |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\cos \theta \exp(i\alpha _{x})+i\sin \theta \exp(i\alpha _{y})\right).}$$

Podemos ver que$${\displaystyle 1=|\psi _{\rm {R}}|^{2}+|\psi _{\rm {L}}|^{2}.}$$

El caso general en el que el campo eléctrico gira en el plano x–y y tiene magnitud variable se denomina polarización elíptica . El vector de estado viene dado por$${\displaystyle |\psi \rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta \exp \left(i\alpha _{x}\right)\\\sin \theta \exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}.}$$

Para entender cómo se ve un estado de polarización, se puede observar la órbita que se forma si el estado de polarización se multiplica por un factor de fase de y luego se interpretan las partes reales de sus componentes como coordenadas x e y respectivamente. Es decir:${\displaystyle e^{i\omega t}}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Re (e^{i\omega t}\psi _{x})\\\Re (e^{i\omega t}\psi _{y})\end{pmatrix}}=\Re \left[e^{i\omega t}{\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\end{pmatrix}}\right]=\Re \left(e^{i\omega t}|\psi \rangle \right).}$$

Si solo se considera la forma trazada y la dirección de rotación de ( x ( t ), y ( t )) al interpretar el estado de polarización, es decir, solo (donde x ( t ) e y ( t ) se definen como anteriormente) y si en general está más polarizado circularmente hacia la derecha o hacia la izquierda (es decir, si | ψ _R | > | ψ _L | o viceversa), se puede ver que la interpretación física será la misma incluso si el estado se multiplica por un factor de fase arbitrario, ya que y la dirección de rotación seguirá siendo la misma. En otras palabras, no hay diferencia física entre dos estados de polarización y , entre los cuales solo difiere un factor de fase.$${\displaystyle M(|\psi \rangle )=\left.\left\{{\Big (}x(t),\,y(t){\Big )}\,\right|\,\forall \,t\right\}}$$$${\displaystyle M(e^{i\alpha }|\psi \rangle )=M(|\psi \rangle ),\ \alpha \in \mathbb {R} }$$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle e^{i\alpha }|\psi \rangle }$

Se puede observar que para un estado polarizado linealmente, M será una línea en el plano xy , con longitud 2 y su punto medio en el origen, y cuya pendiente es igual a tan( θ ) . Para un estado polarizado circularmente, M será un círculo con radio 1/ √ 2 y con el punto medio en el origen.

La energía por unidad de volumen en los campos electromagnéticos clásicos es (unidades cgs) y también unidades de Planck:$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{c}={\frac {1}{8\pi }}\left[\mathbf {E} ^{2}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {B} ^{2}(\mathbf {r} ,t)\right].}$$

Para una onda plana, esto se convierte en: donde la energía se ha promediado sobre una longitud de onda de la onda.$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{c}={\frac {\mid \mathbf {E} \mid ^{2}}{8\pi }}}$$

La fracción de energía en el componente x de la onda plana tiene una expresión similar para el componente y, lo que resulta en .$${\displaystyle f_{x}={\frac {|\mathbf {E} |^{2}\cos ^{2}\theta }{\vert \mathbf {E} \vert ^{2}}}=\psi _{x}^{*}\psi _{x}=\cos ^{2}\theta }$$${\displaystyle f_{y}=\sin ^{2}\theta }$

La fracción en ambos componentes es$${\displaystyle \psi _{x}^{*}\psi _{x}+\psi _{y}^{*}\psi _{y}=\langle \psi |\psi \rangle =1.}$$

La densidad de momento viene dada por el vector de Poynting$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {P}}}={1 \over 4\pi c}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t).}$$

Para una onda plana sinusoidal que viaja en la dirección z, el momento está en la dirección z y está relacionado con la densidad de energía:$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{z}c={\mathcal {E}}_{c}.}$$

La densidad de momento se ha promediado a lo largo de una longitud de onda.

Las ondas electromagnéticas pueden tener momento angular tanto orbital como de espín . ^[1] La densidad total del momento angular es$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {L}}}=\mathbf {r} \times {\boldsymbol {\mathcal {P}}}={1 \over 4\pi c}\mathbf {r} \times \left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right].}$$

Para una onda plana sinusoidal que se propaga a lo largo del eje, la densidad del momento angular orbital se anula. La densidad del momento angular de espín está en la dirección y está dada por donde nuevamente la densidad se promedia sobre una longitud de onda.${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}={{\vert \mathbf {E} \vert ^{2}} \over {8\pi \omega }}\left(\left\vert \langle \mathrm {R} |\psi \rangle \right\vert ^{2}-\left\vert \langle \mathrm {L} |\psi \rangle \right\vert ^{2}\right)={\frac {1}{\omega }}{\mathcal {E}}_{c}\left(\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}\right)}$$

Un filtro lineal transmite un componente de una onda plana y absorbe el componente perpendicular. En ese caso, si el filtro está polarizado en la dirección x, la fracción de energía que pasa a través del filtro es$${\displaystyle f_{x}=\psi _{x}^{*}\psi _{x}=\cos ^{2}\theta .\,}$$

Un cristal birrefringente ideal transforma el estado de polarización de una onda electromagnética sin pérdida de energía de onda. Por lo tanto, los cristales birrefringentes proporcionan un banco de pruebas ideal para examinar la transformación conservativa de los estados de polarización. Si bien este tratamiento aún es puramente clásico, surgen naturalmente herramientas cuánticas estándar, como los operadores unitarios y hermíticos, que hacen evolucionar el estado en el tiempo.

Un cristal birrefringente es un material que tiene un eje óptico con la propiedad de que la luz tiene un índice de refracción diferente para la luz polarizada paralelamente al eje que para la luz polarizada perpendicularmente al eje. La luz polarizada paralelamente al eje se llama " rayos extraordinarios " o " fotones extraordinarios ", mientras que la luz polarizada perpendicularmente al eje se llama " rayos ordinarios " o " fotones ordinarios ". Si una onda polarizada linealmente incide sobre el cristal, el componente extraordinario de la onda emergerá del cristal con una fase diferente a la del componente ordinario. En lenguaje matemático, si la onda incidente está polarizada linealmente en un ángulo con respecto al eje óptico, se puede escribir el vector de estado incidente y el vector de estado para la onda emergente se puede escribir${\displaystyle theta}$$${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle |\psi '\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \theta \exp \left(i\alpha _{x}\right)\\\sin \theta \exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\exp \left(i\alpha _{x}\right)&0\\0&\exp \left(i\alpha _{y}\right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\hat {U}}|\psi \rangle .}$$

Mientras que el estado inicial estaba polarizado linealmente, el estado final está polarizado elípticamente. El cristal birrefringente altera el carácter de la polarización.

El estado de polarización inicial se transforma en el estado final con el operador U. El dual del estado final viene dado por donde es el adjunto de U, la transpuesta conjugada compleja de la matriz.$${\displaystyle \langle \psi '|=\langle \psi |{\hat {U}}^{\dagger }}$$${\displaystyle U^{\dagger }}$

La fracción de energía que emerge del cristal es$${\displaystyle \langle \psi '|\psi '\rangle =\langle \psi |{\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}|\psi \rangle =\langle \psi |\psi \rangle =1.}$$

En este caso ideal, toda la energía que incide sobre el cristal emerge del cristal. Un operador U con la propiedad de que donde I es el operador identidad y U se denomina operador unitario . La propiedad unitaria es necesaria para garantizar la conservación de la energía en las transformaciones de estado.$${\displaystyle {\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}=I,}$$

Si el cristal es muy delgado, el estado final será apenas ligeramente diferente del estado inicial. El operador unitario será cercano al operador identidad. Podemos definir el operador H por y el adjunto por$${\displaystyle {\hat {U}}\approx I+i{\hat {H}}}$$$${\displaystyle {\hat {U}}^{\dagger }\approx I-i{\hat {H}}^{\dagger }.}$$

La conservación de energía requiere entonces

$${\displaystyle I={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}\approx \left(I-i{\hat {H}}^{\dagger }\right)\left(I+i{\hat {H}}\right)\approx I-i{\hat {H}}^{\dagger }+i{\hat {H}}.}$$

Esto requiere que$${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}^{\dagger }.}$$

Los operadores como éste que son iguales a sus adjuntos se denominan hermíticos o autoadjuntos.

La transición infinitesimal del estado de polarización es$${\displaystyle |\psi '\rangle -|\psi \rangle =i{\hat {H}}|\psi \rangle .}$$

Por lo tanto, la conservación de energía requiere que se produzcan transformaciones infinitesimales de un estado de polarización mediante la acción de un operador hermítico.

Hasta ahora, el tratamiento ha sido clásico . Sin embargo, es un testimonio de la generalidad de las ecuaciones de Maxwell para la electrodinámica que el tratamiento pueda convertirse en mecanocuántico con solo una reinterpretación de las cantidades clásicas. La reinterpretación se basa en las teorías de Max Planck y en la interpretación que hizo Albert Einstein de esas teorías y de otros experimentos. ^{[ cita requerida ]}

La conclusión de Einstein a partir de los primeros experimentos sobre el efecto fotoeléctrico es que la radiación electromagnética está compuesta de paquetes irreducibles de energía, conocidos como fotones . La energía de cada paquete está relacionada con la frecuencia angular de la onda mediante la relación donde es una cantidad determinada experimentalmente conocida como la constante de Planck reducida . Si hay fotones en una caja de volumen , la energía en el campo electromagnético es y la densidad de energía es$${\displaystyle \epsilon =\hbar \omega }$$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle N}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle N\hbar \omega }$$$${\displaystyle {N\hbar \omega \over V}}$$

La energía de los fotones se puede relacionar con los campos clásicos a través del principio de correspondencia que establece que para una gran cantidad de fotones, los tratamientos cuántico y clásico deben coincidir. Por lo tanto, para valores muy grandes , la densidad de energía cuántica debe ser la misma que la densidad de energía clásica.${\displaystyle N}$$${\displaystyle {N\hbar \omega \over V}={\mathcal {E}}_{c}={\frac {\vert \mathbf {E} \vert ^{2}}{8\pi }}.}$$

El número de fotones en la caja es entonces$${\displaystyle N={\frac {V}{8\pi \hbar \omega }}\vert \mathbf {E} \vert ^{2}.}$$

El principio de correspondencia también determina el momento y el momento angular del fotón. Para el momento, donde es el número de onda. Esto implica que el momento de un fotón es$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{z}={N\hbar \omega \over cV}={N\hbar k_{z} \over V}}$$${\displaystyle k_{z}}$$${\displaystyle p_{z}=\hbar k_{z}.\,}$$

De manera similar, para el momento angular de espín, donde es la intensidad del campo. Esto implica que el momento angular de espín del fotón es la interpretación cuántica de esta expresión es que el fotón tiene una probabilidad de de tener un momento angular de espín de y una probabilidad de de tener un momento angular de espín de . Por lo tanto, podemos pensar en el momento angular de espín del fotón como en la energía que se cuantifica. Se ha verificado el momento angular de la luz clásica. ^[2] Un fotón que está polarizado linealmente (polarizado en el plano) está en una superposición de cantidades iguales de estados levógiro y dextrógiro.$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{\omega }}{\mathcal {E}}_{c}\left(\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}\right)={\frac {N\hbar }{V}}\left(\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}\right)}$$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{c}}$$${\displaystyle l_{z}=\hbar \left(\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}\right).}$$${\displaystyle \mid \psi _{\rm {R}}\mid ^{2}}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle \mid \psi _{\rm {L}}\mid ^{2}}$${\displaystyle -\hbar }$

El espín del fotón se define como el coeficiente de en el cálculo del momento angular de espín. Un fotón tiene espín 1 si está en el estado y −1 si está en el estado. El operador de espín se define como el producto externo${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle |R\rangle }$${\displaystyle |L\rangle }$$${\displaystyle {\hat {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ |\mathrm {R} \rangle \langle \mathrm {R} |-|\mathrm {L} \rangle \langle \mathrm {L} |={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}.}$$

Los vectores propios del operador de espín son y con valores propios 1 y −1, respectivamente.${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$

El valor esperado de una medición de espín en un fotón es entonces$${\displaystyle \langle \psi |{\hat {S}}|\psi \rangle =\vert \psi _{\rm {R}}\vert ^{2}-\vert \psi _{\rm {L}}\vert ^{2}.}$$

Se ha asociado un operador S con una cantidad observable, el momento angular de espín. Los valores propios del operador son los valores observables permitidos. Esto se ha demostrado para el momento angular de espín, pero en general es cierto para cualquier cantidad observable.

Podemos escribir los estados polarizados circularmente como donde s = 1 para y s = −1 para . Se puede escribir un estado arbitrario donde y son ángulos de fase, θ es el ángulo en el que se rota el marco de referencia y$${\displaystyle |s\rangle }$$${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$$${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{s=-1,1}a_{s}\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle }$$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{-1}}$$${\displaystyle \sum _{s=-1,1}\vert a_{s}\vert ^{2}=1.}$$

Cuando el estado se escribe en notación de espín, el operador de espín se puede escribir$${\displaystyle {\hat {S}}_{d}\rightarrow i{\partial \over \partial \theta }}$$$${\displaystyle {\hat {S}}_{d}^{\dagger }\rightarrow -i{\partial \over \partial \theta }.}$$

Los vectores propios del operador de espín diferencial son$${\displaystyle \exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle .}$$

Para ver esta nota$${\displaystyle {\hat {S}}_{d}\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle \rightarrow i{\partial \over \partial \theta }\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle =s\left[\exp \left(i\alpha _{x}-is\theta \right)|s\rangle \right].}$$

El operador de momento angular de espín es$${\displaystyle {\hat {l}}_{z}=\hbar {\hat {S}}_{d}.}$$

Hay dos maneras de aplicar la probabilidad al comportamiento de los fotones: se puede utilizar para calcular la cantidad probable de fotones en un estado particular, o se puede utilizar para calcular la probabilidad de que un solo fotón se encuentre en un estado particular. La primera interpretación viola la conservación de la energía. La segunda interpretación es la opción viable, aunque no intuitiva. Dirac lo explica en el contexto del experimento de la doble rendija :

Algún tiempo antes del descubrimiento de la mecánica cuántica, la gente se dio cuenta de que la conexión entre las ondas de luz y los fotones debe ser de carácter estadístico. Sin embargo, lo que no se dieron cuenta claramente es que la función de onda proporciona información sobre la probabilidad de que un fotón se encuentre en un lugar determinado y no sobre el número probable de fotones en ese lugar. La importancia de la distinción puede aclararse de la siguiente manera. Supongamos que tenemos un haz de luz que consta de un gran número de fotones divididos en dos componentes de igual intensidad. Suponiendo que el haz está conectado con el número probable de fotones que contiene, deberíamos tener la mitad del número total entrando en cada componente. Si ahora se hace que los dos componentes interfieran, se necesitaría que un fotón en un componente pudiera interferir con uno en el otro. A veces, estos dos fotones tendrían que aniquilarse entre sí y otras veces tendrían que producir cuatro fotones. Esto contradiría la conservación de la energía. La nueva teoría, que relaciona la función de onda con las probabilidades de un fotón, supera la dificultad haciendo que cada fotón entre parcialmente en cada uno de los dos componentes. De este modo, cada fotón interfiere sólo consigo mismo. Nunca se produce interferencia entre dos fotones diferentes.
— Paul Dirac , Principios de la mecánica cuántica, 1930, capítulo 1

La probabilidad de que un fotón se encuentre en un estado de polarización particular depende de los campos calculados por las ecuaciones clásicas de Maxwell. El estado de polarización del fotón es proporcional al campo. La probabilidad en sí es cuadrática en los campos y, en consecuencia, también es cuadrática en el estado cuántico de polarización. En mecánica cuántica, por lo tanto, el estado o amplitud de probabilidad contiene la información de probabilidad básica. En general, las reglas para combinar amplitudes de probabilidad se parecen mucho a las reglas clásicas para la composición de probabilidades: [La siguiente cita es de Baym, Capítulo 1] ^{[ aclaración necesaria ]}

1. La amplitud de probabilidad para dos probabilidades sucesivas es el producto de las amplitudes de las posibilidades individuales. Por ejemplo, la amplitud para que el fotón polarizado en x tenga polarización circular derecha y para que el fotón polarizado en círculo derecha pase a través de la polaroide y es el producto de las amplitudes individuales.${\displaystyle \langle R|x\rangle \langle y|R\rangle ,}$
2. La amplitud de un proceso que puede tener lugar de varias maneras indistinguibles es la suma de las amplitudes de cada una de las maneras individuales. Por ejemplo, la amplitud total para que el fotón polarizado x pase a través de la polaroide y es la suma de las amplitudes para que pase como un fotón polarizado circularmente hacia la derecha, más la amplitud para que pase como un fotón polarizado circularmente hacia la izquierda.${\displaystyle \langle y|R\rangle \langle R|x\rangle ,}$${\displaystyle \langle y|L\rangle \langle L|x\rangle \dots }$
3. La probabilidad total de que ocurra el proceso es el valor absoluto al cuadrado de la amplitud total calculada por 1 y 2.

Para cualquier operador legal ^{[ aclaración necesaria ] la siguiente desigualdad, una consecuencia de la} desigualdad de Cauchy-Schwarz , es verdadera.$${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left|\langle ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}})x|x\rangle \right|^{2}\leq \left\|{\hat {A}}x\right\|^{2}\left\|{\hat {B}}x\right\|^{2}.}$$

Si se definen BA ψ y AB ψ, entonces al restar las medias y reinsertar en la fórmula anterior, deducimos donde es la media del operador del observable X en el estado del sistema ψ y$${\displaystyle \Delta _{\psi }{\hat {A}}\,\Delta _{\psi }{\hat {B}}\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\right\rangle _{\psi }\right|}$$$${\displaystyle \left\langle {\hat {X}}\right\rangle _{\psi }=\left\langle \psi \right|{\hat {X}}\left|\psi \right\rangle }$$$${\displaystyle \Delta _{\psi }{\hat {X}}={\sqrt {\langle {\hat {X}}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {\hat {X}}\rangle _{\psi }^{2}}}.}$$

Aquí se llama conmutador de A y B.$${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$$

Este es un resultado puramente matemático. No se ha hecho referencia a ninguna cantidad física ni principio. Simplemente establece que la incertidumbre de un operador multiplicada por la incertidumbre de otro operador tiene un límite inferior.

La conexión con la física se puede hacer si identificamos los operadores con operadores físicos como el momento angular y el ángulo de polarización. Tenemos entonces lo que significa que el momento angular y el ángulo de polarización no se pueden medir simultáneamente con una precisión infinita. (El ángulo de polarización se puede medir comprobando si el fotón puede pasar a través de un filtro polarizador orientado en un ángulo particular, o un divisor de haz polarizador . Esto da como resultado una respuesta de sí/no que, si el fotón estuviera polarizado en un plano en algún otro ángulo, depende de la diferencia entre los dos ángulos).$${\displaystyle \Delta _{\psi }{\hat {L}}_{z}\,\Delta _{\psi }{\theta }\geq {\frac {\hbar }{2}},}$$

Gran parte del aparato matemático de la mecánica cuántica aparece en la descripción clásica de una onda electromagnética sinusoidal polarizada. El vector de Jones para una onda clásica, por ejemplo, es idéntico al vector de estado de polarización cuántica para un fotón. Los componentes circulares derecho e izquierdo del vector de Jones pueden interpretarse como amplitudes de probabilidad de los estados de espín del fotón. La conservación de la energía requiere que los estados se transformen con una operación unitaria. Esto implica que las transformaciones infinitesimales se transforman con un operador hermítico. Estas conclusiones son una consecuencia natural de la estructura de las ecuaciones de Maxwell para las ondas clásicas.

La mecánica cuántica entra en escena cuando se miden las cantidades observadas y se descubre que son discretas en lugar de continuas. Los valores observables permitidos están determinados por los valores propios de los operadores asociados con el observable. En el caso del momento angular, por ejemplo, los valores observables permitidos son los valores propios del operador de espín.

Estos conceptos han surgido de manera natural a partir de las ecuaciones de Maxwell y las teorías de Planck y Einstein. Se ha comprobado que son ciertos para muchos otros sistemas físicos. De hecho, el programa típico consiste en asumir los conceptos de esta sección y luego inferir la dinámica desconocida de un sistema físico. Esto se hizo, por ejemplo, con la dinámica de los electrones. En ese caso, trabajando hacia atrás a partir de los principios de esta sección, se infirió la dinámica cuántica de las partículas, lo que condujo a la ecuación de Schrödinger , una desviación de la mecánica newtoniana . La solución de esta ecuación para los átomos condujo a la explicación de la serie de Balmer para los espectros atómicos y, en consecuencia, formó una base para toda la física y la química atómicas.

Esta no es la única ocasión ^{[ dudosa – discutir ]} en la que las ecuaciones de Maxwell han obligado a una reestructuración de la mecánica newtoniana. Las ecuaciones de Maxwell son relativísticamente consistentes. La relatividad especial fue el resultado de los intentos de hacer que la mecánica clásica fuera consistente con las ecuaciones de Maxwell (véase, por ejemplo, Problema del imán y el conductor en movimiento ).

• Momento angular de la luz
  • Momento angular de giro de la luz
  • Momento angular orbital de la luz
• Decoherencia cuántica
• Experimento de Stern-Gerlach
• Dualidad onda-partícula
• Experimento de doble rendija
• Polarización de espín

• Jackson, John D. (1998). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• Baym, Gordon (1969). Lecciones sobre mecánica cuántica . WA Benjamin. ISBN 0-8053-0667-6.
• Dirac, PAM (1958). Principios de la mecánica cuántica (cuarta edición). Oxford. ISBN 0-19-851208-2.