Mecánica estadística cuántica

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Física moderna
${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{n}(t)\rangle =i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{n}(t)\rangle }$ ${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\kappa }T_{\mu \nu }}$ Ecuaciones de campo de Schrödinger y Einstein
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${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ Schrödinger equation
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v t e

La mecánica estadística cuántica es la mecánica estadística aplicada a los sistemas mecánicos cuánticos . En mecánica cuántica, un conjunto estadístico ( distribución de probabilidad sobre posibles estados cuánticos ) se describe mediante un operador de densidad S , que es un operador de traza-clase no negativo y autoadjunto de traza 1 en el espacio de Hilbert H que describe el sistema cuántico. Esto se puede demostrar con varios formalismos matemáticos para la mecánica cuántica .

De la teoría de probabilidad clásica, sabemos que la esperanza de una variable aleatoria X está definida por su distribución D _X por

${\displaystyle \mathbb {E} (X)=\int _{\mathbb {R} }d\lambda \operatorname {D} _{X}(\lambda )}$

suponiendo, por supuesto, que la variable aleatoria es integrable o que la variable aleatoria no es negativa. De manera similar, sea A un observable de un sistema mecánico cuántico. A está dado por un operador autoadjunto densamente definido en H . La medida espectral de A definida por

${\displaystyle \operatorname {E} _{A}(U)=\int _{U}d\lambda \operatorname {E} (\lambda ),}$

determina de forma única A y, a la inversa, está determinada de forma única por A . E _A es un homomorfismo booleano de los subconjuntos de Borel de R en la red Q de proyecciones autoadjuntas de H . En analogía con la teoría de la probabilidad, dado un estado S , introducimos la distribución de A bajo S que es la medida de probabilidad definida en los subconjuntos de Borel de R por

${\displaystyle \operatorname {D} _{A}(U)=\operatorname {Tr} (\operatorname {E} _{A}(U)S).}$

De manera similar, el valor esperado de A se define en términos de la distribución de probabilidad D _A por

${\displaystyle \mathbb {E} (A)=\int _{\mathbb {R} }d\lambda \,\operatorname {D} _{A}(\lambda ).}$

Téngase en cuenta que esta expectativa es relativa al estado mixto S que se utiliza en la definición de D _A .

Observación . Por razones técnicas, es necesario considerar por separado las partes positivas y negativas de A definidas por el cálculo funcional de Borel para operadores ilimitados.

Se puede demostrar fácilmente:

${\displaystyle \mathbb {E} (A)=\operatorname {Tr} (AS)=\operatorname {Tr} (SA).}$

La traza de un operador A se escribe de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)=\sum _{m}\langle m|A|m\rangle .}$

Nótese que si S es un estado puro correspondiente al vector , entonces:${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \mathbb {E} (A)=\langle \psi |A|\psi \rangle .}$

De particular importancia para describir la aleatoriedad de un estado es la entropía de von Neumann de S definida formalmente por

${\displaystyle \operatorname {H} (S)=-\operatorname {Tr} (S\log _{2}S)}$.

En realidad, el operador S log ₂ S no es necesariamente de clase traza. Sin embargo, si S es un operador autoadjunto no negativo que no es de clase traza, definimos Tr( S ) = +∞. Observe también que cualquier operador de densidad S puede diagonalizarse, que puede representarse en alguna base ortonormal mediante una matriz (posiblemente infinita) de la forma

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0&\cdots \\0&\lambda _{2}&\cdots &0&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\\0&0&&\lambda _{n}&\\\vdots &\vdots &&&\ddots \end{bmatrix}}}$

y definimos

${\displaystyle \operatorname {H} (S)=-\sum _{i}\lambda _{i}\log _{2}\lambda _{i}.}$

La convención es que , ya que un evento con probabilidad cero no debería contribuir a la entropía. Este valor es un número real extendido (es decir, en [0, ∞]) y es claramente un invariante unitario de S .${\displaystyle \;0\log _{2}0=0}$

Observación . De hecho, es posible que H( S ) = +∞ para algún operador de densidad S . De hecho, T es la matriz diagonal

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2(\log _{2}2)^{2}}}&0&\cdots &0&\cdots \\0&{\frac {1}{3(\log _{2}3)^{2}}}&\cdots &0&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\\0&0&&{\frac {1}{n(\log _{2}n)^{2}}}&\\\vdots &\vdots &&&\ddots \end{bmatrix}}}$

T es una clase traza no negativa y se puede demostrar que T log ₂ T no es una clase traza.

Teorema . La entropía es un invariante unitario.

En analogía con la entropía clásica (nótese la similitud en las definiciones), H( S ) mide la cantidad de aleatoriedad en el estado S . Cuanto más dispersos estén los valores propios, mayor será la entropía del sistema. Para un sistema en el que el espacio H es de dimensión finita, la entropía se maximiza para los estados S que en forma diagonal tienen la representación

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{n}}&0&\cdots &0\\0&{\frac {1}{n}}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\frac {1}{n}}\end{bmatrix}}}$

Para tal S , H( S ) = log ₂ n . El estado S se denomina estado de máxima mezcla.

Recordemos que un estado puro es una de las formas

${\displaystyle S=|\psi \rangle \langle \psi |,}$

para ψ un vector de norma 1.

Teorema . H( S ) = 0 si y sólo si S es un estado puro.

Para S es un estado puro si y solo si su forma diagonal tiene exactamente una entrada distinta de cero que es un 1.

La entropía se puede utilizar como medida del entrelazamiento cuántico .

Consideremos un conjunto de sistemas descritos por un hamiltoniano H con energía media E . Si H tiene un espectro de punto puro y los valores propios de H tienden a +∞ suficientemente rápido, e ^{− r H} será un operador de clase traza no negativo para cada r positivo .${\displaystyle E_{n}}$

El conjunto canónico de Gibbs se describe mediante el estado

${\displaystyle S={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta H}}{\operatorname {Tr} (\mathrm {e} ^{-\beta H})}}.}$

Donde β es tal que el promedio del conjunto de energía satisface

${\displaystyle \operatorname {Tr} (SH)=E}$

y

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathrm {e} ^{-\beta H})=\sum _{n}\mathrm {e} ^{-\beta E_{n}}=Z(\beta )}$

Esto se denomina función de partición ; es la versión mecánica cuántica de la función de partición canónica de la mecánica estadística clásica. La probabilidad de que un sistema elegido al azar del conjunto se encuentre en un estado correspondiente al valor propio de energía es${\displaystyle E_{m}}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}(E_{m})={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta E_{m}}}{\sum _{n}\mathrm {e} ^{-\beta E_{n}}}}.}$

En determinadas condiciones, el conjunto canónico de Gibbs maximiza la entropía de von Neumann del estado sujeto al requisito de conservación de energía. ^{[ aclaración necesaria ]}

Para sistemas abiertos donde la energía y el número de partículas pueden fluctuar, el sistema se describe mediante el gran conjunto canónico , descrito por la matriz de densidad.

${\displaystyle \rho ={\frac {\mathrm {e} ^{\beta (\sum _{i}\mu _{i}N_{i}-H)}}{\operatorname {Tr} \left(\mathrm {e} ^{\beta (\sum _{i}\mu _{i}N_{i}-H)}\right)}}.}$

donde N ₁ , N ₂ , ... son los operadores de número de partículas para las diferentes especies de partículas que se intercambian con el yacimiento. Nótese que esta es una matriz de densidad que incluye muchos más estados (de N variable) en comparación con el conjunto canónico.

La función de gran partición es

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(\beta ,\mu _{1},\mu _{2},\cdots )=\operatorname {Tr} (\mathrm {e} ^{\beta (\sum _{i}\mu _{i}N_{i}-H)})}$

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