Problema de Mott

El problema de Mott es un desafío icónico a la teoría de la mecánica cuántica : ¿cómo puede la predicción de la función de onda esféricamente simétrica dar como resultado trayectorias lineales vistas en una cámara de nubes ? ^{[1] : 119ff} El problema fue formulado por primera vez en 1927 por Albert Einstein y Max Born y resuelto en 1929 por Nevill Francis Mott . ^[2] La solución de Mott notablemente solo utiliza la ecuación de onda, no el colapso de la función de onda , y se considera el primer ejemplo de lo que ahora se llama teoría de la decoherencia . ^[3]

El problema asociado posteriormente con Mott se refiere a una función de onda esférica asociada con un rayo alfa emitido a partir de la desintegración de un núcleo atómico radiactivo . ^[3] Intuitivamente, uno podría pensar que dicha función de onda debería ionizar aleatoriamente los átomos en toda la cámara de nubes, pero este no es el caso. El resultado de dicha desintegración siempre se observa como pistas lineales en la cámara de nubes de Wilson . El origen de las pistas dada la onda esférica original predicha por la teoría es el problema que requiere una explicación física.

En la práctica, prácticamente todos los experimentos de física de alta energía , como los que se llevan a cabo en los colisionadores de partículas , implican funciones de onda que son inherentemente esféricas. Sin embargo, cuando se detectan los resultados de una colisión de partículas, estos se presentan invariablemente en forma de trayectorias lineales (ver, por ejemplo, las ilustraciones que acompañan al artículo sobre cámaras de burbujas ). Es un tanto extraño pensar que una función de onda esféricamente simétrica deba observarse como una trayectoria recta, y sin embargo, esto ocurre a diario en todos los experimentos de colisionadores de partículas.

El problema de la trayectoria de la partícula alfa se discutió en la Quinta Conferencia Solvay en 1927. ^{[4] : 160} Max Born describió el problema como uno que Albert Einstein señaló, preguntando "¿cómo puede conciliarse aquí el carácter corpuscular del fenómeno con la representación por ondas?" . Born responde con la "reducción del paquete de probabilidad" de Heisenberg , ahora llamada colapso de la función de onda , introducida en mayo de 1927. Born dice que cada gota en la trayectoria de la cámara de niebla corresponde a una reducción de la onda en la vecindad inmediata de la gota. Por sugerencia de Wolfgang Pauli, también analiza una solución que incluye el emisor alfa y dos átomos, todos en el mismo estado y sin colapso de la función de onda, pero no profundiza en la idea más allá de una breve discusión. ^{[3] : 220}

En su influyente libro de 1930, ^[5] Werner Heisenberg analizó el problema de forma cualitativa pero detallada. Considera dos casos: colapso de la función de onda en cada interacción o colapso de la función de onda sólo en el aparato final, y concluye que son equivalentes. ^{[3] : 221}

En 1929, Charles Galton Darwin analizó el problema sin utilizar el colapso de la función de onda. Según él, el enfoque correcto requiere considerar la función de onda como compuesta por el sistema en estudio (la partícula alfa) y el entorno con el que interactúa (los átomos de la cámara de niebla). Partiendo de una onda esférica simple, cada colisión implica una función de onda con más coordenadas y una complejidad creciente. Su modelo coincide con la estrategia de la teoría de la decoherencia cuántica moderna. ^{[3] : 224}

Nevill Mott retoma el tema donde Darwin lo dejó, citando explícitamente su artículo. ^[2]

El objetivo de Mott es calcular la probabilidad de excitar múltiples átomos en la cámara de niebla para entender por qué la excitación con una onda esférica crea una trayectoria lineal. Mott comienza con una onda esférica para la partícula alfa y dos átomos representativos de la cámara de niebla modelados como átomos de hidrógeno. Las posiciones relativas del emisor (punto negro en el diagrama, tomado como el origen en el tratamiento de Mott) y los dos átomos (puntos naranjas en y ) se fijan durante el cálculo de la trayectoria, lo que significa que la velocidad de la partícula alfa se toma como mucho mayor que el movimiento térmico de los átomos de gas. Estas coordenadas relativas son parámetros en la solución, por lo que se puede comparar la intensidad de las excitaciones para varias posiciones. Los átomos de hidrógeno representan lo que podría componer el gas de la cámara de niebla.${\displaystyle \mathbf {a_{1}}}$${\displaystyle \mathbf {a_{2}}}$

Dadas las posiciones fijas de los átomos, Mott calcula la excitación de los electrones de esos átomos. Suponiendo que el emisor y los átomos de hidrógeno no están muy juntos, Mott representa la parte independiente del tiempo del estado de tres cuerpos del sistema, , como una suma de productos de las funciones propias de los átomos de hidrógeno :${\estilo de visualización F}$${\displaystyle \psi_{j}}$

$${\displaystyle F(\mathbf {R} ,\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} )=\sum _{{j_{1}},{j_{2}}}f_{ j_{1}j_{2}}(\mathbf {R} )\psi _{j_{1}}^{I}(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {a_{1}} )\psi _{j_{2}}^{II}(\mathbf {r_{2}} -\mathbf {a_{2}} )}$$

Aquí se muestra la posición de la partícula alfa, las posiciones de los electrones de los átomos de hidrógeno y la suma se realiza sobre los estados excitados de los átomos I y II . Los factores de expansión tienen la interpretación física de la probabilidad condicional para la partícula alfa cerca de , dado que el átomo I está excitado al estado y el átomo II está excitado al estado .${\displaystyle \mathbf {R}}$${\displaystyle \mathbf {r_{1}},\mathbf {r_{2}}}$${\displaystyle f_{j_{1}j_{2}}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle \mathbf {R}}$$estilo de visualización j_{1}$$estilo de visualización j_{2}$

Para resolver los factores de expansión, Mott utilizó la aproximación de Born , una forma de teoría de perturbación para la dispersión que funciona bien cuando la onda incidente no se altera significativamente por la dispersión. ^[3] En consecuencia, Mott supone que la partícula alfa apenas nota los átomos que excita mientras corre a través de la cámara de nubes.

Mott analiza las propiedades espaciales del factor que describe la onda de partículas alfa dispersas cuando el primer átomo está excitado y el segundo está en su estado fundamental. Muestra que tiene un pico muy marcado a lo largo de la línea que va del emisor al primer átomo (a lo largo del diagrama). Luego, Mott muestra que la probabilidad de que ambos átomos se exciten depende del producto de la probabilidad de que un átomo esté excitado y la extensión espacial del potencial electrónico del otro átomo. Ambos átomos se excitan solo en configuraciones colineales. ^{[2] [3]}${\displaystyle f_{j_{1}0}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle \mathbf {a}_{1}}$${\displaystyle f_{j_{1}0}(\mathbf {R} )}$

Mott demostró que al considerar la interacción en el espacio de configuración , donde todos los átomos de la cámara de nubes juegan un papel, es abrumadoramente probable que todas las gotitas condensadas en la cámara de nubes se encuentren cerca de la misma línea recta. En su trabajo sobre medición cuántica, Eugene Wigner cita la idea de Mott sobre el espacio de configuración como un aspecto crítico de la mecánica cuántica: el enfoque del espacio de configuración permite correlaciones espaciales como la línea de átomos en la estructura de la mecánica cuántica. ^[6] Lo que es incierto es a qué línea recta se reducirá el paquete de ondas; la distribución de probabilidad de las trayectorias rectas es esféricamente simétrica.

Erich Joos y H. Dieter Zeh adoptan el modelo de Mott en el primer modelo concreto de la teoría de la decoherencia cuántica . ^[7] El análisis de Mott, si bien es anterior a la teoría de la decoherencia moderna, encaja perfectamente en su enfoque. ^[8] Bryce DeWitt señala la dramática diferencia de masa entre la partícula alfa y los electrones en el análisis de Mott como característica de la decoherencia del estado del sistema más masivo, la partícula alfa. ^{[9] : 195}

En la época moderna, el problema de Mott se considera ocasionalmente teóricamente en el contexto de la astrofísica y la cosmología, donde se considera la evolución de la función de onda a partir del Big Bang u otros fenómenos astrofísicos.

• Partículas alfa  : Partícula de radiación ionizante de dos protones y dos neutrones.Páginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Historia de la mecánica cuántica
• Espacio de estados cuánticos  : espacio matemático que representa sistemas cuánticos físicos
• Amplitud de dispersión  – Amplitud de probabilidad en la teoría de dispersión cuántica
• Trayectoria  – Trayectoria de un objeto en movimiento