Funciones trigonométricas

Trigonometría
Describir Historia Uso Funciones ( sin , cos , tan, inversa ) Trigonometría generalizada
Referencia
Identidades Constantes exactas Tablas Círculo unitario
Leyes y teoremas
Senos Cosenos Tangentes Cotangentes Teorema de Pitágoras
Cálculo
Sustitución trigonométrica Integrales  ( funciones inversas ) Derivados Serie trigonométrica
Matemáticos
Hiparco Ptolomeo Brahma-upta Al-Hasib Al-Battani Regiomontano Viète de Moivre Euler Fourier
en a mi

En matemáticas , las funciones trigonométricas (también llamadas funciones circulares , funciones angulares o funciones goniométricas ) ^[1] son ​​funciones reales que relacionan un ángulo de un triángulo rectángulo con razones de las longitudes de dos lados. Se utilizan ampliamente en todas las ciencias relacionadas con la geometría , como la navegación , la mecánica de sólidos , la mecánica celeste , la geodesia y muchas otras. Se encuentran entre las funciones periódicas más simples y, como tales, también se utilizan ampliamente para estudiar fenómenos periódicos a través del análisis de Fourier .

Las funciones trigonométricas más utilizadas en las matemáticas modernas son las funciones seno , coseno y tangente . Sus recíprocas son respectivamente las funciones cosecante , secante y cotangente , que son menos utilizadas. Cada una de estas seis funciones trigonométricas tiene una función inversa correspondiente y una análoga entre las funciones hiperbólicas .

Las definiciones más antiguas de funciones trigonométricas, relacionadas con triángulos rectángulos, las definen solo para ángulos agudos . Para extender las funciones seno y coseno a funciones cuyo dominio es toda la línea real , a menudo se utilizan definiciones geométricas que utilizan el círculo unitario estándar (es decir, un círculo con radio 1 unidad); entonces, el dominio de las otras funciones es la línea real con algunos puntos aislados eliminados. Las definiciones modernas expresan las funciones trigonométricas como series infinitas o como soluciones de ecuaciones diferenciales . Esto permite extender el dominio de las funciones seno y coseno a todo el plano complejo , y el dominio de las otras funciones trigonométricas al plano complejo con algunos puntos aislados eliminados.

Convencionalmente, se utiliza una abreviatura del nombre de cada función trigonométrica como su símbolo en las fórmulas. Hoy en día, las versiones más comunes de estas abreviaturas son "sin" para seno, "cos" para coseno, "tan" o "tg" para tangente, "sec" para secante, "csc" o "cosec" para cosecante y "cot" o "ctg" para cotangente. Históricamente, estas abreviaturas se utilizaron primero en oraciones en prosa para indicar segmentos de línea particulares o sus longitudes relacionadas con un arco de un círculo arbitrario, y más tarde para indicar proporciones de longitudes, pero a medida que el concepto de función se desarrolló en el siglo XVII y XVIII, comenzaron a considerarse como funciones de medidas de ángulos con valores de números reales y se escribieron con notación funcional , por ejemplo, sin( x ) . Los paréntesis todavía se omiten a menudo para reducir el desorden, pero a veces son necesarios; por ejemplo, la expresión normalmente se interpretaría como que significa que se requieren paréntesis para expresar${\displaystyle \sin x+y}$${\displaystyle \sin(x)+y,}$${\displaystyle \sin(x+y).}$

Un número entero positivo que aparece como superíndice después del símbolo de la función denota exponenciación , no composición de funciones . Por ejemplo , y denota no Esto difiere de la notación funcional general (históricamente posterior) en la que${\displaystyle \sin ^{2}x}$${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$${\displaystyle \sin(x)\cdot \sin(x),}$${\displaystyle \sin(\sin x).}$${\displaystyle f^{2}(x)=(f\circ f)(x)=f(f(x)).}$

Sin embargo, el exponente se usa comúnmente para denotar la función inversa , no la recíproca . Por ejemplo y denotan la función trigonométrica inversa escrita alternativamente La ecuación implica no En este caso, el superíndice podría considerarse como denotando una función compuesta o iterada , pero los superíndices negativos distintos de no son de uso común.${\displaystyle {-1}}$${\displaystyle \sin ^{-1}x}$${\displaystyle \sin ^{-1}(x)}$${\displaystyle \arcsin x\colon }$${\displaystyle \theta =\sin ^{-1}x}$${\displaystyle \sin \theta =x,}$${\displaystyle \theta \cdot \sin x=1.}$${\displaystyle {-1}}$

Si se da el ángulo agudo θ , entonces todos los triángulos rectángulos que tienen un ángulo θ son semejantes entre sí. Esto significa que la razón de las longitudes de dos lados cualesquiera depende únicamente de θ . Por lo tanto, estas seis razones definen seis funciones de θ , que son las funciones trigonométricas. En las siguientes definiciones, la hipotenusa es la longitud del lado opuesto al ángulo recto, opuesto representa el lado opuesto al ángulo dado θ y adyacente representa el lado entre el ángulo θ y el ángulo recto. ^{[2] [3]}

Se pueden utilizar varios mnemotécnicos para recordar estas definiciones.

En un triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos es un ángulo recto, es decir, 90° o ⁠π/2⁠ radianes . Por lo tanto, yrepresentan la misma razón y, por lo tanto, son iguales. Esta identidad y las relaciones análogas entre las demás funciones trigonométricas se resumen en la siguiente tabla.${\displaystyle \sin(\theta )}$${\displaystyle \cos(90^{\circ }-\theta )}$

Resumen de las relaciones entre funciones trigonométricas ^[4]

Función	Descripción	Relación
		usando radianes	usando grados
seno	⁠opuesto/hipotenusa⁠	${\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\csc \theta }}}$	${\displaystyle \sin x=\cos \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\csc x}}}$
coseno	⁠adyacente/hipotenusa⁠	${\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sec \theta }}\,}$	${\displaystyle \cos x=\sin \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\sec x}}\,}$
tangente	⁠opuesto/adyacente⁠	${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cot \theta }}}$	${\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}=\cot \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cot x}}}$
cotangente	⁠adyacente/opuesto⁠	${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \theta }}}$	${\displaystyle \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}=\tan \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\tan x}}}$
secante	⁠hipotenusa/adyacente⁠	${\displaystyle \sec \theta =\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \sec x=\csc \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cos x}}}$
cosecante	⁠hipotenusa/opuesto⁠	${\displaystyle \csc \theta =\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sin \theta }}}$	${\displaystyle \csc x=\sec \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\sin x}}}$

En aplicaciones geométricas, el argumento de una función trigonométrica es generalmente la medida de un ángulo . Para este propósito, cualquier unidad angular es conveniente. Una unidad común son los grados , en los que un ángulo recto es 90° y un giro completo es 360° (particularmente en matemáticas elementales ).

Sin embargo, en cálculo y análisis matemático , las funciones trigonométricas generalmente se consideran de manera más abstracta como funciones de números reales o complejos , en lugar de ángulos. De hecho, las funciones seno y coseno se pueden definir para todos los números complejos en términos de la función exponencial , a través de series de potencias, ^[5] o como soluciones a ecuaciones diferenciales dados valores iniciales particulares ^[6] ( ver más abajo ), sin referencia a ninguna noción geométrica. Las otras cuatro funciones trigonométricas ( tan , cot , sec , csc ) se pueden definir como cocientes y recíprocos de seno y coseno , excepto cuando cero aparece en el denominador. Se puede demostrar, para argumentos reales, que estas definiciones coinciden con definiciones geométricas elementales si el argumento se considera como un ángulo en radianes. ^[5] Además, estas definiciones dan como resultado expresiones simples para las derivadas e integrales indefinidas para las funciones trigonométricas. ^[7] Por lo tanto, en entornos más allá de la geometría elemental, los radianes se consideran la unidad matemáticamente natural para describir medidas de ángulos.

Cuando se emplean radianes (rad), el ángulo se da como la longitud del arco del círculo unitario subtendido por él: el ángulo que subtiende un arco de longitud 1 en el círculo unitario es 1 rad (≈ 57,3°), y una vuelta completa (360°) es un ángulo de 2 π (≈ 6,28) rad. Para el número real x , la notación sen x , cos x , etc. se refiere al valor de las funciones trigonométricas evaluadas en un ángulo de x rad. Si se pretenden unidades de grados, el signo de grado debe mostrarse explícitamente ( sen x° , cos x° , etc.). Usando esta notación estándar, el argumento x para las funciones trigonométricas satisface la relación x = (180 x / π )°, de modo que, por ejemplo, sen π = sen 180° cuando tomamos x = π . De esta manera, el símbolo de grado puede considerarse como una constante matemática tal que 1° = π /180 ≈ 0,0175.

Las seis funciones trigonométricas se pueden definir como valores de coordenadas de puntos en el plano euclidiano que están relacionados con el círculo unitario , que es el círculo de radio uno centrado en el origen O de este sistema de coordenadas. Mientras que las definiciones de triángulos rectángulos permiten la definición de funciones trigonométricas para ángulos entre 0 y radianes (90°), las definiciones de círculo unitario permiten extender el dominio de las funciones trigonométricas a todos los números reales positivos y negativos.${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

Sea el rayo obtenido al rotar un ángulo θ la mitad positiva del eje x (rotación en sentido antihorario para y rotación en sentido horario para ). Este rayo interseca el círculo unitario en el punto El rayo prolongado hasta una línea si es necesario, interseca la línea de ecuación en el punto y la línea de ecuación en el punto La línea tangente al círculo unitario en el punto A , es perpendicular a e interseca los ejes y y x en los puntos y Las coordenadas de estos puntos dan los valores de todas las funciones trigonométricas para cualquier valor real arbitrario de θ de la siguiente manera.${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \theta >0,}$${\displaystyle \theta <0}$${\displaystyle \mathrm {A} =(x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} }).}$${\displaystyle {\mathcal {L}},}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle \mathrm {B} =(1,y_{\mathrm {B} }),}$${\displaystyle y=1}$${\displaystyle \mathrm {C} =(x_{\mathrm {C} },1).}$${\displaystyle {\mathcal {L}},}$${\displaystyle \mathrm {D} =(0,y_{\mathrm {D} })}$${\displaystyle \mathrm {E} =(x_{\mathrm {E} },0).}$

Las funciones trigonométricas cos y sen se definen, respectivamente, como los valores de las coordenadas x e y del punto A. Es decir,

${\displaystyle \cos \theta =x_{\mathrm {A} }\quad }$y ^[9]${\displaystyle \quad \sin \theta =y_{\mathrm {A} }.}$

En el rango , esta definición coincide con la definición de triángulo rectángulo, al tomar el triángulo rectángulo como radio unitario OA como hipotenusa . Y dado que la ecuación se cumple para todos los puntos del círculo unitario, esta definición de coseno y seno también satisface la identidad pitagórica .${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle \mathrm {P} =(x,y)}$

${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.}$

Las demás funciones trigonométricas se pueden encontrar a lo largo del círculo unitario como

${\displaystyle \tan \theta =y_{\mathrm {B} }\quad }$y${\displaystyle \quad \cot \theta =x_{\mathrm {C} },}$

${\displaystyle \csc \theta \ =y_{\mathrm {D} }\quad }$y${\displaystyle \quad \sec \theta =x_{\mathrm {E} }.}$

Aplicando los métodos de identidad pitagórica y de prueba geométrica, se puede demostrar fácilmente que estas definiciones coinciden con las definiciones de tangente, cotangente, secante y cosecante en términos de seno y coseno, es decir

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}.}$

Como una rotación de un ángulo de no cambia la posición o el tamaño de una figura, los puntos A , B , C , D y E son los mismos para dos ángulos cuya diferencia es un múltiplo entero de . Por lo tanto, las funciones trigonométricas son funciones periódicas con período . Es decir, las igualdades${\displaystyle \pm 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right)\quad }$y${\displaystyle \quad \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)}$

se cumple para cualquier ángulo θ y cualquier entero k . Lo mismo es cierto para las otras cuatro funciones trigonométricas. Al observar el signo y la monotonía de las funciones seno, coseno, cosecante y secante en los cuatro cuadrantes, se puede demostrar que es el valor más pequeño para el cual son periódicas (es decir, es el período fundamental de estas funciones). Sin embargo, después de una rotación de un ángulo , los puntos B y C ya vuelven a su posición original, de modo que la función tangente y la función cotangente tienen un período fundamental de . Es decir, las igualdades${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \tan \theta =\tan(\theta +k\pi )\quad }$y${\displaystyle \quad \cot \theta =\cot(\theta +k\pi )}$

es válido para cualquier ángulo θ y cualquier entero k .

Las expresiones algebraicas para los ángulos más importantes son las siguientes:

${\displaystyle \sin 0=\sin 0^{\circ }\quad ={\frac {\sqrt {0}}{2}}=0}$( ángulo cero )

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }={\frac {\sqrt {4}}{2}}=1}$( ángulo recto )

Escribir los numeradores como raíces cuadradas de números enteros consecutivos no negativos, con un denominador de 2, proporciona una forma fácil de recordar los valores. ^[10]

Por lo general, no existen expresiones tan simples para otros ángulos que son múltiplos racionales de un ángulo recto.

• Para un ángulo que, medido en grados, es múltiplo de tres, los valores trigonométricos exactos del seno y del coseno pueden expresarse en términos de raíces cuadradas. Estos valores del seno y del coseno pueden así construirse mediante regla y compás .
• Para un ángulo de un número entero de grados, el seno y el coseno pueden expresarse en términos de raíces cuadradas y raíces cúbicas de un número complejo no real . La teoría de Galois permite demostrar que, si el ángulo no es múltiplo de 3°, las raíces cúbicas no reales son inevitables.
• Para un ángulo que, expresado en grados, es un número racional , el seno y el coseno son números algebraicos , que pueden expresarse en términos de raíces n -ésimas . Esto resulta del hecho de que los grupos de Galois de los polinomios ciclotómicos son cíclicos .
• Para un ángulo que, expresado en grados, no es un número racional, entonces el ángulo o tanto el seno como el coseno son números trascendentales . Este es un corolario del teorema de Baker , demostrado en 1966.

La siguiente tabla enumera los senos, cosenos y tangentes de múltiplos de 15 grados de 0 a 90 grados.

Ángulo, θ , en		${\displaystyle \sin(\theta )}$	${\displaystyle \cos(\theta )}$	${\displaystyle \tan(\theta )}$
radianes	grados
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle 15^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$[a]	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}$	${\displaystyle 75^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	Indefinido

GH Hardy señaló en su obra de 1908 Un curso de matemáticas puras que la definición de las funciones trigonométricas en términos del círculo unitario no es satisfactoria, porque depende implícitamente de una noción de ángulo que puede medirse con un número real. ^[11] Así, en el análisis moderno, las funciones trigonométricas suelen construirse sin referencia a la geometría.

Existen en la literatura diversas formas de definir las funciones trigonométricas de manera adecuada para el análisis; entre ellas se incluyen:

• Utilizando la "geometría" del círculo unitario, que requiere formular analíticamente la longitud del arco de un círculo (o el área de un sector). ^[11]
• Mediante una serie de potencias, que es especialmente adecuada para variables complejas. ^{[11] [12]}
• Utilizando una expansión de producto infinita. ^[11]
• Invirtiendo las funciones trigonométricas inversas, que pueden definirse como integrales de funciones algebraicas o racionales. ^[11]
• Como soluciones de una ecuación diferencial. ^[13]

El seno y el coseno se pueden definir como la única solución al problema del valor inicial : ^[14]

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x,\ {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x,\ \sin(0)=0,\ \cos(0)=1.}$

Derivando nuevamente, y , entonces tanto el seno como el coseno son soluciones de la misma ecuación diferencial ordinaria.${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x={\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x}$${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cos x=-{\frac {d}{dx}}\sin x=-\cos x}$

${\displaystyle y''+y=0\,.}$

El seno es la única solución con y (0) = 0 y y ′(0) = 1 ; el coseno es la única solución con y (0) = 1 y y ′(0) = 0 .

Se puede demostrar entonces, como teorema, que las soluciones son periódicas, es decir, que tienen el mismo período. Escribir este período como es entonces una definición del número real que es independiente de la geometría.${\displaystyle \cos ,\sin }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \pi }$

Aplicando la regla del cociente a la tangente , ${\displaystyle \tan x=\sin x/\cos x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x\,,}$

Entonces la función tangente satisface la ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle y'=1+y^{2}\,.}$

Es la única solución con y (0) = 0 .

Las funciones trigonométricas básicas se pueden definir mediante las expansiones de series de potencias ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[6mu]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8pt]\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\[6mu]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}}$

El radio de convergencia de estas series es infinito, por lo que el seno y el coseno pueden extenderse a funciones enteras (también llamadas "seno" y "coseno"), que son (por definición) funciones complejas definidas y holomorfas en todo el plano complejo .

La diferenciación término a término muestra que el seno y el coseno definidos por la serie obedecen a la ecuación diferencial discutida anteriormente, y a la inversa, se pueden obtener estas series a partir de relaciones de recursión elementales derivadas de la ecuación diferencial.

Al definirse como fracciones de funciones enteras, las demás funciones trigonométricas pueden extenderse a las funciones meromórficas , es decir, funciones que son holomorfas en todo el plano complejo, excepto algunos puntos aislados llamados polos . Aquí, los polos son los números de la forma para la tangente y la secante, o para la cotangente y la cosecante, donde k es un entero arbitrario.${\textstyle (2k+1){\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle k\pi }$

También se pueden calcular relaciones de recurrencia para los coeficientes de las series de Taylor de otras funciones trigonométricas. Estas series tienen un radio de convergencia finito . Sus coeficientes tienen una interpretación combinatoria : enumeran permutaciones alternadas de conjuntos finitos. ^[16]

Más precisamente, definir

U _n , el n º número arriba/abajo ,

B _n , el n- ésimo número de Bernoulli , y

E _n , es el n º número de Euler ,

Se tienen las siguientes expansiones en serie: ^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8mu]&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\csc x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\\[5mu]&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

Las siguientes fracciones continuas son válidas en todo el plano complejo:

${\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \cos x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2-x^{2}+{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4-x^{2}+{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \tan x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-\ddots }}}}}}}}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}-\ddots }}}}}}}}}$

El último se utilizó en la primera prueba histórica de que π es irracional . ^[18]

Existe una representación en serie como expansión de fracciones parciales donde se suman las funciones recíprocas recién traducidas , de modo que los polos de la función cotangente y las funciones recíprocas coinciden: ^[19]

${\displaystyle \pi \cot \pi x=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{x+n}}.}$

Esta identidad se puede demostrar con el truco de Herglotz . ^[20] Combinando el (– n ) ésimo con el n ésimo término se llega a una serie absolutamente convergente :

${\displaystyle \pi \cot \pi x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}-n^{2}}}.}$

De manera similar, se puede encontrar una expansión en fracciones parciales para las funciones secante, cosecante y tangente:

${\displaystyle \pi \csc \pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x+n}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x^{2}-n^{2}}},}$

${\displaystyle \pi ^{2}\csc ^{2}\pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}},}$

${\displaystyle \pi \sec \pi x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n+1)}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}},}$

${\displaystyle \pi \tan \pi x=2x\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}}.}$

El siguiente producto infinito para el seno se debe a Leonhard Euler y es de gran importancia en el análisis complejo: ^[21]

${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$

Esto se puede obtener a partir de la descomposición en fracciones parciales de lo dado anteriormente, que es la derivada logarítmica de . ^[22] De esto, se puede deducir también que${\displaystyle \cot z}$${\displaystyle \sin z}$

${\displaystyle \cos z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$

La fórmula de Euler relaciona el seno y el coseno con la función exponencial :

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$

Esta fórmula se considera comúnmente para valores reales de x , pero sigue siendo válida para todos los valores complejos.

Demostración : Sea y Se tiene para j = 1, 2 . La regla del cociente implica entonces que . Por lo tanto, es una función constante, que es igual a${\displaystyle f_{1}(x)=\cos x+i\sin x,}$${\displaystyle f_{2}(x)=e^{ix}.}$${\displaystyle df_{j}(x)/dx=if_{j}(x)}$${\displaystyle d/dx\,(f_{1}(x)/f_{2}(x))=0}$${\displaystyle f_{1}(x)/f_{2}(x)}$1 , ya que esto demuestra la fórmula.${\displaystyle f_{1}(0)=f_{2}(0)=1.}$

Uno tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\[5pt]e^{-ix}&=\cos x-i\sin x.\end{aligned}}}$

Resolviendo este sistema lineal en seno y coseno, se pueden expresar en términos de la función exponencial:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\[5pt]\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.\end{aligned}}}$

Cuando x es real, esto puede reescribirse como

${\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right),\qquad \sin x=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right).}$

La mayoría de las identidades trigonométricas se pueden demostrar expresando funciones trigonométricas en términos de la función exponencial compleja utilizando las fórmulas anteriores y luego usando la identidad para simplificar el resultado.${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}}$

La fórmula de Euler también se puede utilizar para definir la función trigonométrica básica directamente, de la siguiente manera, utilizando el lenguaje de los grupos topológicos . ^[23] El conjunto de números complejos de módulo unitario es un grupo topológico compacto y conexo, que tiene un vecindario de la identidad que es homeomorfo a la recta real. Por lo tanto, es isomorfo como grupo topológico al grupo toro unidimensional , a través de un isomorfismo en términos pedestres , y este isomorfismo es único hasta tomar conjugados complejos.${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$$${\displaystyle e:\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to U.}$$${\displaystyle e(t)=\exp(2\pi it)}$

Para un número real distinto de cero (la base ), la función define un isomorfismo del grupo . Las partes real e imaginaria de son el coseno y el seno, donde se utiliza como base para medir ángulos. Por ejemplo, cuando , obtenemos la medida en radianes y las funciones trigonométricas habituales. Cuando , obtenemos el seno y el coseno de los ángulos medidos en grados.${\displaystyle a}$${\displaystyle t\mapsto e(t/a)}$${\displaystyle \mathbb {R} /a\mathbb {Z} \to U}$${\displaystyle e(t/a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a=2\pi }$${\displaystyle a=360}$

Nótese que es el único valor en el que la derivada se convierte en un vector unitario con parte imaginaria positiva en . Este hecho, a su vez, puede utilizarse para definir la constante .${\displaystyle a=2\pi }$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e(t/a)}$$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle 2\pi }$

Otra forma de definir las funciones trigonométricas en el análisis es mediante la integración. ^{[11] [24]} Para un número real , se pone donde esto define esta función tangente inversa. Además, se define mediante una definición que se remonta a Karl Weierstrass . ^[25]${\displaystyle t}$$${\displaystyle \theta (t)=\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\arctan t}$$${\displaystyle \pi }$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi =\int _{0}^{\infty }{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}$$

En el intervalo , las funciones trigonométricas se definen invirtiendo la relación . Por lo tanto, definimos las funciones trigonométricas por donde se encuentra el punto en el gráfico de y se toma la raíz cuadrada positiva.${\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2}$${\displaystyle \theta =\arctan t}$$${\displaystyle \tan \theta =t,\quad \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2},\quad \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}}$$${\displaystyle (t,\theta )}$${\displaystyle \theta =\arctan t}$

Esto define las funciones trigonométricas en . La definición se puede extender a todos los números reales observando primero que, como , , y entonces y . Por lo tanto y se extienden continuamente de modo que . Ahora las condiciones y definen el seno y el coseno como funciones periódicas con período , para todos los números reales.${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)}$${\displaystyle \theta \to \pi /2}$${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2}\to 0}$${\displaystyle \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}\to 1}$${\displaystyle \cos \theta }$${\displaystyle \sin \theta }$${\displaystyle \cos(\pi /2)=0,\sin(\pi /2)=1}$${\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos(\theta )}$${\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin(\theta )}$${\displaystyle 2\pi }$

Para demostrar las propiedades básicas de seno y coseno, incluido el hecho de que seno y coseno son analíticos, primero se pueden establecer las fórmulas de adición. Primero, se cumple, siempre que , ya que después de la sustitución . En particular, el caso límite como da Por lo tanto, tenemos y Por lo tanto, las funciones seno y coseno están relacionadas por traslación durante un cuarto de período .$${\displaystyle \arctan s+\arctan t=\arctan({\frac {s+t}{1-st}})}$$${\displaystyle \arctan s+\arctan t\in (-\pi /2,\pi /2)}$$${\displaystyle \arctan s+\arctan t=\int _{-s}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\int _{0}^{\frac {s+t}{1-st}}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}$$${\displaystyle \tau \to {\frac {s+\tau }{1-s\tau }}}$${\displaystyle s\to \infty }$$${\displaystyle \arctan t+{\frac {\pi }{2}}=\arctan(-1/t),\quad t\in (-\infty ,0).}$$$${\displaystyle \sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {-1}{t{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}}={\frac {-1}{\sqrt {1+t^{2}}}}=-\cos(\theta )}$$$${\displaystyle \cos \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}={\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}}}}=\sin(\theta ).}$$${\displaystyle \pi /2}$

También se pueden definir las funciones trigonométricas utilizando varias ecuaciones funcionales .

Por ejemplo, ^[26] el seno y el coseno forman el único par de funciones continuas que satisfacen la fórmula de diferencia.

${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,}$

y la condición añadida

${\displaystyle 0<x\cos x<\sin x<x\quad {\text{ for }}\quad 0<x<1.}$

El seno y el coseno de un número complejo se pueden expresar en términos de senos, cosenos y funciones hiperbólicas reales de la siguiente manera:${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}}$

Aprovechando la coloración del dominio , es posible graficar las funciones trigonométricas como funciones de valor complejo. Se pueden ver varias características exclusivas de las funciones complejas en el gráfico; por ejemplo, se puede ver que las funciones seno y coseno no tienen límites a medida que la parte imaginaria de se hace más grande (ya que el color blanco representa el infinito), y el hecho de que las funciones contienen ceros o polos simples es evidente por el hecho de que el tono gira alrededor de cada cero o polo exactamente una vez. Comparar estos gráficos con los de las funciones hiperbólicas correspondientes resalta las relaciones entre ambos.${\displaystyle z}$

Funciones trigonométricas en el plano complejo

${\displaystyle \sin z\,}$ ${\displaystyle \cos z\,}$

${\displaystyle \tan z\,}$ ${\displaystyle \cot z\,}$

${\displaystyle \sec z\,}$ ${\displaystyle \csc z\,}$

Las funciones coseno y seno son periódicas , con período , que es el período positivo más pequeño: En consecuencia, la secante y la cosecante también tienen como su período. Las funciones seno y coseno también tienen semiperiodos , y Por lo tanto, se deduce que así como otras identidades como También tenemos La función tiene un único cero (en ) en la franja . La función tiene el par de ceros en el mismo dominio. Debido a la periodicidad, los ceros del seno son Los ceros del coseno son Todos los ceros son ceros simples, y cada función tiene derivada en cada uno de los ceros.${\displaystyle 2\pi }$$${\displaystyle \cos(z+2\pi )=\cos(z),\quad \sin(z+2\pi )=\sin(z).}$$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \pi }$$${\displaystyle \cos(z+\pi )=-\cos(z),\quad \sin(z+\pi )=-\sin(z).}$$$${\displaystyle \tan(z+\pi )=\tan(z),\quad \cot(z+\pi )=\cot(z)}$$$${\displaystyle \cos ^{2}(z+\pi )=\cos ^{2}(z),\quad \sin ^{2}(z+\pi )=\sin(z),\quad \cos(z+\pi )\sin(z+\pi )=\cos(z)\sin(z).}$$$${\displaystyle \cos(x+\pi /2)=-\sin(x),\quad \sin(x+\pi /2)=\cos(x).}$$${\displaystyle \sin(z)}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle -\pi <\Re (z)<\pi }$${\displaystyle \cos(z)}$${\displaystyle z=\pm \pi /2}$$${\displaystyle \pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-2\pi ,-\pi ,0,\pi ,2\pi ,\dots \right\}\subset \mathbb {C} .}$$$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-{\frac {3\pi }{2}},-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}},\dots \right\}\subset \mathbb {C} .}$$${\displaystyle \pm 1}$

La función tangente tiene un cero simple en y asíntotas verticales en , donde tiene un polo simple de residuo . Nuevamente, debido a la periodicidad, los ceros son todos los múltiplos enteros de y los polos son múltiplos impares de , todos con el mismo residuo. Los polos corresponden a asíntotas verticales${\displaystyle \tan(z)=\sin(z)/\cos(z)}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z=\pm \pi /2}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi /2}$$${\displaystyle \lim _{x\to \pi ^{-}}\tan(x)=+\infty ,\quad \lim _{x\to \pi ^{+}}\tan(x)=-\infty .}$$

La función cotangente tiene un polo simple de residuo 1 en los múltiplos enteros de y ceros simples en los múltiplos impares de . Los polos corresponden a asíntotas verticales${\displaystyle \cot(z)=\cos(z)/\sin(z)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi /2}$$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}\cot(x)=-\infty ,\quad \lim _{x\to 0^{+}}\cot(x)=+\infty .}$$

Muchas identidades interrelacionan las funciones trigonométricas. Esta sección contiene las más básicas; para más identidades, véase Lista de identidades trigonométricas . Estas identidades pueden demostrarse geométricamente a partir de las definiciones de círculo unitario o de triángulo rectángulo (aunque, para estas últimas definiciones, se debe tener cuidado con los ángulos que no están en el intervalo [0, π /2] , véase Demostraciones de identidades trigonométricas ). Para demostraciones no geométricas que utilicen únicamente herramientas de cálculo , se pueden utilizar directamente las ecuaciones diferenciales, de una manera similar a la de la demostración anterior de la identidad de Euler. También se puede utilizar la identidad de Euler para expresar todas las funciones trigonométricas en términos de exponenciales complejas y utilizando propiedades de la función exponencial.

El coseno y la secante son funciones pares ; las demás funciones trigonométricas son funciones impares . Es decir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-x)&=-\sin x\\\cos(-x)&=\cos x\\\tan(-x)&=-\tan x\\\cot(-x)&=-\cot x\\\csc(-x)&=-\csc x\\\sec(-x)&=\sec x.\end{aligned}}}$

Todas las funciones trigonométricas son funciones periódicas de periodo 2 π . Este es el periodo más pequeño, excepto la tangente y la cotangente, que tienen π como periodo más pequeño. Esto significa que, para cada entero k , se tiene

${\displaystyle {\begin{array}{lrl}\sin(x+&2k\pi )&=\sin x\\\cos(x+&2k\pi )&=\cos x\\\tan(x+&k\pi )&=\tan x\\\cot(x+&k\pi )&=\cot x\\\csc(x+&2k\pi )&=\csc x\\\sec(x+&2k\pi )&=\sec x.\end{array}}}$

La identidad pitagórica, es la expresión del teorema de Pitágoras en términos de funciones trigonométricas.

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$.

Dividiendo por o da${\displaystyle \cos ^{2}x}$${\displaystyle \sin ^{2}x}$

${\displaystyle \tan ^{2}x+1=\sec ^{2}x}$

y

${\displaystyle 1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x}$.

Las fórmulas de suma y resta permiten desarrollar el seno, el coseno y la tangente de una suma o una resta de dos ángulos en términos de senos y cosenos y tangentes de los propios ángulos. Estas pueden deducirse geométricamente, utilizando argumentos que datan de Ptolomeo . También se pueden producir algebraicamente utilizando la fórmula de Euler .

Suma

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x+y\right)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$

Diferencia

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x-y\right)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x-y\right)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x-y)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$

Cuando los dos ángulos son iguales, las fórmulas de suma se reducen a ecuaciones más simples conocidas como fórmulas de doble ángulo .

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}.\end{aligned}}}$

Estas identidades se pueden utilizar para derivar las identidades de producto-suma .

Al establecer todas las funciones trigonométricas de se pueden expresar como fracciones racionales de :${\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[5mu]\cos \theta &={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[5mu]\tan \theta &={\frac {2t}{1-t^{2}}}.\end{aligned}}}$

Junto con

${\displaystyle d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt,}$

Esta es la sustitución del medio ángulo tangente , que reduce el cálculo de integrales y antiderivadas de funciones trigonométricas al de fracciones racionales.

Las derivadas de las funciones trigonométricas resultan de las del seno y del coseno aplicando la regla del cociente . Los valores dados para las antiderivadas en la siguiente tabla se pueden verificar derivándolas. El número  C es una constante de integración .

${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle f'(x)}$	${\textstyle \int f(x)\,dx}$
${\displaystyle \sin x}$	${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle -\cos x+C}$
${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle -\sin x}$	${\displaystyle \sin x+C}$
${\displaystyle \tan x}$	${\displaystyle \sec ^{2}x}$	${\displaystyle \ln \left|\sec x\right|+C}$
${\displaystyle \csc x}$	${\displaystyle -\csc x\cot x}$	${\displaystyle \ln \left|\csc x-\cot x\right|+C}$
${\displaystyle \sec x}$	${\displaystyle \sec x\tan x}$	${\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C}$
${\displaystyle \cot x}$	${\displaystyle -\csc ^{2}x}$	${\displaystyle \ln \left|\sin x\right|+C}$