Versina
1 menos el coseno de un ángulo
Trigonometría
Referencia
Leyes y teoremas
Cálculo
Matemáticos
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La versina o seno versado es una función trigonométrica que se encuentra en algunas de las tablas trigonométricas más antiguas ( Sánscrito Aryabhatia , [1] Sección I) . La versina de un ángulo es 1 menos su coseno .

Existen varias funciones relacionadas, entre las que destacan la coversina y la haversina . Esta última, la mitad de una versina, es de particular importancia en la fórmula haversina de navegación.

Un círculo unitario con funciones trigonométricas . [2]

Descripción general

La versina [3] [4] [5] [6] [7] o seno versado [8] [9] [10] [11] [12] es una función trigonométrica que ya aparece en algunas de las primeras tablas trigonométricas. Se simboliza en las fórmulas utilizando las abreviaturas versin , sinver , [13] [14] vers , ver [15] o siv . [16] [17] En latín , se conoce como seno versus (seno invertido), versinus , versus o sagitta (flecha). [18]

Expresado en términos de funciones trigonométricas comunes seno, coseno y tangente, el verseno es igual a versión ⁡ θ = 1 − porque ⁡ θ = 2 pecado 2 ⁡ θ 2 = pecado ⁡ θ broncearse ⁡ θ 2 {\displaystyle \operatorname {versin} \theta =1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=\sin \theta \,\tan {\frac {\theta }{2}}}

Existen varias funciones relacionadas correspondientes a la versina:

  • El coseno versado , [19] [nb 1] o vercoseno , abreviado vercosin , vercos o vcs .
  • El seno cubierto o coversine [20] (en latín, cosinus versus o coversinus ), abreviado coversin , [21] covers , [22] [23] [24] cosiv , o cvs [25]
  • El coseno cubierto [26] o covercosine , abreviado covercosin , covercos o cvc

En completa analogía con las cuatro funciones mencionadas anteriormente, existe también otro conjunto de cuatro funciones de "valor medio":

  • El seno haversed [27] o haversine (del latín semiversus ), [28] [29] abreviado haversin , semiversin , semiversinus , havers , hav , [30] [31] hvs , [nb 2] sem o hv , [32] más famoso de la fórmula haversine utilizada históricamente en navegación.
  • El coseno haversed [33] o havercosine , abreviado havercosin , havercos , hac o hvc
  • El seno hacoversado , hacoversina , [21] o cohaversina , abreviado hacoversina , semicoversina , hacovers , hacov [34] o hcv
  • El coseno hacoversado , [35] hacovercoseno , o cohavercoseno , abreviado hacovercosin , hacovercos o hcc

Historia y aplicaciones

Versine y coversine

Seno, coseno y versina del ángulo θ en términos de un círculo unitario con radio 1, centrado en O. Esta figura también ilustra la razón por la que la versina a veces se llamaba sagitta , que en latín significa flecha . [18] [36] Si el arco ADB del ángulo doble Δ  = 2 θ se considera como un " arco " y la cuerda AB como su "cuerda", entonces la versina CD es claramente el "eje de la flecha".
Gráficos de funciones trigonométricas históricas comparadas con seno y coseno: en el archivo SVG, pase el cursor sobre un gráfico o haga clic para resaltarlo

La función seno ordinaria ( ver nota sobre etimología ) a veces se llamaba históricamente seno recto ("seno recto"), para contrastarlo con el seno versado ( seno versus ). [37] El significado de estos términos es evidente si uno mira las funciones en el contexto original para su definición, un círculo unitario :

Para una cuerda vertical AB del círculo unitario, el seno del ángulo θ (que representa la mitad del ángulo subtendido Δ ) es la distancia AC (la mitad de la cuerda). Por otra parte, el seno versado de θ es la distancia CD desde el centro de la cuerda hasta el centro del arco. Por lo tanto, la suma de cos( θ ) (igual a la longitud de la línea OC ) y versin( θ ) (igual a la longitud de la línea CD ) es el radio OD (con longitud 1). Ilustrado de esta manera, el seno es vertical ( rectus , literalmente "recto") mientras que el verseno es horizontal ( versus , literalmente "volteado en contra, fuera de lugar"); ambos son distancias desde C hasta el círculo.

Esta figura también ilustra la razón por la cual la versina a veces era llamada sagitta , que en latín significa flecha . [18] [36] Si el arco ADB del ángulo doble Δ  = 2 θ se considera como un " arco " y la cuerda AB como su "cuerda", entonces la versina CD es claramente el "eje de la flecha".

En consonancia con la interpretación del seno como "vertical" y del seno versado como "horizontal", sagitta también es un sinónimo obsoleto de la abscisa (el eje horizontal de un gráfico). [36]

En 1821, Cauchy utilizó los términos seno versus ( siv ) para el verseno y coseno versus ( cosiv ) para el coverseno. [16] [17] [nb 1]

Las funciones trigonométricas se pueden construir geométricamente en términos de un círculo unitario centrado en O.

Históricamente, el seno versado se consideraba una de las funciones trigonométricas más importantes. [12] [37] [38]

A medida que θ tiende a cero, versin( θ ) es la diferencia entre dos cantidades casi iguales, por lo que un usuario de una tabla trigonométrica solo para el coseno necesitaría una precisión muy alta para obtener el verseno con el fin de evitar una cancelación catastrófica , lo que hace que las tablas separadas para este último sean convenientes. [12] Incluso con una calculadora o computadora, los errores de redondeo hacen que sea recomendable utilizar la fórmula  sen 2 para θ pequeños .

Otra ventaja histórica de la versina es que siempre es no negativa, por lo que su logaritmo está definido en todas partes excepto en el ángulo único ( θ = 0, 2 π , …) donde es cero; por lo tanto, se podrían usar tablas logarítmicas para multiplicaciones en fórmulas que involucran versinas.

De hecho, la tabla de valores de seno (semicuerda) más antigua que se conserva ( a diferencia de las cuerdas tabuladas por Ptolomeo y otros autores griegos), calculada a partir del Surya Siddhantha de la India que data del siglo III a. C., era una tabla de valores para el seno y el seno versado (en incrementos de 3,75° desde 0 a 90°). [37]

La versina aparece como un paso intermedio en la aplicación de la fórmula del medio ángulo sen 2 ( ⁠θ/2⁠ ) ​​= ⁠1/2⁠ versin( θ ), derivada por Ptolomeo , que se utilizó para construir dichas tablas.

Haversina

El haverseno, en particular, era importante en la navegación porque aparece en la fórmula haverseno , que se utiliza para calcular con razonable precisión distancias en un esferoide astronómico (ver problemas con el radio de la Tierra frente a la esfera ) dadas posiciones angulares (por ejemplo, longitud y latitud ). También se podría utilizar sen 2 ( ⁠θ/2) directamente, pero tener una tabla del haverseno eliminó la necesidad de calcular cuadrados y raíces cuadradas. [ 12]

Una utilización temprana por parte de José de Mendoza y Ríos de lo que más tarde se denominaría haversines está documentada en 1801. [14] [39]

El primer equivalente inglés conocido de una tabla de haversines fue publicado por James Andrew en 1805, bajo el nombre de "Cuadrados de semicordes naturales". [40] [41] [18]

En 1835, el término haversine (anotado naturalmente como hav. o logarítmicamente en base 10 como log. haversine o log. havers. ) fue acuñado [42] por James Inman [14] [43] [44] en la tercera edición de su obra Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen para simplificar el cálculo de distancias entre dos puntos en la superficie de la Tierra usando trigonometría esférica para aplicaciones en navegación. [3] [42] Inman también usó los términos nat. versine y nat. vers. para versines. [3]

Otras tablas de haversines de gran prestigio fueron las de Richard Farley en 1856 [40] [45] y John Caulfield Hannyngton en 1876. [40] [46]

La haversina continúa utilizándose en navegación y ha encontrado nuevas aplicaciones en las últimas décadas, como en el método de Bruce D. Stark para despejar distancias lunares utilizando logaritmos gaussianos desde 1995 [47] [48] o en un método más compacto para la reducción de la visibilidad desde 2014. [32]

Usos modernos

Aunque el uso de la versina, coversina y haversina, así como sus funciones inversas, se remonta a siglos atrás, los nombres de las otras cinco cofunciones parecen tener un origen mucho más reciente.

Un período (0 < θ < 2 π ) de una forma de onda versina o, más comúnmente, haversina (o havercosina) también se usa comúnmente en el procesamiento de señales y la teoría de control como la forma de un pulso o una función de ventana (incluidas las ventanas de Hann , Hann-Poisson y Tukey ), porque "se enciende" suavemente ( continua en valor y pendiente ) de cero a uno (para haversina) y nuevamente a cero. [nb 2] En estas aplicaciones, se denomina función de Hann o filtro de coseno elevado . Del mismo modo, la havercosina se usa en distribuciones de coseno elevado en teoría de probabilidad y estadística .

En la forma de sen 2 ( θ ), el haverseno del ángulo doble Δ describe la relación entre las extensiones y los ángulos en la trigonometría racional , una reformulación propuesta de geometrías planas y sólidas métricas por Norman John Wildberger desde 2005. [49]

Identidades matemáticas

Definiciones

versión ( θ ) := 2 pecado 2 ( θ 2 ) = 1 − porque ⁡ ( θ ) {\displaystyle {\textrm {versin}}(\theta ):=2\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1-\cos(\theta )\,} [4]
cubriendo ( θ ) := versión ( π 2 − θ ) = 1 − pecado ⁡ ( θ ) {\displaystyle {\textrm {coversin}}(\theta ):={\textrm {versin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1-\sin(\theta )\,} [4]
vercosina ( θ ) := 2 porque 2 ( θ 2 ) = 1 + porque ⁡ ( θ ) {\displaystyle {\textrm {vercosin}}(\theta ):=2\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1+\cos(\theta )\,} [19]
cosina de cobertura ( θ ) := vercosina ( π 2 − θ ) = 1 + pecado ⁡ ( θ ) {\displaystyle {\textrm {covercosin}}(\theta ):={\textrm {vercosin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1+\sin(\theta )\,} [26]
Haversina ( θ ) := versión ( θ ) 2 = pecado 2 ( θ 2 ) = 1 − porque ⁡ ( θ ) 2 {\displaystyle {\textrm {haversin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {versin}}(\theta )}{2}}=\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}\,} [4]
hacoversina ( θ ) := cubriendo ( θ ) 2 = 1 − pecado ⁡ ( θ ) 2 {\displaystyle {\textrm {hacoversin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {coversin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\sin(\theta )}{2}}\,} [21]
havercosina ( θ ) := vercosina ( θ ) 2 = porque 2 ( θ 2 ) = 1 + porque ⁡ ( θ ) 2 {\displaystyle {\textrm {havercosin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {vercosin}}(\theta )}{2}}=\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1+\cos(\theta )}{2}}\,} [33]
hacovercosina ( θ ) := cosina de cobertura ( θ ) 2 = 1 + pecado ⁡ ( θ ) 2 {\displaystyle {\textrm {hacovercosin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {covercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\sin(\theta )}{2}}\,} [35]

Rotaciones circulares

Las funciones son rotaciones circulares entre sí.

en mi a s i norte ( θ ) = do o en mi a s i norte ( θ + π 2 ) = en mi a do o s i norte ( θ + π ) = do o en mi a do o s i norte ( θ + 3 π 2 ) yo a en mi a s i norte ( θ ) = yo a do o en mi a s i norte ( θ + π 2 ) = yo a en mi a do o s i norte ( θ + π ) = yo a do o en mi a do o s i norte ( θ + 3 π 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {versin} (\theta )&=\mathrm {coversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {vercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {covercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\\\mathrm {haversin} (\theta )&=\mathrm {hacoversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {havercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {hacovercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}

Derivadas e integrales

d d x v e r s i n ( x ) = sin ⁡ x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {versin} (x)=\sin {x}} [50] ∫ v e r s i n ( x ) d x = x − sin ⁡ x + C {\displaystyle \int \mathrm {versin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\sin {x}+C} [4] [50]
d d x v e r c o s i n ( x ) = − sin ⁡ x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {vercosin} (x)=-\sin {x}} ∫ v e r c o s i n ( x ) d x = x + sin ⁡ x + C {\displaystyle \int \mathrm {vercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\sin {x}+C}
d d x c o v e r s i n ( x ) = − cos ⁡ x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {coversin} (x)=-\cos {x}} [20] ∫ c o v e r s i n ( x ) d x = x + cos ⁡ x + C {\displaystyle \int \mathrm {coversin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\cos {x}+C} [20]
d d x c o v e r c o s i n ( x ) = cos ⁡ x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {covercosin} (x)=\cos {x}} ∫ c o v e r c o s i n ( x ) d x = x − cos ⁡ x + C {\displaystyle \int \mathrm {covercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\cos {x}+C}
d d x h a v e r s i n ( x ) = sin ⁡ x 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {haversin} (x)={\frac {\sin {x}}{2}}} [27] ∫ h a v e r s i n ( x ) d x = x − sin ⁡ x 2 + C {\displaystyle \int \mathrm {haversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\sin {x}}{2}}+C} [27]
d d x h a v e r c o s i n ( x ) = − sin ⁡ x 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {havercosin} (x)={\frac {-\sin {x}}{2}}} ∫ h a v e r c o s i n ( x ) d x = x + sin ⁡ x 2 + C {\displaystyle \int \mathrm {havercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\sin {x}}{2}}+C}
d d x h a c o v e r s i n ( x ) = − cos ⁡ x 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacoversin} (x)={\frac {-\cos {x}}{2}}} ∫ h a c o v e r s i n ( x ) d x = x + cos ⁡ x 2 + C {\displaystyle \int \mathrm {hacoversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\cos {x}}{2}}+C}
d d x h a c o v e r c o s i n ( x ) = cos ⁡ x 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacovercosin} (x)={\frac {\cos {x}}{2}}} ∫ h a c o v e r c o s i n ( x ) d x = x − cos ⁡ x 2 + C {\displaystyle \int \mathrm {hacovercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\cos {x}}{2}}+C}

Funciones inversas

Funciones inversas como arcversina [34] (arcversina, arcvers, [8] [34] avers, [51] [52] aver), arcvercosina (arcvercosina, arcvercos, avercos, avcs), arccoversina [34] (arccoversin, arccovers, [8] [34] acovers, [51] [52] acvs), arccovercosina (arccovercosina, arccovercos, acovercos, acvc), archaversina (archaversin, archav, [34] haversin −1 , [53] invhav, [34] [54] [55] [56] ahav, [34] [51] [52] ahvs, ahv, hav −1 [57] [58] ), archavercosina (archavercosina, archavercos, ahvc), También existen archacoversina (archacoversin, ahcv) o archacovercosina (archacovercosin, archacovercos, ahcc):

arcversin ⁡ ( y ) = arccos ⁡ ( 1 − y ) {\displaystyle \operatorname {arcversin} (y)=\arccos \left(1-y\right)\,} [34] [51] [52]
arcvercos ⁡ ( y ) = arccos ⁡ ( y − 1 ) {\displaystyle \operatorname {arcvercos} (y)=\arccos \left(y-1\right)\,}
arccoversin ⁡ ( y ) = arcsin ⁡ ( 1 − y ) {\displaystyle \operatorname {arccoversin} (y)=\arcsin \left(1-y\right)\,} [34] [51] [52]
arccovercos ⁡ ( y ) = arcsin ⁡ ( y − 1 ) {\displaystyle \operatorname {arccovercos} (y)=\arcsin \left(y-1\right)\,}
archaversin ⁡ ( y ) = 2 arcsin ⁡ ( y ) = arccos ⁡ ( 1 − 2 y ) {\displaystyle \operatorname {archaversin} (y)=2\arcsin \left({\sqrt {y}}\right)=\arccos \left(1-2y\right)\,} [34] [51] [52] [53] [54] [55] [57] [58]
archavercos ⁡ ( y ) = 2 arccos ⁡ ( y ) = arccos ⁡ ( 2 y − 1 ) {\displaystyle \operatorname {archavercos} (y)=2\arccos \left({\sqrt {y}}\right)=\arccos \left(2y-1\right)}
archacoversin ⁡ ( y ) = arcsin ⁡ ( 1 − 2 y ) {\displaystyle \operatorname {archacoversin} (y)=\arcsin \left(1-2y\right)\,}
archacovercos ⁡ ( y ) = arcsin ⁡ ( 2 y − 1 ) {\displaystyle \operatorname {archacovercos} (y)=\arcsin \left(2y-1\right)\,}

Otras propiedades

Estas funciones pueden extenderse al plano complejo . [50] [20] [27]

Serie Maclaurin : [27]

versin ⁡ ( z ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 z 2 k ( 2 k ) ! haversin ⁡ ( z ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 z 2 k 2 ( 2 k ) ! {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {versin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}\\\operatorname {haversin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}\end{aligned}}}
lim θ → 0 versin ⁡ ( θ ) θ = 0 {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\theta }}=0} [8]
versin ⁡ ( θ ) + coversin ⁡ ( θ ) versin ⁡ ( θ ) − coversin ⁡ ( θ ) − exsec ⁡ ( θ ) + excsc ⁡ ( θ ) exsec ⁡ ( θ ) − excsc ⁡ ( θ ) = 2 versin ⁡ ( θ ) coversin ⁡ ( θ ) versin ⁡ ( θ ) − coversin ⁡ ( θ ) [ versin ⁡ ( θ ) + exsec ⁡ ( θ ) ] [ coversin ⁡ ( θ ) + excsc ⁡ ( θ ) ] = sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}&={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}\\[3pt][\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {exsec} (\theta )]\,[\operatorname {coversin} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )]&=\sin(\theta )\cos(\theta )\end{aligned}}} [8]

Aproximaciones

Comparación de la función versina con tres aproximaciones a las funciones versina, para ángulos que van de 0 a 2 π
Comparación de la función versina con tres aproximaciones a las funciones versina, para ángulos que van de 0 a π /2

Cuando la versina v es pequeña en comparación con el radio r , se puede aproximar a partir de la longitud de la semicuerda L (la distancia AC mostrada arriba) mediante la fórmula [59] v ≈ L 2 2 r . {\displaystyle v\approx {\frac {L^{2}}{2r}}.}

Como alternativa, si la versina es pequeña y se conocen la versina, el radio y la longitud de la semicuerda, se pueden utilizar para estimar la longitud del arco s ( AD en la figura anterior) mediante la fórmula Esta fórmula era conocida por el matemático chino Shen Kuo , y dos siglos más tarde Guo Shoujing desarrolló una fórmula más precisa que también involucraba la sagita . [60] s ≈ L + v 2 r {\displaystyle s\approx L+{\frac {v^{2}}{r}}}

Una aproximación más precisa utilizada en ingeniería [61] es v ≈ s 3 2 L 1 2 8 r {\displaystyle v\approx {\frac {s^{\frac {3}{2}}L^{\frac {1}{2}}}{8r}}}

Curvas y cuerdas arbitrarias

El término versina también se utiliza a veces para describir desviaciones de la rectitud en una curva plana arbitraria, de la que el círculo anterior es un caso especial. Dada una cuerda entre dos puntos de una curva, la distancia perpendicular v desde la cuerda hasta la curva (normalmente en el punto medio de la cuerda) se denomina medida versina . Para una línea recta, la versina de cualquier cuerda es cero, por lo que esta medida caracteriza la rectitud de la curva. En el límite , cuando la longitud de la cuerda L tiende a cero, la relación ⁠8v​/L 2⁠ se refiere a la curvatura instantánea . Este uso es especialmente común en el transporte ferroviario , donde describe mediciones de la rectitud de las vías del tren [62] y es la base del método Hallade para el estudio de vías .

El término sagitta (a menudo abreviado como sag ) se utiliza de forma similar en óptica , para describir las superficies de lentes y espejos .

Véase también

Notas

  1. ^ desde Algunas fuentes inglesas confunden el coseno versado con el seno cubierto. Históricamente (fe en Cauchy, 1821), el seno versus (versino) se definía como siv( θ ) = 1−cos( θ ), el coseno versus (lo que ahora también se conoce como coversino) como cosiv( θ ) = 1−sin( θ ), y el vercoseno como vcs θ  = 1+cos( θ ). Sin embargo, en su traducción al inglés de 2009 del trabajo de Cauchy, Bradley y Sandifer asocian el coseno versus (y cosiv) con el coseno versado (lo que ahora también se conoce como vercosino) en lugar del seno cubierto . De manera similar, en su trabajo de 1968/2000, Korn y Korn asocian la función covers( θ ) con el coseno versado en lugar del seno cubierto .
  2. ^ ab La abreviatura hvs, que a veces se utiliza para la función haversine en el procesamiento y filtrado de señales, también se utiliza a veces para la función escalonada de Heaviside, no relacionada .

Referencias

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  2. ^ Haslett, Charles (septiembre de 1855). Hackley, Charles W. (ed.). The Mechanic's, Machinist's, Engineer's Practical Book of Reference: Contiene tablas y fórmulas para su uso en medición superficial y sólida; resistencia y peso de materiales; mecánica; maquinaria; hidráulica, hidrodinámica; motores marinos, química; y recetas diversas. Adaptado a y para el uso de todas las clases de mecánica práctica. Junto con el Engineer's Field Book: Contiene fórmulas para las diversas líneas de funcionamiento y cambio, ubicación de vías secundarias y cambios de vía, etc., etc. Tablas de radios y sus logaritmos, senos naturales y logarítmicos versados ​​y secantes externos, senos naturales y tangentes para cada grado y minuto del cuadrante, y logaritmos de los números naturales del 1 al 10.000. Nueva York, EE. UU.: James G. Gregory, sucesor de WA Townsend & Co. (Stringer & Townsend) . Consultado el 13 de agosto de 2017. […] Aún así, habría mucho trabajo de cálculo que podría ahorrarse mediante el uso de tablas de secantes externas y senos invertidos, que han sido empleadas con gran éxito recientemente por los ingenieros del ferrocarril de Ohio y Mississippi , y que, con las fórmulas y reglas necesarias para su aplicación al trazado de curvas, elaboradas por el Sr. Haslett, uno de los ingenieros de esa carretera, ahora se dan a conocer al público por primera vez. […] Al presentar este trabajo al público, el autor reclama para él la adaptación de un nuevo principio en el análisis trigonométrico de las fórmulas generalmente utilizadas en los cálculos de campo. La experiencia ha demostrado que los senos invertidos y las secantes externas entran con tanta frecuencia en los cálculos de curvas como los senos y las tangentes; y por su uso, como se ilustra en los ejemplos dados en esta obra, se cree que muchas de las reglas de uso general se simplifican mucho, y muchos cálculos sobre curvas y líneas continuas se hacen menos intrincados, y los resultados se obtienen con más precisión y mucho menos problema, que por cualquier método establecido en obras de este tipo. Los ejemplos dados han sido todos sugeridos por la práctica real, y se explicarán por sí mismos. […] Como un libro para uso práctico en el trabajo de campo, se cree con confianza que este es más directo en la aplicación de reglas y facilidad de cálculo que cualquier obra en uso ahora. Además de las tablas que generalmente se encuentran en libros de este tipo, el autor ha preparado, con gran trabajo, una Tabla de Senos Versados ​​Naturales y Logarítmicos y Secantes Externas, calculados en grados, para cada minuto; también, una Tabla de Radios y sus Logaritmos, de 1° a 60°. […]Edición de 1856
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Lectura adicional

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