Ceros y polos

Análisis matemático → Análisis complejo
Análisis complejo
Números complejos
Número real Número imaginario Plano complejo Conjugado complejo Número complejo unitario
Funciones complejas
Función de valor complejo Función analítica Función holomorfa Ecuaciones de Cauchy-Riemann Serie de potencias formales
Teoría básica
Ceros y polos Teorema integral de Cauchy Primitivo local Fórmula integral de Cauchy Número de bobinado Serie Laurent Singularidad aislada Teorema del residuo Principio de argumentación Mapa conforme Lema de Schwarz Función armónica Ecuación de Laplace
Teoría de funciones geométricas
Gente
Agustín-Louis Cauchy Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Jacques Hadamard Kiyoshi Oka Bernhard Riemann Karl Weierstrass
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En el análisis complejo (una rama de las matemáticas), un polo es un tipo determinado de singularidad de una función compleja de variable compleja . Es el tipo más simple de singularidad no removible de dicha función (véase singularidad esencial ). Técnicamente, un punto z ₀ es un polo de una función f si es un cero de la función 1/ f y 1/ f es holomorfa (es decir, complejamente diferenciable ) en algún entorno de z ₀ .

Una función f es meromórfica en un conjunto abierto U si para cada punto z de U existe un entorno de z en el que al menos uno de f y 1/ f es holomorfo.

Si f es meromórfica en U , entonces un cero de f es un polo de 1/ f , y un polo de f es un cero de 1/ f . Esto induce una dualidad entre ceros y polos , que es fundamental para el estudio de las funciones meromórficas. Por ejemplo, si una función es meromórfica en todo el plano complejo más el punto en el infinito , entonces la suma de las multiplicidades de sus polos es igual a la suma de las multiplicidades de sus ceros.

Una función de una variable compleja z es holomorfa en un dominio abierto U si es diferenciable con respecto a z en cada punto de U . De manera equivalente, es holomorfa si es analítica , es decir, si su serie de Taylor existe en cada punto de U , y converge a la función en algún entorno del punto. Una función es meromórfica en U si cada punto de U tiene un entorno tal que al menos uno de f y 1/ f es holomorfa en él.

Un cero de una función meromórfica f es un número complejo z tal que f ( z ) = 0 . Un polo de f es un cero de 1/ f .

Si f es una función que es meromórfica en un entorno de un punto del plano complejo , entonces existe un entero n tal que ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle (z-z_{0})^{n}f(z)}$

es holomorfo y distinto de cero en un entorno de (esto es una consecuencia de la propiedad analítica). Si n > 0 , entonces es un polo de orden (o multiplicidad) n de f . Si n < 0 , entonces es un cero de orden de f . Cero simple y polo simple son términos utilizados para ceros y polos de orden Grado a veces se utiliza como sinónimo de orden.${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle |n|}$${\displaystyle |n|=1.}$

Esta caracterización de ceros y polos implica que los ceros y polos están aislados , es decir, cada cero o polo tiene un vecindario que no contiene ningún otro cero y polo.

Debido a que el orden de los ceros y los polos se define como un número no negativo n y a la simetría entre ellos, suele ser útil considerar un polo de orden n como un cero de orden – n y un cero de orden n como un polo de orden – n . En este caso, un punto que no es ni un polo ni un cero se considera un polo (o cero) de orden 0.

Una función meromórfica puede tener infinitos ceros y polos. Este es el caso de la función gamma (ver la imagen en el cuadro de información), que es meromórfica en todo el plano complejo, y tiene un polo simple en cada entero no positivo. La función zeta de Riemann también es meromórfica en todo el plano complejo, con un único polo de orden 1 en z = 1 . Sus ceros en el semiplano izquierdo son todos los enteros pares negativos, y la hipótesis de Riemann es la conjetura de que todos los demás ceros están a lo largo de Re( z ) = 1/2 .

En un entorno de un punto, una función meromórfica f distinta de cero es la suma de una serie de Laurent con una parte principal como máximo finita (los términos con valores de índice negativos):${\displaystyle z_{0},}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k\geq -n}a_{k}(z-z_{0})^{k},}$

donde n es un entero, y Nuevamente, si n > 0 (la suma comienza con , la parte principal tiene n términos), se tiene un polo de orden n , y si n ≤ 0 (la suma comienza con , no hay parte principal), se tiene un cero de orden .${\displaystyle a_{-n}\neq 0.}$${\displaystyle a_{-|n|}(z-z_{0})^{-|n|}}$${\displaystyle a_{|n|}(z-z_{0})^{|n|}}$${\displaystyle |n|}$

Una función es meromórfica en el infinito si es meromórfica en algún entorno del infinito (es decir, fuera de algún disco ), y hay un entero n tal que ${\displaystyle z\mapsto f(z)}$

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }{\frac {f(z)}{z^{n}}}}$

existe y es un número complejo distinto de cero.

En este caso, el punto en el infinito es un polo de orden n si n > 0 , y un cero de orden si n < 0 .${\displaystyle |n|}$

Por ejemplo, un polinomio de grado n tiene un polo de grado n en el infinito.

El plano complejo prolongado por un punto en el infinito se llama esfera de Riemann .

Si f es una función meromórfica en toda la esfera de Riemann, entonces tiene un número finito de ceros y polos, y la suma de los órdenes de sus polos es igual a la suma de los órdenes de sus ceros.

Toda función racional es meromórfica en toda la esfera de Riemann, y, en este caso, la suma de los órdenes de los ceros o de los polos es el máximo de los grados del numerador y del denominador.

• La función

${\displaystyle f(z)={\frac {3}{z}}}$

es meromórfica en toda la esfera de Riemann. Tiene un polo de orden 1 o polo simple en y un cero simple en el infinito.${\displaystyle z=0,}$

• La función

${\displaystyle f(z)={\frac {z+2}{(z-5)^{2}(z+7)^{3}}}}$

es meromórfica en toda la esfera de Riemann. Tiene un polo de orden 2 en y un polo de orden 3 en . Tiene un cero simple en y un cero cuádruple en el infinito.${\displaystyle z=5,}$${\displaystyle z=-7}$${\displaystyle z=-2,}$

• La función

${\displaystyle f(z)={\frac {z-4}{e^{z}-1}}}$

es meromórfica en todo el plano complejo, pero no en el infinito. Tiene polos de orden 1 en . Esto se puede ver escribiendo la serie de Taylor de alrededor del origen.${\displaystyle z=2\pi ni{\text{ for }}n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle e^{z}}$

• La función

${\displaystyle f(z)=z}$

tiene un solo polo en el infinito de orden 1 y un solo cero en el origen.

Todos los ejemplos anteriores, excepto el tercero, son funciones racionales . Para una discusión general de los ceros y polos de dichas funciones, consulte Diagrama de polos y ceros § Sistemas de tiempo continuo .

El concepto de ceros y polos se extiende de forma natural a las funciones sobre una curva compleja , es decir, una variedad analítica compleja de dimensión uno (sobre los números complejos). Los ejemplos más simples de tales curvas son el plano complejo y la superficie de Riemann . Esta extensión se realiza mediante la transferencia de estructuras y propiedades a través de gráficos , que son isomorfismos analíticos .

Más precisamente, sea f una función de una curva compleja M a los números complejos. Esta función es holomorfa (resp. meromórfica) en un entorno de un punto z de M si hay un gráfico tal que es holomorfa (resp. meromórfica) en un entorno de Entonces, z es un polo o un cero de orden n si lo mismo es cierto para${\displaystyle \phi }$${\displaystyle f\circ \phi ^{-1}}$${\displaystyle \phi (z).}$${\displaystyle \phi (z).}$

Si la curva es compacta y la función f es meromórfica en toda la curva, entonces el número de ceros y polos es finito y la suma de los órdenes de los polos es igual a la suma de los órdenes de los ceros. Este es uno de los hechos básicos que intervienen en el teorema de Riemann-Roch .

• Principio de argumentación
• Teoría del control § Estabilidad
• Diseño de filtros
• Filtro (procesamiento de señales)
• Teorema de Gauss-Lucas
• Teorema de Hurwitz (análisis complejo)
• Teorema de Marden
• Criterio de estabilidad de Nyquist
• Diagrama de polos y ceros
• Residuo (análisis complejo)
• Teorema de Rouché
• Conjetura de Sendov

• Conway, John B. (1986). Funciones de una variable compleja I. Springer. ISBN 0-387-90328-3.
• Conway, John B. (1995). Funciones de una variable compleja II . Springer. ISBN 0-387-94460-5.
• Henrici, Peter (1974). Análisis complejo computacional y aplicado 1 . John Wiley & Sons .

• Weisstein, Eric W. "Polo". MathWorld .