Antiderivada

Integral indefinida

{\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+c} — El campo de pendientes de , que muestra tres de las infinitas soluciones que se pueden producir al variar la constante arbitraria $c$ . $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+c$

En cálculo , una antiderivada , derivada inversa , función primitiva , integral primitiva o integral indefinida ^{[Nota 1]} de una función continua $f$ es una función diferenciable $F$ cuya derivada es igual a la función original $f$ . Esto se puede expresar simbólicamente como $F' = f$ . ^[1]^[2] El proceso de resolver antiderivadas se llama antidiferenciación (o integración indefinida ), y su operación opuesta se llama diferenciación , que es el proceso de encontrar una derivada. Las antiderivadas a menudo se denotan con letras romanas mayúsculas como $F$ y $G.$

Las antiderivadas están relacionadas con las integrales definidas a través del segundo teorema fundamental del cálculo : la integral definida de una función en un intervalo cerrado donde la función es integrable según el método de Riemann es igual a la diferencia entre los valores de una antiderivada evaluada en los puntos finales del intervalo.

En física , las antiderivadas surgen en el contexto del movimiento rectilíneo (por ejemplo, al explicar la relación entre posición , velocidad y aceleración ). ^[3] El equivalente discreto de la noción de antiderivada es la antidiferencia .

Ejemplos

La función es una antiderivada de , ya que la derivada de es . Como la derivada de una constante es cero , tendrá un número infinito de antiderivadas, como , etc. Por lo tanto, todas las antiderivadas de se pueden obtener cambiando el valor de $c$ en , donde $c$ es una constante arbitraria conocida como la constante de integración . Los gráficos de las antiderivadas de una función dada son traslaciones verticales entre sí, y la ubicación vertical de cada gráfico depende del valor $c$ . $F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}$ $f(x)=x^{2}$ ${\tfrac {x^{3}}{3}}$ $x^{2}$ $x^{2}$ ${\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2$ $x^{2}$ $F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+c$

De manera más general, la función potencia tiene antiderivada si $n$ $\neq -1$ y si $n$ $= -1$ . $f(x)=x^{n}$ $F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c$ $F(x)=\ln |x|+c$

En física , la integración de la aceleración da como resultado la velocidad más una constante. La constante es el término de velocidad inicial que se perdería al tomar la derivada de la velocidad, porque la derivada de un término constante es cero. Este mismo patrón se aplica a otras integraciones y derivadas del movimiento (posición, velocidad, aceleración, etc.). ^[3] Por lo tanto, la integración produce las relaciones de aceleración, velocidad y desplazamiento : ${\begin{aligned}\int a\,\mathrm {d} t&=v+C\\\int v\,\mathrm {d} t&=s+C\end{aligned}}$

Usos y propiedades

Las antiderivadas se pueden utilizar para calcular integrales definidas , utilizando el teorema fundamental del cálculo : si $F$ es una antiderivada de la función continua $f$ en el intervalo , entonces: $[a,b]$ $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).$

Debido a esto, cada una de las infinitas antiderivadas de una función dada $f$ puede llamarse la "integral indefinida" de f y escribirse utilizando el símbolo de integral sin límites: $\int f(x)\,\mathrm {d} x.$

Si $F$ es una antiderivada de $f$ , y la función $f$ está definida en algún intervalo, entonces toda otra antiderivada $G$ de $f$ difiere de $F$ por una constante: existe un número $c$ tal que para todo $x$ . $c$ se llama constante de integración . Si el dominio de $F$ es una unión disjunta de dos o más intervalos (abiertos), entonces se puede elegir una constante de integración diferente para cada uno de los intervalos. Por ejemplo $G(x)=F(x)+c$ $F(x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{x}}+c_{1}&x<0\\[1ex]-{\dfrac {1}{x}}+c_{2}&x>0\end{cases}}$

es la antiderivada más general de en su dominio natural $f(x)=1/x^{2}$ $(-\infty ,0)\cup (0,\infty ).$

Toda función continua $f$ tiene una antiderivada, y una antiderivada $F$ viene dada por la integral definida de $f$ con límite superior variable: para cualquier $a$ en el dominio de $f$ . Al variar el límite inferior se obtienen otras antiderivadas, pero no necesariamente todas las antiderivadas posibles. Esta es otra formulación del teorema fundamental del cálculo . $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t~,$

Existen muchas funciones cuyas antiderivadas, aunque existan, no pueden expresarse en términos de funciones elementales (como polinomios , funciones exponenciales , logaritmos , funciones trigonométricas , funciones trigonométricas inversas y sus combinaciones). Algunos ejemplos de estas son:

La función de error $\int e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x,$
La función de Fresnel $\int \sin x^{2}\,\mathrm {d} x,$
la integral del seno $\int {\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x,$
La función integral logarítmica y $\int {\frac {1}{\log x}}\,\mathrm {d} x,$
El sueño de un estudiante de segundo año $\int x^{x}\,\mathrm {d} x.$

Para una discusión más detallada, véase también la teoría diferencial de Galois .

Técnicas de integración

Encontrar las antiderivadas de funciones elementales suele ser considerablemente más difícil que encontrar sus derivadas (de hecho, no existe un método predefinido para calcular integrales indefinidas). ^[4] Para algunas funciones elementales, es imposible encontrar una antiderivada en términos de otras funciones elementales. Para obtener más información, consulte funciones elementales e integral no elemental .

Existen muchas propiedades y técnicas para hallar antiderivadas. Entre ellas se incluyen:

La linealidad de la integración (que descompone integrales complicadas en otras más simples)
Integración por sustitución , a menudo combinada con identidades trigonométricas o el logaritmo natural.
El método de la regla de la cadena inversa (un caso especial de integración por sustitución)
Integración por partes (para integrar productos de funciones)
Integración de funciones inversas (fórmula que expresa la antiderivada de la inversa $f -1$ de una función invertible y continua $f$ , en términos de la antiderivada de $f$ y de $f -1$ ).
El método de fracciones parciales en integración (que nos permite integrar todas las funciones racionales —fracciones de dos polinomios)
El algoritmo de Risch
Técnicas adicionales para integraciones múltiples (ver por ejemplo integrales dobles , coordenadas polares , el jacobiano y el teorema de Stokes )
Integración numérica (una técnica para aproximar una integral definida cuando no existe una antiderivada elemental, como en el caso de $exp(- x 2)$ )
Manipulación algebraica del integrando (de modo que se puedan utilizar otras técnicas de integración, como la integración por sustitución)
Fórmula de Cauchy para integración repetida (para calcular la antiderivada $n$ veces mayor de una función) $\int _{x_{0}}^{x}\int _{x_{0}}^{x_{1}}\cdots \int _{x_{0}}^{x_{n-1}}f(x_{n})\,\mathrm {d} x_{n}\cdots \,\mathrm {d} x_{2}\,\mathrm {d} x_{1}=\int _{x_{0}}^{x}f(t){\frac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}}\,\mathrm {d} t.$

Los sistemas de álgebra computacional se pueden utilizar para automatizar parte o la totalidad del trabajo involucrado en las técnicas simbólicas mencionadas anteriormente, lo que resulta particularmente útil cuando las manipulaciones algebraicas involucradas son muy complejas o prolongadas. Las integrales que ya se han derivado se pueden buscar en una tabla de integrales .

De funciones no continuas

Las funciones no continuas pueden tener antiderivadas. Si bien aún quedan preguntas abiertas en esta área, se sabe que:

Algunas funciones altamente patológicas con grandes conjuntos de discontinuidades pueden, no obstante, tener antiderivadas.
En algunos casos, las antiderivadas de tales funciones patológicas pueden encontrarse mediante la integración de Riemann , mientras que en otros casos estas funciones no son integrables mediante Riemann.

Suponiendo que los dominios de las funciones son intervalos abiertos:

Una condición necesaria, pero no suficiente, para que una función $f$ tenga una antiderivada es que $f$ tenga la propiedad de valor intermedio . Es decir, si $[a, b]$ es un subintervalo del dominio de $f$ $e$ y es cualquier número real entre $f (a)$ y $f (b)$ , entonces existe una $c$ entre $a$ y $b$ tal que $f (c) = y$ . Esto es una consecuencia del teorema de Darboux .
El conjunto de discontinuidades de $f$ debe ser un conjunto exiguo . Este conjunto también debe ser un conjunto F-sigma (ya que el conjunto de discontinuidades de cualquier función debe ser de este tipo). Además, para cualquier conjunto exiguo F-sigma, se puede construir alguna función $f$ que tenga una antiderivada, que tenga el conjunto dado como su conjunto de discontinuidades.
Si $f$ tiene una antiderivada, está acotada en subintervalos finitos cerrados del dominio y tiene un conjunto de discontinuidades de medida de Lebesgue 0, entonces se puede hallar una antiderivada por integración en el sentido de Lebesgue. De hecho, utilizando integrales más potentes como la integral de Henstock-Kurzweil , toda función para la que exista una antiderivada es integrable, y su integral general coincide con su antiderivada.
Si $f$ tiene una antiderivada $F$ en un intervalo cerrado , entonces, para cualquier elección de partición , si se eligen puntos de muestra como se especifica en el teorema del valor medio , entonces la suma de Riemann correspondiente se acerca al valor . Sin embargo, si $f$ no tiene límites, o si $f$ tiene límites pero el conjunto de discontinuidades de $f$ tiene una medida de Lebesgue positiva, una elección diferente de puntos de muestra puede dar un valor significativamente diferente para la suma de Riemann, sin importar cuán fina sea la partición. Vea el Ejemplo 4 a continuación. $[a,b]$ $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b,$ $x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]$ $F(b)-F(a)$ ${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})&=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\\&=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)\end{aligned}}$ $x_{i}^{*}$

Algunos ejemplos

La función
$f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-\cos \left({\frac {1}{x}}\right)$ con no es continua en pero tiene la antiderivada $f(0)=0$ $x=0$ $F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$
con . Dado que $f$ está acotada en intervalos finitos cerrados y sólo es discontinua en 0, la antiderivada $F$ puede obtenerse por integración: . $F(0)=0$ $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$
La función con no es continua en pero tiene la antiderivada con . A diferencia del Ejemplo 1, $f$ $($ $x$ $)$ no está acotada en ningún intervalo que contenga 0, por lo que la integral de Riemann no está definida. $f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)-{\frac {2}{x}}\cos \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)$ $f(0)=0$ $x=0$ $F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)$ $F(0)=0$
Si $f (x)$ es la función del Ejemplo 1 y $F$ es su antiderivada, y es un subconjunto numerable denso del intervalo abierto , entonces la función tiene una antiderivada El conjunto de discontinuidades de $g$ es precisamente el conjunto . Como $g$ está acotado en intervalos finitos cerrados y el conjunto de discontinuidades tiene medida 0, la antiderivada $G$ se puede encontrar por integración. $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ $(-1,1),$ $g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(x-x_{n})}{2^{n}}}$ $G(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F(x-x_{n})}{2^{n}}}.$ $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$
Sea un subconjunto numerable denso del intervalo abierto. Considérese la función estrictamente creciente continua en todas partes. Se puede demostrar que $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ $(-1,1).$ $F(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}(x-x_{n})^{1/3}.$ $F'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3\cdot 2^{n}}}(x-x_{n})^{-2/3}$
Figura 1.
Figura 2.
para todos los valores $x$ donde la serie converge, y que el gráfico de $F (x)$ tiene líneas tangentes verticales en todos los demás valores de $x$ . En particular, el gráfico tiene líneas tangentes verticales en todos los puntos del conjunto . $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$
Además, para todo $x$ donde la derivada está definida, se deduce que la función inversa es diferenciable en todas partes y que $F(x)\geq 0$ $G=F^{-1}$ $g(x)=G'(x)=0$
para todo $x$ en el conjunto que es denso en el intervalo Por lo tanto, $g$ tiene una antiderivada $G$ . Por otra parte, no puede ser cierto que $\{F(x_{n})\}_{n\geq 1}$ $[F(-1),F(1)].$ $\int _{F(-1)}^{F(1)}g(x)\,\mathrm {d} x=GF(1)-GF(-1)=2,$
ya que para cualquier partición de , se pueden elegir puntos muestrales para la suma de Riemann del conjunto , dando un valor de 0 para la suma. Se deduce que $g$ tiene un conjunto de discontinuidades de medida de Lebesgue positiva. La figura 1 a la derecha muestra una aproximación al gráfico de $g$ $($ $x$ $)$ donde y la serie se trunca a 8 términos. La figura 2 muestra el gráfico de una aproximación a la antiderivada $G$ $($ $x$ $)$ , también truncada a 8 términos. Por otro lado, si la integral de Riemann se reemplaza por la integral de Lebesgue , entonces el lema de Fatou o el teorema de convergencia dominada muestra que $g$ satisface el teorema fundamental del cálculo en ese contexto. $[F(-1),F(1)]$ $\{F(x_{n})\}_{n\geq 1}$ $\{x_{n}=\cos(n)\}_{n\geq 1}$
En los ejemplos 3 y 4, los conjuntos de discontinuidades de las funciones $g$ son densos solo en un intervalo abierto finito. Sin embargo, estos ejemplos se pueden modificar fácilmente para tener conjuntos de discontinuidades que sean densos en toda la línea real . Sea Entonces tiene un conjunto denso de discontinuidades en y tiene antiderivada $(a,b).$ $(-\infty ,\infty )$ $\lambda (x)={\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{\pi }}\tan ^{-1}x.$ $g(\lambda (x))\lambda '(x)$ $(-\infty ,\infty )$ $G\cdot \lambda .$
Utilizando un método similar al del Ejemplo 5, se puede modificar $g$ en el Ejemplo 4 de modo que se anule en todos los números racionales . Si se utiliza una versión ingenua de la integral de Riemann definida como el límite de las sumas de Riemann de la izquierda o de la derecha sobre particiones regulares, se obtendrá que la integral de dicha función $g$ sobre un intervalo es 0 siempre que $a$ y $b$ sean racionales, en lugar de . Por lo tanto, el teorema fundamental del cálculo fracasará espectacularmente. $[a,b]$ $G(b)-G(a)$
Una función que tiene una antiderivada puede no ser integrable según el método de Riemann. La derivada de la función de Volterra es un ejemplo.

Fórmulas básicas

Si , entonces . ${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}f(x)=g(x)$ $\int g(x)\mathrm {d} x=f(x)+C$
$\int 1\ \mathrm {d} x=x+C$
$\int a\ \mathrm {d} x=ax+C$
$\int x^{n}\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C;\ n\neq -1$
$\int \sin {x}\ \mathrm {d} x=-\cos {x}+C$
$\int \cos {x}\ \mathrm {d} x=\sin {x}+C$
$\int \sec ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=\tan {x}+C$
$\int \csc ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=-\cot {x}+C$
$\int \sec {x}\tan {x}\ \mathrm {d} x=\sec {x}+C$
$\int \csc {x}\cot {x}\ \mathrm {d} x=-\csc {x}+C$
$\int {\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x=\ln |x|+C$
$\int \mathrm {e} ^{x}\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{x}+C$
$\int a^{x}\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C;\ a>0,\ a\neq 1$
$\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\ \mathrm {d} x=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+C$
$\int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\ \mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C$

Véase también

Notas

^ Las antiderivadas también se denominan integrales generales y, a veces, integrales . El último término es genérico y se refiere no solo a integrales indefinidas (antiderivadas), sino también a integrales definidas . Cuando se utiliza la palabra integral sin especificación adicional, se supone que el lector deduce del contexto si se refiere a una integral definida o indefinida. Algunos autores definen la integral indefinida de una función como el conjunto de sus infinitas antiderivadas posibles. Otros la definen como un elemento seleccionado arbitrariamente de ese conjunto. Este artículo adopta este último enfoque. En los libros de texto de matemáticas de nivel A en inglés se puede encontrar el término primitiva completa - L. Bostock y S. Chandler (1978) Pure Mathematics 1 ; La solución de una ecuación diferencial que incluye la constante arbitraria se llama solución general (o, a veces, primitiva completa) .

Referencias

^ Stewart, James (2008). Cálculo: trascendentales tempranos (6.ª ed.). Brooks/Cole . ISBN 978-0-495-01166-8.
^ Larson, Ron ; Edwards, Bruce H. (2009). Cálculo (novena edición). Brooks/Cole . ISBN 978-0-547-16702-2.
^ ab "4.9: Antiderivadas". Matemáticas LibreTexts . 2017-04-27 . Consultado el 2020-08-18 .
^ "Antiderivada e integración indefinida | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org . Consultado el 18 de agosto de 2020 .

Lectura adicional

Introducción al análisis real clásico , por Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (véase también)
Ensayo histórico sobre la continuidad de las derivadas de Dave L. Renfro

Enlaces externos

Wolfram Integrator: integración simbólica en línea gratuita con Mathematica
Calculadora de funciones de WIMS
Integral en HyperPhysics
Antiderivadas e integrales indefinidas en Khan Academy
Calculadora integral en Symbolab
La antiderivada en el MIT
Introducción a las integrales en SparkNotes
Antiderivadas en el Harvy Mudd College

[1] Las antiderivadas también se denominan integrales generales y, a veces, integrales . El último término es genérico y se refiere no solo a integrales indefinidas (antiderivadas), sino también a integrales definidas . Cuando se utiliza la palabra integral sin especificación adicional, se supone que el lector deduce del contexto si se refiere a una integral definida o indefinida. Algunos autores definen la integral indefinida de una función como el conjunto de sus infinitas antiderivadas posibles. Otros la definen como un elemento seleccionado arbitrariamente de ese conjunto. Este artículo adopta este último enfoque. En los libros de texto de matemáticas de nivel A en inglés se puede encontrar el término primitiva completa - L. Bostock y S. Chandler (1978) Pure Mathematics 1 ; La solución de una ecuación diferencial que incluye la constante arbitraria se llama solución general (o, a veces, primitiva completa) .

[2] Stewart, James (2008). Cálculo: trascendentales tempranos (6.ª ed.). Brooks/Cole . ISBN 978-0-495-01166-8.

[3] Larson, Ron ; Edwards, Bruce H. (2009). Cálculo (novena edición). Brooks/Cole . ISBN 978-0-547-16702-2.

[:1-4] "4.9: Antiderivadas". Matemáticas LibreTexts . 2017-04-27 . Consultado el 2020-08-18 .

[5] "Antiderivada e integración indefinida | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org . Consultado el 18 de agosto de 2020 .