Lista de identidades trigonométricas

Igualdades que involucran funciones trigonométricas

En trigonometría , las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas y son verdaderas para cada valor de las variables que ocurren para las cuales ambos lados de la igualdad están definidos. Geométricamente, estas son identidades que involucran ciertas funciones de uno o más ángulos . Son distintas de las identidades triangulares , que son identidades que potencialmente involucran ángulos pero también involucran longitudes de lados u otras longitudes de un triángulo .

Estas identidades son útiles siempre que sea necesario simplificar expresiones que involucran funciones trigonométricas. Una aplicación importante es la integración de funciones no trigonométricas: una técnica común implica primero usar la regla de sustitución con una función trigonométrica y luego simplificar la integral resultante con una identidad trigonométrica.

Identidades pitagóricas

{\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta } — Funciones trigonométricas y sus recíprocas en la circunferencia unitaria. Todos los triángulos rectángulos son semejantes, es decir, las razones entre sus lados correspondientes son las mismas. Para seno, coseno y tangente, el radio de longitud unitaria forma la hipotenusa del triángulo que los define. Las identidades recíprocas surgen como razones de los lados en los triángulos donde esta línea unitaria ya no es la hipotenusa. El triángulo sombreado en azul ilustra la identidad , y el triángulo rojo muestra que . $1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$ $\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta$

La relación básica entre el seno y el coseno viene dada por la identidad pitagórica:

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$

donde significa y significa $\sin ^{2}\theta$ $(\sin \theta )^{2}$ $\cos ^{2}\theta$ $(\cos \theta )^{2}.$

Esto puede considerarse como una versión del teorema de Pitágoras y se desprende de la ecuación del círculo unitario . Esta ecuación puede resolverse tanto para el seno como para el coseno: $x^{2}+y^{2}=1$

${\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}$

donde el signo depende del cuadrante de $\theta .$

Dividiendo esta identidad por , o ambas se obtienen las siguientes identidades: $\sin ^{2}\theta$ $\cos ^{2}\theta$ ${\begin{aligned}&1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \\&1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \\&\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta \end{aligned}}$

Utilizando estas identidades, es posible expresar cualquier función trigonométrica en términos de cualquier otra ( hasta un signo más o menos):

Cada función trigonométrica en términos de cada una de las otras cinco. ^[1]
en términos de	$\sin \theta$	$\csc \theta$	$\cos \theta$	$\sec \theta$	$\tan \theta$	$\cot \theta$
$\sin \theta =$	$\sin \theta$	${\frac {1}{\csc \theta }}$	$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\csc \theta =$	${\frac {1}{\sin \theta }}$	$\csc \theta$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}$	$\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}$
$\cos \theta =$	$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}$	$\cos \theta$	${\frac {1}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\sec \theta =$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	${\frac {1}{\cos \theta }}$	$\sec \theta$	$\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}$
$\tan \theta =$	$\pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}$	$\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}$	$\tan \theta$	${\frac {1}{\cot \theta }}$
$\cot \theta =$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}$	$\pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}$	$\pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\frac {1}{\tan \theta }}$	$\cot \theta$

Reflexiones, cambios y periodicidad

Examinando el círculo unitario, se pueden establecer las siguientes propiedades de las funciones trigonométricas.

Reflexiones

{\estilo de visualización \alpha} — Transformación de coordenadas ( a , b ) al desplazar el ángulo de reflexión en incrementos de . $\alpha$ ${\frac {\pi }{4}}$

Cuando la dirección de un vector euclidiano se representa mediante un ángulo, este es el ángulo determinado por el vector libre (que comienza en el origen) y el vector unitario positivo. El mismo concepto también se puede aplicar a las líneas en un espacio euclidiano, donde el ángulo es el determinado por una paralela a la línea dada que pasa por el origen y el eje positivo. Si una línea (vector) con dirección se refleja alrededor de una línea con dirección , entonces el ángulo de dirección de esta línea reflejada (vector) tiene el valor $\theta ,$ $x$ $x$ $\theta$ $\alpha ,$ $\theta ^{\prime }$ $\theta ^{\prime }=2\alpha -\theta .$

Los valores de las funciones trigonométricas de estos ángulos para ángulos específicos satisfacen identidades simples: o son iguales, o tienen signos opuestos, o emplean la función trigonométrica complementaria. Estas también se conocen como fórmulas de reducción . ^[2] $\theta ,\;\theta ^{\prime }$ $\alpha$

$\theta$ reflejado en ^[3]identidades pares/impares $\alpha =0$	$\theta$ reflejado en $\alpha ={\frac {\pi }{4}}$	$\theta$ reflejado en $\alpha ={\frac {\pi }{2}}$	$\theta$ reflejado en $\alpha ={\frac {3\pi }{4}}$	$\theta$ reflejado en comparar con $\alpha =\pi$ $\alpha =0$
$\sin(-\theta )=-\sin \theta$	$\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta$	$\sin(\pi -\theta )=+\sin \theta$	$\sin \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\cos \theta$	$\sin(2\pi -\theta )=-\sin(\theta )=\sin(-\theta )$
$\cos(-\theta )=+\cos \theta$	$\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta$	$\cos(\pi -\theta )=-\cos \theta$	$\cos \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sin \theta$	$\cos(2\pi -\theta )=+\cos(\theta )=\cos(-\theta )$
$\tan(-\theta )=-\tan \theta$	$\tan \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta$	$\tan(\pi -\theta )=-\tan \theta$	$\tan \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\cot \theta$	$\tan(2\pi -\theta )=-\tan(\theta )=\tan(-\theta )$
$\csc(-\theta )=-\csc \theta$	$\csc \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta$	$\csc(\pi -\theta )=+\csc \theta$	$\csc \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sec \theta$	$\csc(2\pi -\theta )=-\csc(\theta )=\csc(-\theta )$
$\sec(-\theta )=+\sec \theta$	$\sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta$	$\sec(\pi -\theta )=-\sec \theta$	$\sec \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\csc \theta$	$\sec(2\pi -\theta )=+\sec(\theta )=\sec(-\theta )$
$\cot(-\theta )=-\cot \theta$	$\cot \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta$	$\cot(\pi -\theta )=-\cot \theta$	$\cot \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\tan \theta$	$\cot(2\pi -\theta )=-\cot(\theta )=\cot(-\theta )$

Turnos y periodicidad

{\estilo de visualización \theta} — Transformación de coordenadas ( a , b ) al desplazar el ángulo en incrementos de . $\theta$ ${\frac {\pi }{2}}$

Desplazamiento por un cuarto de período	Desplazamiento por medio período	Desplazamiento por periodos completos ^[4]	Período
$\sin(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \cos \theta$	$\sin(\theta +\pi )=-\sin \theta$	$\sin(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sin \theta$	$2\pi$
$\cos(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \sin \theta$	$\cos(\theta +\pi )=-\cos \theta$	$\cos(\theta +k\cdot 2\pi )=+\cos \theta$	$2\pi$
$\csc(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \sec \theta$	$\csc(\theta +\pi )=-\csc \theta$	$\csc(\theta +k\cdot 2\pi )=+\csc \theta$	$2\pi$
$\sec(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \csc \theta$	$\sec(\theta +\pi )=-\sec \theta$	$\sec(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sec \theta$	$2\pi$
$\tan(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }}$	$\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta$	$\tan(\theta +k\cdot \pi )=+\tan \theta$	$\pi$
$\cot(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta }}$	$\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta$	$\cot(\theta +k\cdot \pi )=+\cot \theta$	$\pi$

Señales

El signo de las funciones trigonométricas depende del cuadrante del ángulo. Si y $sgn$ es la función de signo , ${-\pi }<\theta \leq \pi$

${\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sin \theta )=\operatorname {sgn}(\csc \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ 0<\theta <\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <0\\0&{\text{if}}\ \ \theta \in \{0,\pi \}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\cos \theta )=\operatorname {sgn}(\sec \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr \}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\tan \theta )=\operatorname {sgn}(\cot \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <0\ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },0,{\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi {\bigr \}}\end{cases}}\end{aligned}}$

Las funciones trigonométricas son periódicas con período común, por lo que para valores de $θ$ fuera del intervalo toman valores repetidos (ver § Desplazamientos y periodicidad más arriba). $2\pi ,$ $({-\pi },\pi ],$

Identidades de suma y diferencia de ángulos

Ilustración de fórmulas de suma de ángulos para el seno y el coseno de ángulos agudos. El segmento resaltado tiene una longitud unitaria.

{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )} — Diagrama que muestra las identidades de diferencia de ángulos para y . $\sin(\alpha -\beta )$ $\cos(\alpha -\beta )$

Estos también se conocen como teoremas (o fórmulas ) de suma y resta de ángulos . ${\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha -\beta )&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}$

Las identidades de diferencia de ángulos para y se pueden derivar de las versiones de suma de ángulos sustituyendo y utilizando los hechos de que y . También se pueden derivar utilizando una versión ligeramente modificada de la figura para las identidades de suma de ángulos, ambas que se muestran aquí. $\sin(\alpha -\beta )$ $\cos(\alpha -\beta )$ $-\beta$ $\beta$ $\sin(-\beta )=-\sin(\beta )$ $\cos(-\beta )=\cos(\beta )$

Estas identidades se resumen en las dos primeras filas de la siguiente tabla, que también incluye identidades de suma y diferencia para las demás funciones trigonométricas.

Seno	$\sin(\alpha \pm \beta )$	$=$	$\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$ ^[5]^[6]
Coseno	$\cos(\alpha \pm \beta )$	$=$	$\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$ ^[6]^[7]
Tangente	$\tan(\alpha \pm \beta )$	$=$	${\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$ ^[6]^[8]
Cosecante	$\csc(\alpha \pm \beta )$	$=$	${\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta }}$ ^[9]
Secante	$\sec(\alpha \pm \beta )$	$=$	${\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta }}$ ^[9]
Cotangente	$\cot(\alpha \pm \beta )$	$=$	${\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}$ ^[6]^[10]
Arcoseno	$\arcsin x\pm \arcsin y$	$=$	$\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}\pm y{\sqrt {1-x^{2}{\vphantom {y}}}}\right)$ ^[11]
Arcocoseno	$\arccos x\pm \arccos y$	$=$	$\arccos \left(xy\mp {\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}}\right)$ ^[12]
Arcotangente	$\arctan x\pm \arctan y$	$=$	$\arctan \left({\frac {x\pm y}{1\mp xy}}\right)$ ^[13]
Arcotangente	$\operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y$	$=$	$\operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)$

Senos y cosenos de sumas de infinitos ángulos

Cuando la serie converge absolutamente entonces ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$

${\begin{aligned}{\sin }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggl )}&=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\!\!\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}\\{\cos }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggr )}&=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}(-1)^{\frac {k}{2}}\,\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}.\end{aligned}}$

Como la serie converge absolutamente, es necesariamente el caso de que y En particular, en estas dos identidades aparece una asimetría que no se ve en el caso de sumas de un número finito de ángulos: en cada producto, solo hay un número finito de factores seno pero hay un número cofinito de factores coseno. Los términos con un número infinito de factores seno serían necesariamente iguales a cero. ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\theta _{i}=0,}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\sin \theta _{i}=0,}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\cos \theta _{i}=1.}$

Cuando sólo un número finito de ángulos son distintos de cero, entonces sólo un número finito de términos del lado derecho son distintos de cero porque todos los factores seno, excepto un número finito, se anulan. Además, en cada término, todos los factores coseno, excepto un número finito, son la unidad. $\theta _{i}$

Tangentes y cotangentes de sumas

Sea (para ) el polinomio simétrico elemental de grado k $en$ las variables para que es, $e_{k}$ $k=0,1,2,3,\ldots$ $x_{i}=\tan \theta _{i}$ $i=0,1,2,3,\ldots ,$

${\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&\ \ \vdots &&\ \ \vdots \end{aligned}}$

Entonces

${\begin{aligned}{\tan }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {{\sin }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{{\cos }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\[10pt]&={\frac {\displaystyle \sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\displaystyle \sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[10pt]{\cot }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}$

utilizando las fórmulas de suma de seno y coseno anteriores.

El número de términos en el lado derecho depende del número de términos en el lado izquierdo.

Por ejemplo: ${\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}$

y así sucesivamente. El caso de que sólo haya un número finito de términos se puede demostrar por inducción matemática . ^[14] El caso de que haya un número infinito de términos se puede demostrar utilizando algunas desigualdades elementales. ^[15]

Secantes y cosecantes de sumas

${\begin{aligned}{\sec }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]{\csc }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}$

donde es el polinomio simétrico elemental de grado k $en$ las $n$ variables y el número de términos en el denominador y el número de factores en el producto en el numerador dependen del número de términos en la suma de la izquierda. ^[16] El caso de sólo un número finito de términos se puede demostrar por inducción matemática sobre el número de tales términos. $e_{k}$ $x_{i}=\tan \theta _{i},$ $i=1,\ldots ,n,$

Por ejemplo,

${\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}$

Teorema de Ptolomeo

El teorema de Ptolomeo es importante en la historia de las identidades trigonométricas, ya que es la forma en que se demostraron por primera vez los resultados equivalentes a las fórmulas de suma y diferencia para el seno y el coseno. Afirma que en un cuadrilátero cíclico , como se muestra en la figura adjunta, la suma de los productos de las longitudes de los lados opuestos es igual al producto de las longitudes de las diagonales. En los casos especiales de que una de las diagonales o lados sea un diámetro del círculo, este teorema da lugar directamente a las identidades trigonométricas de suma y diferencia de ángulos. ^[17] La relación se deduce más fácilmente cuando el círculo se construye para que tenga un diámetro de longitud uno, como se muestra aquí. $ABCD$

Por el teorema de Tales , y son ambos ángulos rectos. Los triángulos rectángulos y comparten la hipotenusa de longitud 1. Por lo tanto, el lado , y . $\angle DAB$ $\angle DCB$ $DAB$ $DCB$ ${\overline {BD}}$ ${\overline {AB}}=\sin \alpha$ ${\overline {AD}}=\cos \alpha$ ${\overline {BC}}=\sin \beta$ ${\overline {CD}}=\cos \beta$

Por el teorema del ángulo inscrito , el ángulo central subtendido por la cuerda en el centro del círculo es el doble del ángulo , es decir . Por lo tanto, el par simétrico de triángulos rojos tiene cada uno el ángulo en el centro. Cada uno de estos triángulos tiene una hipotenusa de longitud , por lo que la longitud de es , es decir, simplemente . La otra diagonal del cuadrilátero es el diámetro de longitud 1, por lo que el producto de las longitudes de las diagonales también es . ${\overline {AC}}$ $\angle ADC$ $2(\alpha +\beta )$ $\alpha +\beta$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ ${\overline {AC}}$ ${\textstyle 2\times {\frac {1}{2}}\sin(\alpha +\beta )}$ $\sin(\alpha +\beta )$ $\sin(\alpha +\beta )$

Cuando estos valores se sustituyen en el enunciado del teorema de Ptolomeo de que , se obtiene la identidad trigonométrica de suma de ángulos para el seno: . La fórmula de diferencia de ángulos para se puede derivar de manera similar dejando que el lado sirva como diámetro en lugar de . ^[17] $|{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|$ $\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ $\sin(\alpha -\beta )$ ${\overline {CD}}$ ${\overline {BD}}$

Fórmulas de ángulos múltiples y medios ángulos

$T n$ es el $n$ -ésimo polinomio de Chebyshev	$\cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )$ ^[18]
Fórmula de De Moivre , $i$ es la unidad imaginaria	$\cos(n\theta )+i\sin(n\theta )=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}$ ^[19]

Fórmulas de ángulos múltiples

Fórmulas de doble ángulo

{\estilo de visualización 2\theta} — Demostración visual de la fórmula del seno para el ángulo doble. Para el triángulo isósceles anterior con lados y ángulos unitarios , el área ⁠ $2\theta$ 1/2× base × altura se calcula en dos orientaciones. Cuando está en posición vertical, el área es . Cuando está de lado, la misma área es . Por lo tanto, $\sin \theta \cos \theta$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\sin 2\theta }$ $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta .$

Fórmulas para el doble de un ángulo. ^[20]

$\sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta =(\sin \theta +\cos \theta )^{2}-1={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}$
$\cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}$
$\tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$
$\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}$
$\sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$
$\csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}$

Fórmulas del triple ángulo

Fórmulas para ángulos triples. ^[20]

$\sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =4\sin \theta \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)$
$\cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)$
$\tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta \tan \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\tan \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)$
$\cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}$
$\sec(3\theta )={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}$
$\csc(3\theta )={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}$

Fórmulas de ángulos múltiples

Fórmulas para ángulos múltiples. ^[21]

${\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sin \theta \sum _{i=0}^{(n+1)/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i+1}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)-1}\theta \\{}&=2^{(n-1)}\prod _{k=0}^{n-1}\sin(k\pi /n+\theta )\end{aligned}}$
$\cos(n\theta )=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sum _{i=0}^{n/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)}\theta$
$\cos((2n+1)\theta )=(-1)^{n}2^{2n}\prod _{k=0}^{2n}\cos(k\pi /(2n+1)-\theta )$
$\cos(2n\theta )=(-1)^{n}2^{2n-1}\prod _{k=0}^{2n-1}\cos((1+2k)\pi /(4n)-\theta )$
$\tan(n\theta )={\frac {\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }{\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }}$

El método de Chebyshev

El método de Chebyshev es un algoritmo recursivo para encontrar la fórmula del ángulo múltiplo $n$ conociendo los valores th y th. ^[22] $(n-1)$ $(n-2)$

$\cos(nx)$ se puede calcular a partir de , , y con $\cos((n-1)x)$ $\cos((n-2)x)$ $\cos(x)$

$\cos(nx)=2\cos x\cos((n-1)x)-\cos((n-2)x).$

Esto se puede demostrar sumando las fórmulas

${\begin{aligned}\cos((n-1)x+x)&=\cos((n-1)x)\cos x-\sin((n-1)x)\sin x\\\cos((n-1)x-x)&=\cos((n-1)x)\cos x+\sin((n-1)x)\sin x\end{aligned}}$

Se deduce por inducción que es un polinomio del llamado polinomio de Chebyshev de primer tipo, ver Polinomios de Chebyshev#Definición trigonométrica . $\cos(nx)$ $\cos x,$

De manera similar, se puede calcular a partir de y con Esto se puede demostrar agregando fórmulas para y $\sin(nx)$ $\sin((n-1)x),$ $\sin((n-2)x),$ $\cos x$ $\sin(nx)=2\cos x\sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)$ $\sin((n-1)x+x)$ $\sin((n-1)x-x).$

Cumpliendo una finalidad similar a la del método de Chebyshev, para la tangente podemos escribir:

$\tan(nx)={\frac {\tan((n-1)x)+\tan x}{1-\tan((n-1)x)\tan x}}\,.$

Fórmulas de medio ángulo

${\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\cos {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\\[6mu]&=\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {-1+\operatorname {sgn}(\cos \theta ){\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}\\[3pt]\cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta =\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\\sec {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1+\cos \theta }}}\\\csc {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1-\cos \theta }}}\\\end{aligned}}$ ^[23]^[24]

También ${\begin{aligned}\tan {\frac {\eta \pm \theta }{2}}&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[3pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[3pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\end{aligned}}$

Mesa

Esto se puede demostrar utilizando las identidades de suma y diferencia o las fórmulas de ángulos múltiples.

	Seno	Coseno	Tangente	Cotangente
Fórmula del doble ángulo ^[25]^[26]	${\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos(2\theta )&=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	$\tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$	$\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}$
Fórmula del triple ángulo ^[18]^[27]	${\begin{aligned}\sin(3\theta )&=-\sin ^{3}\theta +3\cos ^{2}\theta \sin \theta \\&=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos(3\theta )&=\cos ^{3}\theta -3\sin ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}$	$\tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}$	$\cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}$
Fórmula del semiángulo ^[23]^[24]	${\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\\\&\left({\text{or }}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\\\&\left({\text{or }}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[3pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[3pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[5pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[5pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[5pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left\|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right\|}{\left\|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right\|}}\\[5pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {\tan \theta }{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}\\&{\text{for }}\theta \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\[3pt]&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\[4pt]&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}$

El hecho de que la fórmula del triple ángulo para seno y coseno solo involucra potencias de una sola función permite relacionar el problema geométrico de la construcción con compás y regla de la trisección de un ángulo con el problema algebraico de resolver una ecuación cúbica , lo que permite demostrar que la trisección es en general imposible usando las herramientas dadas.

Existe una fórmula para calcular las identidades trigonométricas para el ángulo de un tercio, pero requiere encontrar los ceros de la ecuación cúbica $4 x 3 - 3 x + d = 0$ , donde es el valor de la función coseno en el ángulo de un tercio y $d$ es el valor conocido de la función coseno en el ángulo completo. Sin embargo, el discriminante de esta ecuación es positivo, por lo que esta ecuación tiene tres raíces reales (de las cuales solo una es la solución para el coseno del ángulo de un tercio). Ninguna de estas soluciones es reducible a una expresión algebraica real , ya que utilizan números complejos intermedios bajo las raíces cúbicas . $x$

Fórmulas de reducción de potencia

Se obtiene resolviendo la segunda y tercera versión de la fórmula del coseno del doble ángulo.

Seno	Coseno	Otro
$\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}$	$\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}$	$\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(4\theta )}{8}}$
$\sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin(3\theta )}{4}}$	$\cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos(3\theta )}{4}}$	$\sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin(2\theta )-\sin(6\theta )}{32}}$
$\sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}$	$\cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}$	$\sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(4\theta )+\cos(8\theta )}{128}}$
$\sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin(3\theta )+\sin(5\theta )}{16}}$	$\cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos(3\theta )+\cos(5\theta )}{16}}$	$\sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin(2\theta )-5\sin(6\theta )+\sin(10\theta )}{512}}$

{\displaystyle {\overline {AD}}} — Fórmula de reducción de potencia del coseno: un diagrama ilustrativo. Los triángulos rojo, naranja y azul son todos similares, y los triángulos rojo y naranja son congruentes. La hipotenusa del triángulo azul tiene una longitud de . El ángulo es , por lo que la base de ese triángulo tiene una longitud de . Esa longitud también es igual a las longitudes sumadas de y , es decir . Por lo tanto, . Dividiendo ambos lados por se obtiene la fórmula de reducción de potencia para el coseno: . La fórmula del medio ángulo para el coseno se puede obtener reemplazando con y sacando la raíz cuadrada de ambos lados: ${\overline {AD}}$ $2\cos \theta$ $\angle DAE$ $\theta$ ${\overline {AE}}$ $2\cos ^{2}\theta$ ${\overline {BD}}$ ${\overline {AF}}$ $1+\cos(2\theta )$ $2\cos ^{2}\theta =1+\cos(2\theta )$ $2$ $\cos ^{2}\theta =$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\cos(2\theta ))}$ $\theta$ $\theta /2$ ${\textstyle \cos \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1+\cos \theta \right)/2}}.}$

{\estilo de visualización EBD} — Fórmula de reducción de potencia de seno: un diagrama ilustrativo. Los triángulos sombreados en azul y verde, y el triángulo delineado en rojo son todos rectángulos y similares, y todos contienen el ángulo . La hipotenusa del triángulo delineado en rojo tiene longitud , por lo que su lado tiene longitud . El segmento de línea tiene longitud y la suma de las longitudes de y es igual a la longitud de , que es 1. Por lo tanto, . Restando de ambos lados y dividiendo por 2 por dos, se obtiene la fórmula de reducción de potencia para seno: . La fórmula de medio ángulo para seno se puede obtener reemplazando con y tomando la raíz cuadrada de ambos lados: Tenga en cuenta que esta figura también ilustra, en el segmento de línea vertical , que . $EBD$ $\theta$ ${\overline {BD}}$ $2\sin \theta$ ${\overline {DE}}$ $2\sin ^{2}\theta$ ${\overline {AE}}$ $\cos 2\theta$ ${\overline {AE}}$ ${\overline {DE}}$ ${\overline {AD}}$ $\cos 2\theta +2\sin ^{2}\theta =1$ $\cos 2\theta$ $\sin ^{2}\theta =$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1-\cos(2\theta ))}$ $\theta$ $\theta /2$ ${\textstyle \sin \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1-\cos \theta \right)/2}}.}$ ${\overline {EB}}$ $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

En términos generales de potencias de o lo siguiente es cierto y se puede deducir utilizando la fórmula de De Moivre , la fórmula de Euler y el teorema del binomio . $\sin \theta$ $\cos \theta$

Si n es...	$\cos ^{n}\theta$	$\sin ^{n}\theta$
n es impar	$\cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$
n es par	$\cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$

Identidades producto-suma y suma-producto

Las identidades de producto a suma ^[28] o fórmulas de prostaféresis se pueden demostrar expandiendo sus lados derechos utilizando los teoremas de adición de ángulos. Históricamente, las primeras cuatro de estas se conocían como fórmulas de Werner , en honor a Johannes Werner, quien las utilizó para cálculos astronómicos. ^[29] Véase modulación de amplitud para una aplicación de las fórmulas de producto a suma, y beat (acústica) y detector de fase para aplicaciones de las fórmulas de suma a producto.

Identidades de producto a suma

$\cos \theta \,\cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ) \over 2}$
$\sin \theta \,\sin \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ) \over 2}$
$\sin \theta \,\cos \varphi ={\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi ) \over 2}$
$\cos \theta \,\sin \varphi ={\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi ) \over 2}$
$\tan \theta \,\tan \varphi ={\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}}$
$\tan \theta \,\cot \varphi ={\frac {\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}{\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}}$
${\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \theta _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\[6pt]&{\text{where }}e=(e_{1},\ldots ,e_{n})\in S=\{1,-1\}^{n}\end{aligned}}$
$\prod _{k=1}^{n}\sin \theta _{k}={\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }}{2^{n}}}{\begin{cases}\displaystyle \sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is even}},\\\displaystyle \sum _{e\in S}\sin(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is odd}}\end{cases}}$

Identidades de suma y producto

Las identidades de suma y producto son las siguientes: ^[30]

$\sin \theta \pm \sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)$
$\cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$
$\cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$
$\tan \theta \pm \tan \varphi ={\frac {\sin(\theta \pm \varphi )}{\cos \theta \,\cos \varphi }}$

Identidad cotangente de Hermite

Charles Hermite demostró la siguiente identidad. ^[31] Supongamos que hay números complejos , ninguno de los cuales difiere en un múltiplo entero de $π$ . Sea $a_{1},\ldots ,a_{n}$

$A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})$

(en particular, al ser un producto vacío , es 1). Entonces $A_{1,1},$

$\cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).$

El ejemplo no trivial más simple es el caso $n = 2$ :

$\cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).$

Productos finitos de funciones trigonométricas

Para números enteros coprimos $n$ , $m$

$\prod _{k=1}^{n}\left(2a+2\cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+x\right)\right)=2\left(T_{n}(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(nx)\right)$

donde $T n$ es el polinomio de Chebyshev . ^{[ cita requerida ]}

La siguiente relación es válida para la función seno

$\prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}.$

De manera más general, para un entero $n > 0$ ^[32]

$\sin(nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi +x\right)=2^{n-1}\prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi -x\right).$

o escrito en términos de la función de acorde , ${\textstyle \operatorname {crd} x\equiv 2\sin {\tfrac {1}{2}}x}$

$\operatorname {crd} (nx)=\prod _{k=1}^{n}\operatorname {crd} \left({\frac {k}{n}}2\pi -x\right).$

Esto proviene de la factorización del polinomio en factores lineales (cf. raíz de la unidad ): Para cualquier complejo $z$ y un entero $n$ $> 0$ , ${\textstyle z^{n}-1}$

$z^{n}-1=\prod _{k=1}^{n}\left(z-\exp {\Bigl (}{\frac {k}{n}}2\pi i{\Bigr )}\right).$

Combinaciones lineales

Para algunos propósitos es importante saber que cualquier combinación lineal de ondas sinusoidales del mismo período o frecuencia pero con diferentes cambios de fase también es una onda sinusoidal con el mismo período o frecuencia, pero con un cambio de fase diferente. Esto es útil en el ajuste de datos sinusoidales , porque los datos medidos u observados están relacionados linealmente con las incógnitas $a$ y $b de los$ componentes en fase y en cuadratura base a continuación, lo que da como resultado un jacobiano más simple , en comparación con el de y . $c$ $\varphi$

Seno y coseno

La combinación lineal, o adición armónica, de ondas seno y coseno es equivalente a una única onda seno con un desplazamiento de fase y una amplitud escalada, ^[33]^[34]

$a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi )$

donde y se definen así: $c$ $\varphi$

${\begin{aligned}c&=\operatorname {sgn}(a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\\\varphi &={\arctan }{\bigl (}{-b/a}{\bigr )},\end{aligned}}$

dado que $a\neq 0.$

Desplazamiento de fase arbitrario

De manera más general, para cambios de fase arbitrarios, tenemos

$a\sin(x+\theta _{a})+b\sin(x+\theta _{b})=c\sin(x+\varphi )$

donde y satisfacen: $c$ $\varphi$

${\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \left(\theta _{a}-\theta _{b}\right),\\\tan \varphi &={\frac {a\sin \theta _{a}+b\sin \theta _{b}}{a\cos \theta _{a}+b\cos \theta _{b}}}.\end{aligned}}$

Más de dos sinusoides

El caso general dice ^[34]

$\sum _{i}a_{i}\sin(x+\theta _{i})=a\sin(x+\theta ),$ donde y $a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})$ $\tan \theta ={\frac {\sum _{i}a_{i}\sin \theta _{i}}{\sum _{i}a_{i}\cos \theta _{i}}}.$

Identidades trigonométricas de Lagrange

Estas identidades, que llevan el nombre de Joseph Louis Lagrange , son: ^[35]^[36]^[37] para ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sin k\theta &={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}\theta -\cos \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\\[5pt]\sum _{k=0}^{n}\cos k\theta &={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}\theta +\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\end{aligned}}$ $\theta \not \equiv 0{\pmod {2\pi }}.$

Una función relacionada es el núcleo Dirichlet :

$D_{n}(\theta )=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos k\theta ={\frac {\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}.$

Una identidad similar es ^[38]

$\sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha ={\frac {\sin(2n\alpha )}{2\sin \alpha }}.$

La prueba es la siguiente. Utilizando las identidades de suma y diferencia de ángulos, examinemos la siguiente fórmula: $\sin(A+B)-\sin(A-B)=2\cos A\sin B.$

$2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha +2\sin \alpha \cos 3\alpha +2\sin \alpha \cos 5\alpha +\ldots +2\sin \alpha \cos(2n-1)\alpha$ y esta fórmula se puede escribir utilizando la identidad anterior,

${\begin{aligned}&2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha \\&\quad =\sum _{k=1}^{n}(\sin(2k\alpha )-\sin(2(k-1)\alpha ))\\&\quad =(\sin 2\alpha -\sin 0)+(\sin 4\alpha -\sin 2\alpha )+(\sin 6\alpha -\sin 4\alpha )+\ldots +(\sin(2n\alpha )-\sin(2(n-1)\alpha ))\\&\quad =\sin(2n\alpha ).\end{aligned}}$

Entonces, al dividir esta fórmula se completa la prueba. $2\sin \alpha$

Ciertas transformaciones fraccionarias lineales

Si se da por la transformación fraccionaria lineal y de manera similar entonces $f(x)$ $f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},$ $g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},$ $f{\big (}g(x){\big )}=g{\big (}f(x){\big )}={\frac {{\big (}\cos(\alpha +\beta ){\big )}x-\sin(\alpha +\beta )}{{\big (}\sin(\alpha +\beta ){\big )}x+\cos(\alpha +\beta )}}.$

Dicho de manera más concisa, si por todo dejamos que sea lo que llamamos arriba, entonces $\alpha$ $f_{\alpha }$ $f$ $f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.$

Si es la pendiente de una línea, entonces es la pendiente de su rotación a través de un ángulo de $x$ $f(x)$ $-\alpha .$

Relación con la función exponencial compleja

La fórmula de Euler establece que, para cualquier número real x : ^[39] donde i es la unidad imaginaria . Sustituyendo − x por x obtenemos: $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ $e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x.$

Estas dos ecuaciones se pueden utilizar para calcular el coseno y el seno en términos de la función exponencial . Específicamente, ^[40]^[41] $\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$ $\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

Estas fórmulas son útiles para demostrar muchas otras identidades trigonométricas. Por ejemplo, que $e i (θ + φ) = e iθ e iφ$ significa que

cos(θ + φ) + i sin(θ + φ) = (cos θ + i sin θ) (cos φ + i sin φ) = (cos θ cos φ - sin θ sin φ) + i (cos θ sin φ + pecado θ cos φ)

.

La igualdad de la parte real del lado izquierdo con la parte real del lado derecho es una fórmula de suma de ángulos para el coseno. La igualdad de las partes imaginarias da una fórmula de suma de ángulos para el seno.

La siguiente tabla expresa las funciones trigonométricas y sus inversas en términos de la función exponencial y el logaritmo complejo .

Función	Función inversa ^[42]
$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$	$\arcsin x=-i\,\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$
$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$	$\arccos x=-i\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$
$\tan \theta =-i\,{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}$	$\arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)$
$\csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arccsc} x=-i\,\ln \left({\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)$
$\sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arcsec} x=-i\,\ln \left({\frac {1}{x}}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)$
$\cot \theta =i\,{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)$
$\operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }$	$\operatorname {arccis} x=-i\ln x$

Expansión de la serie

Al utilizar una expansión de series de potencias para definir funciones trigonométricas, se obtienen las siguientes identidades: ^[43]

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},

\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.

Fórmulas de productos infinitos

Para aplicaciones a funciones especiales , son útiles las siguientes fórmulas de productos infinitos para funciones trigonométricas: ^[44]^[45]

${\begin{aligned}\sin x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right),\\[10mu]\sinh x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cosh x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right).\end{aligned}}$

Funciones trigonométricas inversas

Las siguientes identidades dan el resultado de componer una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa. ^[46]

${\begin{aligned}\sin(\arcsin x)&=x&\cos(\arcsin x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\tan(\arcsin x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\sin(\arccos x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\cos(\arccos x)&=x&\tan(\arccos x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\sin(\arctan x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\arctan x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\arctan x)&=x\\\sin(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{x}}&\cos(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\tan(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\sin(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\cos(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {1}{x}}&\tan(\operatorname {arcsec} x)&={\sqrt {x^{2}-1}}\\\sin(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\operatorname {arccot} x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{x}}\\\end{aligned}}$

Al tomar el inverso multiplicativo de ambos lados de cada ecuación anterior, se obtienen las ecuaciones para El lado derecho de la fórmula anterior siempre estará invertido. Por ejemplo, la ecuación para es: mientras que las ecuaciones para y son: $\csc ={\frac {1}{\sin }},\;\sec ={\frac {1}{\cos }},{\text{ and }}\cot ={\frac {1}{\tan }}.$ $\cot(\arcsin x)$ $\cot(\arcsin x)={\frac {1}{\tan(\arcsin x)}}={\frac {1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$ $\csc(\arccos x)$ $\sec(\arccos x)$ $\csc(\arccos x)={\frac {1}{\sin(\arccos x)}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\qquad {\text{ and }}\quad \sec(\arccos x)={\frac {1}{\cos(\arccos x)}}={\frac {1}{x}}.$

Las identidades siguientes están implícitas en las identidades de reflexión y se cumplen siempre que se encuentren en los dominios de las funciones pertinentes. $x,r,s,-x,-r,{\text{ and }}-s$ ${\begin{alignedat}{9}{\frac {\pi }{2}}~&=~\arcsin(x)&&+\arccos(x)~&&=~\arctan(r)&&+\operatorname {arccot}(r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arccsc}(s)\\[0.4ex]\pi ~&=~\arccos(x)&&+\arccos(-x)~&&=~\operatorname {arccot}(r)&&+\operatorname {arccot}(-r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arcsec}(-s)\\[0.4ex]0~&=~\arcsin(x)&&+\arcsin(-x)~&&=~\arctan(r)&&+\arctan(-r)~&&=~\operatorname {arccsc}(s)&&+\operatorname {arccsc}(-s)\\[1.0ex]\end{alignedat}}$

Además, ^[47] ${\begin{aligned}\arctan x+\arctan {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\-{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\{\frac {3\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\end{aligned}}$ $\arccos {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcsec} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}=\arccos x$ $\arcsin {\frac {1}{x}}=\operatorname {arccsc} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}=\arcsin x$

La función arcotangente se puede desarrollar como una serie: ^[48] $\arctan(nx)=\sum _{m=1}^{n}\arctan {\frac {x}{1+(m-1)mx^{2}}}$

Identidades sin variables

En términos de la función arcotangente tenemos ^[47] $\arctan {\frac {1}{2}}=\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.$

La curiosa identidad conocida como ley de Morrie , $\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},$

es un caso especial de una identidad que contiene una variable: $\prod _{j=0}^{k-1}\cos \left(2^{j}x\right)={\frac {\sin \left(2^{k}x\right)}{2^{k}\sin x}}.$

De manera similar, es un caso especial de una identidad con : $\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}$ $x=20^{\circ }$ $\sin x\cdot \sin \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \sin \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\sin 3x}{4}}.$

Para el caso , $x=15^{\circ }$ ${\begin{aligned}\sin 15^{\circ }\cdot \sin 45^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}$

Para el caso , $x=10^{\circ }$ $\sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.$

La misma identidad del coseno es $\cos x\cdot \cos \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \cos \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\cos 3x}{4}}.$

Similarmente, ${\begin{aligned}\cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }&={\frac {\sqrt {3}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}$

Similarmente, ${\begin{aligned}\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }&=\tan 80^{\circ },\\\tan 40^{\circ }\cdot \tan 30^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }&=\tan 10^{\circ }.\end{aligned}}$

Lo siguiente quizás no sea tan fácil de generalizar a una identidad que contenga variables (pero vea la explicación a continuación): $\cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.$

La medida en grados deja de ser más acertada que la medida en radianes cuando consideramos esta identidad con 21 en los denominadores: $\cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.$

Los factores 1, 2, 4, 5, 8, 10 pueden empezar a aclarar el patrón: son aquellos números enteros menores que ⁠21/2⁠ que son primos entre sí (o no tienen factores primos en común con) 21. Los últimos ejemplos son corolarios de un hecho básico sobre los polinomios ciclotómicos irreducibles : los cosenos son las partes reales de los ceros de esos polinomios; la suma de los ceros es la función de Möbius evaluada en (en el último caso anterior) 21; solo la mitad de los ceros están presentes anteriormente. Las dos identidades que preceden a esta última surgen de la misma manera con 21 reemplazado por 10 y 15, respectivamente.

Otras identidades de coseno incluyen: ^[49] y así sucesivamente para todos los números impares, y por lo tanto ${\begin{aligned}2\cos {\frac {\pi }{3}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{5}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{5}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {3\pi }{7}}&=1,\end{aligned}}$ $\cos {\frac {\pi }{3}}+\cos {\frac {\pi }{5}}\times \cos {\frac {2\pi }{5}}+\cos {\frac {\pi }{7}}\times \cos {\frac {2\pi }{7}}\times \cos {\frac {3\pi }{7}}+\dots =1.$

Muchas de esas curiosas identidades se derivan de hechos más generales como los siguientes: ^[50] y $\prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}$ $\prod _{k=1}^{n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {\sin {\frac {\pi n}{2}}}{2^{n-1}}}.$

Combinando estos nos da $\prod _{k=1}^{n-1}\tan {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{\sin {\frac {\pi n}{2}}}}$

Si $n$ es un número impar ( ) podemos hacer uso de las simetrías para obtener $n=2m+1$ $\prod _{k=1}^{m}\tan {\frac {k\pi }{2m+1}}={\sqrt {2m+1}}$

La función de transferencia del filtro de paso bajo Butterworth se puede expresar en términos de polinomios y polos. Al establecer la frecuencia como frecuencia de corte, se puede demostrar la siguiente identidad: $\prod _{k=1}^{n}\sin {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}=\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}}$

Computación $π$

Una forma eficiente de calcular $π$ con un gran número de dígitos se basa en la siguiente identidad sin variables, debida a Machin . Esto se conoce como una fórmula similar a Machin : o, alternativamente, utilizando una identidad de Leonhard Euler : o utilizando ternas pitagóricas : ${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$ ${\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}$ $\pi =\arccos {\frac {4}{5}}+\arccos {\frac {5}{13}}+\arccos {\frac {16}{65}}=\arcsin {\frac {3}{5}}+\arcsin {\frac {12}{13}}+\arcsin {\frac {63}{65}}.$

Otros incluyen: ^[51]^[47] ${\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}},$ $\pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3,$ ${\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.$

En general, para números $t 1, ..., t n -1 \in (-1, 1)$ para los cuales $θ n = Σ n -1 k = 1 arctan t k \in (π /4, 3 π /4)$ , sea $t n = tan(π /2 - θ n) = cot θ n$ . Esta última expresión se puede calcular directamente utilizando la fórmula para la cotangente de una suma de ángulos cuyas tangentes son $t 1, ..., t n -1$ y su valor estará en $(-1, 1)$ . En particular, la $t n$ calculada será racional siempre que todos los valores de $t 1, ..., t n -1$ sean racionales. Con estos valores, ${\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=1}^{n}\arctan(t_{k})\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {sgn}(t_{k})\arccos \left({\frac {1-t_{k}^{2}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arcsin \left({\frac {2t_{k}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arctan \left({\frac {2t_{k}}{1-t_{k}^{2}}}\right)\,,\end{aligned}}$

donde en todas las expresiones excepto en la primera, hemos usado fórmulas de semiángulo tangente. Las dos primeras fórmulas funcionan incluso si uno o más de los valores $t k$ no están dentro de $(-1, 1)$ . Tenga en cuenta que si $t = p / q$ es racional, entonces los valores $(2 t, 1 - t 2, 1 + t 2)$ en las fórmulas anteriores son proporcionales al triple pitagórico $(2 pq, q 2 - p 2, q 2 + p 2)$ .

Por ejemplo, para $n = 3$ términos, para cualquier $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $,$ $d$ $> 0$ . ${\frac {\pi }{2}}=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)+\arctan \left({\frac {c}{d}}\right)+\arctan \left({\frac {bd-ac}{ad+bc}}\right)$

Una identidad de Euclides

Euclides demostró en el Libro XIII, Proposición 10 de sus Elementos , que el área del cuadrado de un lado de un pentágono regular inscrito en un círculo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los lados del hexágono regular y del decágono regular inscritos en el mismo círculo. En el lenguaje de la trigonometría moderna, esto dice: $\sin ^{2}18^{\circ }+\sin ^{2}30^{\circ }=\sin ^{2}36^{\circ }.$

Ptolomeo utilizó esta proposición para calcular algunos ángulos en su tabla de cuerdas en el Libro I, capítulo 11 del Almagesto .

Composición de funciones trigonométricas

Estas identidades implican una función trigonométrica de una función trigonométrica: ^[52]

\cos(t\sin x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{2k}(t)\cos(2kx)

\sin(t\sin x)=2\sum _{k=0}^{\infty }J_{2k+1}(t)\sin {\big (}(2k+1)x{\big )}

\cos(t\cos x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k}(t)\cos(2kx)

\sin(t\cos x)=2\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k+1}(t)\cos {\big (}(2k+1)x{\big )}

donde $J i$ son funciones de Bessel .

Otras identidades "condicionales" para el casoalfa+β+gamma= 180°

Una identidad trigonométrica condicional es una identidad trigonométrica que se cumple si se cumplen las condiciones especificadas en los argumentos de las funciones trigonométricas. ^[53] Las siguientes fórmulas se aplican a triángulos planos arbitrarios y se deducen siempre que las funciones que aparecen en las fórmulas estén bien definidas (esto último se aplica solo a las fórmulas en las que aparecen tangentes y cotangentes). $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ },$ ${\begin{aligned}\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma &=\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\1&=\cot \beta \cot \gamma +\cot \gamma \cot \alpha +\cot \alpha \cot \beta \\\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)&=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\1&=\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\\\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+1\\-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)-1\\\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\-\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \\\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\\-\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\\-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \\\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\\-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )&=-2\cos(2\alpha )\cos(2\beta )\cos(2\gamma )+2\\\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )&=2\cos(2\alpha )\,\cos(2\beta )\,\cos(2\gamma )+1\\1&=\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)+2\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\end{aligned}}$

Taquigrafías históricas

La versina , la coversina , la haversina y la exsecante se utilizaban en navegación. Por ejemplo, la fórmula de haversina se utilizaba para calcular la distancia entre dos puntos de una esfera. Hoy en día, rara vez se utilizan.

Misceláneas

Núcleo de Dirichlet

El núcleo de Dirichlet $D n (x)$ es la función que aparece en ambos lados de la siguiente identidad: $1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}x\right)}}.$

La convolución de cualquier función integrable de período con el núcleo de Dirichlet coincide con la aproximación de Fourier de grado n.° de la función . Lo mismo se aplica a cualquier función de medida o generalizada . $2\pi$ $n$

Sustitución de la mitad del ángulo tangente

Si establecemos entonces ^[54] donde a veces se abrevia como $cis$ $x$ . $t=\tan {\frac {x}{2}},$ $\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}};\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}};\qquad e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}};\qquad dx={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}},$ $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

Cuando esta sustitución de por $tan$ $⁠$ $t$ $incógnita / 2 ⁠$ se utiliza en cálculo , se deduce quese reemplaza por $⁠$ $\sin x$ $2 toneladas / 1 + t2 ⁠$ ,se reemplaza por $⁠$ $\cos x$ $1 - t2 / 1 + t2 ⁠$ y el diferencial $d x$ se reemplaza por $⁠$ $2 días / 1 + t2 ⁠$ . De este modo, se convierten funciones racionales deyen funciones racionales depara encontrar sus antiderivadas . $\sin x$ $\cos x$ $t$

El producto infinito de Viète

$\cos {\frac {\theta }{2}}\cdot \cos {\frac {\theta }{4}}\cdot \cos {\frac {\theta }{8}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\theta }{2^{n}}}={\frac {\sin \theta }{\theta }}=\operatorname {sinc} \theta .$

Véase también

Referencias

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Bibliografía

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Enlaces externos

Valores de seno y coseno, expresados en irracionales, para múltiplos enteros de 3° y de ⁠5+5/8⁠°, y para los mismos ángulos csc y sec y tan
Lista completa de fórmulas trigonométricas

[AS4345-1] Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 4, ecuación 4.3.45". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág. 73. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.

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Lista de identidades trigonométricas

Identidades pitagóricas

Reflexiones, cambios y periodicidad

Reflexiones

Turnos y periodicidad

Señales

Identidades de suma y diferencia de ángulos

Senos y cosenos de sumas de infinitos ángulos

Tangentes y cotangentes de sumas

Secantes y cosecantes de sumas

Teorema de Ptolomeo

Fórmulas de ángulos múltiples y medios ángulos

Fórmulas de ángulos múltiples

Fórmulas de doble ángulo

Fórmulas del triple ángulo

Fórmulas de ángulos múltiples

El método de Chebyshev

Fórmulas de medio ángulo

Mesa

Fórmulas de reducción de potencia

Identidades producto-suma y suma-producto

Identidades de producto a suma

Identidades de suma y producto

Identidad cotangente de Hermite

Productos finitos de funciones trigonométricas

Combinaciones lineales

Seno y coseno

Desplazamiento de fase arbitrario

Más de dos sinusoides

Identidades trigonométricas de Lagrange

Ciertas transformaciones fraccionarias lineales

Relación con la función exponencial compleja

Expansión de la serie

Fórmulas de productos infinitos

Funciones trigonométricas inversas

Identidades sin variables

Computaciónπ

Una identidad de Euclides

Composición de funciones trigonométricas

Otras identidades "condicionales" para el casoalfa+β+gamma= 180°

Taquigrafías históricas

Misceláneas

Núcleo de Dirichlet

Sustitución de la mitad del ángulo tangente

El producto infinito de Viète

Véase también

Referencias

Bibliografía

Enlaces externos

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