Raíz cúbica

En matemáticas , una raíz cúbica de un número x es un número y tal que y ³ = x . Todos los números reales distintos de cero tienen exactamente una raíz cúbica real y un par de raíces cúbicas conjugadas complejas , y todos los números complejos distintos de cero tienen tres raíces cúbicas complejas distintas. Por ejemplo, la raíz cúbica real de 8 , denotada , es 2 , porque 2 ³ = 8 , mientras que las otras raíces cúbicas de 8 son y . Las tres raíces cúbicas de −27 i son: ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}}$${\displaystyle -1+i{\sqrt {3}}}$${\displaystyle -1-i{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle 3i,\quad {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\frac {3}{2}}i,\quad {\text{y}}\quad -{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\frac {3}{2}}i.}$

En algunos contextos, particularmente cuando el número cuya raíz cúbica se va a tomar es un número real, una de las raíces cúbicas (en este caso particular la real) se denomina raíz cúbica principal , denotada con el signo radical La raíz cúbica es la función inversa de la función cúbica si se consideran solo números reales, pero no si se consideran también números complejos: aunque siempre se tiene el cubo de un número distinto de cero tiene más de una raíz cúbica compleja y su raíz cúbica principal puede no ser el número que se elevó al cubo. Por ejemplo, , pero${\displaystyle {\sqrt[{3}]{~^{~}}}.}$${\displaystyle \left({\sqrt[{3}]{x}}\right)^{3}=x,}$${\displaystyle (-1+i{\sqrt {3}})^{3}=8}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2.}$

Las raíces cúbicas de un número x son los números y que satisfacen la ecuación

${\displaystyle y^{3}=x.\ }$

Para cualquier número real x , existe un número real y tal que y3  =  x . La función cúbica es creciente, por lo que no da el mismo resultado para dos entradas diferentes y cubre todos ^los números reales. En otras palabras, es una biyección o uno a uno. Luego podemos definir una función inversa que también sea uno a uno. Para los números reales, podemos definir una raíz cúbica única de todos los números reales. Si se utiliza esta definición, la raíz cúbica de un número negativo es un número negativo.

Si se permite que x e y sean complejos , entonces hay tres soluciones (si x no es cero) y, por lo tanto, x tiene tres raíces cúbicas. Un número real tiene una raíz cúbica real y dos raíces cúbicas más que forman un par complejo conjugado . Por ejemplo, las raíces cúbicas de 1 son:

${\displaystyle 1,\cuadrado -{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,\cuadrado -{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.}$

Las dos últimas de estas raíces dan lugar a una relación entre todas las raíces de cualquier número real o complejo. Si un número es una raíz cúbica de un número real o complejo en particular, las otras dos raíces cúbicas se pueden hallar multiplicando esa raíz cúbica por una u otra de las dos raíces cúbicas complejas de 1.

Para los números complejos, la raíz cúbica principal se define generalmente como la raíz cúbica que tiene la mayor parte real o, equivalentemente, la raíz cúbica cuyo argumento tiene el menor valor absoluto . Está relacionada con el valor principal del logaritmo natural por la fórmula

${\displaystyle x^{\frac {1}{3}}=\exp \left({\frac {1}{3}}\ln {x}\right).}$

Si escribimos x como

${\displaystyle x=r\exp(i\theta )\,}$

donde r es un número real no negativo y θ se encuentra en el rango

${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$,

entonces la raíz cúbica compleja principal es

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right).}$

Esto significa que en coordenadas polares , tomamos la raíz cúbica del radio y dividimos el ángulo polar por tres para definir una raíz cúbica. Con esta definición, la raíz cúbica principal de un número negativo es un número complejo y, por ejemplo, ³ √ −8 no será −2, sino 1 + i √ 3 .

Esta dificultad también se puede resolver considerando la raíz cúbica como una función multivaluada : si escribimos el número complejo original x en tres formas equivalentes, a saber:

${\displaystyle x={\begin{cases}r\exp(i\theta ),\\[3px]r\exp(i\theta +2i\pi ),\\[3px]r\exp(i\theta -2i\pi ).\end{cases}}}$

Las principales raíces cúbicas complejas de estas tres formas son entonces respectivamente

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}={\begin{cases}{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}+{\frac {2i\pi }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}-{\frac {2i\pi }{3}}\right).\end{cases}}}$

A menos que x = 0 , estos tres números complejos son distintos, aunque las tres representaciones de x sean equivalentes. Por ejemplo, ³ √ −8 puede calcularse como −2, 1 + i √ 3 o 1 − i √ 3 .

Esto está relacionado con el concepto de monodromía : si uno sigue por continuidad la función raíz cúbica a lo largo de un camino cerrado alrededor de cero, después de un giro el valor de la raíz cúbica se multiplica (o divide) por${\displaystyle e^{2i\pi /3}.}$

Las raíces cúbicas surgen en el problema de hallar un ángulo cuya medida sea un tercio de la de un ángulo dado ( trisección del ángulo ) y en el problema de hallar la arista de un cubo cuyo volumen sea el doble que el de un cubo con una arista dada ( duplicación del cubo ). En 1837, Pierre Wantzel demostró que ninguna de estas dos cosas se puede hacer con una construcción con regla y compás .

El método de Newton es un método iterativo que se puede utilizar para calcular la raíz cúbica. Para números reales en coma flotante, este método se reduce al siguiente algoritmo iterativo para producir aproximaciones sucesivamente mejores de la raíz cúbica de a :

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{3}}({\frac {a}{x_{n}^{2}}}+2x_{n}).}$

El método consiste simplemente en promediar tres factores elegidos de tal manera que

${\displaystyle x_{n}\times x_{n}\times {\frac {a}{x_{n}^{2}}}=a}$

en cada iteración.

El método de Halley mejora esto con un algoritmo que converge más rápidamente con cada iteración, aunque con más trabajo por iteración:

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}\left({\frac {x_{n}^{3}+2a}{2x_{n}^{3}+a}}\right).}$

Esto converge cúbicamente , por lo que dos iteraciones realizan tanto trabajo como tres iteraciones del método de Newton. Cada iteración del método de Newton cuesta dos multiplicaciones, una suma y una división, suponiendo que1/3a está precalculado, por lo que tres iteraciones más el precálculo requieren siete multiplicaciones , tres sumas y tres divisiones.

Cada iteración del método Halley requiere tres multiplicaciones, tres sumas y una división, ^[1] por lo que dos iteraciones cuestan seis multiplicaciones, seis sumas y dos divisiones. Por lo tanto, el método Halley tiene el potencial de ser más rápido si una división es más costosa que tres sumas.

Con cualquiera de los dos métodos, una aproximación inicial deficiente de x ₀ puede dar como resultado un rendimiento del algoritmo muy deficiente, y llegar a una buena aproximación inicial es algo así como un arte oscuro. Algunas implementaciones manipulan los bits del exponente del número de punto flotante; es decir, llegan a una aproximación inicial dividiendo el exponente por 3. ^[1]

También es útil esta fracción continua generalizada , basada en el método de la raíz n :

Si x es una buena primera aproximación a la raíz cúbica de a e y = a − x ³ , entonces:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}={\sqrt[{3}]{x^{3}+y}}=x+{\cfrac {y}{3x^{2}+{\cfrac {2y}{2x+{\cfrac {4y}{9x^{2}+{\cfrac {5y}{2x+{\cfrac {7y}{15x^{2}+{\cfrac {8y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle =x+{\cfrac {2x\cdot y}{3(2x^{3}+y)-y-{\cfrac {2\cdot 4y^{2}}{9(2x^{3}+y)-{\cfrac {5\cdot 7y^{2}}{15(2x^{3}+y)-{\cfrac {8\cdot 10y^{2}}{21(2x^{3}+y)-\ddots }}}}}}}.}$

La segunda ecuación combina cada par de fracciones de la primera en una sola fracción, duplicando así la velocidad de convergencia.

Las ecuaciones cúbicas , que son ecuaciones polinómicas de tercer grado (lo que significa que la potencia más alta de la incógnita es 3), siempre se pueden resolver para sus tres soluciones en términos de raíces cúbicas y raíces cuadradas (aunque solo existen expresiones más simples en términos de raíces cuadradas para las tres soluciones, si al menos una de ellas es un número racional ). Si dos de las soluciones son números complejos, entonces las tres expresiones de solución involucran la raíz cúbica real de un número real, mientras que si las tres soluciones son números reales, entonces se pueden expresar en términos de la raíz cúbica compleja de un número complejo .

Las ecuaciones cuárticas también se pueden resolver en términos de raíces cúbicas y raíces cuadradas.

El cálculo de raíces cúbicas se remonta a los matemáticos babilónicos desde el año 1800 a. C. ^[2] En el siglo IV a. C., Platón planteó el problema de duplicar el cubo , lo que requería una construcción con regla y compás del borde de un cubo con el doble del volumen de un cubo dado; esto requería la construcción, ahora conocida como imposible, de la longitud ³ √ 2 .

Un método para extraer raíces cúbicas aparece en Los nueve capítulos sobre el arte matemático , un texto matemático chino compilado alrededor del siglo II a. C. y comentado por Liu Hui en el siglo III d. C. ^[3] El matemático griego Herón de Alejandría ideó un método para calcular raíces cúbicas en el siglo I d. C. Su fórmula es mencionada nuevamente por Eutokios en un comentario sobre Arquímedes . ^[4] En 499 d. C. Aryabhata , un matemático y astrónomo de la era clásica de las matemáticas indias y la astronomía india , dio un método para encontrar la raíz cúbica de números que tienen muchos dígitos en el Aryabhatiya (sección 2.5). ^[5]

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• Lista de temas sobre polinomios
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• La calculadora de raíz cúbica reduce cualquier número a la forma radical más simple
• Cálculo de la raíz cúbica, Ken Turkowski, Apple Technical Report #KT-32, 1998. Incluye código fuente en C.
• Weisstein, Eric W. "Raíz cúbica". MathWorld .